Combinando due numeri primi ...
Si consideri la relazione ax + by = c.
Si supponga che a e b siano due numeri naturali primi fra di loro e che x ed y siano
interi non negativi.
Qual è il più grande intero c che non può essere espresso nella forma suddetta?
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Premessa
Premettiamo una proprietà delle equazioni diofantee (equazioni lineari indeterminate di
cui si cercano soluzioni intere), per cui se x0 e y0 soddisfano la ax + by = c , anche x0 +
N b e y0 - N a , con N intero qualsiasi, la soddisfano. Come si verifica immediatamente
è infatti a (x0 + N b) + b (y0 - N a) = c.
Consideriamo poi l'equazione diofantea
(1)
ax + by = c
cerchiamo la coppia di valori valori h e k tali che
(2)
a (x + h) + b (y+ k) = c - 1
Sviluppando risulta che h e k devono soddisfare l'equazione diofantea
(3)
a h + b k = -1
Premesso quanto sopra, affrontiamo il problema proposto risolvendo prima un caso
numerico specifico e successivamente il caso generale.
Caso numerico specifico
Sia a = 5 e b = 7, per cui la (3) diventa
(4)
5h +7k = -1
Risolvendola con uno dei metodi noti (ad es. il metodo di Eulero, oppure quello delle
frazioni continue) e ricordando quanto in premessa si ottengono le soluzioni
(5)
h = -3 + 7N
k = 2 - 5N
con N intero qualsiasi. Per N = 0 e N =1 si ottengono le due coppie di soluzioni
(6)
h1 = -3
k1 = 2
(7)
h2 = 4
k2 = -3
Notiamo in (5) che h e k hanno segni opposti.
Utilizzeremo la (6) e la (7) per decrementare ripetutamente di una unità un valore c di
partenza.
Partendo ad esempio da x = 2 e y = 3 e quindi da c= 5x2 + 7x3 = 31 applichiamo
a x e y gli incrementi (6) o (7) scegliendo la coppia che conduce a nuovi valori di x e
y non negativi. I risultati ottenuti sono riportati nella tabella seguente
x
y
c
h
k
2
6
3
0
4
1
5
2
-1
3
0
2
4
1
3
0
2
4
31
30
29
28
27
26
25
24
23
4
-3
-3
4
-3
4
-3
-3
-3
2
2
-3
2
-3
2
2
2
6
…………………………..
2
24
4
-1
23
-3
Il procedimento si interrompe in corrispondenza di c = 24 in quanto sia usando gli
incrementi (6) che i (7) la coppia di x e y che ne deriva contiene un elemento negativo.
23 = 24 -1 è quindi il più grande intero che non può essere espresso nella forma
5x + 7y = c con x ed y interi non negativi (in seguito diremo per semplicità "non
esprimibile").
Non è naturalmente necessario costruire la tabella di cui sopra per giungere alla
soluzione. Partendo direttamente dalla (6) e dalla (7) è sufficiente considerare i termini
negativi h1 e k2 e imporre la condizione
(8)
x + h1 = - P
y + k2 = - Q
con P e Q interi positivi
Per P = Q = 1 si ottiene il più grande tra i valori di c che supera di una unità il più
grande valore non esprimibile
(9)
(10)
e quindi
x - 3 = -1
x=2
y - 3 = -1
y=2
c = 2x5 + 2x7 = 24 che è il risultato già ottenuto
Per altri valori interi positivi di P e Q si ottengono altri valori di c non esprimibili inferiori a
24 - 1 = 23.
Caso generale
Il caso generale viene affrontato seguendo lo schema logico usato per la risoluzione del
caso numerico particolare.
Riprendiamo la (3)
a h + b k = -1
e sia h1 e k1 una sua soluzione.
Ricordando quanto in premessa è anche soluzione la coppia
(11)
h1 + b
k1 - a
Considerando i termini negativi h1 e k1 - a imponiamo le condizioni
(12)
(13)
x + h1 = - P
x = - h1 - P
y + k1 -a = - Q
con P e Q interi positivi
y = - k1 + a - Q
cui corrisponde un valore di c
(14)
c= a x + b y = - a h1 - a P - b k1 + a b - bQ
ma essendo a h1 + b k1 = -1
(15)
c=ab-aP-bQ+1
Per P = Q = 1 si ottiene il più grande tra i valori di c tale che c - 1 non è esprimibile in
quanto o il suo x o il suo y sarebbero negativi
(16)
c=ab-a-b+1
Dalla (16) si ricava che il massimo valore non esprimibile nella forma ax + by = c è
(17)
cm = a b - a - b
Anche qui assegnando a P e Q altri valori interi positivi si ottengono i valori di c non
esprimibili inferiori a c m.
