La Tesi di laurea del duca Loius de Broglie (1924) La Tesi di laurea

La Tesi di laurea del duca Loius de Broglie (1924)
De Broglie propose una analogia fra onde e particelle. Per un’onda elettromagnetica
vale il principio di sovrapposizione e si osserva l’esistenza di quanti tali che
u = hν ,
e n e rg ia
per
u n 'o n d a d a 1 q u a n to ( f o t o n e )
m o m e n to d e l f o to n e = p = ℏ k , k = v e tto r e d 'o n d a
Analogia: se alle onde
elettromagnetiche sono associati
i fotoni, che si comportano come
corpuscoli, vuol dire che alcuni
corpuscoli sono manifestazioni di
onde. Questo modifica il concetto di
corpuscolo; cosi’ ad ogni particella
materiale (ad esempio un elettrone)
deve essere associata una onda.
Ad un fascio di particelle materiali di
momento p, come per un quanto di radiazione, deve essere associata una
onda con
p = ℏk , k=vettore d'onda.
u
va modificata perche' per particelle di massa m, ABC
c
p2
la legge di dispersione e' E=
.
2m
L'analogia non e' completa: p =
Nel caso della luce, vale la descrizione in termini di un quadripotenziale (A,
φ) che obbedisce alla equazione delle onde con velocita’ c.
Come descrivere le onde associate a particelle con massa, come gli
elettroni,neutroni, etc.? Ci vuole una diversa ampiezza, la funzione d’onda
ψ(r).
2
L’intensita’ della luce va con il quadrato del campo; per il
campo vale il principio di sovrapposizione .
Analogamente, l’intensita’ di un fascio di particelle va con il
quadrato della funzione d’onda, e ci si devono aspettare
fenomeni di interferenza e diffrazione.
Deve valere il principio di sovrapposizione.
Differenza: la funzione d’onda, a differenza del campo, e’
inosservabile; deve avere un modulo e una fase ed essere
complessa.
ψ ≈e
ik .r
h
2
p = ℏk , ℏ =
, ψ = intensita' fascio
2π
3
.
Esperimento di Clinton Davisson and Lester Germer (1927):
per verificare le idee di De Broglie:
gli elettroni
diffrangono dalle superfici come la luce fa’ da un reticolo.
Distanza fra gli atomi di un solido elementare = parametro reticolare
Qualche Angstrom. Che energia deve avere un elettrone per avere λ=1 Angstrom?
6.6*10−34 Js
−24 Js
p= =
= 6.6*10
−10
λ
10 m
m
2
−48 Js 2
6.6 *10 ( )
2 2
p2 h
J
s
−17
m = 4.8*10−17
4.8*10
= =
=
J
−31
2
2m λ
9.1*10 Kg
m Kg
h
1eV = 1.6*10−19 J
p 2 4.8*10−17
=
eV ≈ 300 eV
−19
2m 1.6*10
4
.
Moderne tecniche: LEED (low energy electron diffraction) RHEED
(reflection high-energy electron diffraction)
Studiano la struttura delle superfici
(la superficie funge da reticolo, se la distanza fra atomi vicini e’
dell’ordine di λ )
immagine LEED di
una superficie di Si
Immagini LEED di una superficie di W(100)
con elettroni da 45 eV (sinistra) and 145 eV (destra).
5
Esperimenti fatti con fotoni, elettroni,
neutroni,atomi,..
Oggi si possono fare con precisione esperimenti di interferenza e diffrazione che nel 1925 potevano solo essere
pensati. Un cannone elettronico con particolari accorgimenti spara elettroni monocromatici.
Schermo con
fenditura
lastra
cannone
2
 sin ( kaθ ) 
Si osserva la diffrazione con dI ∼ 
 dθ
 kaθ 
6
Interferenza con
elettroni (anche
neutroni, atomi,
molecole, etc)
cannone
elettronico
Lastra fotografica
interferenza
Frange di
interferenza
Di dove passano gli elettroni?
Scelgono a caso?
No
Frange evidenti se le dimensioni delle
fenditure sono paragonabili alla
lunghezza d’onda di De Broglie
p = ℏk ,
h 2π h
p=
=
2π λ λ
h ≈ 6, 6 10−34 Js
7
Di dove passano gli elettroni? Tappiamo una fenditura e l’interferenza sparisce
Lastra fotografica
cannone
elettronico
lastra
L’elettrone
che passa da
una fenditura
‘sa’ se l’altra e’
aperta o
chiusa, anche
se passa un
elettrone alla
volta!
fotografica
Nel caso quantistico,
l’osservazione modifica il
sistema osservato
Di dove passano gli elettroni? da ambedue le parti insieme!
