Controllo di azionamento

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194
11 MOTORE AD INDUZIONE
Il motore ad induzione è stato molto usato, perché è nato per essere alimentato direttamente dalla
tensione di alimentazione trifase, e quindi per la totale mancanza di controllo, in applicazioni a
basso livello.
Il motore ad induzione è robusto e di costi contenuti, ma non è mai stato utilizzato per le
applicazioni ad elevate prestazioni per la difficoltà di controllo.
Ultimamente grazie ai progressi del controllo digitale e dell’elettronica di potenza comincia ad
essere utilizzato anche in applicazioni che prima gli erano precluse. La tecnica del controllo è quella
di elaborare un modello matematico, ricorrendo a trasformazioni vettoriali, che riconduca il
funzionamento del motore ad induzione a quello di un motore in DC, e quindi alla sua semplicità di
controllo.
Il motore ad induzione viene usato in due tipi di azionamento:
9 General Purpose (INVERTER)
9 Controllo Vettoriale
Il primo è usato per applicazioni nelle quali non sono richieste particolari prestazioni.
Il controllo di coppia è ottenuto variando la tensione e la frequenza in modo coordinato, non
ottenendo in questo modo delle prestazioni dinamiche di qualità; soprattutto a basse velocità, dove
non riesce ad erogare coppie sufficientemente elevate.
Il secondo tipo di controllo agisce sulla corrente e sul flusso, in modo del tutto analogo a quanto
visto per il motore Brushless, con l’unica differenza che, mentre nel Brushless il flusso è generato
dai magneti permanenti, nel motore ad induzione dipende dall’alimentazione.
Questo tipo di controllo fornisce prestazioni dinamiche di elevata qualità anche a basse velocità.
11.1 Struttura del motore ad induzione
9 STATORE
Lo statore del motore ad induzione è lo stesso di un Brushless
Sinusoidale e la distribuzione F(α) si considera sinusoidale, si
trascurano le 3° armoniche, in modo da poter fare riferimento a
vettori spaziali.
Nei motori di uso corrente, ovvero motori di non elevate prestazioni
dinamiche, l’avvolgimento è come quello del Brushless
Trapezoidale, a passo-intero.
Figura 1.
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195
9 ROTORE
Il rotore del motore ad induzione è molto differente da quello del Brushless, infatti al posto del
magnete permanente sono presenti avvolgimenti chiusi in cortocircuito, in una forma tale che ha
portato alla denominazione: avvolgimento a gabbia di scoiattolo.
Questo tipo di avvolgimento viene usato per le basse potenze.
Figura 2.
In figura si possono notare le barre di alluminio disposte in modo cilindrico, immerse all’interno del
rotore realizzato da lamierini ferromagnetici, in modo tale da ottenere una struttura magneticamente
isotropa. Le barre sono cortocircuitate ai loro capi da due anelli sempre in alluminio.
Nel corpo cilindrico sono realizzate delle cave, che vengono riempite dall’alluminio in
pressofusione, in modo da formare le barre dell’avvolgimento.
La pressofusione è un procedimento di colata consistente nell’introduzione di una certa quantità di
metallo, allo stato fluido o pastoso, in una forma o stampo, mediante pressione prodotta
dall’esterno.
Sulle testate delle barre ottenute vengono poi saldati degli anelli, anch’essi in alluminio, in modo da
cortocircuitarle.
Figura 3. Rotore cilindrico con in evidenza le cave dove viene inserito l'alluminio pressofuso.
L’impiego dell’alluminio è giustificato dal fatto che può essere usato in pressofusione senza
problemi. Tuttavia per il controllo vettoriale sarebbe più indicato un materiale a maggiore
conduttività come il rame, ma quest’ultimo è tecnologicamente più impegnativo da lavorare.
Dato che il rotore è costituito da una gabbia chiusa in cortocircuito (ovvero che si può considerare
come una serie di spire in cortocircuito), sottoposto ad un campo magnetico variabile prodotto
dall’avvolgimento di statore, in esso circola un sistema di correnti che si oppone alla causa che l’ha
generato, ovvero la f.m.m. delle correnti di statore. Queste spire in cortocircuito, soggette a delle
f.e.m indotte producono delle correnti che generano una f.m.m, che “copia” quella di statore per
compensarla (Legge di Lenz). In realtà però la compensazione non è completa, perché se così fosse
il flusso al traferro sarebbe nullo e così anche le correnti nel rotore. Ciò ci permette di ipotizzare che
l’effetto prodotto dal rotore sia lo stesso di quello che si avrebbe nel caso in cui ci sia un sistema di
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196
avvolgimenti identico a quello di statore, invece della gabbia di scoiattolo, e che quindi anche la
distribuzione di conduttori sia la stessa che si ha nello statore.
Figura 4. Distribuzione di un avvolgimento rotorico
A questo punto si suppone che nel rotore ci siano tre fasi come nello statore ma cortocircuitate,
poiché non alimentate, e che la distribuzione dei conduttori di rotore sia la medesima di quelli di
statore.
Sia ξ la coordinata rotorica che fa riferimento al sistema di rotore e α la coordinata statorica che fa
riferimento al sistema di statore si ha:
F(ξ) <=> F(α)
Consideriamo per tutti gli avvolgimenti lo stesso numero di spire N.
Con queste premesse possiamo utilizzare, anche per descrivere le grandezze rotoriche, i vettori
spaziali che avevamo definito per i motori Brushless.
L’accoppiamento tra avvolgimento rotorico e statorico varia in funzione della posizione angolare
del rotore in quanto quest’ultimo è libero di ruotare intorno al proprio asse.
Scriviamo ora l’equazione di statore nel riferimento di statore:
V s = Rs i s +
dλs
dt
(Eq. 39)
Dove:
Vs = vettore delle tensioni di alimentazione delle tre fasi le cui componenti sono le tre tensioni di
alimentazione delle tre singole fasi.
Rs i = caduta sulla resistenza statorica
λs = flusso concatenato con gli avvolgimenti di statore
Scriviamo l’equazione di rotore nel riferimento di rotore:
0 = Rr ir +
dλr
dt
(Eq. 40)
L’unica differenza rispetto alle equazioni di statore è che la tensione di alimentazione è nulla, in
quanto le spire sono chiuse in cortocircuito. Si può notare che le grandezze rotoriche non sono
direttamente misurabili, sia perché la corrente ir fa riferimento ad un sistema equivalente non reale,
sia perché il rotore non è accessibile dall’esterno.
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11.2 LEGAME CORRENTI-FLUSSI CONCATENATI
Andiamo ora a determinare il legame tra le correnti e i flussi concatenati nel motore ad induzione. A
differenza del Brushless, dove il flusso è prodotto dai magneti permanenti, nel motore asincrono i
flussi sono prodotti solamente dalle correnti rotoriche e statoriche. Per vedere il legame tra le
correnti e i flussi concatenati ci si riferisce ad avvolgimenti bifase equivalenti per il rotore e per lo
statore che ci semplificano i calcoli per ricavare le relazioni. Per fare ciò utilizziamo le
trasformazioni trifase-bifase viste per i motori Brushless.
βs
iβs
L’orientamento degli avvolgimenti è diretta lungo la direzione
della f.m.m. prodotta dagli avvolgimenti stessi, le correnti che
percorrono questi avvolgimenti producono la f.m.m. che ha la
direzione lungo l’asse nel quale abbiamo rappresentato gli
avvolgimenti.
αs
iαs
Figura 5. Rappresentazione avvolgimenti statorici
Gli avvolgimenti rotorici αr e βr sono ruotati di un
angolo θ rispetto al riferimento statorico. Si può notare
che gli avvolgimenti sono in cortocircuito.
Figura 6. Rappresentazione degli avvolgimenti rotorici
La relazione tra i flussi e le correnti è rappresentata da una matrice 4x4 in quanto abbiamo flussi
concatenati con 4 avvolgimenti e flussi prodotti da 4 correnti.
