politecnico di bari - Istituto Nazionale di Fisica Nucleare

POLITECN ICO D I BARI
DIPARTIMEN TO DI IN GEGN ERIA ELETTRICA E
DELL’IN FORMAZION E
Corso d i Lau rea Triennale in Ingegneria Elettronica e d elle
Telecomu nicazioni
TESI DI LAUREA IN
FON DAMEN TI DI OPTOELETTRON ICA
IN VESTIGAZION E TEORICO-SPERIMEN TALE D I
D ISPOSITIVI OPTOELETTRON ICI PER L’ESPERIMEN TO
TOTEM ALL’LHC D EL CERN
Relatore:
Chiar.m o Prof. Ing. Vittorio PASSARO
Correlatori:
Dott. Francesco S. CAFAGN A
Dott. Emilio RADICIONI
Lau reand o:
Martino DE CARLO
AN N O ACCADEMICO 2014-2015
…alla mia famiglia
1
Sommario
Introduzione .................................................................................................................................. 4
Capitolo 1 ........................................................................................................................................ 5
L’esperimento TOTEM............................................................................................................................................................... 5
Large Hadron Collider .................................................................................................................................................................... 5
L’esperimento TOTEM................................................................................................................................................................... 6
Il sistema di Timing dei Detector ................................................................................................................................................. 9
Il sistema di distribuzione di clock ....................................................................................................................................... 9
Unità di trasmissione ..................................................................................................................................................................... 10
Unità di distribuzione ................................................................................................................................................................... 11
Unità di misura ................................................................................................................................................................................ 11
Unità di ricezione ........................................................................................................................................................................... 12
Capitolo 2 ...................................................................................................................................... 13
Principi generali del WDM..................................................................................................................................................... 13
Sorgente LASER – Derivazione della caratteristica Potenza ottica-pompaggio ............................................. 13
Interazione radiazione materia .................................................................................................................................................... 13
I coefficienti di Einstein ................................................................................................................................................................14
Inversione di popolazione ............................................................................................................................................................. 16
La cavità Fabry-Pérot ..................................................................................................................................................................... 19
Isolatore ............................................................................................................................................................................................. 22
Modulatore Mach-Zehnder ................................................................................................................................................... 24
Effetto elettroottico ....................................................................................................................................................................... 24
Modulatore Mach-Zehnder ........................................................................................................................................................ 24
Multiplexer...................................................................................................................................................................................... 26
Interferenza e diffrazione ............................................................................................................................................................. 26
Grating-Based Multiplexer/Demultiplexer ................................................................................................................................ 28
Circolatore ....................................................................................................................................................................................... 29
Add-Drop Multiplexer ............................................................................................................................................................. 30
FBG ....................................................................................................................................................................................................... 31
Photoreceiver.................................................................................................................................................................................. 32
2
Capitolo 3 ...................................................................................................................................... 36
Caratterizzazione dei dispositivi ....................................................................................................................................... 36
Accoppiatore direzionale ............................................................................................................................................................. 36
Caratteristica di uscita del LASER ............................................................................................................................................ 36
Caratterizzazione dell’isolatore ................................................................................................................................................. 37
Caratteristica di trasmissione del Multiplexer ...................................................................................................................... 38
Caratteristica
del modulatore Mach Zehnder ................................................................................................ 40
Caratteristiche di trasmissione dell’ Add-Drop ........................................................................................................................ 43
Caratteristiche di trasmissione e riflessione dell’FBG .......................................................................................................... 44
Caratterizzazione del Circolatore ............................................................................................................................................. 45
Comportamento in frequenza del Photoreceiver ................................................................................................................... 46
Capitolo 4 ..................................................................................................................................... 48
Analisi dello shift della caratteristica
del modulatore Mach-Zehnder............................. 48
Il Niobato di Litio .......................................................................................................................................................................... 48
Simulazione degli effetti di un’asimmetria tra i rami di un Mach-Zehnder in COMSOL ........................................... 52
Controllo automatico della tensione di polarizzazione del Mach-Zehnder ............................................ 56
APPENDICE A .............................................................................................................................58
1)
I fotoni e l’intuizione di Planck ................................................................................................................................ 58
2)
La “lineshape function” ................................................................................................................................................. 59
APPENDICE B ............................................................................................................................. 61
Effetto Faraday ............................................................................................................................................................................... 61
APPENDICE C............................................................................................................................ 64
1)
Materiali anisotropi ........................................................................................................................................................ 64
2)
Indicatrice Ottica ............................................................................................................................................................. 66
Conclusioni ...................................................................................................................................69
Bibliografia e sitografia .............................................................................................................. 70
Bibliografia ....................................................................................................................................................................................... 70
Sitografia ........................................................................................................................................................................................... 70
Ringraziamenti ............................................................................................................................ 71
3
Introduzione
Questo lavoro di tesi è stato svolto nell’ambito dell’esperimento TOTEM, uno dei sei esperimenti della
fisica delle alte energie installati nei laboratori del CERN a Ginevra. L’aumento dell’energia all’interno
dell’LHC e la riduzione della distanza temporale tra i “gruppi” di particelle che vengono fatte interagire
all’interno dell’acceleratore pongono sempre nuovi requisiti tecnologici all’apparto sperimentale.
