La carica elettrica

La carica elettrica
1820 H.C. Oersted connessione tra elettricità e magnetismo
M. Farday sperimentale puro, non scrive formule
1850 J.C. Maxwell formalizza le idee di Faraday
I greci avevano osservato che l’ambra (elektron) aveva delle
caratteristiche particolari se strofinata con una pelliccia, il
vetro presentava le stesse caratteristiche se strofinato con seta
Vetro +
F.Soramel
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Plastica -
1
Interazione elettrica ha un duplice aspetto (+ e -) a differenza di quella
gravitazionale
Due corpi che possiedono lo stesso tipo di elettrizzazione ( + o -)
si respingono, mentre si attraggono se possiedono tipi di
elettrizzazione diversi (uno + e l’altro -)
Interazione gravitazionale molto meno intensa di quella elettrica
vediamo l’interazione gravitazionale solo perché quella elettrica,
avendo una duplice natura, di solito dà origine a corpi neutri
I materiali possono esser suddivisi in
conduttori (rame)
isolanti (plastica)
Nei conduttori le cariche (elettroni di conduzione)
sono libere di muoversi
Carica indotta
semiconduttori (ad es. Si e Ge)
superconduttori (non presentano resistenza)
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2
La carica elettrica è responsabile della forza elettrica, così come la massa
lo è della forza gravitazionale
F
q1
-F
Misuro F esercitata su q1 e -F esercitata su q2
q2
Se un sistema è isolato la sua carica totale rimane costante:
principio di conservazione della carica elettrica (B. Franklin)
Elettrostatica: studio dell’interazione tra due cariche elettriche a riposo
(o al più in moto con v molto piccola) in un sistema inerziale
Legge di Coulomb (1785)
L’interazione elettrostatica tra due particelle cariche è proporzionale alle
loro cariche ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza
tra di esse; la direzione della forza è quella della linea congiungente le
cariche stesse
r
qq r
F =k
F.Soramel
1 2
2
r
ur
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3
La costante k prende il nome di costante elettrostatica e il suo valore
dipende dalle unità di misura utilizzate
Utilizzando una bilancia di torsione posso
misurare F. Non conosco il valore della carica
allora fisso k in modo arbitrario
k = 10 −7 c 2 = 8.9874 ⋅109 ≅ 9 ⋅109 c = velocità della luce
θ
F
+
+
F
In questo modo la carica di 1 C è definita come la
carica che, posta ad 1 m da una carica uguale nel
vuoto, viene respinta con una forza di 8.9874·109 N
[k ] = Nm 2C −2 o kgm3C −2
Per praticità si pone
k=
1
con
4πε 0
107
= 8.854 ⋅10 −12 N −1m − 2C − 2
ε 0 = permeattività del vuoto =
2
4πc
F.Soramel
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4
r q1q2 1 r
F=
u
2 r
4πε 0 r
q1 e q2 vanno inserite con il loro segno
F<0 forze attrattive e q di segno opposto
F>0 forze repulsive e q dello stesso segno
F12=-F21 q1 e q2 esercitano una sull’altra una forza
di modulo uguale e verso opposto, F12 e
F21 sono una coppia di azione e reazione
Unità di misura della carica elettrica deriva
da quella della corrente (Ampere): 1C è la
quantità di carica che passa in un secondo
attraverso una qualsiasi sezione di un filo
percorso da una corrente di 1 A
dq = idt
La forza elettrostatica F è additiva (principio
di sovrapposizione):
r r
r
r
r
F1 = F12 + F13 + F14 + ... + F1n
F.Soramel
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5
Esempio
x
y
A
q1
q1 =1.5·10-3 C
q2 =-0.5·10-3 C
q3 =0.2·10-3 C
q2 B F
3
F32
q3 C
F31
AC = 1.2 m = r1
BC = 0.5 m = r2
F3 = ?
−3
−3
r
q2 q3
9 − 0.5 ⋅10 ⋅ 0.2 ⋅10
F32 = k 2 = 9 ⋅10
= −3.6 ⋅103 N
2
r2
0.5
r
r
F32 = −3.6 ⋅103 j N
−3
−3
r
q1q3
9 1.5 ⋅10 ⋅ 0.2 ⋅10
F31 = k 2 = 9 ⋅10
= 1.875 ⋅103 N
2
r1
1.2
r
r
F31 = 1.875 ⋅103 i N
F3 = F312 + F322 = 4.06 ⋅103 N
tgθ =
F.Soramel
F32
3.6
=−
= −1.92 ⇒ θ = −62.5°
F31
1.875
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6
Il campo elettrico
Ogni regione dello spazio in cui una carica elettrica sia soggetta ad una
forza elettrostatica è detta campo elettrico (dovuto alle cariche presenti)
q0 carica di prova
q1, q2, ..., qn cariche che generano il campo
q0 risente del campo generato dalle n cariche (vale anche per le n
cariche, ma non è un fatto rilevante per il discorso che stiamo facendo)
F1 ∝ q0 , F2 ∝ q0 , F3 ∝ q0 ,..., Fn ∝ q0 ⇒ FTot ∝ q0
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7
Per valutare se siamo in presenza di un campo elettrico in una certa zona