Figura 7. Sistemi di riferimento statorici e rotorici
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198
La relazione è quindi la seguente:
[λ ] = [L(θ )][i ]
La matrice [L(θ)] è una matrice di autoinduttanze e mutue induttanze che dipende da θ in quanto al
variare di θ variano gli accoppiamenti tra i vari avvolgimenti.
La matrice [λ] è composta dai flussi concatenati con i quattro avvolgimenti ovvero:
[λ] = [λαs , λβs , λαr , λβr ]T
allo stesso modo la matrice [i] è composta dalle correnti dei quattro avvolgimenti ovvero:
[i] = [iαs , iβs , iαr , iβr ] T
suddividiamo ora la matrice [L(θ)] in quattro sottomatrici 2x2 :
⎡ Ls
⎢0
[L] = ⎢
⎢
⎢
⎣
0
Ls
Lr
0
⎤
⎥
⎥
0⎥
⎥
Lr ⎦
La sottomatrice
descrive la relazione tra i flussi prodotti dalle correnti di statore con gli
avvolgimenti di statore e fa riferimento agli avvolgimenti sullo stesso riferimento.
Ls (elemento 1-1 della sottomatrice) è il flusso prodotto da iαs che si concatena con l’avvolgimento
αs: descrive quindi il flusso di autoinduzione. Ls è quindi il coefficiente di autoinduzione. Gli
elementi fuori dalla diagonale principale della sottomatrice
sono nulli in quanto il flusso
concatenato con l’avvolgimento αs prodotto da iβs è ortogonale ad αs e il flusso concatenato con
l’avvolgimento βs prodotto da iαs è ortogonale a βs. L’elemento 2-2 della sottomatrice (ancora una
volta Ls) rappresenta il flusso prodotto da iβs che si concatena con l’avvolgimento βs; descrive
quindi il flusso di autoinduzione. Ls è a sua volta un coefficiente di autoinduzione uguale a Ls
(elemento 1-1 della sottomatrice) dato che abbiamo sempre fatto riferimento ad avvolgimenti
simmetrici.
Il medesimo discorso può essere fatto sulla sottomatrice . Questa sottomatrice fa riferimento alle
relazioni tra i flussi prodotti dalle correnti di rotore con gli avvolgimenti di rotore e agli
avvolgimenti sullo stesso sistema di riferimento. Avremmo però il coefficiente di auto induttanza Lr
degli avvolgimenti di rotore. Allo stesso modo gli elementi fuori dalla diagonale principale saranno
nulli perché sono relativi ad avvolgimenti tra di loro ortogonali.
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Analizziamo ora la sottomatrice
che descrive le relazioni tra i flussi prodotti dalle correnti di
rotore concatenati con gli avvolgimenti di statore.
(iαr)
(λαs) M cos θ
(λβs) M sin θ
(iβr)
-M sinθ
M cosθ
L’accoppiamento tra i flussi prodotti dalle correnti di rotore e gli avvolgimenti di statore,
osservando la fig.4, varia al variare di θ.
Il flusso prodotto dalla corrente iαr si accoppierà completamente, ovvero avrà il massimo
accoppiamento con l’avvolgimento αs, quando θ = 0, ovvero quando gli avvolgimenti sono
allineati. Con θ = π/2 l’accoppiamento sarà nullo, il flusso prodotto dalla corrente iαr non si
accoppia con l’avvolgimento αs.
Questo accoppiamento dipende da θ in funzione di cos θ in quanto è massimo quando θ = 0 e nullo
quando θ = π/2. L’accoppiamento sarà quindi proporzionale a M cosθ dove M è una costante che
corrisponde al coefficiente di mutua induttanza tra i due avvolgimenti.
Abbiamo imposto che la distribuzione tra gli avvolgimenti sia di tipo sinusoidale; in realtà sarà
pseudosinusoidale però, per il fatto che le terze armoniche non contano per il calcolo della coppia
(le tre fasi sono collegate a stella con neutro isolato e sfasate di 120° elettrici), in pratica possiamo
considerare che la distribuzione sia sinusoidale e che quindi l’accoppiamento tra gli avvolgimenti
vari con Mcosθ.
Vediamo ora il flusso prodotto dalla corrente iβr che si concatena con l’avvolgimento αs: è nullo per
θ = 0, in quanto l’avvolgimento βr è ortogonale ad αs, è massimo quando θ = -π/2, perché βr è
allineato con αs; quando θ = π/2, βr è allineato con αs ma di verso opposto, quindi ottengo il
massimo valore ma con segno negativo. Il coefficiente di accoppiamento è proporzionale a - senθ.
Nello stesso modo si possono verificare gli accoppiamenti tra il flusso prodotto dalle correnti
rotoriche e l’avvolgimento βs.
La sottomatrice , a meno del coefficiente M, è la trasposta della matrice di Park. Posso quindi
andare a completare la matrice [L(θ)] e scriverla nella forma:
MA t (θ )⎤
⎥[i ]
(
)
MA
L
I
θ
r
⎣
⎦
⎡ Ls I
[λ] = ⎢
(Eq. 41)
Poiché deve valere la reciprocità della mutua induttanza, si ricava la matrice
degli accoppiamenti deve essere simmetrica.
Introduciamo ora i vettori λ s , λ r , i s , ir , dove λ
s
, dato che la matrice
è il vettore le cui componenti sono i flussi
concatenati con gli avvolgimenti di statore, λ r è il vettore le cui componenti sono i flussi
concatenati con gli avvolgimenti di rotore e analogamente per le correnti.
L’equazione matriciale (Eq. 41) può essere scritta come:
⎡λ s ⎤
⎡i s ⎤
⎢ ⎥ = [L(θ )]⎢ ⎥
⎣ir ⎦
⎣λ r ⎦
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200
o nella forma estesa:
⎧⎪λs = Ls is + MAt (θ )ir
⎨
⎪⎩λr = MA(θ )is + Lr ir
(Eq.42)
λ s fa riferimento al sistema di riferimento statorico mentre la seconda equazione si riferisce ad un
sistema di riferimento rotorico; è quindi conveniente trasformare le due equazioni e portarle
entrambe in un sistema di riferimento unico che indichiamo con K. Consideriamo quindi il generico
sistema di riferimento K ruotato di un angolo θk rispetto al riferimento di statore.
Figura 8. Rappresentazione sistema di riferimento K
Per fare questa trasformazione utilizziamo la matrice di Park A(.).
Per effettuare le trasformazioni di grandezze dallo statore al sistema di riferimento K avremmo che:
i sk = A(θ k )i s
mentre l’inversa è:
i s = A t (θ k )i sk
dove:
i sk = correnti di statore nel riferimento K
A(θk) = matrice di Park con argomento θk , in quanto il riferimento K ruota di θk rispetto al
riferimento di statore.
Per fare la trasformazione dal sistema di riferimento di rotore al sistema di riferimento K
moltiplichiamo per la matrice di Park A(θk-θ) e otteniamo:
irk = A(θ k − θ )ir
e la sua inversa:
ir = A t (θ k − θ )irk
Ora portiamo nel sistema di riferimento K il sistema di equazioni (Eq. 42):
-) Premoltiplichiamo l’equazione λ s = Ls i s + MAt (θ )ir per la matrice di Park
A(θk) e sostituendo a At(θ) il termine A(-θ) (la trasposta di A è uguale
all’inversa) otteniamo:
A(θk) λ s = Ls A(θ k ) i s + MA(θ k ) A(−θ )ir
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201
Ricordando che:
A(θk) λs = λ sk
A(θ k ) i s = i sk
A(θ k ) A(−θ ) = A(θ k − θ ) ed inoltre A(θ k − θ )ir = irk
si ottiene:
λ sk = Ls isk + M irk (a)
-) Premoltiplichiamo l’equazione λ r = MA(θ )i s + Lr ir per la matrice di Park
A(θk-θ) e sostituendo ad A(θk-θ) le matrici A(θ k ) A(−θ ) , dato che effettuare
una rotazione di (θk-θ) equivale ad effettuare una rotazione di (θk) e di (-θ), si
ottiene:
A(θk-θ) λ r = MA(θ k ) A(−θ ) A(θ )i s + Lr A(θ k − θ )ir
Ricordando che:
A(θk-θ) λ r = λ rk
A(θ k )i s = isk
A(θ k − θ )ir = irk
si ottiene:
λ rk = M isk + Lr irk (b)
Ora dalle equazioni (a) e (b) si ottiene il seguente sistema:
λ sk = Ls isk + M irk
(Eq. 43)
λ rk = M isk + Lr irk
Nel sistema di riferimento K non c’è dipendenza da θ.
