Metodi Quantitativi per l’analisi dello sviluppo
Esercizio 1
L’altezza di una popolazione si distribuisce come una normale di media cm 170 e varianza 100.
Calcolare:
a) La probabilità che l’ altezza sia compresa tra 155 e 180 cm
b) La probabilità che l’altezza sia superiore a 200 cm
c) La probabilità che l’altezza non superi 160 cm
d) Qual è l’altezza superata dal 40% della popolazione
155 170 X 170 180 170
10
10
10
a) P(155<X<180) =
P(-1,5<Z<1)= 0,3413+0,4332=0,7745
b) P(X>200)= P(Z
c) P(X≤160)=
P( Z
200 170
) P(Z>3)=0,5-P(Z<3)=0,5-0,4987=0,0013
10
160 170
) P(Z≤-1)=
10
0,5-P(Z≤1)=0,5-0,3413=0,1587
d) P(X<x)=0,6
Utilizzo le tavole della normale standardizzata che riportano i valori da 0 a z:
P (0 Z
x 170
) 0,6-0,5=0,1
10
x 170
0,26
10
x-170=2,6
x=172,6
Esercizio 2
Un’indagine di una compagnia telefonica ha stabilito che la durata (in secondi) delle chiamate dei
propri utenti è distribuita come una Normale con media 280 secondi e deviazione standard di 80
secondi.
a) Qual è la probabilità che una telefonata non duri più di un minuto?
b) Qual è la probabilità che duri di più di 280 secondi?
c) Qual è la probabilità che la durata sia tra 240 e 320 secondi?
d) Sapendo che il 15% delle telefonate sono più brevi di una certa chiamata x, quanto dura la
telefonata in questione?
Soluzione
X~N(280;6400)
X 280 60 280
a) P(X≤60)=P
=P(Z≤-2,75)=0,5-P(Z≤2,75)=0,5-0,497=0,003
8
80
b) P(X>280)=0,5 perché la v.c. Normale è simmetrica rispetto al valore medio (in questo caso 280)
240 280 X 280 320 280
c)P(240≤X≤320)= P
=P(-0,5≤Z≤0,5)=2*P(0≤Z≤0,5)=
80
80
80
=2*0,1915=0,383
d) P(X<x)=0,15
Sfrutto la simmetria della funzione e tenendo conto delle tavole utilizzate:
P (0 Z
x 280
) 0, 5 0,15 0, 35
80
x 280
1, 04
80
Il valore cercato però è a sinistra dello zero, quindi considero il segno negativo
x 280
1,04
80
x 280 83,2
x 196,8
Esercizio 3
In un Paese la probabilità per un bambino appena nato di raggiungere i 35 anni è 0,72. Si
considerino 3 bambini appena nati, calcolare la probabilità che fra 35 anni siano in vita:
a) tutti e tre;
b) almeno 2;
c) solo uno;
d) almeno uno.
Si utilizza una binomiale di parametri n=3 e p=0,72
A) P(X=3) = 33 *0,723*0,280=0,373
B) P(X>=2)= P(X=2)+P(X=3)= 32 *0,722*0,281+0,373=0,808
C) P(X=1)= 13 *0,72*0,282=0,169
D) P(X>=1) =0,169+0,808=0,977