dello spazio, la esploriamo con una carica piccola detta carica di prova
o carica esploratrice e misuriamo la forza che agisce su di essa
r
r F
r
r
? = oppure F = q0 E
q0
r r
E F se q0 > 0
|E| : intensità del campo elettrico è la forza che agisce sulla carica
unitaria posta in quel punto
[E ] = N ⋅ C −1 oppure kg ⋅ m ⋅ s −2 ⋅ C −1
Il campo elettrico è un campo vettoriale
Il campo elettrico non dipende dalla carica di prova
L’effetto del campo elettrico su cariche di segno opposto è di spostarle
verso zone diverse ⇒polarizzazione
Il campo elettrico gode della proprietà di sovrapposizione
n r
r r r
r
r
1 n qi r
E = E1 + E2 + E3 + ... + En = ∑ Ei =
u
∑
2 ri
4πε 0 i =1 ri
i =1
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8
F.Soramel
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9
Linee di forza
• In ogni punto le linee di forza sono
tangenti alla direzione del campo elettrico
in quel punto
• Si determinano usando una carica di
prova positiva
• Escono dalle cariche + ed entrano in
quelle –
• Sono tracciate in modo che il numero
di linee che attraversano una superficie
unitaria ⊥ ad esse è ∝ all’intensità del
campo elettrico E
linee si addensano ⇒ E è grande
linee si diradano ⇒ E è piccolo
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10
Dipolo elettrico
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11
Vettori campo elettrico nello spazio attorno ad una carica
puntiforme positiva
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12
Lamina non conduttrice infinita
Distribuzione uniforme di cariche +
da un lato
Forza netta ⊥ al piano uscente dal piano
Piano infinito e distribuzione di carica
uniforme ⇒vettori campo elettrico hanno
tutti la stessa intensità
Campo elettrico uniforme
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Sia q0 la carica esploratrice, a distanza r da q (che genera il campo
elettrico) si ha
r
F=
1 qq0 r
ur
2
4πε 0 r
r
r
F = q0 E
r
1 qq0 r
u r = q0 E
2
4πε 0 r
r
1 q r
E=
u ∀ punto dello spazio
2 r
4πε 0 r
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Esempio
x
y
q2 B E(C)
E2(C)
E1(C)
q3 C
A
q1
F3 = 4.06 ⋅106 N
F
E3 = 3 = 2.03 ⋅107 N ⋅ C −1
q3
q1 =1.5·10-3 C
q2 =-0.5·10-3 C
q3 =0.2·10-3 C
AC = 1.2 m = r1
BC = 0.5 m = r2
E(C) = ?
E3 è il campo in cui si trova q3 che
qui equivale alla carica di prova
oppure
E1 (C ) =
q1
= 9.37 ⋅106 N ⋅ C -1
2
4πε 0 r1
q2
E2 (C ) =
= −18 ⋅106 N ⋅ C -1
2
4πε 0 r2
E1 ed E2 sono i campi generati
da q1 e q2 in C
E (C ) = E12 (C ) + E22 (C ) = 2.03 ⋅106 N ⋅ C -1 = E3
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15
L’esperienza di Millikan (1910 – 1913)
quantizzazione della carica
• Il campo elettrico può essere applicato e tolto
• Le gocce di olio si caricano per strofinio
Analisi teorica
Gocce di massa m e raggio r
In assenza di campo le gocce scendono in
caduta libera secondo l’equazione
ma = mg − 6πηrv
In cui il secondo termine rappresenta l’attrito
viscoso
Quando a = 0, la velocità diviene costante (velocità limite) v1* (verso il
basso) (si trascura la spinta di Archimede)
mg
2 ρr 2 g
v =
=
6πηr
9η
*
1
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4
m 3m
V = πr 3 ρ = =
3
V 4πr 3
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Applico il campo elettrico E (verso l’alto) e la goccia ha carica q > 0
ma = − mg + qE − 6πηrv
La goccia sale e la sua velocità limite v2* vale
v2* =
qE − mg
6πηr
Combinando i valori delle due velocità limite si ottiene il valore della
carica q
(
6πηr v1* + v2*
q=
E
)
Misuro v1* ⇒ r
Misuro v2* ⇒ q
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17
Analisi sperimentale
Sperimentalmente si trova che v1* è costante per tutte le gocce, mentre
v2* dipende dalla carica delle gocce (le particelle possono cambiare
carica a causa dell’interazione con le particelle dell’aria ionizzate dai
raggi cosmici). Se c’è un cambio di carica ∆q, si registrerà un cambio di
velocità ∆v2*
6πηr *
∆q =
∆v2
∆q può essere > o < 0
E
Ripetendo l’esperimento per più gocce si verifica che ∆q = ne
e = 1.6021⋅10 −19 C
carica elementare
Si ottiene così che la carica è quantizzata e che ogni carica è associata
ad un oggetto dotato di massa
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18
F.Soramel
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19
Il dipolo elettrico
Vogliamo calcolare il campo in P creato dalle cariche
+q e –q uguali in modulo.
Esso sarà la somma di E+ ed E-, entrambi in direzione z
E = E+ + E− =
=
1 q
1 q
−
=
2
2
4πε 0 r+ 4πε 0 r−
q
d