Allo stesso modo posso fare la trasformazione delle equazioni (Eq.39) ed (Eq.40) nel sistema di
riferimento K.
Facendo gli stessi passaggi fatti per il motore Brushless vediamo che le equazioni cambiano perché
facciamo riferimento ad un sistema che ruota ad una certa velocità, rispetto al sistema di partenza,
ed otteniamo delle forze motrici mozionali. In pratica le equazioni nel riferimento K rispetto al
sistema statorico sono uguali a parte il termine: jωk λ sk dove ωk è la velocità di rotazione del
sistema di riferimento K rispetto al sistema di riferimento statorico.
Vsk = Rs isk +
dλ sk
+ jω k λ sk
dt
(Eq. 44)
La stessa cosa vale per il rotore, dove la forza motrice mozionale è data da: j(ωk-ω) λ rk , perché il
rotore già ruota di una velocità ω e quindi la velocità relativa del sistema di riferimento K rispetto al
sistema rotorico sarà data da ωk-ω.
0 = Rr irk +
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dλ rk
+ j (ω k − ω )λ rk
dt
(Eq. 45)
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Normalmente il pedice k viene omesso perché l’indicazione del sistema di riferimento è dato dal
termine aggiuntivo ωk.
11.3 Equazione della Coppia
Premoltiplicando scalarmente le due equazioni di statore e di rotore per le rispettive correnti
otteniamo l’equazione del bilancio energetico.
dλ s
+ i s × jω k λ s
dt
dλ
0 = ir × Rr ir + ir × r + ir × j (ω k − ω )λ k
dt
i s x Vs = i s × Rs i s
1
2
+ is ×
3
4
1 La somma di questi due termini mi dà la potenza elettrica entrante nel sistema. Poiché il rotore è
in cortocircuito il vettore i s x Vs rappresenta la potenza elettrica entrante nel rotore.
2 La somma di questi due termini dà la potenza dissipata nell’avvolgimento di statore e di rotore
per effetto Joule
3 La somma di questi due termini dà la variazione dell’energia magnetica del flusso concatenato
con lo statore e con il rotore.
4 Trascurando le perdite nel ferro, la somma di questi due termini dà la potenza elettrica che
viene trasformata in potenza meccanica.
I termini che dipendono da ωk si devono annullare perché la potenza meccanica non può dipendere
dal sistema di riferimento che stiamo considerando ma deve essere indipendente e quindi si deve
cancellare.
In alternativa posso considerare un riferimento con ωk = 0 cioè fisso. Come conseguenza la
potenza elettrica che viene trasformata in meccanica è proporzionale a - i r x jω λ r.
Pm = 3/2 (- ir x jω λ r)
Abbiamo considerato le trasformazioni che mantengono le componenti e quindi per ottenere le
potenze esatte dobbiamo, sempre, moltiplicare per il valore 3/2.
j λ r è in anticipo di 90° rispetto a λ r
Figura 9.
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Posso scrivere il prodotto scalare come il modulo di un prodotto vettoriale ed invece di considerare
il vettore j λ r considero il vettore λr e quindi scrivere:
Pm = 3/2ω ( λr ∧ (- ir )) = 3/2 p ωm ( ir ∧ λr )
Considerando che ω = pωm ,dove p è il numero di coppie polari e ωm è la velocità meccanica,
allora la coppia può essere scritta nel seguente modo:
T = Pm / ωm = 3/2 p ir ∧ λ r
Queste sono delle grandezze riferite al rotore, quindi questa forma non viene usata.
Ricaviamo un’altra forma utilizzando i flussi concatenati di rotore.
λ r = Lr ir + Mis (c)
Sostituendo l’eq.(c) nell’equazione della coppia ed otteniamo:
T = 3/2 p ir ∧ ( Lr ir + Mi s )
Ma ir ∧ Lr ir = 0 Æ
T = 3/2 p ( ir ∧ Mi s )
Poiché le correnti di rotore non sono misurabili, ricaviamo ir dalla (c):
ir =
1
(λ r − Mi s )
Lr
sostituendo abbiamo:
T = 3/2 p
Dove:
λr
Lr
∧ Mi s = 3 / 2 p
M
λ r ∧ is
Lr
M
= Kr coefficiente di accoppiamento rotorico.
Lr
Per calcolare la coppia abbiamo bisogno della corrente di statore, che siamo in grado di misurare, e
del flusso concatenato con gli avvolgimenti di rotore. Quest’ultimo, però, non potendolo misurare,
dobbiamo stimarlo .
Il motore ad induzione viene controllato bene, ma dal punto di vista computazionale è un po’ più
complesso rispetto al Brushless.
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11.4 Circuito equivalente stazionario
Le equazioni che abbiamo determinato (Eq. 43/44/45) sono equazioni dinamiche valide in generale
in un riferimento generico. Le uniche ipotesi sono quelle di avere un motore isotropo senza
problemi di saturazione magnetica e collegamento a stella con neutro isolato delle fasi disposte
simmetricamente con distribuzione dei conduttori sinusoidale.
Partendo da queste equazioni generali, ricaviamo il circuito equivalente stazionario.
Poniamo ωk = ωe , dove ωe è la pulsazione delle tensioni di alimentazione delle tre fasi, otteniamo
quindi:
V s = Rs i s +
0 = Rr i r +
dλ s
+ jω e λ s
dt
dλ r
+ j (ω e − ω )λ r
dt
(Eq. 47)
(Eq. 48)
Considerando il sistema stazionario possiamo fare delle semplificazioni nelle equazioni.
3
2I
Nel caso in cui le tensioni di alimentazione sono di tipo
sinusoidale, anche le correnti, a regime stazionario, sono
di tipo sinusoidale.
i
2
i
i1 = I m cos ω e t
i
3
1
2
i2 = I m cos(ω e t − π )
3
4
i3 = I m cos(ω e t − π )
3
Abbiamo tre correnti sinusoidali sfasate di 120° e 240°
elettrici.
Figura 10
Il vettore corrente (3/2)I risultante dalla somma vettoriale delle tre correnti di fase, ruota di una
velocità angolare ωe che è la pulsazione di alimentazione, questo vettore è la f.m.m. prodotta dalle
correnti di statore.
Non tutto il flusso presente nel traferro è però prodotto da questa corrente, bisogna infatti
considerare anche la reazione rotorica.
Dalle equazioni che definiscono i flussi di statore e di rotore :
λs = Ls is + Mir
λ r = Lr ir + Mi s
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Non tutto il flusso prodotto dal vettore di corrente statorica is si concatena con l’avvolgimento di
rotore perché esiste un flusso di dispersione, generalmente piccolo, dato dal termine Lσs (induttanza
di dispersione di statore).
Si ha:
Ls = M + Lσs
Allo stesso modo si ragiona per l’induttanza di dispersione del rotore Lσr:
Lr = M + Lσr
Andando a sostituire:
λs = (ir + is ) M + Lσ s is
(d)
λr = (ir + is ) M + Lσ r ir
(e)
Dove (ir + i s ) M rappresenta il flusso al traferro.