Non si puo’ sapere di dove e’ passato un elettrone quando c’e’ interferenza.
8
Di dove passano gli elettroni? da ambedue le parti insieme!
Lastra fotografica
cannone
elettronico
interferenza
Frange di
interferenza
1 elettrone alla
volta!
Frange evidenti se le dimensioni delle
fenditure sono paragonabili alla
lunghezza d’onda di De Broglie
un elettrone interferisce con se’ medesimo!
9
Solenoide
Campo magnetico
Si puo’ fare in modo che il campo magnetico sia
intenso nel solenoide e molto piccolo fuori. Questo si
puo’ schematizzare come un tubo di flusso
interferenza
Lastra fotografica
modificata
dal
potenziale
vettore
Tubo di flusso:
solenoide con B
solo dentro
cannone
elettronico
B=0
B=0
Frange di
interferenza
B=0
B=0
1 elettrone alla
volta!
B=0
B=0
Niente forza di Lorentz
Effetto Bohm-Aharonov, predetto teoricamente nel 1959: le
frange modificate da un potenziale vettore!
11
Esperimento con lo specchio semitrasparente (come si fa’ con la luce)
50%
A
Sorgente
di
particelle
50%
B
L’intensita’ si divide in parti uguali
12
Esperimento con lo specchio semitrasparente
1 particella alla volta
50%
A
Sorgente
di 1
50%
B
particella
alla volta
La particella viene rivelata in A o in B con la stessa frequenza
statistica.
Sceglie a caso dove andare?
13
Se la particella scegliesse a caso da che parte andare
A
50%
50%
B
Sorgente
di
1 particella
alla volta
Ma l’esperimento non va cosi’!
14
A
he
c
nte e
e
g
Sor ornisc
f
ne
o
r
eut
n
1
olta
v
alla
100%
0%
B
Regolando le lunghezze dei percorsi, si puo’ fare in modo che la particella vada con certezza
da una parte o dall’altra. La conclusione inevitabile e’ che la particella percorre ambedue le
strade e interferisce con se stessa!!
Esperimento realizzato ( Iannuzzi et al., prl 2006)
15
Distruggiamo la
interferenza
A
50%
50%
B
Sorgente
di
1 particella
alla volta
Se si blocca uno dei rami si divide in parti
uguali
16
Dualismo onda-corpuscolo
E = hν = ℏω
ψ ≈e
ik .r
h
2
, ψ = intensita' fascio
p = ℏk , ℏ =
2π
17
Fullereni
Sir Harold W. Kroto,
University od
Sussex,Nobel Prize for
Chemistry in 1996
Scoperti il 4 Settembre 1985
soccerene
Fullerenes consist of 20 hexagonal and 12
pentagonal rings as the basis of an icosohedral
symmetry closed cage structure.
18
20 esagoni + 12 pentagoni → Facce = 32
20 esagoni + 12 pentagoni → 20*6 + 12*5 = 180 = 2*Spigoli ⇒ Spigoli = 90
Euler : Facce-Spigoli+Vertici = 2 → Vertici = 60
per produrre i fullereni: arco elettrico, a circa
5300°K, con una corrente elevata e bassa
tensione, utilizzando elettrodi in grafite in
atmosfera inerte (argon) a bassa pressione.
The art of hitting the goal with every shot
We have observed de Broglie wave interference of the buckminsterfullerene C60 with a
wavelength of about 3 pm through diffraction at a SiNx absorption grating with 100 nm
period. This molecule is the by far most complex object revealing wave behaviour so
far. The buckyball is the most stable fullerene with a mass of 720 atomic units, composed of
60 tightly bound carbon atoms.
http://www.univie.ac.at/qfp/research/matterwave/c60/index.html
20
Confini della teoria classica
fenomeni in cui e’ importante c
Relativita’
fenomeni in cui e’ importante h
Teoria dei quanti
atomi, molecole, nuclei
solidi: coesione, magnetismo,fenomeni quantistici
macroscopici superfluidita’ superconduttivita’........
stelle: nane bianche, stelle di neutroni
La teoria fondamentale in accordo con tutti i fenomeni noti e’
quantistica e relativistica (teoria di Dirac per l’elettrone)
che raggiunge precisioni di >10 decimali esatti
ma noi studieremo la Meccanica Quantistica non-relativistica
21
Meccanica Quantistica
Questa teoria ha molti aspetti contrari all’intuizione classica, ma forse
il piu´strano di tutti e`che la descrizione della natura debba essere
fatta necessariamente in termini di numeri complessi, quelli che Euler
chiamava numeri impossibili.