Nell’analisi degli eventi di interazione tra particelle, sono necessari rivelatori in grado di fornire
l’istante esatto del passaggio di una particella. Nell’ambito dell’esperimento TOTEM, la Collaborazione
ha approvato un aggiornamento finalizzato ad una maggiore precisione nello studio dei processi
diffrattivi. Per fare questo è necessario installare rivelatori capaci di fornire l’istante del passaggio di una
particella con una risoluzione temporale di
.
Poiché la sorgente del segnale di temporizzazione dista più di 200m dai rivelatori, è necessario ottenere
massima precisione nell’invio del clock ai detector, minimizzando i valori di jitter temporali. Per questo
l’esperimento TOTEM ha adottato un sistema di trasmissione optoelettronico, internazionalmente
conosciuto come Universal Picosecond Timing System. La scelta di un sistema di trasmissione ottico risiede
nella larga banda della fibra, che permette l’invio di segnali a frequenze elevatissime lasciando inalterati i
fronti di salita di un clock anche estremamente ripidi. In questo contesto si inserisce il mio lavoro di tesi,
mirato ad una analisi teorica e sperimentale sui componenti optoelettronici del sistema di trasmissione in
fibra.
Il primo capitolo è un’introduzione alla struttura del CERN, con particolari riferimenti all’esperimento
TOTEM e ai detector utilizzati. Inoltre viene sommariamente presentato il sistema di distribuzione di
clock.
Il secondo capitolo è rivolto ad una analisi teorica dei dispositivi optoelettronici che costituiscono il
sistema di trasmissione di clock del TOTEM. In particolare si è analizzato il principio di funzionamento di
ogni dispositivo, con rigore matematico, dove possibile. L’obiettivo di questo tipo di approccio è stato
quello di poter prevedere i risultati delle misure che sarebbero state effettuate sui componenti del
sistema, per poterle interpretare e dare una spiegazione in presenza di eventuali incompatibilità tra i
risultati sperimentali e quelli attesi.
Nel terzo capitolo vengono raccolte le caratterizzazioni più rappresentative di quelle effettuate nei
laboratori dell’esperimento TOTEM, e vengono di volta in volta confrontate con i risultati teorici.
Nel quarto capitolo si è analizzato il punto di maggiore incompatibilità tra le misure effettuate e le
previsioni teoriche. In particolare viene indagato lo shift della caratteristica Potenza ottica di uscita- Tensione
di polarizzazione del modulatore di ampiezza Mach-Zehnder e viene proposta una soluzione per mantenere
la tensione di polarizzazione del dispositivo sempre nel punto operativo ottimale per il suo corretto
funzionamento.
4
Capitolo 1
L’esperimento TOTEM
Large Hadron Collider
L’LHC (Large Hadron Collider) è il più grande e potente acceleratore di particelle mai costruito. È stato
realizzato presso il CERN di Ginevra.
L’acceleratore è installato in un tunnel lungo 26,3 km posto a circa 100 m di profondità. Il suo progetto fu
approvato dal Consiglio del CERN nel dicembre del 1994.