4πε 0  z − 
2

2
−
q
d

4πε 0  z + 
2

2
−2
−2

d 
d  

1 −  − 1 +  
 2 z  
 2 z 
d
z >> d ⇒
<< 1
2z
q
E=
4πε 0 z 2
Facciamo ora uno sviluppo binomiale
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20
−2
d 
2d

+ ...
1 −  = 1 +
(
)
z
z
2
2
1
!


2
d 
2d

+ ...
1 +  = 1 −
2 z (1!)
 2z 
Otteniamo così
E=
q
4πε 0 z 2
 2d
  2d

1
+
+
...
−
1
−
+
...





2
z
2
z
 


Notiamo che i termini successivi al primo sono potenze successive di
(d/z) << 1 ⇒ possiamo trascurarli
Edipolo =
q 2d
1 qd
1 p
=
=
4πε 0 z 2 z
2πε 0 z 3 2πε 0 z 3
Definiamo momento di dipolo la seguente quantità
r
r
orientato dalla carica – a quella +
p = qd
In generale il campo elettrico del dipolo varia come 1/r3, dove r è la
distanza dal centro del dipolo. Il campo del dipolo è più debole di quello
di una singola carica. Per punti sull’asse del dipolo E e p sono paralleli
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21
Dipolo in un campo elettrico esterno
Molecola di acqua in un campo elettrico
uniforme esterno E. La molecola di acqua
è un dipolo perché le sue cariche +q e
-q sono posizionate rigidamente
Quello che avviene è che i vettori E e p
non sono paralleli, ma formano un angolo θ
Dal punto di vista dinamico abbiamo che
su q e su –q agisce la forza elettrica dovuta
al campo E
r
r
r
r
F = qE e F+ q = − F− q
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Globalmente abbiamo
r
Fris = 0
r
τ ris ≠ 0
⇓
⇓
CM resta fermo
il dipolo ruota attorno al CM
r
r
r
r d r r d
τ1 = × F τ 2 = × − F
2
2
d
d
τ 1 + τ 2 = τ ris = − F sin θ − F sin θ = −dF sin θ
2
2
τ ris = −qEd sin θ = − pE sin θ
( )
r
r r
τ ris = p × E
Il dipolo risente di un momento torcente che tende ad allinearlo ad E
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23
Energia potenziale di un dipolo elettrico
L’energia potenziale del dipolo risulta minima quando p¦ E
Arbitrariamente scegliamo U = 0 per θ = 90o
L = − ∆U
L = ∫ τdθ
θ
θ
90°
90°
∆U = U (θ ) − U (90°) = − L = − ∫ τdθ = ∫ pE sin θdθ
∆U = − pE cosθ
r r
U = −p⋅E
U minima
U massima
In generale si ha
a meno della costante arbitraria
p ¦ E (θ = 0)
p ¦ -E (θ = 180o)
U(0) = -pE
U(180o) = pE
Lθ i −θ f = −∆U = U (θ i ) − U (θ f )
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F.Soramel
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25
Calcoliamo il campo elettrico generato da un filo molto lungo e sottile
che porta una carica λ per unità di lunghezza
dq = λds
ds
s
r
dE ( P) =
1 λds
4πε 0 r 2
dEcosθ L’elemento simmetrico a ds
