Induttori e induttanza

Fine
Induttori e induttanza
Un induttore o induttanza è un dispositivo elettronico che
immagazzina energia sottoforma di campo magnetico così
come il condensatore immagazzina energia sotto forma di
campo elettrico.
Il flusso concatenato con l’induttore è direttamente
proporzionale alla corrente che lo attraversa e la costante di
proporzionalità L è detta induttanza
r
Φ B = Li
()
Il simbolo circuitale è
L’induttanza si misura in Henry
m2
1 henry = 1 T ⋅
A
Andrea Zucchini
Liceo Scientifico E. Fermi
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Calcolo dell’Induttanza di un
induttore
Considero un’induttanza di lunghezza l e densità di spire n.
Il flusso concatenato sarà
()
(
r
r r
Φ B = (nl ) B ⋅ A
)
Essendo il campo magnetico interno
B = µ 0in
Si avrà
()
r
Φ B = (nl )(µ 0inA) = µ 0in 2lA = µ 0 n 2lA i
1
424
3
(
)
L
L = µ 0 n 2lA
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Calcolo dell’Induttanza di un
solenoide
Per un solenoide si definisce l’induttanza per unità di lunghezza e
quindi
L
= µ0 n 2 A
l
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Autoinduzione
• Quando in un induttore varia la corrente i
che lo attraversa, questa variazione genera
una f.e.m. indotta che si oppone alla
variazione stessa
()
r
di
dΦ B
= −L
VL = −
dt
dt
Questa f.e.m. è detta forza elettromotrice autoindotta
A-la corrente aumenta e la f.e.m. autoindotta si
contrappone all’aumento
B-la corrente diminuisce e la f.e.m. autoindotta
sostiene la corrente in diminuzione
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Effetto selettivo dell’induttore su
segnali alternati
r
di
dΦ (B )
= −L
V =−
L
dt
dt
La f.e.m. autoindotta è proporzionale alla derivata della corrente e
quindi alla velocità di variazione della corrente.
Segnali alternati ad alta frequenza fanno più “fatica” ad attraversare
l’induttore rispetto a segnali a bassa frequenza.
L’energia immagazzinata nell’induttore è espressa dall’equazione
1 2
E = Li
2
Andrea Zucchini
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Effetto selettivo delle capacità su
segnali alternati
dVC
i (t ) = C
dt
t
1
VC (t ) = ∫ idt
C0
La f.e.m. dipende dall’integrale della corrente.
Segnali alternati ad alta frequenza fanno meno “fatica” ad
attraversare la capacità rispetto a segnali ad alta frequenza.
L’energia immagazzinata nella capacità è espressa dall’equazione
1
1 2
2
E = CV =
Q
2
2C
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Correnti alternate
Quando un generatore di f.e.m. produce in un circuito una
d.d.p. variabile nel tempo
V = V0 sin (ωt )
la corrente creata non sarà costante ma varabile anch’essa
nel tempo; parleremo allora correnti alternate.
I = I 0 sin (ωt − φ )
Analizziamo i vari casi di circuiti ad una maglia
contenenti un solo elemento circuitale oltre al generatore.
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Circuito resistivo
In un circuito resistivo, applicando la legge di Kirchhoff ,
vR = VR sin (ωt ) = Ri
avremo da cui
v R VR
iR =
=
sin (ωt )
R
R
la corrente nel circuito è quindi con la stessa fase del generatore.
i = I R sin (ωt − φ )
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Circuito capacitivo
In un circuito capacitivo, applicando la legge di
Kirchhoff, avremo
vC = VC sin (ωt )
e dovremo considerare anche la relazione
q
vC =
C
da cui risulta
q = CVC sin (ωt )
che derivata ci fornisce la corrente del circuito
iC = ωCVC cos(ωt )
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Circuito capacitivo
Confrontando questa relazione con quella
precedentemente trovata per i circuiti resistivi, ovvero
ispirandosi alla legge di Ohm, avremo
VC
iC = ωCVC cos(ωt ) =
cos(ωt )
XC
avendo posto
1
XC =
ωC
Arriva dopo al
massimo la d.d.p.
la corrente nel circuito è quindi sfasata rispetto a
π
quella erogata dal generatore, in particolare anticipa di
2
e la quantità X C , equivalente nel circuito alla
resistenza, è detta reattanza capacitiva.
π⎞
⎛
cos(α ) = sin ⎜ α + ⎟
2⎠
⎝
VC
π⎞
⎛
iC =
sin ⎜ ωt + ⎟
XC
2⎠
⎝
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Circuito capacitivo
Segnali a differente frequenza incontrano quindi
una differente reattanza capacitiva ovvero
subiscono una differente attenuazione
10
8
6
1
XC =
ωC
4
2
0.5
1
1.5
2
La reattanza capacitiva cala al crescere della frequenza e
quindi i segnali di frequenza superiore potranno “passare” sul
condensatore generando una caduta di potenziale inferiore
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Circuito induttivo
In un circuito induttivo, applicando la legge di
Kirchhoff, avremo
vL = VL sin (ωt )
e dovremo considerare anche la relazione che vL = L di
fornisce la tensione ai capi di una induttanza percorsa dt
da corrente variabile nel tempo.
