Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni

Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni
25.1: Introduzione
In questo capitolo la teoria economica discussa nei capitoli 23 e 24 viene applicata all’analisi dello
scambio del rischio nel mercato delle assicurazioni. In particolare, studiamo la divisione ottima del
rischio tra i partecipanti allo scambio e discutiamo in che modo lo scambio possa essere di
beneficio agli individui in questo contesto. A tale scopo, impieghiamo gli elementi di teoria dei due
capitoli precedenti congiuntamente ai concetti studiati nel capitolo 8 (che aveva ad oggetto lo
scambio in generale).
In analogia con il capitolo 8, assumiamo un’economia molto semplice con due soli soggetti A e B.
Ipotizziamo che l’insieme degli eventi possibili comprenda solo gli stati del mondo 1 e 2. Ex ante,
A e B non conoscono “con certezza” quale dei due stati del mondo si realizzerà, ma solo le loro
rispettive probabilità di realizzazione π1 e π2. Ex post, si realizza solo uno dei due stati del mondo.
Entrambi gli individui hanno a disposizione una certa dotazione iniziale di reddito/consumo e
possono decidere di prendere parte allo scambio per modificarla. La considerazione di un’economia
così semplificata è utile a comprendere come lo scambio nel mercato delle assicurazioni conduca ad
un’allocazione efficiente del rischio. Naturalmente, la nostra analisi può essere estesa al caso di più
individui o di più possibili stati del mondo.
25.2: Una scatola di Edgeworth
Assumiamo che l’individuo A percepisca un reddito di 75 se si verifica lo stato del mondo 1 e di 50
se si realizza lo stato del mondo 2 e che i due stati del mondo siano egualmente probabili. A ha
preferenze del tipo dell’Utilità Attesa, con una funzione di utilità con avversione assoluta al rischio
costante e r = 0.01. Rappresentiamo nella figura 25.1 le preferenze e la dotazione iniziale di A.
Assumiamo che B abbia la stessa dotazione iniziale di A: un reddito contingente allo stato del
mondo 1 di 75 e un reddito contingente allo stato del mondo 2 di 50. Per ipotesi, B è più avverso al
rischio di A: la sua funzione di utilità con avversione assoluta al rischio costante è caratterizzata da
un valore di r pari a 0.03. Rappresentiamo preferenze e dotazione iniziale di B nel modo usuale
nella figura 25.2 e in maniera funzionale alla costruzione della scatola di Edgeworth nella figura
25.3.
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Seguendo la procedura che conosciamo e facendo in modo che le dotazioni iniziali dei due individui
si sovrappongano, otteniamo una scatola di Edgeworth di dimensioni 150 (il reddito/consumo totale
contingente allo stato del mondo 1) per 100 (il reddito/consumo totale contingente allo stato del
mondo 2). La combinazione delle dotazioni iniziali di A e B è posizionata esattamente al centro
della scatola perché A e B hanno identiche dotazioni iniziali di reddito/consumo.
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Nella figura 25.4 sono rappresentate le linee delle certezza di A e B, ovvero, la retta a 45 gradi che
parte dall’origine in basso destra e la retta a 45 gradi che parte dall’origine in alto a sinistra.
Essendo i due stati del mondo egualmente probabili, l’inclinazione delle curve di indifferenza di A e
B lungo le rispettive linee della certezza è pari a –1.
Dove si posiziona la curva dei contratti? I due individui hanno funzioni di utilità con avversione
assoluta al rischio costante e la curva dei contratti è rappresentata dalla retta a 45 gradi posizionata
tra le due linee della certezza, ma più vicina a quella del soggetto più avverso al rischio (B). La
posizione della curva dei contratti è indicativa della natura della divisione del rischio tra i due
individui. Infatti, il fatto che la curva dei contratti sia più vicina alla linea della certezza del soggetto
più avverso al rischio implica che B si trova in una situazione meno rischiosa di A87 in ogni
allocazione efficiente del rischio. In altri termini, A (il soggetto meno avverso al rischio) affronta
una rischiosità maggiore rispetto a B (il soggetto più avverso al rischio). (E’ da notare che il rischio
da dividere tra A e B riguarda il fatto che il reddito totale è 150 in uno stato del mondo e 100
nell’altro. Non c’è modo di eliminare completamente il rischio di subire la perdita di reddito
associata alla realizzazione dello stato del mondo 2. Gli individui, tuttavia, possono redistribuirlo in
modo efficiente in base alla loro attitudine al rischio).
