FISICA-TECNICA Trasmissione del calore

Fenomeni di trasporto
FISICA-TECNICA
Trasmissione del calore
Katia Gallucci
I fenomeni fisici di trasporto di calore e di massa sono
molto frequenti e importanti nella vita di tutti i giorni e in
gran parte delle tecnologie.
Dalla pentola sul fuoco al controllo della temperatura e
dell’umidità relativa dell’aria per vivere più
confortevolmente, dal principio di funzionamento di un
forno al flusso di acqua in una tubazione,
dall’essiccazione alla surgelazione di un prodotto: tutti
questi processi si basano su flussi di calore o di massa.
Conoscerli significa imparare a governarli.
Il calore è una forma di energia in transito.
Ricordiamo che in fisica si definisce energia l’attitudine
di un sistema fisico a compiere del lavoro.
1
2
Esperienza di Joule
Per dimostrarlo eseguiamo l’esperienza di Joule.
Prendiamo un recipiente munito di agitatore, contenente
acqua e con le pareti tali da non consentire alcuno
scambio di calore con l'esterno (ossia adiabatiche).
Se si lascia scendere il peso dalla posizione A
a quella B, esso, essendo collegato per mezzo
del filo e delle carrucole al mulinello, fa girare
questo ultimo e il lavoro compiuto vale:
L = F(h0-h1) = F∆h
Consideriamo ora il sistema “recipiente”.
Né l'energia potenziale (la quota del recipiente
non cambia), né l'energia cinetica (l'acqua torna
in quiete dopo l'agitazione) hanno subito
variazioni.
Per cui si dovrebbe avere: L=∆E+∆K=0
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L’apparente contraddizione si risolve osservando che,
alla fine dell’agitazione, il termometro segna la
temperatura t1 maggiore di quella iniziale to.
Ciò significa che il sistema ha assorbito l’energia
corrispondente al lavoro compiuto dal peso.
Chiameremo questa forma di energia:
energia interna U.
Per tenere conto anche della variazione di quest’ultima,
l’equazione del lavoro va quindi modificata come segue:
L=∆U+∆K+∆E
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Ripetendo questa esperienza più volte, cambiando la
massa d’acqua contenuta nel recipiente e l'entità del
lavoro compiuto, e misurando la temperatura T
dell'acqua prima e dopo ogni esperienza, si nota che
esiste una proporzionalità tra massa, lavoro e variazione
di temperatura; ossia che vale l'espressione :
L= ∆U = cM∆T
dove la costante c è il calore specifico a pressione
costante.
Ma anche questa espressione non è in grado di
descrivere tutte le situazioni che si possono verificare.
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6
Poiché non è possibile alcuno scambio di lavoro e di
calore con l'esterno, è L=0 e anche ∆U=0. In accordo
con queste variazioni di temperatura debbono essere
avvenute anche due variazioni di energia interna eguali,
ma di segno opposto:
∆U 1=cM(Tf-T1)= -[ ∆U 2]= -[cM(Tf-T2)]
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Si consideri un sistema chiuso, ma che non scambi né
calore né lavoro con l'esterno, suddiviso internamente in
due sub-sistemi A e B, contenenti ciascuno la stessa
massa d'acqua M rispettivamente alle temperature t1 e t2,
con t1>t2
Al passare del tempo la temperatura
del subsistema A continua a
diminuire e quella del subsistema
B ad aumentare, sino a quando
le due temperature, tendendo
naturalmente allo equilibrio,
diventano uguali tra di loro (tf).
Ad esse non corrispondono variazioni di energia
potenziale o cinetica, né alcun lavoro meccanico.
Quindi, dobbiamo ammettere che vi è stato uno scambio
di energia e questa particolare forma di energia si dice
calore e da qui discende la definizione del calore come
energia in transito.
Nel nostro caso è Q = ∆U
Nel caso più generale è possibile scrivere l'espressione:
L+Q= ∆U + ∆K + ∆E
la somma del lavoro e del calore entrante eguaglia la
variazione di energia del sistema.