Poiché le induttanze di dispersione sono piccole, le autoinduttanze L, di rotore e statore, sono circa
uguali alla mutua-induttanza M ed il flusso di statore è abbastanza simile al flusso di rotore.
Il flusso è sfasato di un angolo α ma, considerando il fatto che
siamo in regime stazionario, l’angolo è costante.
Figura 11
Nel considerare lo scorrimento, in condizioni stazionarie, posso fare riferimento a qualsiasi vettore,
in quanto sono tutti vettori sincroni, e quindi posso riferirmi alle correnti statoriche e alle f.m.m.
statoriche.
Quando sono in condizioni dinamiche, invece, si deve definire lo scorrimento rispetto al vettore del
flusso concatenato con il rotore.
In condizioni stazionarie le velocità, e le grandezze sono costanti, quindi le derivate sono nulle. In
questo sistema di riferimento si ha che:
V s = R s I s + jω e λ s
(f)
0 = Rr I r + j (ω e − ω )λ r
(g)
moltiplichiamo l’equazione (g) per il termine
ωe
ωe − ω
=
ω −ω
1
→ sc = e
sc
ωe
dove sc è lo
scorrimento.
Otteniamo:
0=
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Rr
I r + jω e λ r
sc
(h)
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andiamo a sostituire ai flussi concatenati delle equazioni (f) e (h) le equazioni (d) ed (e).
Otteniamo:
Vs = Rs I s + jω e I m M + jω e Lσs I s
0=
Rr
I r + jω e I m M + jω e Lσr I r
sc
dove: I m = I r + I s
Raccogliendo otteniamo:
Vs = ( Rs + jω e Lσs ) I s + jω e MI m
(i)
0 = ( Rr + jω e Lσr ) I r + jω e MI m
(l)
Possiamo rappresentare le equazioni (i) e (l) con un circuito equivalente:
Figura 12. Circuito equivalente stazionario
Posto:
R
Rr
1 − sc
= Rr − Rr + r = Rr +
Rr
sc
sc
sc
Figura 11. Circuito equivalente stazionario
L’unico termine che descrive le trasformazioni di energia elettrica in meccanica è
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1 − sc
Rr
sc
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1 − sc
Rr Ir eff2 2
sc
Con PE si indica al potenza elettrica trasformata in meccanica
Il raddoppio della corrente efficace è dovuto al fatto che abbiamo un sistema bifase.
Ricordando che siamo in condizioni stazionarie e con correnti sinusoidali, si ha che:
I r2
2
Ir eff =
2
Da cui:
1 − sc
PE = 3/2
Rr I r2
sc
Considerando Vm la tensione ai capi della mutua induttanza possiamo scrivere :
PE = 3/2
PE = 3/2
=
1 − sc
ω
1 − sc
Vm2 sc 2
Vm2
Rr
)
R
=
sostituendo
(1-sc
=
=
3/2
r
2
2
2
2
sc
sc
ω
R
+
(
ω
L
)
sc
e
⎛ Rr ⎞
r
e σr
2
⎜ ⎟ + (ω e Lσr )
⎝ sc ⎠
3 ω
3 pω m
Vm2 sc
Vm2 sc
Rr 2
=
Rr
2
2 ωe
2 ωe
Rr + (ω e Lσr ) 2 sc 2
Rr + (ω e Lσr ) 2 sc 2
Dove ω = p ωm
Di conseguenza la coppia del motore asincrono a regime stazionario risulta:
T=
PE
ωm
=
Rr Vm2 sc
3 p
2 ω e Rr 2 + (ω e Lσ r ) 2 sc 2
Disegniamo l’equazione della coppia per un fisso valore di Vm e per una data pulsazione ωe al
variare dello scorrimento:
sc =
ωe − ω
ωe
Figura 13
Lo scorrimento a rotore fermo è unitario e al sincronismo, quando cioè la velocità del rotore
raggiunge quella dell’alimentazione statorica, è nullo.
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Diversamente il rapporto ω/ωe sarà unitario al sincronismo e nullo a rotore fermo.
La curva di coppia raggiunge il massimo:
Vm2
max
T =¾p 2
ω e Lσ r
quando lo scorrimento è sc =
Rr
.
ω e Lσ r
La coppia massima dipende dal rapporto Vm/ωe , più elevato è il rapporto e maggiore è la coppia
massima.
Si può vedere dalla Fig.13 che abbiamo due tipi di funzionamento:
- Stabile
- Instabile
A destra del Tmax siamo nel funzionamento stabile dove lo scorrimento è basso. In questo tipo di
funzionamento ωeLσr è trascurabile e quindi:
3 p Vm2 sc
T=
2 ω e Rr
Per scorrimenti bassi la coppia è proporzionale allo scorrimento. Nel caso in cui viene aumentato il
carico e quindi diminuisce la velocità, lo scorrimento aumenta e quindi anche la coppia. Il sistema
riequilibra l’aumento di carico.
A sinistra della Tmax ho un funzionamento instabile. Per scorrimenti elevati possiamo trascurare la
resistenza rotorica e quindi l’equazione della coppia diventa:
Rr Vm2
3 p
T=
2 ω e (ω e Lσr ) 2 sc
Per scorrimenti alti, la coppia è inversamente proporzionale allo scorrimento. Di conseguenza
l’aumento del carico provoca una diminuzione di coppia perché aumenta lo scorrimento.
Figura 44. Andamento della T al variare della Vs.
Collegando il motore ad induzione ad una tensione trifase, per un assegnato valore di Vs e per una
data pulsazione di alimentazione , la curva di coppia che si ottiene è quella in figura 13.
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209
Naturalmente si può notare che specificando un valore di Vs conseguentemente si fissa anche il
valore di Vm; infatti normalmente le cadute statoriche su resistenza ed induttanza sono trascurabili
e quindi Vs ≈Vm.
Un problema della caratteristica di questo motore è quello di avere una coppia di spunto Ts troppo
bassa: per ovviare a ciò esistono diverse tecniche.
Una possibile soluzione consiste nell’aumentare la resistenza rotorica (Rr), tuttavia l’aumento di
questo parametro va a scapito del controllo ad orientamento di campo.
Infatti si viene ad avere una dissipazione per effetto Joule con relativa difficoltà nello smaltimento
del calore. Inoltre avere grandi perdite equivale a dire che il motore non riesce ad erogare la stessa
coppia che potrebbe invece fornire se avesse una resistenza rotorica inferiore.
(Dobbiamo tener conto del fatto che il dimensionamento del motore è soprattutto termico)
Come già visto in precedenza la caratteristica del motore ad induzione prevede due zone di
funzionamento: una stabile e una instabile.
Nella prima si è visto che, ad un aumento del carico, si ha una diminuzione della velocità, con
conseguente aumento dello scorrimento. Osservando che in questa zona lo scorrimento è
direttamente proporzionale alla coppia allora anche questa aumenta. Si può quindi affermare che la
diminuzione della velocità è equilibrata dall’aumento della coppia erogata.
Nella zona a funzionamento instabile ad un aumento della coppia resistente corrisponde invece una
diminuzione di quella motrice.
11.5 Inverter
Si può notare anche che la velocità nel motore ad induzione nella zona a funzionamento stabile è
praticamente costante e varia soltanto di piccole percentuali al variare del carico.
Allora se si vuole regolare la velocità di rotazione, si può variare la tensione di alimentazione,
infatti se Vs cresce, aumenta l’ampiezza della caratteristica di coppia (si può notare che T ∝ Vs2).
Se si osserva la figura 14, si vede che a diminuzioni della Vs corrisponde un cambiamento del punto
di lavoro, con conseguente variazioni della velocità angolare del motore.
Questo tipo di controllo però ha un limite: è efficace solamente in un range limitato di velocità.