L’equilibrio competitivo si colloca in corrispondenza del punto indicato con C nella figura 25.9.
Nella stessa figura sono rappresentate anche le curve di prezzo-offerta di A e B e la curva dei
contratti. Al fine di calcolare il prezzo relativo di equilibrio (il prezzo del reddito contingente allo
stato del mondo 1 relativamente al prezzo del reddito contingente allo stato del mondo 2), il punto
di allocazione iniziale è stato unito all’allocazione dell’equilibrio concorrenziale.
87
Ricordiamo che lungo la retta della certezza il rischio è inesistente.
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La tabella 25.1 sintetizza i risultati prodotti dallo scambio tra i due individui.
Tabella 25.1
Allocazione iniziale
Consumo nello stato
del mondo 1
Consumo nello stato
del mondo 2
Allocazione di
equilibrio
concorrenziale
Consumo nello stato
del mondo 1
Consumo nello stato
del mondo 2
Variazione tra le due
allocazioni
Consumo nello stato
del mondo 1
Consumo nello stato
del mondo 2
Individuo A
75
Individuo B
75
Società
150
50
50
100
Individuo A
Individuo B
Società
83
67
150
45
55
100
Individuo A
Individuo B
Società
+8
-8
0
-5
+5
0
Il comportamento di B è di facile comprensione. Nella situazione iniziale, B ha un reddito rischioso
ex ante di (75, 50) per cui guadagna 75 nello stato del mondo 1 e 50 se si verifica lo stato del
mondo 2. Il valore atteso del reddito di B è 62.5 e la rischiosità di ± 12.5, ovvero, lo scostamento
(positivo o negativo) dal reddito atteso. In corrispondenza dell’equilibrio prodotto dallo scambio, B
ha un reddito rischioso ex ante (67, 55), a cui è associato un reddito atteso di 61 (minore rispetto a
quello della situazione iniziale) e una rischiosità di ± 6. Di conseguenza, B ottiene una riduzione
della rischiosità del proprio reddito ex ante attraverso lo scambio, a costo di un reddito atteso
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minore. B è avverso al rischio e preferisce accettare un reddito atteso inferiore pur di ridurre il
rischio di incorrere nella perdita di reddito. Notiamo, infatti, che in C l’individuo B si colloca su una
curva di indifferenza più elevata rispetto ad E.
A dispone inizialmente di un reddito rischioso ex ante di (75, 50). Il valore atteso del reddito di A è
62.5 con rischiosità pari a ± 12.5. In seguito allo scambio e in corrispondenza dell’equilibrio
concorrenziale, A ottiene un reddito rischioso ex ante di (83, 45) con reddito atteso di 64 e
rischiosità ± 19. Lo scambio, dunque, produce un aumento della rischiosità del reddito di A, il quale
però vede aumentare il proprio reddito atteso. Nonostante A sia moderatamente avverso al rischio,
egli accetta un po’ più di rischio in cambio di un lieve incremento del valore atteso del proprio
reddito. In corrispondenza di C, A si colloca su una curva di indifferenza più elevata rispetto a
quella tangente in E.
Osserviamo che lo scambio produce una divisione più efficiente del rischio rispetto alla situazione
iniziale. Prima dello scambio, A e B si trovavano in una situazione ugualmente rischiosa. In
corrispondenza dell’equilibrio concorrenziale, A (meno avverso al rischio di B) si accolla più
rischio di B (più avverso al rischio di A); A è compensato dal maggiore valore atteso del reddito,
mentre B ottiene una riduzione del rischio a costo di un minore reddito atteso.
Nel nostro esempio, il mercato delle assicurazioni non è equo in quanto il prezzo relativo è diverso
da –1. Infatti, il prezzo relativo è minore di 1. Chiedetevi perché.