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L'acqua scorre in un fiume perché esiste una differenza
di quota (∆z) tra monte e valle; perché fluisca corrente
elettrica in un cavo, bisogna stabilire tra la sezione
iniziale e quella finale una differenza di potenziale (∆V);
perché fluisca calore attraverso una parete è necessario
che le temperature delle sue due facce siano differenti,
ossia che vi sia una differenza di temperatura (∆T).
Queste differenze (di quota, di tensione, di temperatura)
provocano, se il comportamento spontaneo della natura
non è impedito artificialmente, un flusso (d’acqua, di
corrente, di calore) che va nella direzione nella quale la
differenza stessa diminuisce (di quota, di tensione, di
temperatura).
Per questo motivo, le differenze sopra citate sono dette
“forze motrici” o “driving force”.
9
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Nel caso del calore, ad esempio, possiamo scrivere:
Ø=-cost gradT
dove:
•T è la temperatura
•cost è un coefficiente che tiene conto della maggiore o
minore facilità con la quale, a parità di gradT, ha luogo il
trasferimento del calore.
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Volendo esprimere tutto ciò nel sintetico linguaggio della
matematica, si scrive:
Ø=-cost.gradY
dove:
• Ø è il vettore che rappresenta il flusso della grandezza
(massa, corrente, calore)
• gradY è il gradiente della funzione scalare Y;
rappresenta la variazione della grandezza Y (quota,
tensione, temperatura); è un vettore;
• cost è una costante di proporzionalità
• il segno – (meno) indica che il flusso (ricordiamo che è
un vettore) va nel verso in cui gradY diminuisce.
La trasmissione del calore si occupa dello studio
dell’insieme di leggi che governano tale passaggio di
calore e delle leggi che danno la distribuzione di
temperatura all’interno del sistema in funzione dello
spazio e del tempo. Fisicamente la trasmissione del
calore può avvenire in diversi modi:
se il sistema è un corpo solido, il flusso avviene per
agitazione interna delle molecole, senza alterare
macroscopicamente la forma e la struttura del corpo, si
parla di conduzione;
se il sistema è composto anche parzialmente di fluidi,
poiché questi possono scorrere, il flusso termico provoca
delle differenze di densità e queste, a loro volta, dei moti
macroscopici di materia (convettivi) in seno al fluido; si
parla in tal caso di convezione;
se il sistema è composto di corpi distanti l’uno dall’altro,
il flusso di energia avviene per irraggiamento
elettromagnetico.
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Spesso i tre modi coesistono e gli effetti si
sovrappongono. In generale la trasmissione dipende
dal punto o dai punti considerati e dal tempo, in
quanto la temperatura dei punti considerati può
variare nel tempo.
Se però la situazione dei diversi punti non varia nel
tempo, si ha il regime permanente o stazionario.
Unendo i punti che presentano la stessa
temperatura, si ha una linea isoterma: il flusso
avviene da una isoterma ad un’altra e perciò le linee
di flusso sono perpendicolari alle isoterme.
Una legge fisica è una relazione tra fenomeni e tra
grandezze fisiche, che descrive il mondo esterno e i suoi
fenomeni in modo oggettivo e comunicabile.
La legge di Fourier è un buon modello per calcolare la
quantità di calore che fluisce per conduzione nella
direzione x, nell’unità di tempo, attraverso l’unità di
superficie perpendicolare a x di una parete di spessore s.
Essa è proporzionale alla differenza tra le temperature
delle due facce della parete e inversamente proporzionale
allo spessore s:
Jean-Baptiste-Joseph Fourier (1822) « La Théorie analytique de la
chaleur » in cui si proponeva di costruire la teoria matematica del
calore, e di confrontare i risultati ottenuti con prove sperimentali.
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Conduzione
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Postulato di Fourier
É quel processo di trasmissione del calore tra punti a
temperatura diversa che avviene senza trasporto di
materia. La trattazione generale del fenomeno si basa
su di un modello matematico del corpo fisico continuo,
uniforme, isotropo e con caratteristiche fisiche invariabili
nel tempo e indipendenti dalla temperatura.
La conduzione è un processo mediante il quale il calore
fluisce da una regione a più alta temperatura a un'altra a
più bassa temperatura, attraverso un solo mezzo o
attraverso più mezzi a stretto contatto tra loro.