La teoria quantistica non fa un compromesso fra i punti di vista
corpuscolare ed ondulatorio. Non fa’ giochi di parole come quelli
dei filosofi. Fa’ delle predizioni di estrema precisione che sono in
accordo con una miriade di fatti.
22
Erwin Rudolf Josef Alexander
Schrödinger
(Vienna, 1887 – Vienna, 1961).
E’ famoso per il suo contributo alla meccanica quantistica,
in particolar modo per l'Equazione di Schrödinger, per la
quale vinse il Premio Nobel nel 1933.
Propose l'esperimento mentale del Gatto di Schrödinger.
Nel 1921, divento’ "Ordentlicher Professor" (ovvero
professore a pieno titolo), a Breslavia (l'attuale Wroclaw, in Polonia)
Nel 1922, passo’ all'Universita di Zurigo. Nel 1926, Schrödinger pubblico’ negli
Annalen der Physik
l’articolo "Quantisierung als Eigenwertproblem" (Quantizzazione
come problema agli autovalori)
dove espone la sua equazione. Nel 1927, segue Max Planck a Berlino,
all'Univerisita Humboldt. Nel
1933, divento’ Fellow del Magdalen College, all'Universita di Oxford, e
ricevette il Premio Nobel per la fisica assieme a Paul Adrien Maurice Dirac
23
Come descrivere i fatti?
Intensita’ del fascio
ρ(x,t) >0
analoga intensita’della luce
analoga alle onde e.m. della luce
una “onda” ψ dotata di ampiezza e fase
ma l’equazione delle onde non va bene
per elettroni, che non vanno a c
ampiezza
ψ complesso va bene:
iϕ ( x ,t )
ψ ( x , t ) =| ψ ( x , t ) | e
Intensita’ = probabilita’ di trovare la
particella
2
∼ |ψ ( x , t ) |
fase
25
Analogia di De Broglie:
Onda piana di momento p ed energia E
ψ p , E ( x , t ) ∼ e
i( p. x − E ( p )t )
ℏ
con ψ al posto del potenziale vettore e |ψ|2 al posto della intensita’ della
luce; p= impulso, E= energia.
Analogia: un’onda e.m. monocromatica con
E = hν ,
p=
hν
c
(fotoni che vanno tutti nella direzione di p)
solo che qui l’onda e’ complessa e
p2
E=
2m
l’onda e’ complessa : modulo e fase!
26
I principi teorici non si possono dedurre!
Mettiamoci in 1d e scriviamo l'onda di De Broglie
di impulso p ed energia E :
ψ p , E ( x, t ) ∼ e
i ( px − E ( p ) t )
ℏ
.
L’informazione su p e su E deve essere inψ p , E ( x, t ) .
Come si possono estrarre p ed E daψ p , E ( x, t ) ?
Logaritmo? NO!! Deve valere il principio di sovrapposizione:
ψ ( x , t ) = A1e
i ( p1 . x − E ( p1 ) t )
ℏ
+ A2 e
i ( p2 . x − E ( p2 ) t )
ℏ
A1 = ampiezza di probabilita' che l'impulso sia
p1
A2 = ampiezza di probabilita' che l'impulso sia
p2
Una misura di p potra’ dare uno dei due valori
con probabilita’ proporzionali a
| A1 |2 , | A2 |2
Occorre una operazione lineare.
27
Equazioni agli autovalori
ψ p , E ( x, t ) ∼ e
i ( px − E ( p ) t )
ℏ
.
L’info su p e su E deve essere inψ p , E ( x, t ) .
Come si puo’ estrarli daψ p , E ( x, t )
con una operazione lineare ?
p da’ la frequenza spaziale, cioe’ il vettore d’onda.
E=hν da’ la frequenza temporale,.
