dispensa di matematica

ALGEBRA
monomi, binomi, polinomi
NOZIONI DI BASE
In greco, νόμος = usanza, consuetudine, legge. Deriva dal verbo νέμω che significa distribuire.
Le operazioni algebriche di base valgono tra i termini che hanno la stessa “legge”, forse in questo
consiste la difficoltà di approccio alla matematica: con il tempo, si impara a distinguere.
A rendere diversi tra loro dei termini, con leggi proprie, sono essenzialmente due fattori:
1) il tipo di incognita: non posso confondere a con b: sono leggi diverse
2) il grado dell’incognita: incluse le radici: non posso confondere a con a3
Pertanto se in una espressione ( o equazione se richiede l’uguaglianza allo zero) compaiono termini
omogenei, posso tra loro sommarli (o sottrarli); se i termini non seguono la stessa legge, posso al
massimo mettere in evidenza una parte, ma solo se questo è comodo.
Con la moltiplicazione e divisione di solito non ci sono mai grossi problemi, quindi si dovrà
prestare attenzione specialmente alle parti in somma. Per questo serve molto esercizio.
Monomi:
Finchè dei termini appaiono moltiplicati tra loro, sebbene il grado ed il tipo di incognita siano
diversi tra loro, tale espressione è costituita di un monomio:
2 a3x y2
è un monomio, di 6° grado ( 0 + 3 + 1 + 2)
se un’espressione contiene monomi simili, essi possono essere sommati, o ricevere elevazione a
potenza con certe regole:
2ab + ab – ab2 = ab ( 3 – b )
;
2ab . ab2 = 2a2b3
Binomi:
Si parla di un binomio quando la somma presenta due leggi diverse tra loro:
3a + 2b
è un binomio
In algebra è assai comodo disporre di alcune nozioni sui binomi, soprattutto per la caratteristica di
essere semplificati in blocco, e dare adito a prodotti notevoli:
( a + b ) 2 = ( a + b ) ( a + b ) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
( a - b ) 2 = ( a - b ) ( a - b ) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2
( a + b ) ( a - b ) = a2 + ab - ab - b2 = a2 - b2
( a + b ) 3 = (a2 + 2ab + b2) ( a + b ) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( a - b ) 3 = (a2 - 2ab + b2) ( a - b ) = a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
L’uso di queste relazioni fisse è assai comodo per tutto lo sviluppo futuro della materia.
Polinomi:
Infine, molti monomi diversi tra loro in una sola espressione determinano un polinomio, il quale
può anche avere una sola incognita a diversi gradi di elevazione a potenza:
x2 + 3y – z
P(x) = x4 – 2x3 + x2 + x + 5
ma anche
Espressioni di questo tipo descrivono sempre una curva, che a volte è una legge tecnica:
σ = N ω
A
+
M’
φ W + υ ( 1 – N / Ne)
(stabilità del montante di un ponteggio)
Ordinare il polinomio:
È buona norma, ordinare il polinomio per grado, mettendo per primo il monomio di esponente più
alto, decrescendo fino al termine noto, che viene moltiplicato per x° ovvero per 1.
Consideriamo ad esempio il seguente polinomio:
P(x) = 2x + 3x2 + 9 + 2x3 + x4
va ordinato:
P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x1 +9(x°)
SOLUZIONI DEI POLINOMI
In generale:
Sarebbe maggiormente chiaro se già si conoscesse un minimo di geometria analitica: abbiamo visto
che un’espressione è composta di vari monomi e finora sembrava che i termini fossero astratti e
privi di significato. Ma i polinomi, riferiti al sistema inventato da Nicola d’Oresme nel 1300 e
perfezionato da Cartesio nel 1600 noto come sistema cartesiano, descrivono una curva: il luogo
geometrico dei punti che appartengono a quella legge.