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La relazione fondamentale per il calcolo del flusso di
calore in caso di conduzione termica pura fu proposta da
Joseph Fourier nel 1822:
dove:
• Ø, é la quantità di calore che fluisce nella direzione x nell'unità di tempo
• λ (lambda) è la conducibilità termica, proprietà fisica della materia
• A è l'area della superficie normale a x attraverso la quale fluisce il calore
• dT/dx è il gradiente di temperatura nella direzione x.
• - (meno) tiene conto del fatto che il flusso di calore va nel verso in cui
diminuisce.
Nel seguito si adotta per la conducibilità termica il
simbolo k utilizzato nella letteratura anglosassone.
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Si può meglio apprezzare la proporzionalità diretta, tra la
quantità di calore trasferita e l'incremento di
temperatura, a parità di spessore x, considerando
l'esperienza seguente.
Si prenda una lastra di spessore x alla temperatura T0; al
tempo t=0 si porti istantaneamente la faccia di destra
alla temperatura T1 e la si mantenga a tale temperatura.
Al passare del tempo i profili della temperatura all'interno dello
strato variano sino a raggiungere, per t grande (ossia a regime
permanente), un andamento lineare.
Si noti che, per "t piccolo" (ossia durante il regime transitorio),
T è funzione, oltre che della coordinata x, anche del tempo t.
Questo significa che in sistema non è ancora in regime
permanente (o stazionario), ossia che il campo di temperature
all’interno della lastra non si è ancora stabilizzato. Una volta
raggiunta la condizione di regime permanente, per mantenere la
differenza di temperatura ∆T= T1-T0 occorre fornire una quantità
costante di calore Ø nell’unità di tempo; per valori di ∆T non
troppo grandi (ossia per T1 poco maggiore di T0, perché
altrimenti non si potrebbe considerare k indipendente dalla
temperatura), si trova che il valore del flusso è dato dalla
relazione:
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Abbiamo così ritrovato l'equazione di Fourier, espressa
in termini finiti invece che differenziali. Si osservi che
sino ad ora abbiamo considerato la forma
unidimensionale dell’equazione di Fourier; ossia la
temperatura T varia solo nella direzione dell'asse delle x:
T=T(x). Volendo estendere lo studio al caso di un mezzo
isotropo* e nel quale la temperatura vari secondo le tre
direzioni x,y e z, ossia con T=T(x,y,z), possiamo scrivere
per ogni coordinata:
più sinteticamente:
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Le dimensioni della conducibilità termica si ottengono
osservando che è:
dove:
Φ [=] energia su unità di tempo [=] potenza
A [=] superficie
∆T [=] differenza di temperatura
L [=] lunghezza
k [=] [(potenza su superficie) su (differenza di temperatura su
lunghezza)] [=] [flusso su (differenza di temperatura
su lunghezza)]
e quindi:
*Si dice isotropo un mezzo per il quale la conducibilità termica k è costante lungo le tre direzioni x,y,z;
questo avviene per la maggioranza dei fluidi e dei solidi omogenei, ma non per materiali fibrosi o laminati,
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come ad esempio il legno.
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Essendo ∆T una differenza di temperatura, nulla cambia,
sia che la temperatura venga misurata in K (kelvin) o in
°C (gradi centigradi).
Nella pratica k è ancora espresso frequentemente in
kcal/mh°C, ma questa unità di misura è solo tollerata a
fianco della precedente.
L'equivalenza tra le due unità è data da:
1 W/mK = 0,860 kcal/mh°C
1 kcal/mh°C = 1,16 W/mK
La conducibilità è funzione della temperatura; nelle
tabelle deve essere scelto il valore più prossimo a quello
delle condizioni d’impiego. Essa è anche influenzata dal
grado di purezza del materiale; ad esempio, la
conducibilità di una lega può essere sensibilmente
inferiore a quella dei componenti.
Nel caso di materiali fibrosi (non isotropi), essa può
assumere valori maggiori di 2 ordini di grandezza,
secondo che sia considerato un flusso parallelo o
perpendicolare alle fibre.