∂
ψ
∂x
∂
ψ
∂t
p ,E
p ,E
ip
(x,t ) ∼ e
ℏ
i( px − E ( p )t )
ℏ
iE
e
(x,t ) ∼ −
ℏ
i( px − E ( p )t )
ℏ
∂
ψ p , E ( x, t ) = pψ p , E ( x, t )
∂x
eigenwert problem = problema agli autovalori
−iℏ
∂

−
i
ℏ
operatore impulso

∂x

 ψ p , E ( x, t ) autofunzione

p autovalore


∂
ψ p , E ( x, t ) = Eψ p , E ( x, t )
∂t
eigenwert problem = problema agli autovalori
iℏ
 ∂
iℏ ∂t operatore energia

 ψ p , E ( x, t ) autofunzione

E autovalore


29
In 3d,
ψ p , E ( x , t ) ∼ e
i( p. x − E ( p )t )
ℏ
i( p. x − E ( p ) t )
ip
ℏ
∇ψ p , E ( x , t ) ∼ e
ℏ
−iℏ∇ψ p , E ( x, t ) ∼ pψ p , E ( x, t )
−iℏ∇
p = autovalore di
−iℏ∇ = operatore impulso
Impulso uguale a p nello
stato di onda piana
ψ p , E ( x , t ) ∼ e
i( p. x − E ( p )t )
ℏ
30
⌢
p = −iℏ∇ operatore impulso
Onda con impulso p
ψ p , E ( x , t ) ∼ e
i ( p. x − E ( p )t )
ℏ
ˆ
pψ p , E ( x , t ) = pψ p , E ( x , t ) ⇒
ˆ 2
2
p ψ ( x, t ) = p ψ ( x, t )
p,E
Energia cinetica
p,E
ˆ 2
2
p
p
ψ p,E ( x, t ) =
ψ p,E ( x, t )
2m
2m
Energia cinetica p2/2m
nello stato di onda piana
ψ p , E ( x , t ) ∼ e
⌢ 2
⌢
p
= T operatore energia cinetica
2m
i( p. x − E ( p )t )
ℏ
E = autovalore31
Impulso uguale a p nello
stato di onda piana
ψ p , E ( x , t ) ∼ e
i( p. x − E ( p )t )
ℏ
∂
iℏ ψ p , E ( x , t ) = Eψ p , E ( x , t )
∂t
∂
operatore energia
ˆ
iℏ = E
∂t
Energia uguale a E nello
stato di onda piana
ψ p , E ( x , t ) ∼ e
i( p. x − E ( p )t )
ℏ
variabili dinamiche operatori
32
Principio di sovrapposizione: combinazioni lineari di funzioni d’onda
danno altre funzioni d’onda (come nel caso elettromagnetico)
ψ ( x , t ) = A1e
i ( p1 . x − E ( p1 ) t )
ℏ
+ A2 e
i ( p2 . x − E ( p2 ) t )
ℏ
.
Interpretazione:
ψ ( x , t ) = ampiezza nello stato ψ che la particella sia
in x al tempo t.
p non e' ben definito in questo stato.
A1 = ampiezza nello stato ψ che l'impulso sia
p1
A2 = ampiezza nello stato ψ che l'impulso sia
p2
C'e' incertezza e si puo' assegnare una
probabilita' a p1 o p 2 .
ψ ( x , t ) = A1e
i ( p1 . x − E ( p1 ) t )
ℏ
+ A2 e
i ( p2 . x − E ( p2 ) t )
ℏ
Una misura di p potra’ dare uno dei due valori con probabilita’ proporzionali a
| A1 |2 , | A2 |2
ψ p , E ( x , t ) ∼ e
i( p. x − E ( p )t )
ℏ
= ampiezza di probabilita' che la particella nello stato ψ
sia in x al tempo t, con E e p assegnati .
ψ
3
d p
A( p) e
(x,t ) = ∫
3
( 2π )
i ( p . x − E ( p )t )
generalizza ψ ( x , t ) = A1e
ℏ
i ( p1 . x − E ( p1 ) t )
ℏ
pacchetto d’onde
+ A2 e
i ( p2 . x − E ( p2 ) t )
ℏ
;
Trasformazioni canoniche e ‘pitture’
Non possiamo rinunciare alla liberta’ di scelta che classicamente viene dalle
trasformazioni canoniche. Ci sono infinite rappresentazioni o ‘pitture’ della
realta’.