Infatti si può vedere che ad una eccessiva diminuzione della Vs la retta di carico (in blu) non
interseca più la caratteristica, con conseguente arresto del motore.
Un'altra considerazione che si può fare è che se lo scorrimento è basso si ha:
1 − sc
>> 1
sc
Æ
I 2 Rr
1 − sc
>> I 2 Rr
sc
Æ
Pm >> PDRr
Æ il rendimento η è molto alto
(Pm= potenza elettrica convertita in meccanica; PDRr = potenza dissipata su Rr ).
Invece se lo scorrimento sc è alto, ovvero per velocità molto basse, si ha:
1 − sc
1 − sc
<< 1 Æ
Æ il rendimento η è molto basso,
<< I 2 Rr Æ Pm << PDRr
I 2 Rr
sc
sc
infatti alla perdite sulla resistenza rotorica si aggiungono quelle nel ferro e sulla resistenza di
statore.
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210
Quindi per avere alti rendimenti devo lavorare vicino alla velocità di sincronismo, a questo
proposito è desiderabile avere Vs più alta possibile per avere un’elevata coppia di picco.
Tuttavia la Vs ha un limite superiore:
|Vs| < |Vsmax|
dove Vsmax è la tensione massima erogabile dal convertitore di potenza.
Un altro vincolo su Vs si può ricavare dalla seguente espressione:
Vs = Rs I S + jω e λs
Da cui si ricava che
λs =
Vs
RI
− s s
jω e
jω e
dove a regime l’ultimo termine è trascurabile, quindi il flusso statorico in modulo si può
approssimare nel seguente modo:
| λs |=
| Vs |
ωe
per evitare delle grandi perdite occorre lavorare con il flusso statorico massimo e costante ma che
sia al di sotto della saturazione per il materiale ferromagnetico: in questo modo è come lavorare con
coppia massima costante.
Con questo accorgimento
| Vs |= ω e λmax
s
e, per mantenere il flusso costante, Vs deve variare con ωe.
Variando Vs in modo proporzionale alla pulsazione della tensione di alimentazione si ottengono le
seguenti curve:
Figura 14. Variazioni della curva di T in funzione della variazione di Vs proporzionale a ωe.
Con questo controllo non si hanno più i problemi alle basse velocità che si avevano con la
regolazione precedente .
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211
Il convertitore deve fornire la seguente tensione Vs
Figura 15. Andamento della Vs fornita dell'inverter.
La zona dove Vs cresce linearmente corrisponde alla zona a coppia costante, mentre quella dove
Vs è costante corrisponde alla zona a potenza costante, il flusso diminuisce.
Quindi il controllo viene fatto in modo che fissata una pulsazione ωe l’inverter fornisce una
determinata Vs proporzionale (fino a quando ciò è possibile) e la velocità di rotazione del motore a
parte qualche percento in meno coincide con la ωe (c’è sempre un po’ di scorrimento, ma se la
coppia richiesta dal carico non è molto elevata è piccolo):
ω e ≈ ω = pω m
in questo modo si ottiene un controllo in catena aperta. D’altra parte questa soluzione è economica
perché non rende necessaria la presenza di costosi sensori di posizione. Tuttavia questo tipo di
controllo sta perdendo terreno per le maggiori prestazioni del controllo ad orientamento di campo
sensorless, che permette un funzionamento ad una dinamica più elevata.
Bisogna precisare che la forma d’onda della Vs riportata in figura 15 non è del tutto esatta in quanto
finora è stata trascurata la caduta sulla resistenza statorica. Tale approssimazione è verificata per
pulsazioni della tensione di alimentazione elevate, in caso contrario la caduta di tensione sulla
resistenza non è più trascurabile ed occorre tenerne conto, per questo la tensione di alimentazione
fornita dall’inverter si modifica nel seguente modo:
Figura 16. Andamento della Vs fornita dall'inverter in casi in cui la Rs non è trascurabile.
Come si può notare la Vs non parte da zero ma da un certo valore. Questo offset serve per
compensare, a pulsazioni basse, la caduta sulla resistenza statorica. Solitamente negli inverter esiste
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212
la possibilità di settare il salto in base alla Rs del mio motore, infatti se controllassi il motore con la
Vs in fig. 15 alle basse velocità il flusso sarebbe nullo e di conseguenza anche la coppia.
11.6 CONTROLLO AD ORIENTAMENTO DI CAMPO
Consideriamo l’ equazione rotorica riferita ad un sistema K che ruoti con velocità ω k :
0 = Rr i r +
dλr
+ j (ω k − ω )λr
dt
dove ω è la velocità di rotazione elettrica del rotore.
Si può notare che in questa espressione compare la corrente rotorica che non è misurabile in quanto
è una grandezza fittizia. A questo proposito utilizzando l’espressione del flusso rotorico la si
esprime in funzione di λr e is :
λr = M is + Lr ir Æ ir =
λr − M i s
Lr
ottenendo così la seguente espressione:
0 = τ r−1 ( λr − M is ) +
dove τ r =
dλr
+ j (ω k − ω )λr
dt
Lr
è la costante di tempo di rotore.
Rr
Ponendoci in un riferimento sincrono con λr e che ruota ad una velocità ω 0 si ottiene la nuova
equazione rotorica:
dλr
0 = τ r−1 ( λr − M is ) +
+ j (ω 0 − ω )λr
dt
Moltiplicando per τ r e raccogliendo in modo opportuno si ottiene la seguente equazione vettoriale
di rotore espressa nel riferimento sincrono con λr :
τr
dλr
+ [1 + j (ω 0 − ω )τ r ]λr = M is
dt
Considerando ora gli assi (d,q), detti riferimento Field Oriented, sincroni con il vettore λr in modo
tale che l’asse d coincida con λr e q coincidente con j λr . λr risulterà sfasato di un angolo θ 0
rispetto al sistema di riferimento statorico. La situazione è simile a quella vista con il motore
Brushless dove il sistema di riferimento (d,q) era stato preso coincidente con il flusso magnetico di
rotore a sua volta coincidente con il sistema di riferimento rotorico. Nel motore ad induzione invece
(d,q) viene preso sincrono con λr , che non è più coincidente con il sistema di riferimento rotorico.
Quindi uno dei maggiori problemi sarà andare a determinare proprio l’ angolo θ 0 e quindi la
posizione del flusso concatenato rotorico per determinare il sistema di riferimento (d,q).
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213
Figura 17.
Scrivendo la precedente equazione rotorica in forma scalare, sui due assi si ottiene:
dλ r
+ λr = Misd
dt
Asse d:
τr
Asse q:
(ω 0 − ω )τ r λr = Misq
La velocità elettrica di scorrimento (ω 0 − ω ) = ω SC è riferita al vettore λr (scorrimento dinamico).
La coppia in questo riferimento si può esprimere nel seguente modo:
T=
3
p ( K r λr ∧ i s )
2
per definizione di prodotto vettoriale λr ∧ is = λrd isq − λrq isd e considerando che λrd = λr e
λrq = 0 si ottiene:
T=
3
pK r λr isq
2
Si può notare che la coppia è proporzionale ad un flusso ed a una corrente come nel caso del
Brushless, con l’unica differenza che nel motore sincrono a magneti permanenti non si poteva
modificare λm , mentre nel motore ad induzione si può controllare λr .
Quindi la coppia può essere variata agendo sul prodotto λr isq :
- isq può essere variato velocemente in quanto ha la stessa dinamica dell’anello di corrente
- λr invece è legato a isd dalla funzione di trasferimento:
τr
dλ r
+ λr = Misd
dt
Î
λr =
M
isd
1 + sτ r
Il ritardo τ r , che c’è tra la corrente statorica ed il flusso di rotore, aumenta al crescere della
dimensione del motore e può essere compreso tra qualche centinaia di millisecondi e qualche
secondo.