La presenza di celle contenenti aria o gas può far sì che
il calore non venga trasmesso solo per conduzione, ma
anche per convezione; hanno forte influenza la frazione
di vuoto, le dimensioni dei pori e la natura del fluido che
questi contengono.
21
Valori di k per materiali diversi a diverse
temperature
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I materiali vengono distinti in buoni conduttori (k grande)
e cattivi conduttori (k piccolo)
I valori di k dipendono principalmente dalla natura dei
corpi, dalla temperatura e per i gas dalla pressione.
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In molti casi la dipendenza di k dalla temperatura può
essere considerata di tipo lineare:
k=k0(1+αT)
Per solidi omogenei, se sono isolanti hanno α positivo se
sono conduttori (metalli) hanno α negativo
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I problemi sino ad ora affrontati sono stati tali per cui la
temperatura T e il flusso ø risultavano funzione di una
sola variabile, in particolare della dimensione x.
I molti casi, però, il contorno del sistema considerato non
è regolare e/o l'andamento della temperatura al contorno
non è uniforme. In questi casi la soluzione del problema
richiede una trattazione a due o tre dimensioni, pur
essendo T non funzione del tempo t.
Sappiamo che l'equazione di Fourier assume in questi
casi la forma (in coordinate cartesiane e ricordando che
il regime è permanente):
detta equazione di Poisson.
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Nei problemi affrontati finora si è posta la condizione che
la temperatura, misurata in un generico punto del corpo
considerato, non sia funzione del tempo. In tale
situazione - che va sotto il nome di regime permanente l'equazione di Fourier risulta di integrazione semplificata
(per geometrie non troppo complesse) perché si
annullano i termini che contengono la derivata della
temperatura rispetto al tempo.
L'ipotesi del regime permanente consente di risolvere
molti problemi tecnici con buona approssimazione,
soprattutto quando i fenomeni che inducono la
trasmissione del calore non variano o variano molto
lentamente nel tempo; oppure quando le fasi di avvio e
di arresto (transitori) dei fenomeni stessi sono
trascurabili rispetto alla durata complessiva.
detta equazione di Laplace
In termini meno sintetici, ciò significa che la distribuzione
della temperatura in un sistema è tale da soddisfare
l'equazione di Laplace. Non solo, ma poiché il flusso di
calore può essere facilmente calcolato se è nota la
distribuzione della temperatura, il problema consiste nel
determinare quest'ultima. Tale determinazione può
essere fatta con metodi analitici, grafici, analogici e
numerici.
I metodi analitici, grafici e analogici sono oggi superati,
salvo casi particolari, da quelli numerici, che, con
l'introduzione dei calcolatori elettronici, si sono rivelati i
più efficaci.
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Se la generazione interna di calore è nulla, scompare il
quarto termine a sinistra dell'uguale e si ha:
Per esempio il comportamento termico della parete di un
edificio può essere studiato in regime permanente se la
temperatura interna viene mantenuta costante e se le
variazioni climatiche esterne (temperatura dell'aria,
soleggiamento, vento) non subiscono variazioni brusche
o comunque rapide.
Ma se questa condizione non è rispettata o se
consideriamo il caso di un corpo immesso bruscamente
in un bagno a diversa temperatura, il regime non può più
considerarsi permanente, ma variabile.
Ogni punto della parete o del corpo si troverà in istanti
successivi a una temperatura diversa, indotta in un caso
dall'azione degli agenti atmosferici sulla faccia esterna
della parete, nell'altro dal processo spontaneo che
porterà in equilibrio le temperature del corpo e del
bagno.
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La soluzione dei problemi in regime variabile è
generalmente molto complessa e richiede la corretta
definizione delle condizioni al contorno per l'integrazione
dell'equazione di Fourier (differenziale) con metodi
grafici o analitici ( ad esempio: metodo grafico di
Schmidt e metodo delle differenze finite). Molti ricercatori
hanno affrontato e risolto problemi di trasmissione del
calore in regime variabile e le soluzioni sono riportate sui
manuali, spesso sottoforma di diagrammi e
nomogrammi.
Particolarmente importante, per il gran numero di
soluzioni riportate é il trattato di Carlslaw e Jaeger , al
quale si può ricorrere per la soluzione di molti dei più
comuni problemi.