Finchè sono incognite astratte non è così chiaro il loro senso, ma laddove appartenessero ad una
legge ben definita ( nella formula della tensione nel montante del ponteggio, ogni simbolo ha un
valore ben preciso: σ è la tensione, ω la snellezza, φ coefficiente di adattamento plastico, N ed M
sono sforzo normale e momento.. ) potrebbe essere utile ottenere un valore preciso risultante dal
valore immesso di ogni incognita.
Fondamentale, vedremo, è il valore per cui la curva si annulla, ovvero lo zero (0).
Tale valore è detto soluzione o anche radice: geometricamente indica il passaggio della curva per
uno degli assi ( x – y ), ma algebricamente indica per quali valori il polinomio si annulla.
Troveremo tre casi principali da cui è possibile risolvere tutti gli altri:
-
soluzioni di primo grado: una soluzione
soluzioni di secondo grado: fino a due soluzioni
soluzioni di terzo grado: fino a tre soluzioni, useremo Ruffini.
Soluzioni di primo grado
Dette anche lineari, poiché il loro grafico è una retta. Vediamo un esempio: voglio sapere quando
un monomio si annulla: tramuto l’espressione in un’equazione, nello specifico, uguale a zero:
P(x) = 3x – 6
→
3x – 6 = 0
da cui
x=2
In effetti, laddove x valesse 2, il polinomio andrebbe ad annullarsi:
P(x) = 3 . 2 – 6
→
P(x) = 6 – 6 = 0
Questo concetto nella sua semplicità è la base di ogni futuro ragionamento.
Soluzione di secondo grado
In geometria analitica le curve di secondo grado sono parabole, e così tutte le curve di grado pari.
Una parabola può anche non toccare mai l’asse delle x: è una curva con due rami entrambi
infinitamente positivi o infinitamente negativi, quindi se il vertice è rispettivamente sopra o sotto
l’asse non troveremo mai soluzioni.
Come fare a determinarlo? Le soluzioni di secondo grado presentano una formula con la radice
quadrata; osservando il radicando, che chiameremo col simbolo greco ∆ otterremo la risposta.
Osserviamo queste tre parabole, e ricordiamo l’importanza del discriminante ∆:
Se il ∆ > 0
La parabola presenta
due soluzioni reali e distinte
Se il ∆ = 0
La parabola presenta
una sola intersezione con
l’asse delle x, ovvero due
soluzioni reali e coincidenti
Se il ∆ < 0
La parabola non presenta
intersezioni con l’asse delle
x, e le soluzioni diventano
numeri complessi
Procediamo passo per passo: dobbiamo ordinare il polinomio come segue; i coefficienti a b c
generalizzano le cifre che potrebbe presentare l’espressione specifica:
P(x) = a x2 + b x + c = 0
Per risolverla operiamo il seguente trucco, noto dai tempi dei persiani: si moltiplica tutto per “4a”, e
si aggiunge da ambo le parti “+b2” , ottenendo:
4 a2 x2 + 4 a b x + b 2 + 4 a c = + b 2
Ricordando la regola del quadrato del binomio, tale per cui ( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2
possiamo scrivere la parte sottolineata come:
( 2 a x + b ) 2 = b2 – 4 a c
Ora posso estrarre la radice e finalmente la “x” non è di secondo grado:
2a x + b = ± √ b2 – 4 a c
da cui
2a x = – b ± √ b2 – 4 a c
ed in definitiva, con un ultimo passaggio, otteniamo la formula generale per risolvere le equazioni
di secondo grado:
Nota: b2 – 4 a c viene chiamato ∆ (delta), il discriminante.