Nel sistema di riferimento (d,q) così individuato, il controllo del motore ad induzione è equivalente
a quello di un motore in D.C. con avvolgimenti di eccitazione: si ha una corrente (componente) isd
che controlla il flusso (come iecc per il motore D.C.) ed una isq in quadratura che controlla la coppia
(come ia nel caso in continua):
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214
Figura 18.
La coppia è data da due termini: λr , che dipende da isd , e isq che agisce direttamente su T; allora è
ovvio che per un controllo ad elevata dinamica è più vantaggioso variare isq . Tuttavia per
raggiungere velocità elevate, può essere vantaggioso controllare λr , per effettuare operazioni di
deflussaggio.
Supponendo di conoscere la posizione del sistema di riferimento (d,q), il controllo di macchina è
identico a quello del motore Brushless, quindi può essere realizzato su assi fissi o su assi rotanti.
Le differenze di controllo rispetto al motore sincrono a magneti permanenti sono:
1. La componente isd non è nulla, in quanto serve per produrre il flusso. Il grosso vantaggio
rispetto al Brushless è la possibilità di controllare il flusso, e quindi di poter deflussare.
2. La posizione del riferimento (d,q), non è solidale con il rotore ma è da determinare.
E’ interessante evidenziare che se la isd fosse nulla, allora anche λr =0 e quindi si avrebbe coppia
nulla.
Una delle differenze maggiori fra i due motori è che il motore ad induzione ha un’inerzia rotorica,
rispetto al brushless, molto più elevata, è questo sarà da considerare quando si effettuerà la
regolazione dell’anello di velocità.
Lo schema di controllo effettuato sul sistema ad assi rotanti è il seguente:
Figura 19.
Si può notare che in ingresso al blocco che racchiude la matrice di Park vi è θ 0 in quanto per
trasformare le coordinate dal sistema (α,β) in (d,q) è necessario conoscere la posizione di
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215
quest’ultimo riferimento. Nel Brushless veniva usata direttamente la misura del sensore di posizione
posto sul rotore, in quanto il sistema di riferimento (d,q) era solidale con lo stesso rotore, in questo
caso non è più vero; la determinazione della posizione θ 0 è più complessa, come vedremo più
avanti, ma in ogni caso serve anche una misura della posizione angolare del rotore. Come detto
prima, la componente isd , a differenza del brushless, deve essere diversa da zero, in quanto serve
per produrre il flusso. A parte queste differenze, il controllo è uguale a quello realizzato per il
brushless, quindi anche in questo caso, i regolatori funzionano bene a regime, in quanto le
grandezze che controllano nel sistema di riferimento (d,q) sono costanti, per cui gli errori a regime
vengono annullati dagli integratori dei regolatori.
Lo schema ad assi fissi invece è:
Figura 20.
Essendo isd ≠ 0 , a differenza del caso Brushless, la matrice AT (θ 0 ) deve essere completa,
aumentando così il numero di moltiplicazioni da fare. Nel caso del motore ad induzione, la scelta di
effettuare il controllo nel sistema ad assi fissi, è stata poco utilizzata, perché non comporta grossi
vantaggi, dovendo fare dei calcoli più complessi rispetto al brushless, anche per la determinazione
del sistema di riferimento θ 0 . Inoltre i regolatori anche in condizioni stazionarie hanno delle
grandezze che variano, e quindi i termini integrali dei regolatori non funzionano in modo ottimale.
Le equazioni del motore ad induzione sugli assi (d,q), individuati sul riferimento λr , sono
equivalenti a quelli del motore Brushless sugli assi (d,q) del flusso magnetico concatenato λm .
11.6.1 Determinazione della stima del flusso rotorico
Data l’impossibilità di misurare direttamente il flusso rotorico, è necessario effettuare una stima
dello stesso, utilizzando il modello matematico del motore ad induzione. La precisione di tale stima
dipende dalle approssimazioni fatte per il calcolo del modello (ad esempio l’aver considerato il
motore isotropo senza problemi di saturazione), dalla misura dei parametri (i motori ad induzione
prodotti non saranno tutti perfettamente uguali, ma avranno una certa dispersione dei valori dei
parametri) e dalla robustezza alle variazioni dei parametri (durante il funzionamento varia la
temperatura del motore e quindi anche il valore di alcuni parametri).
Occorre determinare un metodo che effettui una stima del valore di λR che sia robusta alle
variazioni dei parametri, che si hanno da motore a motore e durante il funzionamento.
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216
Esistono molte tecniche per determinare una stima di λr , una è quella di usare l’equazione di rotore
riferita al rotore stesso.
Scegliendo il sistema di riferimento solidale con il rotore, si ha ω 0 = ω e l’equazione rotorica
diventa:
τr
dλr
+ λr = M is
dt
Si è annullato il termina corrispondente alla f.e.m. mozionale. Se si trasforma l’equazione con le
trasformate di Laplace si ottiene:
λr =
M
is
1 + sτ r
Quindi λr viene a dipendere da is attraverso una funzione di trasferimento ad un polo con costante
di tempo τ r .
Esprimendo l’equazione vettoriale del flusso rotorico in forma scalare si ha nel riferimento α r :
λrαr =
M
isαr
1 + sτ r
λrβr =
M
isβr
1 + sτ r
mentre nel riferimento β r si ha:
Con queste due equazioni riesco a determinare le componenti del flusso rotorico nel riferimento di
rotore.
Figura 21.
Come vediamo è sufficiente applicare la trasformata di Clarke e di Park, dove θ è la posizione
angolare del rotore, che si ottengono le componenti della corrente statorica nel sistema di
riferimento rotorico (α r , β r ) , tramite le quali si calcolano le componenti del flusso rotorico
(λrα r , λrβ r ) .
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217
Figura 22.
Individuando nell’angolo θ r la posizione di λ rr nel sistema di riferimento rotorico e misurando la
posizione angolare θ del rotore con un sensore, è possibile ricavare la posizione assoluta del flusso
rotorico che è: θ 0 = θ r + θ . Quindi per stimare il flusso rotorico oltre a conoscere la costante di
tempo del rotore τ r , la mutua induttanza M, ed è necessario misurare is e θ .
La costante rotorica τ r è molto sensibile alle variazioni di temperatura, considerando che
normalmente circolano delle correnti elevate nel rotore, la sua temperatura può variare anche di
100°C. Il calore prodotto nel rotore è difficilmente smaltibile, in quanto il traferro del motore
aumenta la resistenza termica, una via a bassa resistenza termica è quella dell’albero del motore, a
diretto contatto con il rotore, il quale può assumere delle temperature molto elevate, e quindi i
cuscinetti sui quali poggia, si deteriorano facilmente. Inoltre l’aumento di temperatura provoca
anche un aumento di τ r il cui valore può perfino raddoppiare. Bisogna quindi prevedere una
compensazione della variazione di questo parametro, altrimenti l’errore nella stima del flusso
diventa elevato, questo comporta un errore nella determinazione dell’angolo del sistema (d,q), che
comporta la nascita un ripple di coppia dovuto al fatto che quando controllo la corrente iq , in realtà
vario anche il flusso (la stessa cosa succedeva nel motore in C.C. quando si spostavano le spazzole
dall’asse neutro).
In realtà ci sono dei metodi più sofisticati per determinare il flusso rotorico, che fanno uso di
osservatori dello stato che sono più robusti ed hanno una dinamica più rapida del sistema osservato.
Lo schema di controllo completo Field Oriented è il seguente:
Figura 23.
Al blocco del controllo di corrente appena visto, è stato aggiunto lo stimatore del flusso rotorico,
~
che determina la stima della posizione angolare θ 0 , utilizzata per le trasformazioni nel riferimento
~
(d, q), e la stima del modulo del flusso λr utilizzata per effettuare la regolazione di flusso.