Rappresentazione delle coordinate
ψ
3
d p
A( p) e
(x,t ) = ∫
3
( 2π )
i ( p . x − E ( p )t )
ℏ
pacchetto d’onde
ψ ( x , t ) = ampiezza nello stato ψ che la particella sia
in x al tempo t
A( p ) contiene tutta l'informazione, ed e' una ampiezza.
ampiezza che l’elettrone abbia impulso p al tempo t
Rappresentazione degli impulsi
A( p)
trasfo rm ata
di
ψ ( x , 0 ) e'
la fu n zio n e d ' o n d a
n ella rap p resen tazio n e p.
.
N el fo rm alism o h am ilto n ian o classico , co o rd in ate e m o m en ti
si p o sso n o an ch e s cam b iare:
C o n F = ∑ λi qiQ i
i
⇒
pi =
∂F
= λiQi
∂qi
Pi = −
∂F
= − λi qi
∂Qi
Hɶ ( P , Q , t ) = H ( q , p , t ).
N o n rin u n cerem o a q u esta lib erta'.
V ed rem o ch e ψ ( x , 0 ) ↔ A ( p ) e' u n a trasfo rm azio n e can o n ica.
Principio di sovrapposizione e valor medio:
3
d p
ψ ( x, t ) = ∫
g ( p) e
3
( 2π )
2
|ψ ( x , t ) |
i ( p . x − E ( p )t )
ℏ
pacchetto d’onde
= intensita’ del fascio di particelle= probabilita’ di
trovare la particella in x,t
Si puo’ formare uno stato localizzato in una regione
ψ ( x)
x = x medio
x
2 x = ∫ dx | ψ ( x ) | x
* x = ∫ dxψ ( x ) xψ ( x )
In particolare, ψ p , E ( x , 0 ) = δ ( x) ⇔ particella in x=0 certamente.
37
Rappresentazione delle coordinate
ψ ( x, t ) = ∫
2
|ψ ( x , t ) |
3
d p
( 2π )
(
)e
g
p
3
i ( p . x − E ( p )t )
ℏ
pacchetto d’onde
= intensita’ del fascio di particelle= probabilita’ di
trovare la particella in x,t
Rappresentazione degli impulsi
g ( p)
g ( p)
x
ampiezza che l’elettrone abbia impulso p
funzione d’onda nella rappresentazione p
38
Werner Heisenberg (1901-1976)
39
Casi limite:rappresentazione delle coordinate
3
d p
ψ ( x, t ) = ∫
g ( p) e
3
( 2π )
i ( p . x − E ( p )t )
ℏ
pacchetto d’onde
ip0 x
g ( p ) = δ ( p − p0 ) ⇒ ψ ( x , t ) ∝ e ⇒| ψ ( x, t ) |2 = costante
p definito e x indefinito
Situazione sperimentale in cui ∆x = errore su x e' grande,
∆p = errore su p e' piccolo
g ( p) = K ⇒ ψ ( x , t ) ∝ δ ( x ) P indefinito e x definito
Situazione sperimentale in cui ∆p = errore su p e' grande,
∆x = errore su x e' piccolo
40
In ogni caso vale il Principio di indeterminazione
di W. Heisenberg:
ℏ
∆x∆p ≥
2
∆x = errore su x, ∆p = errore su p
Classicamente ogni cosa si puo’ misurare bene.
Einstein non lo ha mai accettato come principio fondamentale
della Fisica
Pero’ e’ una proprieta’ matematicamente ineliminabile della
funzione d’onda.
41
ˆ
Operatore p nella rappresentazione dei p
3
d p
Dato il pacchetto ψ ( x , t ) = ∫
g
(
p
, t) e
3
( 2π )
ˆ
ˆ
consideriamo pψ ( x , t ) , con p = −iℏ∇.
d p
−iℏ∇ψ ( x , t ) = −iℏ ∫
g ( p, t )∇ e
3
( 2π )
i ( p . x − E ( p )t )
3
3
⇒
d p pg ( p, t ) e
=∫
3
( 2π )
i ( p . x − E ( p )t )
ℏ
i( p. x − E ( p ) t )
ℏ
ℏ
g ( p, t ) trasformata di ψ ( x , t ) contiene la stessa informazione
g ( p, t ) p trasformata di − iℏ∇ψ ( x , t ) .
ψ ( x , 0 ) ↔ g ( p) e' una trasformazione canonica.