25.3: Identica attitudine al rischio e diverse dotazioni iniziali
Analizziamo ora alcuni scenari alternativi rispetto all’esempio del paragrafo precedente. In primo
luogo, ipotizziamo che i due individui abbiamo la stessa attitudine al rischio, ma diverse dotazioni
iniziali. Assumiamo una funzione con avversione assoluta al rischio costante con r = 0.02 per
entrambi. La curva dei contratti si colloca in posizione intermedia tra le curve della certezza di A e
B. Ipotizziamo diverse allocazioni iniziali in termini di rischiosità, ma lo stesso valore atteso del
reddito di A e B. In particolare, le dotazioni iniziali di A e B sono (100, 25) e (50, 75). In entrambi i
casi, il reddito atteso è pari a 62.5; la rischiosità di A è pari a ± 37.5, quella di B è data da ± 12.5.
La scatola di Edgeworth associata a questo esempio è rappresentata nella figura 25.10.
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Lo scambio tra A e B produce i risultati esposti nella tabella 25.2:
Tabella 25.2
Allocazione iniziale
Consumo nello stato
del mondo 1
Consumo nello stato
del mondo 2
Allocazione di
equilibrio
concorrenziale
Consumo nello stato
del mondo 1
Consumo nello stato
del mondo 2
Variazione tra le due
allocazioni
Consumo nello stato
del mondo 1
Consumo nello stato
del mondo 2
Individuo A
100
Individuo B
50
Società
150
25
75
100
Individuo A
Individuo B
Società
68
82
150
44
56
100
Individuo A
Individuo B
Società
-32
+32
0
+19
-19
0
Naturalmente, l’equilibrio concorrenziale si colloca in un punto appartenente alla curva dei
contratti, la quale è più vicina all’origine di A che a quella di B. Infatti, lo scambio produce benefici
maggiori per B che per A. Partendo dalla situazione iniziale con un reddito atteso di 62.5 e
rischiosità di ± 12.5, B termina lo scambio con la dotazione (82, 56), per un reddito atteso di 69 e
rischiosità pari a ± 13. B, dunque, ottiene un notevole aumento di reddito atteso in cambio di un
rischio solo lievemente maggiore. Viceversa, il reddito atteso di A prima dello scambio era 62.5 con
una rischiosità di ± 37.5. Al termine dello scambio, A ottiene la combinazione (68, 44), per un
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reddito atteso di 56 e una rischiosità pari a ± 12. Di conseguenza, egli deve subire una riduzione
consistente del proprio reddito atteso in cambio di una riduzione del rischio. Ciò è dovuto al fatto
che A era inizialmente esposto ad un rischio relativamente maggiore di B.
25.4: Allocazioni iniziali “simili” e preferenze diverse
Un caso interessante si verifica se A e B percepiscono un reddito positivo solo in uno dei due stati
del mondo: A nello stato del mondo 1 e B nello stato del mondo 2. Come si comportano i due
soggetti in questo caso? Ammettiamo che il reddito ex ante di A sia 100 nello stato del mondo 1 e 0
nello stato del mondo 2 e che il reddito ex ante di B sia 0 nello stato del mondo 1 e 100 nello stato
del mondo 2. Il reddito della società non è rischioso: è pari a 100 indipendentemente dallo stato del
mondo che si realizza. Di conseguenza, la scatola di Edgeworth ha dimensioni 100 per 100 e la
combinazione delle dotazioni iniziali di A e B si colloca in corrispondenza dell’angolo in basso a
destra del diagramma.
Ipotizziamo preferenze diverse per A e B: A ha una funzione di utilità con avversione assoluta al
rischio costante e r = 0.01, mentre B ha la stessa funzione di utilità con r = 0.03. Come nei casi
precedenti, la curva dei contratti si colloca in posizione intermedia tra le due curve della certezza, le
quali si sovrappongono (con la diagonale che unisce le due origini), e lo stesso avviene per la curva
dei contratti (figura 25.12).
Le due curve passanti per il punto E sono le curve di prezzo-offerta di A e B. Esse si intersecano in
corrispondenza del punto C sulla curva dei contratti. In corrispondenza dell’equilibrio competitivo,
A e B si collocano entrambi nel punto (50, 50) e guadagnano entrambi 50 indipendentemente dallo
stato del mondo che si realizza. L’interesse di questo esempio risiede nel fatto che lo scambio
elimina completamente il rischio al quale i due individui erano soggetti inizialmente. L’inclinazione
del vincolo di bilancio di equilibrio è pari a -1 e l’equilibrio viene raggiunto a partire dalle due
allocazioni iniziali indipendentemente dall’attitudine al rischio dei due individui. La curva dei
contratti, inoltre, non può che essere la diagonale principale della scatola di Edgeworth in quanto in
tal caso viene a coincidere con le linee della certezza dei due soggetti e le inclinazioni delle curve di
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indifferenza di A e B sono entrambi uguali a –1. Solo in corrispondenza del punto C sulla curva dei
contratti l’inclinazione della retta che congiunge il punto E al punto C è pari a -1.