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Motori Asincroni
218
Dato che il trasduttore di posizione-velocità è costoso (si consideri anche il costo del circuito di
condizionamento), in molte applicazioni in cui non sono necessarie elevate prestazioni, si può usare
il controllo Field Oriented Sensorless.
Figura 24.
In questo nuovo schema si può notare che è stato utilizzato un osservatore al posto di uno stimatore,
in quanto la mancanza del trasduttore rende più complicata la determinazione della stima di λr e di
conseguenza è necessario uno strumento di stima più robusto.
Uno svantaggio del controllo Field Oriented sensoless è che a basse velocità, ovvero al di sotto del
3% della velocità nominale, non funziona bene, perché anche un osservatore molto complesso, non
riesce a fornire una buona stima del flusso, mentre per velocità superiori si hanno delle buone
prestazioni. In ogni caso si ottengono delle prestazioni notevolmente superiori a quelle fornite dagli
INVERTER, con dei costi molto simili. Nel caso in cui si usano motori ad induzione per
movimentazioni che richiedono coppie elevate a basse velocità, è necessario usare il controllo Field
Oriented con il sensore di posizione.
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Scelta dell’azionamento
219
12 SCELTA DELL’AZIONAMENTO
Azionamenti Motore DC
a MP
per
Controllo
Ottimo
Risposta
dinamica
Eccellente
Extra coppia
Extra velocità
Taglie
Costo
4÷6
con
motori
speciali,
normalmente
2÷4
No, (con MP
non si può
deflussare)
< 5kW usati
attualmente
nelle piccole
potenze
Contenuto a
bassa
potenza,
con tendenza
ad aumentare
Motore
sincrono
trapeizodale
Ottimo, a bassa
velocità, ad alta c’è
ripple
di T (Funzionamento
Three-phase-on)
Buona
2÷4 con motori
speciali
Motore
sincrono
sinusoidale
Ottimo
Motore
asincrono
con inverter
Scadente
perché ho un
controllo in
catena aperta
Motore
asincrono
vettoriale
Eccellente (*)
La migliore
(è un motore
ad elevata T e
bassa inerzia)
4÷6
Sufficiente,
dipende dal
carico
Eccellente
2÷2,5
4÷6 con
motori
speciali
Si
Si
No, con MP non è No
possibile deflussare
< 5kW
Contenuto(sono
realizzate
con azionamenti
di tipo
analogico,
quindi
prevalentemente
Hardware)
< 10kW (al di 0.5kW÷1MW < 500kW
sopra
aumenta
molto il costo
perché incide
quello dei
MP a
terre rare)
Sostenuti,in Minimo
< sincrono
calo
MP(aumenta
del
15% con
l’inverter,
perché c’è un
sensore
e circuiti di
acquisizione)
(*) Il controllo è simile a quello del brushless sinusoidale con la differenza che il motore asincrono
ha una inerzia molto maggiore e quindi a parità di coppia le accelerazioni sono minori. Quindi in
caso di accelerazioni molto elevate è meglio utilizzare un brushless, a patto che l’inerzia del carico
sia piccola, dello stesso ordine rispetto a quella del motore, tuttavia avere un motore con alta inerzia
può essere positivo perché aiuta a filtrare i ripple di coppia a velocità elevate.
Riguardo alla coppia di picco dei vari motori , occorre considerare che all’aumentare della
taglia del motore diminuisce il rapporto coppia di picco coppia nominale.
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Scelta dell’azionamento
220
Per un corretto dimensionamento dell’azionamento occorre effettuare:
-
Una analisi del tipo di carico: ovvero vedere se il carico è di tipo dissipativo oppure inerziale
Un dimensionamento del motore e quindi determinare la velocità massima, la coppia
nominale e di picco necessarie per il tipo di applicazione.
Un dimensionamento del convertitore: la tensione nominale di alimentazione, la corrente
nominale e la corrente di picco
12.1 ANALISI DEL TIPO DI CARICO MECCANICO
Nel caso si abbia un carico di tipo dissipativo, quasi tutta l’energia fornita dall’attuatore del drive è
usata per la lavorazione (tornitura, fresatura), o dissipata per compensare l’effetto dell’attrito
(mescolatura, trazione ferroviaria). Questo tipo di carico inoltre è caratterizzato dall’andamento
della coppia.
Nel caso invece si abbia un carico di tipo inerziale, quasi tutta l’energia è utilizzata per accelerare
e/o decelerare il carico (robot, macchine automatiche ad elevata dinamica). Questo carico è
caratterizzato dall’andamento della velocità, e dall’inerzia, note le quali si può determinare la
coppia necessaria.
La coppia di carico è data dalla somma della coppia inerziale (serve per accelerare e decelerare il
carico) più la coppia dissipativa:
Tc = Ti + Td = ( jω& ) + (Tv + Ta + Tr )
Dove Tv è la coppia di attrito viscoso, Ta la coppia di attrito secco, Tr la coppia resistente e J
l’inerzia del carico più quella del motore.
Classificazione dei carichi
Dinamica molto lenta Ti << Td
Dinamica lenta
Ti < Td
Dinamica rapida
Ti > Td
Dinamica molto rapida Ti >> Td
Infatti se si ha una coppia inerziale minore della coppia dissipativa, si hanno delle accelerazioni
basse con conseguenti variazioni di velocità piccole e in definitiva si ottiene una dinamica lenta;
chiaramente se vale il contrario abbiamo una dinamica più elevata.
I primi casi sono caratterizzati da coppie elevate a basse velocità: riduttori ad elevato rapporto, o da
velocità praticamente costanti (azionamenti mandrino: presa di carico).
Nei carichi a dinamica molto rapida, essendo la coppia inerziale dominante, il profilo di velocità
individua anche il profilo della coppia di carico, negli altri casi ciò non è vero. Nei carichi a
dinamica molto lenta, viceversa, è la coppia dissipativa che è dominante e quindi rappresentativa
della coppia di carico.
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Scelta dell’azionamento
221
Prendiamo in esempio un carico a dinamica lenta (è il caso dell’azionamento di tipo mandrino): il
suo moto è uniforme e quindi il dimensionamento del motore viene fatto facendo riferimento alla
coppia nominale, che deve essere sufficientemente superiore a quella dissipativa., perché il motore
funziona a regime termico, quindi non si può sfruttare la coppia di picco.
ω
t
T
Td
t
P
Pr
t
Nel caso dei carichi a dinamica rapida (è il caso degli azionamenti di tipo asse), il moto è ciclico e
quindi il dimensionamento del motore e dell’azionamento deve essere fatto considerando il ciclo di
lavoro e l’andamento della temperatura del motore, durante il ciclo. Infatti è necessario
dimensionare il motore in modo tale che la temperatura non superi il valore massimo durante il
ciclo di lavoro.
ω
t
T
Trms
P
t
t
Un ciclo tipico è indicato in figura, dove il motore deve accelerare in modo sostenuto, poi
mantenere una velocità elevata è infine decelerare. Proprio durante le accelerazioni e le frenate è
richiesta la coppia massima. La coppia che viene in genere richiesta a velocità costante è piccola,
dato che serve solo per vincere gli attriti.
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Scelta dell’azionamento
222
Spesso il motore viene utilizzato con calettato un riduttore sull’albero motore:
MOTORE
posto il rapporto di riduzione pari a n =
ωm
riduttore
ωc
Tc ’
Tc
Jc’
Jc
LOAD
ωm
dove ω m è la velocità sull’albero motore e ω c la
ωc
velocità sul carico.
Se Tc = Td + jcω& c è la coppia che occorre sul carico, allora si ha:
Tc′ =
Td
j
+ c2 ω& m Æ sull’albero motore
n n
Quindi la coppia si riduce di n , mentre l’inerzia di n 2 .