Prima dell’LHC, l’architettura del complesso di acceleratori del CERN prevedeva tre principali
acceleratori interdipendenti, due dei quali ancora in funzione. Il primo è il Proton Synchrotron (PS), che,
alla fine degli anni Cinquanta, quando venne costruito, vantò per un breve periodo la più alta energia di
accelerazione del suo tempo. I risultati ottenuti con il secondo, il Super Proton Synchrotron (SPS), valsero il
premio Nobel per la Fisica, nel 1984, a Carlo Rubbia e Simon van der Meer. Il terzo, il Large Electron
Positron collider (LEP), è stato in funzione fino alla fine del 2000 e sostituito dall’LHC, che ha occupato la
galleria costruita per il LEP.
Figura 1- Layout dell’acceleratore LHC
L’ LHC è un acceleratore formato da due anelli all’interno dei quali vengono fatti viaggiare protoni e
ioni pesanti ad energie elevatissime. Il processo di accelerazione inizia nel Linear Particle Accelerator
(LINAC), poi le particelle passano nel BOOSTER e infine nel Proton Synchrotron e nel Super Proton
Synchrotron. In quest’ultimo raggiungono un’energia di 450 GeV, prima di essere immesse negli anelli
5
dell’LHC, dove vengono accelerate fino a 7 TeV per poi scontrarsi in quattro differenti punti di
interazione (IP). In ciascuno dei punti di interazione sono stati installati i quattro più grandi esperimenti
ad LHC. CMS (Compact Muon Solenoid) e ATLAS (A Toroidal LHC ApparatuS), approvati nel 1997, sono
esperimenti che si pongono l’obiettivo principale di ricercare il Bosone di Higgs e di misurarne tutte le
proprietà fisiche. ALICE(A Large Ion Collider Experiment) è un esperimento progettato per lo studio delle
collisioni tra ioni pesanti e dello stato della materia detto plasma di quark e gluoni. LHCb è stato realizzato
per lo studio della cosiddetta B-physics, nel tentativo di trovare una risposta al quesito dell’asimmetria tra
materia e anti-materia.
LHCf e TOTEM sono esperimenti di dimensioni più piccole rispetto a quelli appena elencati. Sono
specializzati nelle misure per la cosiddetta Forward Physics.
L’esperimento TOTEM
L’esperimento TOTEM (TOTal cross section, Elastic scattering and diffraction dissociation Measurement) è
installato lungo il tunnel di LHC, nei pressi dello stesso punto di interazione assegnato a CMS, ed
all’interno dello stesso CMS. Inoltre, i due esperimenti, prevedono diverse campagne di presa dati in
comune, per questo condividono alcune parti dall’architettura di front-end e di read-out, proprio per
necessità di compatibilità e di condivisione dei sistemi di acquisizione.
L’esperimento TOTEM si pone come principale obiettivo la misura della sezione d’urto protone-protone
totale ed elastica, oltre allo studio dei processi di dissociazione diffrattiva. La sezione d’urto è proporzionale
alla probabilità di collisione tra due particelle e si misura come l’inverso di una superficie. La metodologia
di misura, richiede di valutare con precisione gli angoli di deviazione delle particelle rispetto all’asse della
interazione; per questo motivo l’esperimento TOTEM utilizza tre diversi tipi di rivelatori, posizionati a
distanza differente rispetto al punto di interazione considerato.
Negli esperimenti della fisica delle particelle, si definisce pseudo-rapidità l'espressione
(
( **
in cui  rappresenta l'angolo tra la particella diffratta e la direzione a seguito di un'interazione.
Figura 2 – Layout dei detector di TOTEM
6
Per soddisfare il requisito di misura angolare e distinguere la maggior parte delle topologie degli eventi
diffrattivi, TOTEM dispone di tre rivelatori dotati di tecnologie distinte: i telescopi T1 e T2 e le Roman
Pot. Tra di loro hanno in comune la simmetria dei propri elementi rispetto al punto di interazione, ma si
differenziano per il diverso intervallo di pseudo-rapidità che possono rivelare.
Telescopio T1
Il telescopio T1 è sensibile all’intervallo di pseudo-rapidità
, ed il suo compito è quello di
misurare le tracce delle particelle prodotte nelle interazioni inelastiche. Si compone di due bracci
simmetrici. Il telescopio ha il ruolo fondamentale di individuare la posizione del vertice di interazione e
di identificare la topologia dell’evento sotto osservazione. In particolare si pone l’obiettivo di produrre
segnali di trigger utili per distinguere le interazioni fascio-fascio da quelle di fondo, caratterizzate da
vertici lontani dal punto di interazione.