25.5: Un individuo neutrale al rischio
Analizziamo ora il caso in cui uno dei due individui è neutrale al rischio e l’altro avverso al rischio.
Assumendo che A sia neutrale al rischio e B avverso al rischio, otteniamo la figura 25.13.
La curva dei contratti coincide con la linea della certezza di B per cui l’equilibrio competitivo C si
colloca lungo la linea della certezza di B. Indipendentemente dalla posizione dell’allocazione
iniziale, l’equilibrio concorrenziale si troverà sempre sulla linea della certezza di B. Inoltre,
l’inclinazione della curva di prezzo-offerta di A è uguale a –1 (lo stesso valore dell’inclinazione
delle curve di indifferenza di A) e, di conseguenza, nell’equilibrio competitivo B ha lo stesso valore
di reddito atteso associato all’allocazione iniziale. L’unica differenza tra le due allocazioni è che lo
scambio produce l’eliminazione del rischio iniziale. Tale rischio si trasferisce ad A il quale,
comunque, è neutrale al rischio. Concludendo, il nostro esempio dimostra che la presenza di un
soggetto neutrale al rischio consente l’eliminazione completa del rischio a cui è soggetto l’altro
individuo.
25.5: Riassunto
In questo capitolo abbiamo applicato la teoria dello scambio, studiata nel capitolo 8, all’analisi
dell’allocazione efficiente del rischio tra due individui. Abbiamo dimostrato che in generale lo
scambio del rischio può avvenire. In alcuni casi, lo scambio produce l’eliminazione completa del
rischio. Nei casi in cui il rischio non può essere eliminato completamente, lo scambio ha per effetto
una divisione del rischio più efficiente rispetto all’allocazione iniziale (con l’individuo meno
avverso al rischio che si accolla un livello maggiore di rischiosità).
Il mercato delle assicurazioni ha la funzione di permettere una divisione del rischio più efficiente
per la società.
In generale, al termine dello scambio nel mercato delle assicurazioni il soggetto meno avverso al
rischio si accolla un rischio maggiore.
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Più in particolare, se uno dei due individui è neutrale al rischio e l’altro è avverso al rischio, al
termine dello scambio il primo si assume tutto il rischio.
25.8: Domande di verifica
(1)
(2)
(3)
(4)
Perché se un individuo neutrale al rischio si trova a dover divide una situazione rischiosa
con un individuo avverso al rischio, alla fine dello scambio, la persona neutrale al rischio
sopporterà il rischio e lascerà la persona avversa al rischio in una situazione non
rischiosa? Che cosa guadagna l’individuo neutrale al rischio da questo tipo di scambio?
Qual è il costo pagato, dall’individuo avverso al rischio, per evitare il rischio? Vi ricorda
qualcosa? (pensate ad un mercato di assicurazioni dove il premio non è equo).
Che cosa accade se una situazione rischiosa è divisa tra un individuo amante del rischio
ed uno avverso al rischio?
Considerate la lotteria nazionale. Questa è un chiaro esempio di lotteria non equa, poiché
lo stato prende circa la metà di ciò che è stato pagato per l’acquisto dei biglietti (e
magari questo 50% viene devoluto in beneficenza). Quindi la vincita attesa è circa la
metà di ciò che è stato pagato. Che cosa possiamo dire circa l’attitudine al rischio di chi
gioca questo tipo di lotteria?
Quando due persone fanno una scommessa fra loro, stanno entrambi cambiando una
situazione di certezza in una di rischio. Se entrambi hanno la stessa opinione sulle
probabilità della scommessa, possiamo concludere che entrambi siano amanti del
rischio. Se invece sono entrambi avversi al rischio allora devono avere una percezione
diversa della scommessa. Cerca di spiegare queste affermazioni con qualche esempio.
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