Conduzione attraverso lastre piane a facce
parallele
Il calore passa spontaneamente da A1 a A2.
A1
A2
T1
In condizioni stazionarie dT/dy è costante e
cioè la curva rappresentativa del profilo di
termico è una retta.
q = −k
T2
dT
dT
⇒ ∫q = ∫−k
⇒ ∫ qdy = ∫ − kdT
dy
dy
L
T2
0
T1
q ∫ dy = −k ∫ dT ⇒
L
⇒ qL = −k (T2 − T1 ) ⇒ q =
0
y
k
k
(T1 − T2 ) = ∆T
L
L
29
30
Flusso attraverso pareti composte
q1
q2
A2
q1 =
k1 (T1 − T * )
L1
q2 =
k 2 (T * − T2 )
L2
Da cui si ricava:
Nel caso stazionario i due flussi sono uguali q1=q2
q1 =
k1 (T1 − T * ) k 2 (T * − T2 )
=
L1
L2
T1
Da cui si ricava:
T*
T2
L1
∆T
k 2 k1
(T1 − T2 ) ⇒ q1 =
L
L
k 2 L1 + k1 L2
1
+ 2
k1 k 2
L2
Se abbiamo diverse parete si ha:
k 2T2 k1T1
+
L2
L1
*
T =
k 2 k1
+
L2 L1
q=
31
∆T
L
∑k
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Convezione
Consideriamo la parete di un corpo
solido lambita da un fluido in moto.
Se tra la temperatura della superficie
della parete T0 e quella del fluido T1
vi è una differenza, ossia se è T0>T1,
tra la parete e il fluido s’instaura un
flusso di calore secondo il modello:
Q=hA∆
∆T
dove h è un coefficiente di
proporzionalità che prende il nome di
conduttanza convettiva e che
dipende dalle proprietà fisiche del
fluido, dalla dinamica del flusso e
dalla geometria della parete. Questo
tipo di trasporto del calore è detto
convezione.
E' opportuno osservare che h è
una funzione molto complessa delle proprietà fisiche
del fluido, della dinamica del flusso e della geometria
della parete,
non è uniforme sulla superficie,
dipende dal punto del fluido in cui si misura la
temperatura T1.
Pertanto la legge che abbiamo scritto definisce più la
conduttanza media, che non il fenomeno di trasferimento
del calore vero e proprio.
33
34
Dato che è:
Il valore di h è stato valutato sperimentalmente per i
fluidi, i tipi di moto e le configurazioni più
frequenti,avvalendosi di correlazioni ricavate mediante
l'analisi dimensionale.
h = Ø/A∆
∆T
la conduttanza convettiva ha le dimensioni di un flusso
(energia nell'unità di tempo [=] potenza) diviso per una
superficie e per una differenza di temperatura; si
esprime, quindi,in:
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Il trasporto di calore per convezione è trattato
diversamente,secondo che esso sia forzato o naturale.
Si ha convezione forzata quando il moto del fluido è
indotto da un'azione di pompaggio esterna; si ha,
invece, convezione naturale quando il moto del fluido è
dovuto allo stesso trasporto di calore in atto.
In entrambi i casi, il flusso può essere laminare o
turbolento. Il caso di flusso laminare è poco frequente:
lo scambio di calore avviene per conduzione non
essendovi rimescolamento di filetti fluidi e, quindi,
h = k/s.
Nel caso di flusso turbolento in
prossimità della parete vi è uno strato
in moto laminare (strato limite),
attraverso il quale il calore passa per
conduzione.
Poiché tutti i fluidi (metalli allo stato
liquido a parte) sono pessimi
conduttori di calore (k piccolo), a parità
di A e di Ø, nella Ø/A=k∆T si ha ∆T
molto grande.
Allontanandosi dalla parete, s’incontra
prima uno strato di transizione, poi
quello del fluido in moto turbolento,
con forte rimescolamento ed elevato
trasporto di calore (h grande). A parità
di Ø e A, in questo caso nella
Ø/A=h∆T, ∆T è più piccolo.
Quanto precede ci consente di
concludere che la maggior resistenza
al passaggio del calore è offerta dallo
strato limite; questo effetto può essere
sfruttato o deve essere ridotto,
secondo che si voglia ridurre o
aumentare il flusso di calore.