Ciascun braccio di T1 è composto da 5 piani equispaziati perpendicolari alla direzione del fascio.
Ciascun piano è a sua volta suddiviso in sei camere (Cathode Strip Chambers, CSC), sovrapposte in modo tale
da eliminare l’effetto delle zone insensibili ai bordi delle stesse, permettendo, in questo modo, una
copertura totale dell’angolo azimutale.
Figura 3 - Modello di un braccio del Telescopio T1
Telescopio T2
Il telescopio T2 copre un intervallo di pseudo-rapidità di
più piccoli rispetto a quelli
nella accettanza di
, corrispondenti pertanto ad angoli
T1. Anche i
due bracci di T2 sono disposti
simmetricamente rispetto al punto di interazione, ma ad una maggiore distanza. Anche nel caso del
telescopio T2, il suo compito è quello di misurare le tracce delle particelle prodotte nelle interazioni
inelastiche.
T2 utilizza rivelatori basati sulla tecnologia Triple GEM (Gas Electron Multiplier). Si tratta di tre fogli di
polimeri, spessi
, ricoperti da uno strato di rame nei quali vengono praticati dei fori. Il gas al loro
interno (una miscela di
e
) viene ionizzato in presenza di una particella carica. Il segnale generato
dagli elettroni rilasciati dalla ionizzazione, sarebbe troppo basso per essere rivelato. Per questo tra gli
7
strati di rame, viene applicata una tensione che raggiunge i
. Il forte campo elettrico che si viene a
generare nei fori provoca un effetto di moltiplicazione a valanga, per cui il segnale generato viene
amplificato.
Per aumentare il guadagno totale, vengono utilizzati tre fogli di GEM, in modo da raggiungere lo stesso
guadagno che si otterrebbe con un unico foglio più spesso e con una tensione tripla, ma riducendo il
rischio di scariche indesiderate.
Figura 4 – Braccio di un Telescopio T2
Roman Pot
Le stazioni di Roman Pot sono installate nel tunnel di LHC, a distanze dell’ordine di 200m dal punto di
interazione. Le Roman Pot sono state disegnate per permettere l’identificazione di protoni prodotti nello
scattering elastico o diffrattivo. I detector dei Roman Pot sono posizionati in un contenitore inserito nel
settore di vuoto secondario di LHC. Il contenitore, chiamato “Pot”, divide fisicamente il settore di vuoto
primario del tubo del fascio, da quello riservato ai rivelatori, per rendere più facili alcune operazioni di
manutenzione, nonché di preservare il vuoto primario dal degassamento non controllato dei materiali del
rivelatore. Tre Roman Pot formano un’unità. Due unità compongono una stazione. Sono presenti due
stazioni da una parte e due dall’altra parte del punto di interazione. In ciascuna delle stazioni un’unità è
ruotata di 8° rispetto all’altra nella direzione azimutale (attorno all’asse del fascio).
Un sistema di movimento azionato in remoto dalla stazione di controllo, avvicina molto i detector fino
al fascio così da poter essere sensibili a piccolissimi angoli di diffrazione.
Ciascun Pot ospita 10 piani di rivelatori al silicio con strisce di lettura del segnale di ionizzazione
prodotto dal passaggio delle particelle. In particolare cinque piani hanno le strisce orientate a
rispetto al bordo che è più vicino al fascio, mentre le altre cinque sono a
Una simile struttura
definisce due proiezioni, chiamate rispettivamente U e V, che permettono di ricostruire con alta
precisione la posizione della particella rivelata.
8
Figura 5 - Prototipo di una Roman Pot
Il sistema di Timing dei Detector
Gli obiettivi scientifici che TOTEM si propone di raggiungere nel nuovo periodo di run di LHC esulano
dalle finalità di questa tesi, ma definiscono le specifiche dei sistemi ingegneristici che ne sono a supporto.
In particolare si richiede l’installazione di detector temporali installati nelle Roman Pot, con le seguenti
caratteristiche:


una risoluzione temporale di 50 ps;
elevata efficienza fino ai bordi più vicini al fascio
In particolare per la risoluzione temporale di 50 ps è necessario che il segnale di clock di riferimento
abbia un jitter dell’ordine dei picosecondi.
Da qui nasce la necessità dell’installazione di un sistema di distribuzione di clock in fibra ottica che
dalla sala di controllo arrivi fino alle Roman Pot e riesca a soddisfare la specifica richiesta.