ˆ Nella rappresentazione degli impulsi p = p
42
= operatore che moltiplica per p
Impulso medio di un pacchetto d’onde
ψ ( x, t ) = ∫
3
d p
( 2π )
g
(
p
, t) e
3
i ( p . x − E ( p )t )
ℏ
Quale sara’ la media di p ?
Ragioniamo per
analogia
* media di x sul pacchetto : x = ∫ dxψ ( x ) xψ ( x )
d3 p
d3 p
* 2 p =∫
g
p
pg
p
g
p
(
)
(
)
=
|
(
)| p
3
3
∫
( 2π )
( 2π )
Ma come si scrive direttamente in termini di ψ ( x ) ?
Per un trattamento rigoroso e’ utile un teorema.
43
Teorema di Plancherel
∫
∞
−∞
dtα (t ) β ( t ) = ∫
*
∞
−∞
dω
α (ω ) β * (ω )
2π
La dimostrazione e’ facile se si usa la delta.
∞
∞
dω
dω ∞
*
iω x
*
− iωt
(
)
=
(
)
(
)
dx
x
e
dt
t
e
α
ω
β
ω
α
β
(
)
∫−∞ 2π
∫−∞ 2π ∫−∞
∫−∞
∞
∞
∞
∞
∞
d ω −iω ( x −t )
*
= ∫ dxα ( x) ∫ dt β (t ) ∫
e
= ∫ dxα ( x) ∫ dt β * (t )δ ( x − t )
−∞
−∞
−∞ 2π
−∞
−∞
∞
=∫
∞
−∞
dt β (t ) ∫
*
∞
−∞
dxα ( x)δ ( x − t ) = ∫
∞
−∞
dtα (t ) β * ( t )
44
La definizione di prodotto scalare fra vettori complessi α e β e'
β α = ∑ β *iα i
i
Il Teorema di Plancherel dice che:
∫
∞
−∞
NB
∫
∞
−∞
dtα (t ) β ( t ) = ∫
*
∞
−∞
dω
α (ω ) β * (ω )
2π
dtα (t ) β * ( t ) somiglia a un prodotto scalare
*
β
∑ iαi
i
dove al posto di i c'e' un indice continuo t.
Il teorema implica che β α e'un prodotto scalare
fra due vettori α e β che non cambia passando
dalle componenti t alle componenti ω. Possiamo calcolarlo
nella rappresentazione x o p e viene uguale.
45
p dalla rappresentazione p
ˆ
alla rappresentazione x .
d3 p
d3 p
* 2 p =∫
g
(
p
)
pg
(
p
)
=
|
g
(
p
)| p
3
3
∫
( 2π )
( 2π )
d3 p
* per scrivere ∫
g ( p) pg ( p ) direttamente in termini di ψ ( x ) ,
3
( 2π )
3
i ( p . x − E ( p )t )
d p
ℏ
Data la funzione d'onda ψ ( x , t ) = ∫
g
(
p
, t) e
,
3
( 2π )
∞
∞
dω
*
usiamo Plancharel : ∫
α (ω ) β (ω ) = ∫ dtα (t ) β * ( t )
−∞ 2π
−∞
dω
d3 p
con
→
, α (ω ) → pg ( p ) β (ω ) → g ( p )
3
2π
(2π )
Primo membro:
∫
∞
−∞
dω
d3 p
*
α (ω ) β (ω ) = ∫
g ( p) p g ( p)
3
2π
( 2π )
46
usiamo Plancharel :
∫
∞
−∞
∞
dω
α (ω ) β * (ω ) = ∫ dtα (t ) β * ( t )
−∞
2π
dω
d3 p
con
→
,
3
2π
(2π )
Primo membro:
∫
∞
−∞
∫
dt → d 3 x
∞
−∞
3
dω
d
p
α (ω ) β * (ω ) = ∫
g
(
p
) p g ( p)
3
2π
( 2π )
*
dtα (t ) β * ( t ) = ∫ d 3 xψ ( x , t ) F [ pg ( p )], dove
3
d p ∫ ( 2π )3 p g ( p)e
secondo membro:∫
i ( p . x − E ( p )t )
∞
−∞
ℏ
= −iℏ∇ψ ( x , t ) = F [ pg ( p)]
*
dtα (t ) β ( t ) = −iℏ ∫ d xψ ( x , t ) ∇ψ ( x , t )
*
3
* *
3
⇒ p = −iℏ ∫ dxψ ( x, t ) ∇ψ ( x, t ) = ∫ d p g ( p ) pg ( p ).