rispetto al punto O crea in P
R
dE un campo dE uguale in
modulo, ma con componente
verticale di verso opposto
Le componenti del campo elettrico parallele al filo si elidono, restano
quindi solo le componenti dEcosθ ⊥ al filo
uR
O
θ
P
π
2
π
−
2
E=∫
λ
dE cos θ =
4πε 0
π
2
π
−
2
∫
ds
cos θ
r2
r = R sec θ s = Rtgθ ⇒ ds = Rsec 2θdθ
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26
Dopo aver fatto le sostituzioni integriamo tra 0 e π/2 e moltiplichiamo
il risultato per 2
2λ
E=
4πε 0
π
2
0
∫
π
λ
R sec 2 θ
2
cos θdθ =
cos θdθ =
2
2
∫
0
2πε 0 R
R sec θ
λ
=
sin θ
2πε 0 R
π
2
0
=
λ
2πε 0 R
In conclusione
r
E=
F.Soramel
λ r
uR
2πε 0 R
r 1
E∝
R
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27
Vediamo ora il campo elettrico generato sull’asse di un
anello di plastica uniformememte carico con densità
di carica λ
dE ( P) =
dq = λds
r 2 = z 2 + R2
1
λds
dE =
4πε 0 R 2 + z 2
(
dE = dE cos θ =
dE =
F.Soramel
1
4πε 0
Le componenti dE⊥ si elidono,
⇒Efinale z e restano solo le
componenti del campo parallele
) all’asse dell’anello
z
dE =
r
λzds
(R
2
1 λds
4πε 0 r 2
+z
)
3
2 2
z
(R
2
+z
)
1
2 2
dE
⇒ integro tra s = 0 e s = 2πR
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28
E = ∫ dE = ∫ dE cos θ =
=
zλ 2πR
(
4πε 0 R + z
2
)
3
2 2
=
zλ
(
4πε 0 R + z
2
)
∫
2π R
3 0
2 2
ds =
qz
(
4πε 0 R + z
2
)
3
2 2
Per z >> R si ottiene
r
qz 1
q
Eanello =
=
ottengo il campo della carica puntiforme q
4πε 0 z 3 4πε 0 z 2
Per z = 0
F.Soramel
r
Eanello = 0
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29
Vediamo il campo elettrico generato sull’asse di un disco
uniformememte carico con densità di carica σ
Consideriamo il disco suddiviso in tanti anelli concentrici
Come quello di raggio r e spessore dr
Il calcolo del campo elettrico procede in due fasi:
1. calcoliamo il campo dell’anello
2. sommiamo su tutti gli anelli
in pratica dobbiamo fare due integrazioni
Conosciamo già il campo dell’anello
dq = σdA = σ 2πrdr
dq
z
dEanello =
4πε 0 r 2 + z 2
(
Edisco = ∫ dEanello =
Σ
F.Soramel
σz
4πε 0
)
32
∫ (z
R
0
2
=
σ 2πrdr
z
4πε 0 r 2 + z 2
+ r2
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(
)
32
) (2r )dr
−3 2
30
Abbiamo a che fare con un integrale del tipo
x m +1
3
2
2
x
dx
con
,
, dx = 2rdr
=
x
=
z
+
r
m
=
−
∫
m +1
2
m
Otteniamo quindi
E disco
E disco
(
)
σz z 2 + r 2
=
4ε 0
−1 2
σ
=
2ε 0
−1 2 R
=
0

z
1 −

z2 + R2

(
)
12
σz
2ε 0
(
)

 per z ≥ 0


Per R ? ∞
Edisco → E piano∞ =
σ
2ε 0
Edisco → E piano∞ =
σ
2ε 0
Per z ? 0
F.Soramel