L’uso del riduttore oltre ad aumentare la coppia sul carico ha il grosso vantaggio di ridurre l’inerzia
di n 2 , anzi spesso si utilizza per questa seconda proprietà.
Quando si usa il riduttore, occorre considerare il rendimento dello stesso, che normalmente varia tra
70% ÷ 90%. In ogni caso tutte le misurazioni fatte si riferiscono all’albero motore.
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Scelta dell’azionamento
223
12.2 RAPPORTO INERZIA-CARICO E INERZIA-MOTORE
Una delle prime cose da valutare nel dimensionamento del motore è il rapporto tra l’inerzia del
carico e l’inerzia del motore.
Questa scelta coinvolge la parte meccanica, il riduttore e il motore.
Accelerazioni elevate
(cesoie, robotica)
1/1÷2/1
Accelerazioni medie
(macchine utensili, imballaggio) 3/1÷5/1
Accelerazioni basse
(automazione in generale)
6/1÷10/1
Nel caso di applicazioni con accelerazioni elevate occorre che il rapporto tra l’inerzia del carico,
riferita all’albero motore, e l’inerzia del rotore, si mantenga a valori bassi (1/1÷ 2/1), perché
all’aumentare di J diminuisce la ω& MAX :
TMAX
J
in questo modo si rischia, con estrema facilità, di saturare l’anello di corrente, creando problemi alla
⎛K ⎞
stabilizzazione dell’anello di posizione. Inoltre per mantenere elevata la banda passante ⎜ P ⎟ ,
⎝ J ⎠
occorre aumentare K P , con un aumento notevole del ripple di coppia, dovuto ai disturbi e alle
imprecisioni nella misura della velocità, e possibili instabilità anche nel caso di piccole elasticità.
Se il rapporto è < 1, la scelta non è ottimale, anche se può essere accettabile, in quanto vi è un
sovradimensionamento del motore e quindi un maggior dispendio economico.
ω& MAX =
Invece rapporti > 10/1 rendono difficile l’avere il sistema più stabile sulla retroazione di posizione,
dovendo aumentare i guadagni che accentuano le imperfezioni e i disturbi sul motore (ripple di
corrente elevato).
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224
12.3 SCELTA DEL MOTORE
La scelta del motore la si fa tenendo in considerazione tre fattori fondamentali:
-
Velocità massima
Coppia nominale
Coppia di picco
1) Conoscendo la velocità massima di rotazione dell’albero motore, si può scegliere il motore
con la velocità massima adeguata, mantenendo certi margini. Normalmente la meccanica
viene progettata considerando la taglia di velocità del motore (1500-2000-3000-4500-6000…). Questo è uno dei pochi dati che viene fornito con una precisione accettabile.
2) Per il dimensionamento della coppia nominale, occorre, come visto in precedenza, fare
riferimento al tipo di carico. Nel caso di carico a dinamica lenta, il motore lavora a regime
termico, e quindi la coppia nominale deve essere superiore alla coppia richiesta durante la
lavorazione: Td . Nel caso di dinamica rapida bisogna far riferimento al tipo di ciclo e
occorre conoscere l’andamento della coppia nel tempo. Quasi sempre il tempo di ciclo è
inferiore alla costante termica del motore quindi quest’ultimo non lavora a regime termico.
T
t1
t2
t4
t5
Trms
t3
t
ciclo
Dato che la coppia è proporzionale alla corrente del motore, quando il flusso è costante si
ha:
T = KI q
Ovvero il profilo della corrente è lo stesso della coppia.
Noto il profilo della corrente e quello della velocità, è possibile determinare l’andamento
della potenza dissipata ( facendo riferimento al sistema (d,q) ):
PD =
3
ω2
R f ( I q2 + I d2 ) + 2 Po
2
ωn
Dove il primo termine della somma è la potenza dissipata nel rame, mentre il secondo
rappresenta la potenza dissipata nel ferro: per i motori Brushless si ha che I d = 0 , mentre
per i motori asincroni si ha I d ≈ 0,4 I q .
Tramite il modello termico del motore, occorre verificare che la temperatura resti al di sotto
del valore limite indicato dal costruttore del motore.
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Scelta dell’azionamento
225
Dato che la potenza dissipata sulla resistenza dell’avvolgimento è la parte più rilevante della
potenza dissipata, che è proporzionale a I q2 e quindi a T 2 , normalmente si considera solo
questa parte. Se il periodo di tempo di ciclo, che è dell’ordine di qualche minuto, è piccolo
rispetto alla costante di tempo termica tth ( per un motore di medie dimensioni è di circa 20
minuti), allora la massima temperatura può essere calcolata basandosi sulla potenza media
dissipata sulla resistenza dell’avvolgimento, che equivale alla potenza dissipata sulla
resistenza dal valore efficace della corrente nello stesso periodo:
PD =
3
2
R f I qrms
2
Dato che la coppia è proporzionale alla corrente, normalmente si fa riferimento alla coppia
efficace invece che alla corrente efficace:
Trms
T12 t1 + T22 t 2 + T32 t3 .......
=
t ciclo
Se la coppia efficace è minore della coppia nominale, allora si può dire che la temperatura
dell’avvolgimento del motore si mantiene entro limiti ammissibili.
Occorre tenere presente che è stata trascurata la potenza dissipata nel ferro.
Nel caso di sistemi ad elevata dinamica, in cui la coppia del carico coincide con la coppia
inerziale, situazione che si verifica spesso, per il calcolo della coppia efficace si può fare
riferimento all’andamento della velocità. Quindi in base all’accelerazione ed all’inerzia
totale (carico e motore sull’albero motore) si determina l’andamento della coppia durante il
ciclo, e di conseguenza la coppia efficace. Nota la Trms devo verificare che questa sia minore
di quella nominale, in questo caso la temperatura degli avvolgimenti del motore non
supererà mai il valore massimo.
Nel caso di temperatura dell’ambiente più elevata rispetto a quella per cui è stata fissata la
coppia nominale, occorre declassare al coppia nominale del motore:
Tn′ = Tn2
Δθ ′
Δθ
In base all’esperienza comunque occorre scegliere un motore con una coppia nominale tale
da soddisfare le condizioni indicate con un margine almeno del 30% (magari fino ad un
massimo del 50%); infatti il tutto dipende da quanto sono precisi i dati ricevuti dal cliente e
dalla conoscenza delle condizioni ambientali di funzionamento.
3) La coppia massima necessaria durante il ciclo macchina, o durante l’accelerazione nel moto
uniforme, deve essere minore della coppia massima erogabile dal motore (alla velocità
richiesta), con l’azionamento associato. Occorre verificare che il periodo di utilizzo di tale
coppia sia tale da mantenere la temperatura degli avvolgimenti entro limiti accettabili. Nel
caso di carichi a dinamica lenta, tale coppia è leggermente superiore alla coppia nominale:
(1,5 ÷ 2)Tnom.
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Scelta dell’azionamento
226
12.4 SCELTA DEL DRIVE
La scelta del drive è determinata dai seguenti parametri, che a loro volta sono legati alla scelta del
tipo di motore utilizzato nell’azionamento:
a) Tensione
b) Corrente nominale
c) Corrente di picco
Per quanto concerne il primo parametro, questo dipende dal motore usato: 230Volt trifase/monofase
o 400 ÷ 460Volt trifase, mentre la corrente nominale è legata alla costante di coppia del motore KT
secondo la relazione:
I frms =
Trms
KT
Inoltre deve essere in grado di erogare la coppia di picco richiesta:
I frmspk =
T pk
KT
Nel caso di carichi a dinamica lenta, tale valore è leggermente superiore alla corrente nominale.
Normalmente il Drive, che lavora sempre a regime termico, eroga la coppia nominale del motore e
non necessariamente è in grado di erogare tutta la coppia di picco del motore, ma solo una parte,
altrimenti dovrei sovradimensionare il Drive, con relativo aumento dei costi.
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