Moto armonico semplice
Il moto armonico semplice è quel moto caratterizzato dall’avere l’accelerazione esprimibile come
il prodotto cambiato di segno tra una costante positiva e il vettore spostamento.
a kx
Questo tipo di moto è molto frequente infatti è generato da un pendolo che oscilli secondo piccole
oscillazioni, dal movimento di una molla a cui è attaccato un corpo con massa molto superiore ad
essa, etc…
L’insieme delle equazioni di moto che lo caratterizzano derivano da quelle del moto circolare
uniforme relative, però, al diametro della traiettoria (quindi all’asse delle ascisse se si prende come
sistema di riferimento quello avente l’origine sul centro della circonferenza delineata dal corpo in
movimento).
Equazione dello spazio in funzione del tempo_
x R cos t
Equazione della velocità in funzione del tempo_
vx v0 sin t R sin t
Equazione dell’accelerazione in funzione del tempo_
v2
a cos t 2 R cos t 2 x
R
Dove nel moto armonico R prende il significato di ampiezza che in genere viene identificata con la
lettera A.
Il moto armonico ha un’altra importante proprietà: il periodo e, quindi, la frequenza sono
indipendenti dall’ampiezza.
Infatti aumentando l’ampiezza verrà aumentata, per un dato tempo t, solamente l’accelerazione e di
conseguenza la velocità.
Un esempio di moto armonico semplice:le molle
Una molla è un oggetto che si realizza avvolgendo a spirale un filo metallico, questa, come è
comune osservare, ha la particolarità di allungarsi e accorciarsi se gli viene applicata una certa
forza.
L’allungamento della molla è direttamente proporzionale alla forza applicata e inversamente
proporzionale ad una costante chiamata costante elastica o di rigidità. Quindi maggiore sarà la
costante di rigidità e minore sarà lo spostamento che si verifica, viceversa minore sarà la costante e
maggiore risulterà tale spostamento.
F kx
Si noti che il segno negativo serve solo a precisare che la forza di richiamo della molla è di verso
opposto all’allungamento.
Quando ad una molla viene agganciata una massa essa si allunga fino alla quantità x e poi tende ad
accorciarsi fino alla quantità –x. Il punto a metà tra x e –x rappresenta il punto di equilibrio del
sistema; ovvero in questo caso esso corrisponde alla lunghezza originaria della molla.
Il moto che il corpo percorre mentre la molla si allunga e accorcia è armonico semplice infatti
l’accelerazione è pari al prodotto cambiato di segno tra una costante
positiva e lo spostamento.
ma F kx
F
k
a x
m
m
vx v0 sin t R sin t
Inoltre mettendo a sistema quest’ultima equazione con quella generica del moto armonico abbiamo
che:
a k
x m
a
2
m
k
m
Esercizi dimostrativi sulle molle
Una massa m è attaccata ad una molla verticale di costante elastica k.
1) Calcolare l’allungamento della molla
2) Calcolare lo spostamento, la velocità e l’accelerazione in funzione del tempo se esso viene
spostato (verso il basso) di una quantità x1 dal suo punto di equilibrio.
3) Rappresentare le equazioni in tre grafici.
1. Per calcolare l’allungamento della molla basta applicare la seguente
equazione:
F kx
F
x
k
2. Per calcolare le tre richieste basta utilizzare le tre equazioni di moto adattate al caso della molla
dove R non è altro che x1.
Quindi:
x(t ) x1 cos
v x (t ) x1
a(t )
k
t
m
k
sin
m
k
x1 cos
m
k
t
m
k
t
m
3. Innanzitutto occorre dire che le curve dei tre grafici saranno la prima e la terza due cosinusoidi
mentre la seconda una sinusoide.
Per disegnarle correttamente è necessario individuare i massimi, i minimi e i nodi delle curve:
per le cosinusoidi i massimi e i minimi si riscontreranno per ωt=zπ (dove z è un numero intero e
positivo compreso lo 0) scegliendo ovviamente come massimi quelli positivi e come minimi
quelli negativi; i nodi invece si riscontreranno per ωt=(z+1) π/2.
Per le sinusoidi, invece, i massimi e i minimi si riscontreranno per ωt=(z+1) π/2 mentre i nodi
per ωt=zπ.
In genere tali grafici vengono disegnati uno sotto l’altro in modo da evidenziare che tra una
cosinusoide e una sinusoide c’è la seguente corrispondenza: nello stesso istante un minimo
dell’una corrisponde ad un massimo nell’altra e viceversa.
Un corpo di massa m è attaccato a due molle disposte in linea retta (attaccate da parti diverse).
Entrambe le molle sono allungate rispetto alle loro posizioni di equilibrio. Le costanti elastiche
delle molle sono k1 e k2.
1) Trovare il rapporto tra gli allungamenti delle molle considerando che il sistema è in equilibrio.
2) Dimostrare che se il corpo viene spostato di un piccolo tratto x della posizione di equilibrio, la
forza risultante applicata ad esso è pari a quella che gli sarebbe applicata se fosse attaccato a una
sola molla di costante elastica k=k1+k2.
1. Per prima cosa occorre disegnare il diagramma delle forze agenti sul corpo di massa m:
N
F1
F2
P
Come secondo passo bisogna considerare che se il corpo è in equilibrio vuol dire che la sommatoria
delle forze a lui applicate è nulla. Quindi possiamo sintetizzare il tutto con il seguente sistema:
N P mg
F1 k1 x1
F2 k 2 x2
N P mg
quindi
F1 F2
k1 x1 k 2 x2
da cui
F1 F2
x1 k 2
x 2 k1
2. In questo caso le due forze generate dalle molle non si equilibrano e quindi la sommatoria di
esse non sarà nulla ed il verso della forza risultante sarà opposto a quello dello spostamento x.
