Esercizi 31 ottobre 2007

Metodi Quantitativi per l’analisi dello sviluppo
Esercizio 1
L’altezza di una popolazione si distribuisce come una normale di media cm 170 e varianza 100.
Calcolare:
a) La probabilità che l’ altezza sia compresa tra 155 e 180 cm
b) La probabilità che l’altezza sia superiore a 200 cm
c) La probabilità che l’altezza non superi 160 cm
d) Qual è l’altezza superata dal 40% della popolazione
 155  170 X  170 180  170 



10
10
10


a) P(155<X<180) = 
P(-1,5<Z<1)= 0,3413+0,4332=0,7745
b) P(X>200)= P(Z 
c) P(X≤160)=
P( Z 
200  170
)  P(Z>3)=0,5-P(Z<3)=0,5-0,4987=0,0013
10
160  170
)  P(Z≤-1)=
10
0,5-P(Z≤1)=0,5-0,3413=0,1587
d) P(X<x)=0,6
Utilizzo le tavole della normale standardizzata che riportano i valori da 0 a z:
P (0  Z 
x  170
)  0,6-0,5=0,1
10
x  170
 0,26
10
x-170=2,6
x=172,6
Esercizio 2
Un’indagine di una compagnia telefonica ha stabilito che la durata (in secondi) delle chiamate dei
propri utenti è distribuita come una Normale con media 280 secondi e deviazione standard di 80
secondi.
a) Qual è la probabilità che una telefonata non duri più di un minuto?
b) Qual è la probabilità che duri di più di 280 secondi?
c) Qual è la probabilità che la durata sia tra 240 e 320 secondi?
d) Sapendo che il 15% delle telefonate sono più brevi di una certa chiamata x, quanto dura la
telefonata in questione?
Soluzione
X~N(280;6400)
 X  280 60  280 

a) P(X≤60)=P 
 =P(Z≤-2,75)=0,5-P(Z≤2,75)=0,5-0,497=0,003
8
80 

b) P(X>280)=0,5 perché la v.c. Normale è simmetrica rispetto al valore medio (in questo caso 280)
 240  280 X  280 320  280 


c)P(240≤X≤320)= P 
 =P(-0,5≤Z≤0,5)=2*P(0≤Z≤0,5)=
80
80
80


=2*0,1915=0,383
d) P(X<x)=0,15
Sfrutto la simmetria della funzione e tenendo conto delle tavole utilizzate:
P (0  Z 
x  280
)  0, 5  0,15  0, 35
80
x  280
 1, 04
80
Il valore cercato però è a sinistra dello zero, quindi considero il segno negativo
x  280
 1,04
80
x  280  83,2
x  196,8
Esercizio 3
In un Paese la probabilità per un bambino appena nato di raggiungere i 35 anni è 0,72. Si
considerino 3 bambini appena nati, calcolare la probabilità che fra 35 anni siano in vita:
a) tutti e tre;
b) almeno 2;
c) solo uno;
d) almeno uno.
Si utilizza una binomiale di parametri n=3 e p=0,72

A) P(X=3) = 33 *0,723*0,280=0,373

B) P(X>=2)= P(X=2)+P(X=3)= 32 *0,722*0,281+0,373=0,808

C) P(X=1)= 13 *0,72*0,282=0,169
D) P(X>=1) =0,169+0,808=0,977