Il sistema di distribuzione di clock
Le nuove specifiche sul sistema di distribuzione di clock per l’esperimento TOTEM nascono dalla
necessità di soddisfare la richiesta di altissima precisione dei detector temporali. Il sistema scelto per
l’installazione in TOTEM è stato adattato dall’ Universal Picosecond Timing System, sviluppato presso il
laboratorio GSI di Darmstadt.
La rete di distribuzione di clock si basa su un sistema di trasmissione ottico che utilizza la tecnica
DWDM (Dense Wavelength Division Multiplexing) su una comune fibra monomodale.
Il sistema si divide in quattro blocchi:




unità di trasmissione
unità di distribuzione
unità di misura
unità di ricezione
9
Figura 6 - Sistema di distribuzione di clock
Unità di trasmissione
Nell’unità di trasmissione sono presenti due sorgenti LASER. Le due sorgenti utilizzano le lunghezze
d’onda
e
. La presenza di isolatori immediatamente dopo i LASER assicura che
le sorgenti non siano influenzate da potenza riflessa lungo il percorso.
Di seguito, un modulatore ottico di ampiezza (Mach-Zehnder) per ciascuno dei due canali, modula la
portante con il segnale a radiofrequenza che deve essere trasferito sulla fibra. Per controllare il
modulatore si utilizzano connessioni elettriche (tratteggiate in figura), mentre le trasmissioni dei segnali
ottici avvengono su fibra ottica monomodale (linea continua in figura). Infine un multiplexer convoglia
entrambi i segnali su un’unica fibra che va all’unità di distribuzione.
10
Figura 7 - Unità di trasmissione
Unità di distribuzione
L’unità di distribuzione si compone di due elementi con funzioni differenti.
L’EDFA è un amplificatore ottico, necessario per evitare che le attenuazioni, dovute alle inserzioni di
tutti i componenti e anche alle perdite lungo la linea di trasmissione, impediscano di ottenere l’immunità
desiderata nei confronti del rumore.
Dopo l’amplificatore ottico, uno splitter permette di dividere il segnale su quattro differenti fibre con lo
scopo di poter gestire i quattro diversi punti di ricezione del segnale (le stazioni di Roman Pot
posizionate nel tunnel di LHC).
Figura 8 - Unità di distribuzione
Unità di misura
In questa unità viene misurato il ritardo a partire da un segnale di riferimento. In particolare una terza
sorgente LASER genera un segnale di riferimento, otticamente modulato da un Mach-Zehnder. Uno
switch ottico permette di smistare il segnale su quattro add/drop multiplexer e verso un reflector, utile per la
calibrazione. Gli add/drop multiplexer permettono di aggiungere questa terza portante al segnale che
contiene le due generate nella unità di trasmissione.
In questo modo, viaggiano su una fibra di circa 220 m le tre portanti
Dall’unità di ricezione, la portante
,
e
.
, viene riflessa verso l’unità di misura. In questo modo è possibile
effettuare misure di ritardo e stabilizzare i modulatori così da ridurre il jitter in ricezione. In particolare
un network analyzer permette confrontare la fase della portante di riferimento e di quella riflessa dall’unità
di ricezione. Questo ritardo di fase permette di stimare il ritardo di propagazione di tutti i canali del
sistema.
11
Figura 9 - Unità di misura
Unità di ricezione
Nell’unità di ricezione un FBG (Fiber Bragg Grating) permette di riflettere verso l’unità di misura soltanto
la portante
. Le altre due portanti che arrivano al demultiplexer vengono estratte verso i due ricevitori e
da qui possono essere distribuite all’elettronica di lettura dei rivelatori.
Figura 10 - Unità di ricezione
Questa unità dovrebbe essere posizionata quanto più vicino possibile alle Roman Pot. Inoltre potrebbe
essere necessaria una stabilizzazione in temperatura, basata sulla caratterizzazione termica del punto di
installazione nel tunnel, allo scopo di ridurre le differenze del ritardo effettivo da quello misurato
nell’unità di misura.
12
Capitolo 2
Principi generali del WDM
Il WDM (Wavelength Division Multiplexing) utilizza portanti ottiche di lunghezze d’onda differenti,
ciascuna modulata all’interno di una certa banda. A ciascuna portante viene associato un canale.