Risulta quindi
di
L = VL sin (ωt )
dt
che integrata ci fornisce la corrente del circuito
VL
∫ di = ∫ L sin (ωt )dt
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Circuito induttivo
Si avrà
iL = −
VL
cos(ωt )
ωL
Confrontando questa relazione con quelle
precedentemente trovate per i circuiti resistivi e
capacitivi, ovvero ispirandosi alla legge di Ohm, avremo
iL = −
Arriva dopo al
massimo la
corrente
π⎞
V
V
VL
⎛
cos(ωt ) = − L cos(ωt ) = L sin ⎜ ωt − ⎟
ωL
XL
XL
2⎠
⎝
avendo posto
X L = ωL
e
π⎞
⎛
− cos(α ) = sin ⎜ α − ⎟
2⎠
⎝
la corrente nel circuito è quindi sfasata rispetto a quella
erogata dal generatore, in particolare ritarda di π e la
2
quantità X L , equivalente nel circuito alla resistenza, è
detta reattanza induttiva.
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Circuito RL
Per un circuito RL in carica avrò
di
Ri = V0 − L
dt
di
Ri + L = V0
dt
Per un circuito RL in scarica avrò
di
Ri = − L
dt
di
Ri + L = 0
dt
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Circuito RL
I circuiti RL vengono risolti con le stesse procedure
utilizzate per i circuiti RC.
Per un circuito RL in scarica avrò
di
Ri + L = 0
dt
⎛i⎞
R
⎜
⎟
ln⎜ ⎟ = − t
L
⎝ i0 ⎠
i
di
R
∫i i = − L ∫0 dt
0
di
R
= − dt
i
L
V0
i (t ) = e
R
i0
di
VL = − L = L e
τL
dt
−
t
τL
t
−
t
L
τL =
R
τL
Ri0
=L
e
L
−
t
τL
= Ri0 e
−
t
τL
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Circuito RL
Per la carica avrò un risultato simile al
circuito RC
di
Ri + L = V0
dt
L
τL =
R
t
−
⎛
τL
⎜
i (t ) = i0 1 − e
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
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Corrente nel circuito
Carica
Scarica
t
−
⎛
V0 ⎜
i (t ) =
1− e τL
R ⎜⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
1
2
3
4
5
6
V0
i (t ) = e
R
−
1
4
2
3
t
τL
5
6
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Numeri complessi
x2 +1 = 0
L’equazione non ha soluzioni nel campo reale
anche se formalmente non pare difficile
ipotizzare che esistano e siano
x1, 2 = ± − 1
Infatti
(±
)
2
−1 +1 = 0
Definisco l’unità immaginaria
i = −1
i 2 = −1
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Numeri complessi
Rappresentazione algebrica
z = x + iy
Rappresentazione cartesiana
z = r (cos θ + sin θ )
r = x2 + y2
y
θ = arctg
x
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Impedenza
Consideriamo un circuito alimentato da una
V = V0 sin (ωt + φ )
f.e.m. alternata
Esiste una grandezza “vettoriale” che tiene
conto della dipendenza dagli elementi
circuitali e dalla frequenza dei segnali
r
1 ⎞
⎛
Z = R + i ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
2
r
1 ⎞
⎛
2
Z = R + ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
L’impedenza è un numero complesso
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Circuito RLC-Formalismo complesso
Per risolvere il circuito RLC tenendo conto degli sfasamenti dovuti ai
differenti elementi circuitali si ricorre al formalismo complesso
r
r iωt
r
r iω t
di 1
Ri + L + ∫ idt = V (t )
i (t ) = i0 e
V (t ) = V0 e
dt C
2
d i
di i dV
L 2 +R + =
dt
dt C dt
r
r
r
r i
2
− ω L i + i ωR i + = i ωV
C
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Circuito RLC-Formalismo complesso
Dividendo per iω
r
r
r
r i
2
− ω L i + i ωR i + = i ωV
C
avrò
r⎡
1 ⎞⎤ r
⎛
i ⎢ R + i⎜ ωL −
⎟⎥ = V
C ⎠⎦
⎝424ω4
⎣144
4
3
r
Z
Che scriveremo infine come una nuova
forma della legge di OHM generalizzata
rr r
iZ =V
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Induttivo
X L > XC
Capacitivo
X L < XC
Resistivo
X L = XC
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Frequenza di risonanza
1
ωL −
=0
ωC
ω=
X L = XC
1
LC
Il circuito RLC presenta un comportamento
resistivo: tensione e corrente sono in fase
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Circuito LC
Il circuito LC è costituito da una maglia contenente un
condensatore e un induttore.
Per risolvere quantitativamente il circuito si deve considerare
la conservazione dell’energia:
1 2 1 2
E = Li +
Q
2
2C
Da cui si ha, derivando
di 1 dQ
Li + Q
=0
dt C dt
d 2Q ⎛ 1 ⎞
+⎜
⎟Q = 0
2
dt
⎝ LC ⎠
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Circuito LC
Posto
1
ω =
LC
La soluzione sarà della forma
2
Q = Q0 sin (ωt + φ )
E per la corrente avrò
dQ
i=
= Q0ω cos (ωt + φ )
dt
L’energia oscilla tra condensatore e induttore modificando il
suo immagazzinamento ma non la sua quantità
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Circuito
LC
Circuito
LC
Circuito
LC
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