Ritroviamo che p = −iℏ∇ nella rappresentazione x.
48
Analogamente possiamo scrivere
x̂ nella rappresentazione dei p.
* x = ∫ dxψ ( x ) xψ ( x )
A partire da
sostituendovi
3
ψ ( x, t ) = ∫
3
d p' x = ∫ dx ( ∫
g ( p ', t ) e
3
( 2π )
i ( p '. x − E ( p ')t )
ℏ
d p
( 2π )
g
(
p
, t) e
3
i ( p . x − E ( p )t )
ℏ
3
d p
g ( p, t ) e
) x∫
3
( 2π )
i ( p . x − E ( p )t )
*
ℏ
.
Scambiando le integrazioni,
3
3
d p' d p
−
*
x =∫
g ( p ', t ) ∫
g ( p, t ) ∫ dxe
3
3
( 2π )
( 2π )
3
3
d p
*
=∫
g ( p ', t ) ∫
g ( p, t )e
3
3
( 2π )
( 2π )
d p'
i ( p '. x − E ( p ')t )
i ( E ( p ' ) − E ( p ) )t
ℏ
ℏ
∫ dxe
xe
ip '. x
−
ℏ
i ( p . x − E ( p )t )
ℏ
(−iℏ∇ p )e
=
ip . x
−
ℏ
49
3
3
d p' d p
*
x == ∫
g ( p ', t ) ∫
g ( p, t )e
3
3
( 2π )
( 2π )
i ( E ( p ' ) − E ( p ) )t
ℏ
∫ dxe
ip '. x
−
ℏ
(−iℏ∇ p )e
ip . x
−
ℏ
Ora portiamo (−iℏ∇ p ) fuori e introduciamo la delta di Dirac:
3
3
d p' d p
*
x =∫
g ( p ', t ) ∫
g ( p , t )e
3
3
( 2π )
( 2π )
=∫
3
3
d p
*
g
(
p
',
t
)
g
(
p
, t )e
3
3
∫
( 2π )
( 2π )
d p'
i ( E ( p ') − E ( p ) )t
ℏ
i ( E ( p ' ) − E ( p ) )t
ℏ
(−iℏ∇ ) ∫ dxe
p
3
(−iℏ∇ p ) ( 2π ) δ ( p − p ') .
Ricordando la derivata della delta,
d3 p
*
) g ( p, t )
x =∫
g
(
p
,
t
)
(
−
)(
−
i
ℏ
∇
p
3
( 2π )
ˆ
⇒ x = iℏ∇ p
i ( p − p '). x
ℏ
Rappresentazione x:
ˆ ˆ
x=x
ˆ
p = −iℏ∇ x
Rappresentazione p:
ˆ p=p
ˆ
x = iℏ∇ p
51
Medie Quantistiche
Ogni osservabile ha un operatore corrrispondente. Se conosciamo la funzione d’onda possiamo
calcolare un valore medio come se si trattasse di un problema statistico.
Aˆ = ∫ d xψ ( x ) Aˆ ψ ( x )
3
Energia cinetica
Momento angolare
*
2
pˆ
ˆ
T=
2m
ˆ ˆ
ˆ
L=r∧ p
Ma attenzione all’ordine dei fattori !
classicamente e’ vero anche
L = − p ∧ r , ma qui
NO !
52
Commutatori
d
dx
infatti:
pˆ = −iℏ
xˆ e pˆ non commutano, cioe' non si possono scambiare:
f ( x ) funzione di prova, derivabile
d
d
ˆ ( x ) = − iℏ
ˆ ˆ ( x ) = − i ℏx
pf
f ( x)
xpf
f ( x)
dx
dx
d
d
( xf ( x)) = − xiℏ f ( x) − iℏf ( x)
dx
dx
ˆ ˆ − xp
ˆˆ = [ pˆ , xˆ ]− [ pˆ , xˆ ]− f ( x) = −iℏf ( x) ⇒
px
[ pˆ , xˆ ]− = −iℏ
ˆ ˆ ( x) = −iℏ
invece, pxf
d 
 dx , x = 1
−
[ pˆ , xˆ ]− = −iℏ dicesi
commutatore fondamentale
Proprieta’ generali dei commutatori
[ A, B ]_ = AB − BA = − [ B, A]_
[ A, A]_ = 0
[ A, B + C ]_ = A( B + C ) − ( B + C ) A = [ A, B ]_ + [ A, C ]_
[ A + B, C ]_ = [ A, C ]_ + [ B, C ]_
espedienti di calcolo
[ AB, C ]_ = ABC − CAB per definizione, ma aggiungendo e togliendo ACB
[ AB, C ] = ABC − ACB + ACB − CAB = A[ B, C ]_ + [ A, C ]_ B.