L’operazione di multiplexing/demultiplexing viene effettuata da opportuni componenti ottici detti multiplexer
e demultiplexer.
Figura 11 - Schema di un generico sistema WDM
In fase di trasmissione è necessaria una sorgente LASER per ciascuno dei canali da utilizzare. Dopo
aver opportunamente modulato i segnali LASER, le fibre ottiche su cui viaggia ciascuno di essi vanno in
ingresso al Multiplexer. Questo componente ottico permette di convogliare tutti i segnali in ingresso
all’interno di una sola fibra in uscita. In fase di ricezione, lo stesso Multiplexer, utilizzato però nella
direzione opposta, fa da Demultiplexer. Così è possibile ricevere contemporaneamente, su fotoricevitori
diversi, segnali che occupano canali distinti. Un simile sistema di trasmissione consente di aumentare
notevolmente la velocità di trasmissione, che è già uno degli aspetti vincenti della fibra ottica, grazie alla
larga banda di trasmissione.
Sorgente LASER – Derivazione della caratteristica
Potenza ottica-pompaggio
Interazione radiazione materia
In un sistema atomico ideale, con due livelli energetici, di cui uno eccitato e l’altro a livello di quiete,
sono possibili due diversi possibili meccanismi di interazione che coinvolgono elettroni e fotoni:
l’assorbimento e l’emissione.

ASSORBIMENTO: quando un elettrone si trova nello stato energetico più basso, l’arrivo di un
fotone di energia
pari a
potrebbe indurlo a saltare al livello energetico più alto,
assorbendo il fotone.

EMISSIONE SPONTANEA: se invece un elettrone si trova nello stato energetico più alto,
potrebbe tornare al livello energetico più basso emettendo spontaneamente un fotone di energia
.
13

EMISSIONE STIMOLATA : l’arrivo di un fotone può stimolare un elettrone a livello energetico
alto a scendere a livello energetico più basso. In questo caso viene prodotto un fotone con la
stessa polarizzazione e fase di quello incidente.
Figura 12 (a) Assorbimento di un fotone (b) Emissione spontanea di un fotone (c) Emissione
stimolata di un fotone
In tutti i casi analizzati viene preservato il principio di conservazione dell’energia. L’emissione
stimolata, in condizioni di equilibrio, non viene osservata perché la probabilità di emissione spontanea è
molto più alta di quella stimolata. Il tempo medio in cui un elettrone esiste nello stato energetico eccitato
è il tempo di vita medio
. La probabilità che un elettrone decada in un intervallo di tempo dt vale
Inoltre l’emissione spontanea dà vita casualmente a fotoni, che risultano, pertanto, in un fascio
incoerente. Invece l’emissione stimolata genera fotoni coerenti in fase (e in frequenza) e con la stessa
polarizzazione del fotone incidente.
Il LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) è un amplificatore ottico basato
sull’emissione stimolata di fotoni. Nel 1917 Einstein ha dimostrato che deve esistere l’emissione stimolata,
ma solo nel 1960 T. H. Maiman ottenne l’azione LASER alle frequenze ottiche.
I coefficienti di Einstein
In un sistema all’equilibrio termodinamico, deve succedere che il tasso di assorbimento eguagli quello
di emissione di elettroni. All’interno di un corpo nero la densità di energia ( ) ha variazioni molto lente
14
con la frequenza, rispetto alla lineshape function ( ) (si vedano le appendici A.1 e A.2). In un sistema con
atomi a livello energetico basso,
( ) rappresenta la densità spettrale del numero di atomi per
unità di volume che possono assorbire radiazioni con frequenza tra
e
, mentre
( ) la densità
spettrale del numero di atomi per unità di volume che possono emettere radiazione alle stesse frequenze.
All’equilibrio termodinamico, succede che
( ) ( )
( )
( ) ( )
Integrando entrambi i membri, si ottiene
∫
( ) ( )
∫ ( )
∫
( ) ( )
Figura 13 - Lineshape function e densità di energia in un corpo nero
Considerando ( ) approssimativamente costante sullo stretto intervallo di frequenze della lineshape
function, si ottiene
( )∫
( )
( )
( )∫
∫ ( )
( )
( )
Il tasso di assorbimento sarà quindi legato al numero di elettroni a livello energetico più basso (
) e alla
densità di fotoni disponibili per unità di volume.