1
1
 ⇒
 − 2
+
2
z
+
R
z


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31
Legge di Gauss
Sfrutta le simmetrie che spesso riscontriamo in fisica
Equivale alla legge di Coulomb, l’utilizzo dell’una o dell’altra legge
dipende dai casi
Superficie gaussiana: ipotetica superficie chiusa
Mette in relazione le cariche all’interno della superficie chiusa con i
campi elettrici in tutti i punti della superficie stessa
Abbiamo bisogno del concetto di flusso
Corrente d’aria con v uniforme diretta
verso una spira quadrata di area A, Φ è
il flusso volumico (portata volumica) con
cui l’aria fluisce attraverso la spira
r r
Φ = (v cosθ )A = vA cosθ = v ⋅ A
Flusso:quantità del campo intercettata dalla
superficie
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32
In generale, preso un campo vettoriale V e una superficie S, orientata e
suddivisa in superfici infinitesime dSi, abbiamo che, ad ogni dSi
corrisponde un versore uni che orienta la superficie e un angolo θi tra
tale versore e il vettore campo V dS1 , dS 2 , dS3 ,..., dS n
r r r
r
u n1 , un2 , un3 , ......,unn
θ1 , θ 2 , θ 3 , .........,θ n
Per definizione il flusso di V è un integrale di superficie dato da
Φ = V1dS1 cos θ1 + V2 dS 2 cos θ 2 + ... + Vn dS n cos θ n =
r r
r r
r r
= V1 ⋅ u n1 dS1 + V2 ⋅ un2 dS 2 + ... + Vn ⋅ unn dS n ⇒
r r
Φ = ∫ V ⋅ un dS
S
Φ può essere positivo o negativo a seconda del valore di cosθ, se θ = π/2
allora Φ = 0, il vettore campo V è tangente alla superficie S in ogni suo
r r
punto; se S è chiusa
Φ = V ⋅ u dS
∫
n
S
F.Soramel
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33
Se ora il campo vettoriale è proprio il campo elettrico E generato da
una carica q posta al centro di una superficie chiusa sferica S, il suo
flusso attraverso detta superficie vale
(ricordiamo che E e un sono sempre paralleli in una sfera al cui centro
c’è la carica q e che quindi il loro prodotto scalare altro non è che il
prodotto dei moduli, inoltre la superficie S della sfera vale 4πr2)
r r
Φ Er = ∫ E ⋅ un dS = ∫ EdS = E ∫ dS =
S
S
S
q 1
q
2
4πr =
2
4πε 0 r
ε0
Da quanto sopra ricavato si può notare che Φ non dipende dal raggio
della sfera, ma solo dalla carica q in essa racchiusa
F.Soramel
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34
Consideriamo ora una superficie chiusa qualsiasi che racchiude la
carica q
q 1
Φ Er = ∫ E cosθdS = ∫
S
Φ Er =
S
4πε 0 r 2
cosθdS
q
1
cosθ dS
2
∫
4πε 0 S r
Dalla definizione di angolo solido si ha
dΩ =
1
cosθdS
2
r
Pertanto dΩ è l’angolo solido infinitesimo
sotto cui la superficie dS è vista dalla
carica q
L’angolo solido attorno ad un punto vale
4π steradianti, quindi
q
q
q
Φ Er =
d
Ω
=
4
π
=
4πε 0 Ω∫
4πε 0
ε0
F.Soramel
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35
Abbiamo visto che il flusso del campo elettrico E attraverso una
superficie chiusa qualunque vale sempre q/ε0, indipendentemente dalla
forma della superficie e dalla collocazione della carica q all’interno della
superficie stessa
Notiamo inoltre che:
• Se q è esterno alla superficie chiusa ⇒ flusso è nullo
• Se all’interno della superficie ci sono più cariche ⇒ flusso = Σ flussi
Legge di Gauss
Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa
racchiudente le cariche q1, q2, ..., qn è
r r
q
r
Φ E = ∫ E ⋅ un dS =
ε0
S
dove q = q1 + q2 +...+ qn è la carica netta racchiusa all’interno
della superficie S
F.Soramel
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36
Moto di una carica in campo elettrico
y
a
α
P
r
r
r
r q r
F = ma = qE ⇒ a = E
m
x
Il rapporto tra q ed m determina l’accelerazione cui è sottoposta la
particella di carica q e massa m; se il campo elettrico E è uniforme,
l’accelerazione a risulta costante e quindi la traiettoria seguita dalla
particella è una parabola. Supponiamo che la particella entri nella zona
in cui c’è campo elettrico con velocità v0 diretta orizzontalmente
da sx verso dx, sia inoltre v0 - E, indichiamo infine con v la velocità
della particella in uscita dal campo elettrico, con α l’angolo di
deflessione della stessa rispetto all’asse delle x, con d la distanza
dall’asse delle x del punto P in cui la particella colpisce lo schermo e con
a la lunghezza dei piatti deflettenti.
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37
Dalla cinematica sappiamo che
1 q 
x = v0t y =   Et 2 ⇒ y =
2m
1  q  E  2
   x
2  m  v02 
Abbiamo così verificato che la traiettoria è una parabola
dy
⇒ angolo di deflessione α (per x = a)
dx
q E
 dy 
tgα =   =
a
2
 dx  x = a m v0
Se la deviazione dall’orizzontale all’uscita dai piatti deflettenti è piccola,
ovvero se lo schermo è sufficientemente lontano, possiamo scrivere
tgα =
d
qEa d