Analogamente,
[ A, BC ]_ = ABC − BCA = ABC − BAC + BAC − BCA = B [ A, C ]_ + [ A, B ]_ C
Parentesi di Poisson classiche: lo stesso con […,…]{…,…}
[ AB, C ] =
A[ B, C ] + [ A, C ]B
Esempio:con
A = x, B = x, C = p
⇒ [ x 2 , p ] = x[ x, p ] + [ x, p ]x
= 2iℏx
e iterando il procedimento ⇒ [ x n , p ] = iℏnx n −1
ci si arriva anche direttamente : x n pφ ( x ) − px nφ ( x ) = iℏnx n −1φ ( x )
54
54
Spazio vettoriale di funzioni
Le funzioni d’onda sono vettori di uno spazio vettoriale, come le
funzioni L2 nella teoria delle trasformate di Fourier.
3
d p
ψ ( x, t ) = ∫
g ( p) e
3
( 2π )
g ( p ) = ampiezza dell'onda e
=∑
i ( p . x − E ( p )t )
pacchetto d’onde
ℏ
i ( p . x − E ( p )t )
ℏ
nel pacchetto ψ ( x , t )
pacchetto ψ ( x , t ) =
⌢
autofunzione di p autofunzione di
p
== ∑ autofunzione di
⌢
p g ( p),
⌢
p pacchetto ψ ( x , t ) =
dove
p
iq . x
−
ℏ
⌢
p pacchetto ψ ( x , t )
ampiezza che una misura di impulso sul pacchetto dia q.
g (q ) = ∫ d 3 x e
ψ ( x , t = 0 ) = autofunzione di
55
Notazione di Dirac
dove Bra = η ,
* 3
η λ = ∫ d xη ( x ) λ ( x )
Bra-Ket
Ket = λ
prodotto scalare
Significato fisico dell’ortogonalita’
η ( x) λ ( x) = ∫
* d xη ( x ) λ ( x ) = 0 ⇔ stati ortogonali:
3
se il sistema e' in λ nessuna misura lo trovera' in η
Set ortonormale
Normalizzazione:
∫
∞
−∞
2
dx ψ ( x , t ) = 1
significa ψ ψ = 1.
Un insieme {ψ i } di vettori ortogonali e normalizzati
ψ i ψ j = δ ij
si chiama set ortonormale.
Valori medi o valori di aspettazione: per esempio prendiamo l’operatore x
ψ ( x)
x =∫
∞
−∞
dx x | ψ ( x ) |2 = ψ x ψ
x2 = ∫
∞
−∞
xn = ψ xn ψ = ∫
∞
−∞
dx x n | ψ ( x ) |2
dx x 2 | ψ ( x ) |2
purche' converga.
∞
In tal modo data una funzione f(x)= ∑ f n x n si puo' definire
n =0
f ( x) = ∫
∞
−∞
dx f ( x) |ψ ( x ) |2
57
ψ ( x)
Non e’ detto che sia il valore piu’ probabile, e’ solo la media dei valori: se testa=1 e
croce=0 in media si ha ½ che pero’ non esce mai! Parlare di valori di aspettazione e’
improprio.
La media di una costante C viene
f ( x) = ∫
∞
−∞
dx C | ψ ( x ) | =C ∫
2
∞
−∞
dx | ψ ( x ) |2 =C
⇒ x− x =0
Ma non solo la media e’ interessante; e’ importante anche sapere quanto i dati sono
sparpagliati.
58
x− x =0
ψ ( x)
σ = media di ( x − x
2
σ
)
2
=
(x − x )
2
.
si chiama deviazione standard, come in statistica.
Ovvero scarto quadratico dalla media
2
σ =
(x − x )
2
2
=∫
∞
−∞
dx ψ ( x )
= x −2 x x + x
2
2
(x
2
− 2x x + x
σ 2 = x2 − x
E’ una stima della larghezza della
distribuzione statistica
2
)
2
59