Presentazione standard di PowerPoint

Analisi Numerica
e Integrazione Numerica
IIS «B. CASTELLI» - BRESCIA
B È G A B R I E L E – H A R PA L S I N G H
Analisi numerica
L'analisi numerica (detta anche calcolo
numerico o calcolo scientifico) è una branca
della matematica applicata che risolve i modelli
prodotti dall'analisi matematica, riducendoli alle
scomposizioni finite normalmente praticabili
tramite l’utilizzo di calcolatori, coinvolgendo il
concetto di approssimazione. I suoi strumenti
sono detti algoritmi.
Modello matematico
PER ESEGUIRE LO STUDIO DI UN FENOMENO NATURALE, SI PROCEDE
GENERALMENTE SECONDO I SEGUENTI PUNTI:
•Una prima fase di modellizzazione del
fenomeno in esame, tramite la quale si associa
al problema reale un modello matematico che
ne approssimi l’evoluzione;
•Analisi qualitativa del modello matematico;
•Individuazione di metodi e algoritmi di
risoluzione del modello in esame ed analisi
dell’efficienza degli stessi;
•Implementazione dei metodi di risoluzione
precedentemente trovati.
Campi di studio
dell’analisi numerica
•Analisi dell’errore;
•Determinazione degli zeri di una funzione
polinomiale;
•Risoluzione di funzioni non lineari;
•Approssimazione di funzioni non lineari con
funzioni lineari;
•Metodi di risoluzione di sistemi lineari;
•Interpolazione ed estrapolazione di funzioni;
•Calcolo numerico di derivate di funzioni
assegnate;
•Integrazione numerica.
Analisi dell’errore
Gli errori che si producono durante la risoluzione sono
principalmente dovuti al fatto che il calcolatore opera su dati
numerici rappresentati per mezzo di una sequenza finita di
cifre, data dalla particolare rappresentazione di dati in
memoria adottata: è detto errore di rappresentazione, e si
presenta quando si inseriscono i dati, quindi ancora prima di
eseguire qualunque operazione.
Determinazione degli zeri
di una funzione
I metodi dell’analisi numerica permettono di
determinare la risoluzione di una funzione,
quindi la determinazione degli zeri della stessa,
in un numero di iterazioni dell’algoritmo tali da
ottenere l’approssimazione richiesta dal
problema in esame: infatti, tutti i metodi
utilizzati, devono convergere alla soluzione
esatta quando il numero di iterazioni tendere ad
infinito: in tali situazioni, l’algoritmo di dice
convergente.
Approssimazione di funzioni
Un problema che frequentemente si
presenta in matematica applicata è
quello dell'approssimazione di funzioni,
che consiste nel determinare una
funzione g(x), appartenente ad una
classe prescelta di funzioni, che meglio
approssima una funzione data f(x).
Interpolazione ed estrapolazione
di funzioni
I metodi di interpolazione stimano il
valore di una funzione incognita dato il
valore della funzione stessa in alcuni
punti.
L'estrapolazione,
a
differenza
dall'interpolazione, stima la funzione in
punti esterni ai punti per cui la funzione è
nota.
Calcolo numerico
di derivate
Il calcolo della derivata puntuale di una
funzione può essere approssimato dal
suo rapporto incrementale, scegliendo
un opportuno valore del passo di
incremento, tale da avere un errore
minore di quello voluto e avere un
tempo di risoluzione, quindi un numero
di calcoli, adeguato al problema in
esame.
Integrazione numerica
L’integrazione numerica si applica solo
ad integrali definiti e permette sempre
di giungere ad una soluzione, seppur
approssimata, del problema; tali
risoluzioni si prestano bene ad essere
rappresentate come algoritmi, e quindi
ad essere eseguite mediante calcolatori.
Metodi dell’integrazione numerica
oMetodo dei rettangoli;
oMetodo dei trapezi o di Bézout;
oMetodo delle parabole o di Cavalieri – Simpson;
Se la dimensione del dominio di integrazione diventa elevata, questi metodi
diventano proibitivamente costosi in termini di calcolo computazione, quindi di
tempi di esecuzione dell’algoritmo al calcolatore. In questa situazione si può usare
un metodo Monte Carlo.
Metodi dell’integrazione numerica
Per tutti i metodi di integrazione descritti nel seguito si considerano valide le seguenti ipotesi:
Funzione f(x) continua nell’intervallo di integrazione [a; b];
f(x) positivo in [a; b], anche se valgono le stesse condizioni nel caso la funzione fosse negativa.
Si procede dividendo l’intervallo di integrazione [a; b] in n parti di uguale ampiezza, data da:
𝑏−𝑎
ℎ=
𝑛
Dove b-a è l’ampiezza dell’intervallo h e n il numero di divisioni dello stesso.