( )
Il tasso di emissione sarà somma di due contributi: uno proporzionale solo al numero di atomi allo stato
energetico eccitato, l’altro proporzionale al numero di atomi allo stato energetico eccitato e al numero di
fotoni disponibili per unità di volume.
( )
Uguagliando il risultato ottenuto con la densità di energia all’interno di un corpo nero (si faccia
riferimento all’appendice A.1), si ha
( )
15
Dividendo per
il numeratore e il denominatore, si ottiene
Ricordando che il sistema è all’equilibrio termodinamico, per la legge di Boltzmann, le popolazioni si
distribuiscono secondo l’espressione
Figura 14 - Distribuzione di Boltzmann
Da cui si ottiene
Pertanto, per confronto, risulta
Queste
ultime
due
espressioni
prendono
il
nome
di
relazioni
di
Einstein.
Inoltre è immediato osservare che
Questo indica che in ogni istante ci sono più fotoni assorbiti che quelli prodotti per emissione stimolata.
Ciò rende impossibile, all’equilibrio termodinamico, l’amplificazione della luce all’interno di un corpo
nero. Pertanto la condizione di equilibrio dovrà essere modificata per produrre radiazione LASER.
Per quanto riguarda, invece, le relazioni di Einstein così ottenute, esse possono anche essere dimostrate al
di fuori dell’equilibrio termodinamico.
Inversione di popolazione
Si supponga di inviare potenza ottica su un mezzo isotropo assorbitore. Si consideri un raggio quasi
monocromatico, come quello selezionato all’interno di una cavità risonante.
16
Figura 15- Lineshape function e densità di energia in una cavità risonante
All’equilibrio termodinamico deve succedere che il numero di fotoni assorbiti eguagli quello dei fotoni
generati.
( ) ( )
∫
∫ ( )
∫
∫ ( )
(
( ) ( )
In presenza di un raggio quasi monocromatico
(
)∫
( )
(
)
(
)∫
( )
)
Si definisca irradianza l’energia per unità di tempo che fluisce attraverso un’unità di superficie.
Pertanto, essendo
∫
la densità di energia per unità di volume (
( )
)e
il numero di fotoni
per unità di volume, risulta
( )
∫
con
∫
( )
frequenza centrale del fascio inviato.
Figura 16 - Radiazione che attraversa un elemento voluminoso di spessore
Si osservi che si è considerato
al numeratore quasi costante nell’integrazione, poiché moltiplicato per
( ), molto stretto in banda.
La potenza all’uscita del mezzo isotropo è legata a quella di ingresso secondo la relazione che segue (dove
è il coefficiente di assorbimento in potenza)
(
)
( )
( )
17
Passando al limite per
, si ottiene
( )
Si tratta di un’equazione differenziale, avente come soluzione
Inoltre
(
)
Supponendo che all’interno del corpo nero si possa trascurare l’emissione spontanea, a fronte del
contributo più consistente dell’emissione stimolata (posto
(
)
(
)
(
Ricordando l’espressione
), si ricava
(
)
)(
(
)
)
, è evidente che, affinché l’irradianza aumenti, è necessario che
, cioè quando si raggiunge l’inversione di
sia negativo. Questo si ottiene nel momento in cui
popolazione. Tale situazione non si può verificare all’equilibrio termodinamico. L’inversione di popolazione
è uno dei due elementi fondamentali per generare una radiazione LASER. L’altro elemento
imprescindibile è la cavità risonante che rifornisca continuamente i fotoni che stimolino la generazione di
nuovi. Per ottenere
negativo, è necessario che un pompaggio esterno ( ) garantisca che
(denominata inversione di popolazione) sia positiva.
Equazioni di velocità
Considerando le equazioni di velocità è possibile valutare il pompaggio di soglia necessario a generare
l’inversione di popolazione. Si può dimostrare che in un sistema a due livelli non esiste un pompaggio
sufficiente ad invertire la popolazione.
Per un sistema tre livelli, invece, si può scrivere
(
{
(
)
)
con
Le costanti
termini
rappresentano i tempi di vita medi degli elettroni su un certo livello energetico . I
rappresentano il tempo di vita medio su un certo livello energetico
decadimento (emissione spontanea) su un livello energetico
. I termini
, prima di un
rappresentano il numero
elettroni per unità di volume, eccitati al livello x.