⇒
≅
2
L
mv0 L
I tubi a raggi catodici e gli oscilloscopi sono basati su queste proprietà
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38
Campo elettrico in un conduttore
In entrambi i casi se il conduttore è isolato e possiede una carica
totale q, detta carica si dispone sulla superficie esterna del conduttore;
se così non fosse infatti ci sarebbe una forza sulle cariche (dovuta al
campo elettrico esistente all’interno del conduttore) e si formerebbero
delle correnti elettriche nel conduttore. Sperimentalmente si trova che
queste correnti non esistono e quindi, in condizioni statiche, il campo
elettrico all’interno di un conduttore carico di forma qualsiasi è nullo
e le cariche si dispongono sulla superficie esterna del conduttore.
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39
Campo elettrico di una distribuzione sferica di cariche
Prendiamo una sfera di raggio a con carica q,
il campo, per questioni di simmetria, deve
essere radiale.
Consideriamo ora una superficie gaussiana di
raggio r concentrica con la prima, abbiamo
r r
Φ = ∫ E ⋅ u n dS = E ∫ dS = E 4πr 2
r
E
S
S
Applichiamo Gauss ed esaminiamo le possibilità al variare di r
r > a la carica q è tutta contenuta nella superficie gaussiana di raggio r
(
)
E 4πr 2 =
F.Soramel
q
q
⇒E=
ε0
4πε 0 r 2
È come se la carica fosse tutta
localizzata nel centro della sfera
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40
r<a
•Se la carica è superficiale ⇒ E = 0
•Se la carica è distribuita uniformemente in tutto il volume della sfera
q’ è la carica contenuta all’interno della superficie gaussiana e vale
q' =
4 3
q
πr = 3 r 3
4 3 3
a
πa
3
q
Quindi
(
)
qr 3
q
E 4πr =
⇒
E
=
r
3
3
ε 0a
4πε 0 a
2
Il campo elettrico dentro ad una sfera isolante uniformemente carica
varia proporzionalmente ad r
F.Soramel
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41
Infine resta da esaminare cosa succede sulla superficie della sfera
r=a
E− =
q a
q 1
venendo dall' interno
=
3
2
4πε 0 a
4πε 0 a
E+ =
q 1
4πε 0 a 2
venendo dall' esterno
I due valori E+ ed E- coincidono quindi il campo E è continuo in r = a
r=0⇒E=0
E
a
F.Soramel
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r
42
Campo elettrico generato da una distribuzione cilindrica di carica
di lunghezza infinita
Consideriamo una distribuzione di carica per unità
di lunghezza λ distribuita uniformemente su un tratto
cilindrico di altezza h e tale che q = λh; sia a il
raggio del cilindro. Il campo elettrico ha direzione
radiale per questioni di simmetria e certamente
dipenderà dalla distanza r dall’asse del cilindro.
Considero una superficie cilindrica coassiale alla
superficie carica e con raggio r, il flusso attraverso
detta superficie vale sempre
Φ Er = Φ Er (B1 ) + Φ Er (B2 ) + Φ Er (sup. lat.) = Φ Er (sup. lat.)
r r
Φ Er (sup. lat.) = ∫ E ⋅ u n dS =E 2πrh
S
Anche in questo caso dobbiamo distinguere vari casi
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43
r > a la carica q è tutta contenuta nella superficie gaussiana di raggio r
2πrhE =
λh
λ 1
⇒E=
2πε 0 r
ε0
Come nel caso del filo infinito con
carica uniforme
r< a
•Se la carica è superficiale ⇒ E = 0
•Se la carica è distribuita uniformemente in tutto il volume del cilindro
q’ è la carica contenuta all’interno della superficie gaussiana e vale
πr 2 h
r2
r2
q ' = q 2 = q 2 = λh 2
πa h
a
a
λhr 2
λ
2πrhE =
E
r
⇒
=
2
2
ε 0a
2πε 0 a
Il campo elettrico dentro ad un cilindro isolante uniformemente carico
varia proporzionalmente ad r (come per la sfera)
F.Soramel
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44
Infine resta da esaminare cosa succede sulla superficie del cilindro
r=a
E− =
λ a
λ 1
=
venendo dall' interno
2πε 0 a 2 2πε 0 a
E+ =
λ 1
2πε 0 a
venendo dall' esterno
I due limiti coincidono quindi il campo E è continuo in r = a
r=0⇒E=0
E
a
F.Soramel
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r
45
Legge di Gauss in forma differenziale
La parete ABCD ha area dS = dxdz e il flusso
z
del campo elettrico attraverso di essa vale
C’ C E
D’
D
Φ Er ( ABCD ) = EdS cos ϑ = (E cos ϑ )dxdz = E y dxdz
Ey
B’ B
θ
dz dx
y
Attraverso A’B’C’D’ abbiamo un flusso negativo
A’ dy A
Φ Er ( A' B' C' D') = −Ey' dxdz
x
'
Attraverso la superficie del cubo in direzione y il flusso vale
(
) (
)
Φ Er ( y ) = E y dxdz + − E 'y dxdz = E y − E y' dxdz
Se ora ricordiamo che AA’ = dy è infinitesimo, abbiamo che anche la
differenza Ey – E’y è molto piccola, quindi
E y − E y' = dE y =
con
F.Soramel
∂E y
∂y
∂E y
∂y
dy
r
rapidità di variazione della componente y di E
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46
Quindi il flusso totale in direzione y vale
∂E
 ∂E y 