Si determinano quindi n+1 punti di ascisse di coordinate:
𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 = 𝑎 + ℎ, 𝑥2 = 𝑎 + 2ℎ, … 𝑥𝑛 = 𝑎 + 𝑛 ℎ
Metodo dei rettangoli
Alle ascisse precedentemente calcolate, si fanno corrispondere i
seguenti valori della funzione:
𝑦0 = 𝑓(𝑎), 𝑦1 = 𝑓(𝑥1 ), 𝑦2 = 𝑓(𝑥2 ), … 𝑦𝑛−1 = 𝑓 𝑥𝑛−1 , 𝑦𝑛 =
𝑓(𝑏)
𝑆𝑛′
𝑏−𝑎
𝑏−𝑎
=
𝑓 𝑎 + 𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑛−1 =
𝑛
𝑛
𝑆𝑛′ =
𝑏−𝑎
𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑛−1 + 𝑓 𝑏
𝑛
=
𝑏−𝑎
𝑛
𝑛−1
𝑓 𝑥𝑖
𝑖=0
𝑛
𝑓 𝑥𝑖
𝑖=1
Si può dimostrare che, se la funzione ammette derivata prima continua, l’errore connesso alla determinazione
dell’integrale è minore od uguale alla quantità: 𝜀𝑛 =
𝑏−𝑎 2
2𝑛
𝑀 Dove M è pari a: 𝑀 = max 𝑓 ′ 𝑥 .
𝑎≤𝑥≤𝑏
Metodo dei trapezi
o di Bézout
𝑏
𝑎
𝑓 𝑎 + 𝑦1
𝑦1 + 𝑦2
𝑦𝑛−1 + 𝑓 𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≅ ℎ
+ℎ
+ ⋯+ ℎ
2
2
2
=
𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏)
=
+ 𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑛−1
𝑛
2
Se la funzione ammette derivata seconda continua, si dimostra
che l’errore connesso al metodo numerico in esame, è minore od
uguale alla quantità: 𝜀𝑛 =
𝑏−𝑎 3
12𝑛2
𝑀
Dove M è pari a: 𝑀 = max 𝑓 ′′ 𝑥
𝑎≤𝑥≤𝑏
Metodo delle parabole
o di Cavalieri – Simpson
Si può dimostrare (teorema) che, l’area S di un trapezoide
avente come base l’intervallo 𝑥0 ; 𝑥2 e delimitato dal
grafico di una parabola passante per i punti
𝑥0 ; 𝑦0 , 𝑥1 ; 𝑦1 , 𝑥2 ; 𝑦2 dove
𝑥0 + 𝑥2
𝑥1 =
2
È il punto medio dell’intervallo, è data dalla seguente
formula:
ℎ
𝑆=
𝑦 + 4𝑦1 + 𝑦2
3 0
Dove
ℎ = 𝑥1 − 𝑥0 = 𝑥2 − 𝑥1
Metodo delle parabole
ℎ
ℎ
[𝑓(𝑎) + 4𝑦1 + 𝑦2 ],
𝑦2 + 4𝑦3 + 𝑦4 , … ,
3
3
ℎ
[𝑦
+ 4𝑦2𝑛−1 + 𝑓(𝑏)]
3 2𝑛−2
La somma delle precedenti aree permette di ottenere la forma generale di Cavalieri – Simpson:
𝑏
𝑎
ℎ
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≅
𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 2 𝑦2 + 𝑦4 + ⋯ + 𝑦2𝑛−2 + 4 (𝑦1 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦2𝑛−1 )
3
Se la funzione ammette derivata quarta continua, si dimostra che l’errore connesso è minore od
uguale alla quantità data da 𝜀𝑛 =
𝑏−𝑎 5
2880𝑛4
𝑀, dove M rappresenta il massimo del valore assoluto della
derivata quarta della funzione nell’intervallo [a; b]; In simboli si ha: 𝑀 = max 𝑓 𝐼𝑉 𝑥
𝑎≤𝑥≤𝑏
Applicazioni calcolo numerico
Un esempio su tutti, considerato come il
classico
successo
dell’analisi
matematica, consiste nell’algoritmo FFT
(trasformata veloce di Fourier) utilizzato
in moltissimi ambiti della tecnica, quali,
soltanto per citarne alcuni, la risonanza
magnetica, il riconoscimento di
immagini di tomografia assiale e la
compressione di immagini, musica e
video, nei più comuni conosciuti dagli
utenti.
Software numerico
SI HANNO ALMENO TRE CATEGORIE DI
SOFTWARE NUMERICO:
Librerie per programmatori (Netlib, IMSL, NAG,
GNU Scientific Library, BLAS, LAPACK, FFTw);
Ambienti interattivi per risolvere problemi della
matematica e delle scienze computazionali
(Mathematica, MATLAB, Maple, Scilab, GNU
Octave, IDL) detti Problem Solving Enviroments
(PSE);
Applicazioni per risolvere problemi di
particolari aree applicative, ad esempio per
l'ingegneria (software CAE).