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Coefficiente di pellicola o di scambio
termico convettivo
pellicole
Quando un fluido si muove, anche con moto turbolento
(Re>2100) esiste sempre uno strato di fluido a contatto
con la parete (pellicola) che è stagnante. Anche se la
pellicola è sottile(il calore deve passare per conduzione,
risulta grande la resistenza che essa offre al passaggio
del calore
Una volta superata la pellicola di fluido aderente alla
parete, il calore si trasmette per convenzione grazie al
movimento e al rimescolamento del fluido e la resistenza
offerta alla trasmissione del calore è trascurabile
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Calore ceduto dal fluido alla parete
q1 = h1 (T1 − Tc )
Calore che passa attraverso la parete
T1
q2 =
Tc
Td
k
(Tc − Td )
L
Calore ceduto dalla parete al fluido
T2
L
q3 = h2 (Td − T2 )
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Essendo i flussi per unità di area e nell’unità tempo uguali
si può scrivere:
q1=q2=q3=q
q=
(T1 − T2 )
1 L 1
+ +
h1 k h2
Durante l’esercizio inoltre, i fluidi i fluidi depositano delle
incrostazioni sulle pareti che costituiscono delle resistenze
addizionali per cui si considera un UD (coefficiente di
trasmissione del calore a parete incrostata)
e indicare con U il coefficiente totale di trasmissione del
calore
1 L 1
1
h1
+
k
+
h2
=
U
Q = AU D ∆T
U dipende dai valori dei coefficienti di pellicola h (funzioni a
loro volta degli spessori delle pellicole che non si possono
determinare sperimentalmente)
q = U (T1 − T2 ) ⇒ Q = AU∆T
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Nel caso di convezione forzata, h dipende:
dalle caratteristiche del fluido: densità ρ, viscosità µ,
calore specifico a pressione costante cp e conduttività
k;
dalle condizioni di moto del fluido: velocità v;
dalla geometria della parete: diametro equivalente D,
ossia è h = h(ρ,µ,cp,k,v,D)
Per ottenere un’espressione che consenta di calcolare h
dobbiamo applicare l’analisi dimensionale.
43
42
L'analisi dimensionale consiste nel combinare tra loro
le variabili che influenzano un fenomeno (correttamente
scelte a priori), in modo da creare gruppi adimensionali
ossia senza dimensioni; il numero di questi necessario
per descrivere il fenomeno si determina con il teorema Π
di Buckingham.
Questo tipo di analisi estende il campo d’applicazione
dei dati sperimentali, consentendo la creazione di
equazioni empiriche, ma non dà alcuna informazione
sulla natura del fenomeno che deve essere noto priori.
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Applicando l'analisi dimensionale, nel caso di convezione forzata,si
ottiene:
Analisi dimensionale nella determinazione dei
coefficienti di pellicola o di scambio termico
convettivo
Il rapporto hD/k, detto numero di Nusselt (Nu), si può ottenere
dividendo il flusso di calore per convezione (h∆T) per quello per
conduzione (k∆T/D) e, quindi confronta l’importanza dei due flussi;
Il rapporto cpµ/k, detto numero di Prandtl (Pr), si può ottenere
dividendo µ/ρ (coefficiente di diffusione della quantità di moto) per
k/ρcp (coefficiente di diffusione del calore) e, quindi confronta le due
diffusività molecolari.
Il rapporto ρvD/µ, detto numero di Reynolds (Re) indica se il regime
di moto è laminare o turbolento; in generale per Re<2.000÷2.500 è
laminare; oltre, dopo una zona di transizione, è turbolento.
Possiamo quindi scrivere la precedente espressione anche nella
forma:
Nu=cost Rea Prb
con cost, a e b da determinarsi sperimentalmente.