Soluzione di terzo grado: il metodo di Ruffini
Un polinomio di terzo grado, o superiore, può essere visto come il risultato del prodotto di più
monomi semplici, di primo grado. Se riusciamo a riportare l’espressione di terzo grado al secondo
grado, potremmo risolverla con la formula generale. Vediamo un esempio:
x3 + 2x2 – x – 2
↔
( x + 1 ) ( x2 + x – 2 )
↔
(x+1)(x+2)(x–1)
In definitiva, se ogni monomio di primo grado fosse nullo, uguale a zero, avremmo i valori per cui
si annulla anche il polinomio ( fate la prova ):
x–1=0 →
x+1=0 →
x+2=0 →
x1 = 1
x2 = – 1
x3 = – 2
Un metodo veloce per individuare almeno una soluzione, riducendo il terzo grado al secondo grado
è quello di Ruffini. Anche qui è da tener conto dei coefficienti del polinomio, ordinato:
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0
In una griglia come in figura si immettono i coefficienti, lasciando fuori il termine noto:
a
b
c
d
N°prova
Si parte abbassando il primo termine ed inserendo un numero di prova, per noi z ; si procede
inserendo sotto a “b” il prodotto di a . z , successivamente, sotto la riga, si riporta il risultato della
somma b + az. Tale valore si riporta sotto a “c”, si ripete la somma, fino ad arrivare alla colonna del
termine noto “d”.
a
↓
a
z
b
c
a.z …
b+a.z …
d
….
=0
Se quest’ultimo valore si annulla in somma il termine noto d, allora z è una soluzione.
Il polinomio di terzo grado si riduce ad un binomio ( x – z ) che moltiplica un secondo grado.
I coefficienti della restante parte in secondo grado sono quelli scritti sotto la riga, sotto a, b, c.
Ad esempio, per il polinomio precedente:
x3 + 2x2 – x – 2
-1
1
↓
1
2
–1
1
–1
–1
–2
–2
+2
=0
Quindi il valore x = – 1 è una soluzione, in binomio diventa ( x + 1 ) = 0, ed i tre coefficienti del
polinomio di secondo grado sono scritti sotto la riga. Posso scrivere:
( x + 1 ) ( x2 + x – 2 )
Quando si prova con Ruffini, usare dei numeri semplici: lo 0, + 1 , + 2 …
RACCOGLIMENTO DI TERMINI
NOZIONI BASE
Quando si formula una legge in fisica o in economia, si legano tra loro in un’espressione algebrica
diversi termini che rappresentano i diversi fenomeni studiati. Inizialmente la legge appare assai
scomoda da utilizzare, quindi si cerca di snellirla il più possibile. Nei calcoli può succedere che una
stessa quantità risulti presente in più termini: la prima operazione da compiere in tal caso è di
raccoglierla a fattor comune, ossia evidenziarlo tramite le parentesi, isolando il termine che va a
moltiplicare i restanti, chiusi tra parentesi. Quando si usano tali parentesi, va ricordato come la
prima utilizzabile è la tonda ( .. ) , ma qualora sia già presente la tonda si utilizzano le quadre […]
mentre, in definitiva, necessitando di una terza segnaletica di separazione si usano le graffe {…} .
La sequenza corretta è { [ ( ) ] } :
ad esempio:
3.{ a + b.[ c (1 + a ) + 3 ] + (a + 5) }
In termini logici, nessuno direbbe: “oggi io vado al cinema ed oggi lei va al cinema.”
È corretto dire, invece: “ io e lei andiamo al cinema, oggi.”
A volte può succedere che sia utile semplificare, altre volte è meglio ribaltare il metodo ed
utilizzare la regola in senso inverso, complicando apparentemente i calcoli ma in visione di una
maggiore e più efficace semplificazione.
Ovviamente chi è portato a compiere passaggi logici anche se astratti è avvantaggiato, ma nemmeno
il più bravo può arrivare a capire quando è il caso di semplificare o invece di complicare il calcolo
senza una gran quantità di esercizio: le regole sono poche e semplici, le applicazioni, molteplici.
Mettere in evidenza: il fattore comune
Dalla nomenclatura appresa alle elementari forse, distinguiamo i termini in addizione, in
sottrazione, in divisione ed in prodotto come addendi, sottraendi, dividendi e fattori: il fattore è una
quantità che ne moltiplica delle altre. In algebra ed in programmazione, il segno delle parentesi è
più che sufficiente per segnalare l’interruzione.