dy dxdz = y dV
∂y
 ∂y

Attraverso tutto il volume abbiamo
Φ Er =
∂E y
∂E x
∂E
dV +
dV + z dV =
∂x
∂y
∂z
 ∂E ∂E y ∂E z 
dq
dV =
=  x +
+
∂y
∂z 
ε0
 ∂x
Ricordando ora che dq = ρdV, otteniamo
∂E x ∂E y ∂E z ρ
+
+
=
∂y
∂z ε 0
∂x
r ρ
divE =
ε0
relazione locale tra campo elettrico e distribuzione di carica
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47
Il potenziale elettrico e l’energia potenziale
Forza elettrica è centrale ⇒ conservativa ⇒ energia potenziale elettrica
Definiamo il potenziale elettrico in un punto come l’energia potenziale
posseduta da una carica unitaria posta in quel punto
V=
U
q
U = qV
[V ] = volt
V = m 2 kgs − 2C −1
Il potenziale è una caratteristica del campo e non della carica
Il potenziale, come U, è definito a meno di una costante arbitraria:
poniamo V = 0 per r = ∞
q si muove da A verso B lungo la curva e
VB
attraversa una regione in cui c’è campo
E
B
elettrico E
ds ES
U A − U B = q (VA − VB )
VA
U A − U B = −∆U = LA→ B lavoro fatto sulla carica
A
F.Soramel
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48
Pertanto troviamo
LA→ B = q (VA − VB )
differenza di potenziale elettrico
r r B r r
= ∫ F ⋅ dr = ∫ qE ⋅ dr
B
L A→ B
A
Possiamo anche definire il potenziale
come il lavoro fatto dal campo elettrico
per portare la carica di prova dall’infinito
al punto in cui si misura V, V = (-L∞/q)
A
r r
E
∫ ⋅ dr = V A − VB
B
A
Lungo un percorso chiuso, dato che il campo è conservativo, abbiamo
r r
∫ E ⋅ dr = 0
In generale, lungo un percorso qualunque se ES è la componente del
campo lungo il percorso, si ha
B
∫ E ds = V
S
A
B
A
− VB = −(VB − VA ) = − ∫ dV
A
Se A e B sono molto vicini possiamo scrivere
F.Soramel
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49
ES ds = −dV
Ex = −
ES = −
∂V
∂s
∂V
∂V
∂V
Ey = −
Ez = −
∂x
∂y
∂z
Quindi
r
E = − gradV
In questo modo posso calcolare V noto E e viceversa
Ad esempio consideriamo un campo elettrico uniforme (E = costante)
con unica componente lungo l’asse delle x
x
Edx = −dV
x
∫ Edx = − ∫ dV
0
V = 0 per x = 0
0
V = -Ex
Notiamo che in questo caso il potenziale cresce nella direzione in cui il
campo elettrico decresce, ovvero che la direzione del campo elettrico è
quella in cui V decresce
F.Soramel
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50
Se mi sposto da x1 ad x2 ho
V1 = − Ex1
V2 = − Ex2
V2 − V1 = − E ( x2 − x1 )
E=−
V2 − V1 V1 − V2
=
d
d
d = ( x2 − x1 )
[E] = Vm −1 = NC −1
Notiamo che
•se V1-V2 > 0 ⇒ E va da x1 a x2
•se V1-V2 < 0 ⇒ E va da x2 a x1
Consideriamo ora una carica puntiforme q sorgente del campo E
E=−
∂V
∂r
q>0
q
dV
=−
2
4πε 0 r
dr
∞
0
q
dr
= − ∫ dV
4πε 0 ∫0 r 2
V
V=
q 1
4πε 0 r
F.Soramel
V = 0 per r = ∞
V > o < 0 a seconda della carica
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51
Il potenziale V è additivo, pertanto se ho più cariche, ottengo
q1
q2
qn
1
V=
+
+ ... +
=
4πε 0 r1 4πε 0 r2
4πε 0 rn 4πε 0
n
qi
∑
i =1 ri