Il modulo delle forze delle due molle quando il corpo è nel suo stato di quiete è:
F1 k1 x1
F2 k 2 x2
e
però considerando che il corpo viene spostato di un tratto x in un verso (in questo caso verso destra)
abbiamo che gli allungamenti delle molle variano e più precisamente quello della molla 1 aumenta
di x mentre quello della molla 2 diminuisce di x.
Quindi possiamo scrivere la due forze esercitate dalle molle in questo modo:
Fr1 k1 ( x1 x)
e
Fr 2 k 2 ( x2 x)
Infine per trovare il modulo della forza risultante non resta che sottrarre i moduli di Fr1 e Fr2.
Fr1 Fr 2 k1 ( x1 x) k2 ( x2 x) k1 x1 k1 x k2 x2 k2 x
Ma essendo k1x1 e k2x2 congruenti, come è stato dimostrato nel punto 1, abbiamo:
Fr1 Fr 2 k1 x k2 x (k1 k2 ) x
Si dimostri che:
1) La somma degli allungamenti di due molle con constante elastica k1 e k2 di disposte in serie a
cui è attaccata una massa m è pari a quello che si otterrebbe con una sola molla, la cui costante
di rigidità k soddisfa l’uguaglianza k-1=k1-1 +k2-1, a cui sarebbe attaccata la medesima massa m.
2) La somma degli allungamenti di due molle con la stessa lunghezza disposte in parallelo aventi
costanti elastiche k1 e k2 attaccate ad una massa m è pari all’allungamento di una unica molla
con costante elastica k=k1+k2 attaccata alla medesima massa m.
1. Indicati con x1 e x2 rispettivamente gli allungamenti della molla 1 e della molla 2(legata
direttamente alla massa), si proceda con il disegno del diagramma delle forze agenti su
entrambe le molle considerando trascurabile la massa di entrambe.
Molla 2
Molla 1
Nella molla 2
Nella molla 1
agiscono due
Tm1 forze: la forza
P
Tm1 Tm2 P
agiscono due
Tm2 forze: la forza
perso della
massa e la
tensione della
molla stessa
P
peso, che si
trasmette anche
a questa, e la
tensione della
molla stessa
Possiamo ora scrivere il sistema che ci permetterà di dimostrare la prima richiesta:
mg k1 x1
x1
mg
k1
mg k 2 x2
x2
mg
k2
mg k ( x1 x2 )
mg mg
mg k
k 2
k1
da cui
1 1
1
k k1 k 2
2. Analogamente come è stato fatto prima, si indichi con x1 e x2 gli allungamenti rispettivamente
della molla 1 e della molla 2.
Poi bisogna fare una considerazione: x1 e x2 risultano congruenti quindi possiamo scrivere il
seguente sistema.
x1 x2 x
x1 x2 x
mg k1 x1 k 2 x2
mg (k1 k 2 ) x
mg k ( x1 x2 )
mg kx
da cui
k k1 k 2
Un altro esempio di moto armonico: il pendolo semplice
Un pendolo semplice è costituito da una massa, in genere metallica e di forma sferica, legata ad una
fune inestensibile di massa trascurabile rispetto alla prima; la fune deve essere legata a sua volta ad
un supporto, in genere un treppiedi.
Nel caso in cui le uniche forze ad agire sulla massa fossero quella gravitazionale e la tensione della
fune, che bilancia la prima, si dice che il pendolo è in equilibrio e la sfera permane nel suo stato di
quiete.
Nel momento in cui spostiamo la massa di una certa ampiezza e successivamente la lasciamo
andare, essa si muoverà verso il basso fino a raggiungere il punto di equilibrio e successivamente
per inerzia salirà finché non avrà percorso un’ampiezza pari a quella iniziale (ovviamente dalla
parte opposta); raggiunta questa riscenderà fino al punto di equilibrio e poi fino al punto di partenza
del moto e da qui ripercorrerà la stessa traiettoria (se il pendolo si trovasse completamente in
assenza di attrito questo moto continuerebbe ad avvenire all’infinito).
Si chiama oscillazione del pendolo il movimento che parte dal punto di inizio e che finisce con
esso; il tempo in cui la sfera compie questo tragitto prende il nome di periodo (T).
Possiamo definire il moto di un pendolo semplice come un moto armonico, ma questa definizione è
corretta soltanto per piccole oscillazioni, più precisamente tutte quelle in cui l’angolo in radianti
compreso tra la fune spostata di una certa ampiezza e la semiretta che passa per il punto di
equilibrio è pressoché uguale al seno dell’angolo stesso.
Per determinare l’equazione del periodo del pendolo occorre analizzare il moto, quindi innanzitutto
bisogna disegnare il diagramma delle forze.
Diagramma delle
forze agenti sulla
sfera
Sulla sfera agiscono due
T g cos forze: la forza peso e la
tensione della fune. E’
possibile dividere la prima
nelle sue due componenti
come è illustrato in figura.
Risulta che la componente
lungo la fune è bilanciata
dalla tensione di questa; di
conseguenza la forza
risultante è solamente
l’altra componente del peso
T
mg sin
mg cos
mg
Per piccoli angoli possiamo affermare che l’arco di
circonferenza percorso dalla sfera è pressoché
congruente alla corda che lo sottende. Quindi possiamo
immaginare che la traiettoria del moto sia quest’ultimo,
di conseguenza il moto del pendolo risulterebbe
armonico e ciò ci permette di scrivere il e seguente
sistema:
a g sin
2
2
a
x
l sin
T
T
2
da cui
2
l sin g sin
T
2
e quindi
T 2
l
g
2
