Raccolta di esercizi sugli integrali curvilinei

MATERIALE DIDATTICO AGGIUNTIVO - ANALISI MATEMATICA II
1
ESERCIZI DA ESAME SUGLI INTEGRALI CURVILINEI
1): Calcolare la lunghezza della curva rappresentata da
Z2
q
:= 21 0 sin 2 + sin2
0
2): Calcolare la lunghezza dell'arco di curva (cicloide) rappresentata da
8
>< := ( ; sin )
2 0 2 ]
>: := (1 ; cos )
ove e una costante 0.
3): Calcolare la lunghezza dell'arco di curva (spirale di Archimede) rappresentato da
=
0
ove e una costante 0.
4): Calcolare la lunghezza dell'arco di curva (elica circolare) rappresentato da
8>
< :=
:= sin
2 0 2 ]
>: :=
ove e sono costanti positive.
5): Calcolare
Z p2 2
e +
x
y
t
t dt
x
r '
'
y
r
'
'
r
:
>
k
k
>
x
r
x
rcos'
y
r
z
k
'
'
k
x
y
;
ds
ove ; e la frontiera del settore circolare di vertice l'origine (0 0), di ampiezza 4,
situato nel 10 quadrante e avente uno degli estremi dell'arco corrispondente nel punto
(1 0).
6): Calcolare l'area della supercie laterale del cilindroide avente generatrici parallele
all'asse , direttrice la frontiera del dominio := ; 2 2] 0 1] del piano ,
delimitato inferiormente dal piano e superiormente dalla supercie := sin2 + .
7): Calcolare l'area della supercie laterale del cilindroide avente generatrici parallele
all'asse , direttrice la frontiera del dominio := f( ) 2 IR2) : 2 + 2
4 0g, delimitato inferiormente dal piano e superiormente dalla supercie := 1+ 2 .
8): Che relazione c'e, per ogni
0, tra la lunghezza dell'arco di curva (catenaria)
rappresentato da ( ) := cosh , 2 0 ], l'area del rettangoloide relativo a j0 ] e
il volume del cilindro f(
) 2 IR3 : 0
0
cosh 0
1g?
=
z
D
= =
xy
xy
z
z
D
x y
x
x
y
y leq= y
xy
y
z
x
a >
f x
x
x y z
x
a
f
x
a
y
x
z
a
2
9): Calcolare
Z
2
x y dy
;;
ove ; e l'ellisse
10): Calcolare
x
2
9
+
y
2
4
= 1 percorsa in senso antiorario.
Z
;
sin( )
xy
dx
ove ; e la frontiera del quadrato di vertici (0 0), (1 0), (1 1), (0 1) percorsa in senso
orario.
11): Calcolare
Z
2
(
+ 8 + ; 1)
;
x
x
y
ds
ove ; e la frontiera del dominio := f( ) 2 IR2 : 0
10
; 2 + 1g.
12): Data la cardioide ;, rappresentata e orientata da := 2 (cos + 1), 2 0 2 ]
( 0), determinare, per ogni ( ) 2 ;, il versore tangente a ; in ( ) ed il
versore normale interna a ; in ( ).
13): Data la forma dierenziale lineare
D
x y
x
r >
x y
ni
~
r
x y
y
x
y
x
dx
x
dy
y
D
x
y
a
ZZ
dx dy
1+
D
p
x
ove := f( ) 2 IR2 : 0
1 2
g.
15): Si studi l'esattezza della forma dierenziale lineare
D
~
) := 2; 2 + 2 2
+
+
se ne calcoli l'integrale curvilineo esteso alla curva +Fr( ), ove
j j 2 + 1 j j 2 + 1g.
14): Applicando la 2 formula di Green nel piano, si calcoli
(
x
x
x y
! x y
y
y
x y
x
x
y
x
) := 2;+ 2 + 2 + 2
e si determini, eventualmente, una sua primitiva.
16): Si studi l'esattezza della forma dierenziale lineare
( ) := 2++2 2 ; 22 +; 2
(
! x y
! x y
y
x
x
x
y
y
y
dx
dx
x
x
y
x
x
y
y
dy
dy
D
:= f(
x y
) 2 IR2 :
MATERIALE DIDATTICO AGGIUNTIVO - ANALISI MATEMATICA II
e si determini, eventualmente, una sua primitiva.
17): Si studi l'esattezza della forma dierenziale lineare
2
2
( ) := ( 2 +; 2)2 + ( 22+ 2)2
e si determini, eventualmente, una sua primitiva.
18): Si studi l'esattezza della forma dierenziale lineare
( ) := ( 2 + 2)2 + ( 2 + 2)2
x
! x y
y
x
y
x
! x y
x
xy
dx
x
y
dx
y
y
x
y
e si determini, eventualmente, una sua primitiva.
19): Si studi l'esattezza della forma dierenziale lineare
( ) := 2 + 2 + 2 + 2
x
! x y
x
dx
y
y
x
y
3
dy
dy
dy
e si determini, eventualmente, una sua primitiva.
20): Si studi l'esattezza della forma dierenziale lineare
( ) := p 2 + 3 2 + p 23+ 3 2
e si determini, eventualmente, una sua primitiva.
21): Dopo avere vericato
che il dominio piano compreso tra la circonferenza
2
2
2
2
+ = 1 e l'ellisse 4 + = 1 e regolare, se ne calcoli l'area, utilizzando il teorema
di Green nel piano.
22): Calcolare, per mezzo delle formule di Green, l'area del dominio piano regolare
delimitato dalla curva chiusa ; di equazioni parametriche
8>
< := sin cos2
2 0 2]
>: := sin2 cos
x
! x y
x
y
dx
y
x
y
dy
D
x
x
y
y
D
x
t
t
t
y
t
=
t
23): Calcolare, per mezzo delle formule di Green, l'area del dominio piano delimitato dalla parabola = 2 e dalla retta normale alla parabola nel punto di ascissa
1.
24): Calcolare
Z
2 ;
+2
;
2+ 2
+Fr( ) 2 + 2
ove := f( ) 2 IR2 : 1 2 + 2 2g.
D
y
x
x
D
D
x y
x
x
y
y
y
dx
x
x
y
y
dy