Per calcolare gli h sono necessarie relazioni generali che
tengano conto delle proprietà del fluido e quelle moto:
q=f(v, l,∆T,µ,k,ρ,cp,βg)
dove q = flusso di calore (kcal/m2s)
v = velocità del fluido (m/s)
∆T = differenza di temperatura (°C)
µ = viscosità del fluido (kg/ms)
k = coefficiente di conducibilità termica del fluido (kcal/m°Cs)
ρ = densità del fluido (kg/m3)
cp = calore specifico del fluido (kcal/kg°C)
β = coefficiente di espansione termica (1/°C)
g = accelerazione di gravità (m/s2)
[Q/L2t]
[L/t]
[T]
[M/Lt]
[Q/LTt]
[M/L3]
[Q/MT]
[1/T]
[L/T2]
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Abbiamo 5 equazioni in 8 incognite. Il sistema può
essere risolto a meno di tre incognite. Fissiamo a,
i, n ed esprimiamo le altre incognite in funzione di
queste:
Assumendo che le varie grandezze siano legate tra loro
tramite esponenti diversi possiamo scrivere
q= ψ [va lb∆Tcµdkeρfcpi(βg)n]
Sostituiamo le unità di misura:
e= 1-i
b= -2-a+d+1-i+3f-n
d=-a+1-1+i-2n
f=i-d
c=1-i+i+n
 La b c M d Q e M f Q i 1 Ln 
Q
ψ
=
 t a L T Ld t d LeT et e L3 f M iT i T n t 2 n 
L2t


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Per il segno di uguaglianza le stesse basi devono avere
lo stesso esponente:
Per il calore Q →
1=e+i
Per le lunghezze L →
-2=a+b-d-e-3f+n
Per il tempo t →
-1=-a-d-e-2n
Per la massa M→
0=d+f-i
Per la temperatura T →
0=c-e-i-n
In definitiva:
e= 1-i
b= -1+a+3n
d=-a+i-2n
f=a+2n
c=1+n
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e= 1-i
b= -1-a+d-i+3f-n
d=-a+i-2n
f=i+a-i+2n=a+2n
c=1+n
e= 1-i
b= -1-a-a+i-2ni+3a+6n-n
d=-a+i-2n
f=i+a-i+2n=a+2n
c=1+n
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Sostituiamo i valori trovati:
Nu = ψ Re a Pr i Gr n
 La (−1+ a +3n ) (1+ n )
Q
M (− a +i −2 n )
Q (1−i )
M (a + 2 n ) Q i 1 Ln 
L
T
=
ψ
 a

L2t
L(−a +i −2 n )t (−a +i −2 n ) L(1−i )T (1−i )t (1−i ) L3(a + 2 n ) M iT i T n t 2 n 
t
Raggruppiamo i termini con lo stesso
esponente:
dove a, i, n sono valori da determinare sperimentalmente
Per convezione forzata:
Nu = ψ Re a Pr i
Per convezione naturale:
n
i
a
 1 Q  L 1
Q
M   M LTt Q   3 L2t 2 M 2 1 L  
 
  L T 2 3⋅2
= ψ  T
 L Lt 3  
L2t
L   Lt Q Mt  
M L T t 2  
 L LTt  t M

Nu = ψ Pr i Gr n
Per condotti lunghi, liquidi e gas in moto turbolento si può
utilizzare la relazione
n
a
i
 1
 
1 
1
 1  
q = ψ  ∆Tk  vl ρ   µc p   l 3∆T 2 ρ 2 βg  
µ
k
 µ  
 
 l
Nu = 0.023 Re 0.8 Pr 0.33
ql
h∆Tl hl
=
= = Nu = ψ Re a Pr i Gr n
∆Tk ∆Tk
k
Grashoff
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Esercizi
1.
Le superfici interne di un edificio devono essere
mantenute a 22°C mentre la superficie esterna è a 23°C. Le parete hanno uno spessore di 25 cm e sono
costruite con mattoni aventi una conducibilità termica
di 0,5kcal/hm°C. Calcolare il calore disperso per unità
di area e di tempo attraverso le pareti
2.
Calcolare la quantità di calore che ogni ora passa
attraverso 1m2 di parete composta da uno spessore di
25 cm di mattoni refrattari (k=1,2kcal/mh°C), di 20 cm
di mattoni isolanti (k=0,18kcal/mh°C),di 25 cm di
mattoni comuni (k=0,6kcal/mh°C) quando T1=700°C e
T2=50°C
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