Le superfici per cui è V = costante sono superfici equipotenziali, E è
sempre ⊥ ai punti di una superficie equipotenziale (il lavoro per
muoversi su una superficie equipotenziale è nullo)
Se E è uniforme, allora V = costante ⇒ x = costante ⇒ superfici
equipotenziali sono dei piani
Se E è generato da una carica puntiforme ⇒ superfici equipotenziali
sono delle sfere
F.Soramel
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52
Consideriamo il caso del filo di lunghezza infinita ed uniformemente
carico con distribuzione lineare di carica λ
r
E=
λ r
ur
2πε 0 r
E=−
dV
λ 1
=
dr 2πε 0 r
− ∫ dV =
V =−
F.Soramel
r
E = - gradV
dr
λ
2πε 0 ∫ r
λ
ln r + C se C = 0 per r = 1 ⇒ V(1) = 0
2πε 0
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53
Consideriamo ora l’energia totale di una particella di massa m e carica q
in una zona in cui è presente un campo elettrico E
ETOT = EK + U =
1 2
mv + qV
2
Dato che non ci sono forze dissipative, quando la particella si muove dalla
posizione 1 alla 2 abbiamo, per il principio di conservazione dell’energia
ETOT (1) = ETOT (2)
1 2
1
mv1 + qV1 = mv22 + qV2
2
2
1
1
∆E K12 = L1→2 = mv22 − mv12 L1→2 = q (V1 − V2 )
2
2
1 2 1 2
mv2 − mv1 = q (V1 − V2 )
2
2
Volt = variazione di potenziale elettrico che una carica di 1 C deve
effettuare per aumentare la propria energia di 1 J
q > 0 EK aumenta spostandosi verso V inferiori
q < 0 EK aumenta spostandosi verso V superiori
F.Soramel
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54
Se v1 = 0 e in 2 è V2 = 0
1 2
mv2 = qV1 ⇒ principio su cui si basano gli acceleratori elettrostatici
2
1 eV = (1.6 · 10-19 C ) (1 V) = 1.6·10-19 J
Ee = mec2 = 8.1867 ·10-14 J = 0.511 MeV
Ep = mpc2 = 1.5032 ·10-10 J = 938.26 MeV
En = mnc2 = 1.5053 ·10-10 J = 939.55 MeV
F.Soramel
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Riconsideriamo ora il caso della sfera isolante con carica q e raggio R
a) carica superficiale uniforme σ
0≤r ≤ R
E =0
V = VR = costante
r=R
ER =
r>R
q 1 σ R2
E=
=
4πε 0 r 2 ε 0 r 2
q 1
σ
=
4πε 0 R 2 ε 0
r2
V (r2 ) − V (r1 ) = − ∫ Edr =
r2 → ∞
V (r2 ) → 0
r1
VR =
σ
R = ER R
ε0
q
4πε 0
1 1
 − 
 r2 r1 
q 1 σ R2
V (r ) =
=
4πε 0 r ε 0 r
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56
b) carica volumetrica uniforme ρ
F.Soramel
r =0
E =0
0<r<R
4
q = ρV
q(r) = ρ πr 3
3
q(r) 1
ρ r 3 ρr
=
=
E=
4πε 0 r 2 3ε 0 r 2 3ε 0
r=R
E = ER =
r>R
q 1
ρ R3
E=
=
2
4πε 0 r
3ε 0 r 2
q 1
ρR
=
4πε 0 R 2 3ε 0
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Per il potenziale abbiamo
r>R
q 1 ρR 3 1
V=
=
4πε 0 r 3ε 0 r
r=R
V = VR =
0<r<R
-
q 1
ρR 2
= ER R =
4πε 0 R
3ε 0
dV
=E
dr
VR
R
V(r)
r
- ∫ dV = ∫ Edr
ρr
ρ
ρ 1 2 1 2
ρ
VR − V (r ) = − ∫
dr = −
rdr = −
R2 − r 2
 R − r =−
∫
3ε 0
3ε 0 r
3ε 0  2
2 
6ε 0
r
R
V (r ) = VR +
R
(
)
ρ
ρR 2 ρR 2 ρr 2
R2 − r 2 =
+
−
6ε 0
3ε 0 6ε 0 6ε 0
(
)
1 ρR 2 ρr 2
V (r ) =
−
2 ε0
6ε 0
r=0
F.Soramel
ρR 2
V(0) =
= VMAX
2ε 0
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