Il metodo pratico consiste nell’isolare la parte residua tra parentesi e tenere fuori la quantità del
fattor comune che si intende moltiplicare ognuno dei termini tra parentesi singolarmente.
2A – 4B →
2 ( A–2B)
Come si nota, il 2 era presente in ambo i termini, ma se si osserva il monomio 4B, esso è costituito
da 2.2.B, pertanto solo una parte di tale prodotto sarà fattor comune.
Con i termini numerici si deve ricordare che il numero messo in evidenza è virtualmente diviso ai
termini, e non sottratto. Nei formati delle incognite alfabetiche pertanto, si andrà a ridurre
l’esponente, sempre ricordando che ogni simbolo alfabetico dei monomi rappresenta una legge a se:
2 a3 x2 y(m) + 4 b a2 x y(n)
→
2 a2 x y(m) [ a x + 2 b y( n – m ) ]
Tale metodo è applicabile anche per invertire i segni di un’espressione : difatti se la cifra messa in
evidenza contiene anche il segno “ – “ si intende moltiplicare ogni segno nelle parentesi,
invertendo il + in – e viceversa.
Non necessariamente deve esserci anche una cifra: mettere il “meno” in evidenza significa di per se
mettere – 1 in evidenza, omettendo l’unità poiché sottintesa:
– x3 + 2 x2 – 3x + 5
→
– ( x3 – 2 x2 + 3x – 5 )
Raccoglimento parziale
A volte sembra non essere chiaro quale cifra mettere in evidenza, specie nei polinomi complessi.
Il trucco sussiste nell’immaginare il polinomio come la somma di due polinomi, spezzandolo:
P(x) = x3 + 2 x2 + 3x + 6
P(x) = P’(x) + P”(x)
= ( x3 + 2 x2 ) + ( 3x + 6 )
In ognuno è possibile ora evidenziare una parte:
P(x) = x2 ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 )
In tale forma si nota che il binomio ( x + 2 ) è comune ad entrambi i membri in somma: quindi si
può raccogliere nel seguente modo:
P(x) = ( x2 + 3 ) ( x + 2 )
Ora ogni binomio è riportato come un prodotto, ed il polinomio rientra nella forma di un monomio.
Raccoglimento misto
È l’unione del fattor comune e del raccoglimento parziale: se in un polinomio appare una cifra
ridondante è inutile portarla appresso, e si comincia con il metterla in evidenza.
P(x) = ax3 + 2 a x2 +3a x + 6 a
P(x) = a ( x3 + 2 x2 + 3x + 6 )
La parte dentro parentesi può essere ulteriormente semplificata con il raccoglimento parziale, ma
potrebbe anche costituire un prodotto notevole. Per effetto della presenza del prodotto, le parentesi
quadre all’ultimo passaggio possono essere trascurate.
P(x) = P’(x) + P”(x)
= a [ ( x3 + 2 x2 ) + ( 3x + 6 ) ] = a [ x2 ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 ) ]
P(x) = a ( x2 + 3 ) ( x + 2 )
Applicazioni:
In un’equazione fratta sarà possibile semplificare interi binomi con semplicità:
x2 + 4 x + 4
=
x + 2 x2 – 4x – 8
3
( x + 2 )2
x (x+2 )–4(x+2)
2
=
( x + 2 )2
=
(x –4)(x+2)
2
x+2
x2 – 4
a sua volta il denominatore è un prodotto notevole: somma per differenza:
x+2 =
x+2
2
x –4
(x+2) (x–2)
=
1__
x–2
Abituarsi a determinati passaggi è utile sia a sviluppare la logica, sia a prepararsi alle future
applicazioni nelle quali intere funzioni potranno elidersi e semplificarsi in blocco.