Dal sistema, annullando le derivate (comportamento a regime) e imponendo la positività di
, si
ottiene
18
{
(
*
Invertire la popolazione tra il primo livello e il secondo, significa però (trascurando il piccolo contributo
di
) che
. Questo risulta troppo dispendioso in termini di pompaggio.
Per un sistema a quattro livelli, a partire dalle equazioni di velocità, si dimostra che
(
)(
)
( )
con
molto maggiore di
(condizione necessaria per garantisce l’inversione di popolazione).
La cavità Fabry-Pérot
La cavità Fabry-Pérot è un risonatore costituito da due superfici riflettenti tra le quali la radiazione
ottica si immagazzina e, nel caso del LASER, viene amplificata.
Si consideri, ad esempio, una cavità con le due superfici piane riflettenti e incidenza normale dell’onda
sulle superfici. In questo caso potranno rigenerarsi nella cavità solo le onde a frequenza tale da ricomporsi
costruttivamente con se stesse dopo la riflessione su entrambe le superfici:
(
(
)
)
(
(
)
)
Figura 17 - Cavità Fabry- Pérot
Con (coefficiente di riflessione in ampiezza) reale, si ottiene che
, da cui
Pertanto, solo le frequenze che verificano questa equazione si ricombinano in fase con se stesse
all’interno della cavità. La distanza spettrale tra due frequenze consecutive che risuonano nella cavità è
dato da
. Questa grandezza prende il nome di free spectral range. Le altre frequenze si
ricomporranno con più o meno interferenza distruttiva, determinando la banda della cavità.
Si consideri adesso una radiazione all’interno di una cavità Fabry-Pérot, (riempita di materiale che
permetta, tramite pompaggio adeguato, di raggiungere l’inversione di popolazione). Fissata una certa
posizione iniziale, l’irradianza, dopo uno spostamento generico x, varrà ( )
(
)
, dove g è lo
19
stesso fattore , a meno di un segno, calcolato nel paragrafo precedente, mentre
tiene in considerazione
tutte le perdite, ad eccezione di quelle di riflessione agli specchi.
Affinché la radiazione si autosostenga, deve necessariamente succedere che
uguagli almeno le perdite
dovute

all’assorbimento del mezzo

alle perdite da riflessione agli specchi

allo scattering

alla diffrazione agli specchi.
Affinché questo succeda, dopo un percorso completo (round trip) all’interno della cavità, l’irradianza non
dovrà essere cambiata
(
)
(
Da qui è possibile ricavare l’espressione del guadagno di soglia
), che garantisce
l’amplificazione LASER. Ricordando che
(
)
(
)
Si ottiene, nelle condizioni di soglia,
(
)
(
)
L’inversione di popolazione di soglia si dimostra essere l’unica possibile in condizioni di amplificazione
LASER. Infatti, qualora il pompaggio superasse il valore di soglia, l’irradianza comincerebbe ad
aumentare considerevolmente. Tuttavia, proprio l’aumento della radiazione, e pertanto della densità di
energia, all’interno della cavità, porterebbe tanti elettroni dai livelli energetici eccitati al decadimento da
emissione stimolata, riducendo così l’inversione di popolazione. Questa condizione di non linearità
prende il nome di self-limiting: ciò è proprio causato dal fatto che l’aumento dell’inversione di popolazione
incrementa la densità di energia della radiazione, che a sua volta fa diminuire l’inversione di popolazione.
Ricordando l’espressione dell’inversione di popolazione in un LASER a quattro livelli,
(
)(
)
( )
si può considerare che, finché il pompaggio è sotto soglia, la radiazione non si amplifica e ( )
.
Pertanto si verifica che
(
)(
)
Fino al pompaggio di soglia l’espressione resta la stessa. Pertanto
(
)(
)
Quando il pompaggio supera la soglia, si ha che la densità di energia inizia ad aumentare: il pompaggio
cresce, così come il termine ( )
al denominatore, lasciando costante il
20
(
)(
)
( )
Da queste ultime due espressioni, si ottiene
( )
( )
Ricordando l’espressione dell’irradianza spettrale,
( )
( )
si ha
(
*
Figura 18 Caratteristica Potenza ottica- Pompaggio del LASER
21
Isolatore
L’isolatore è un dispositivo a due porte che permette il flusso di potenza in una sola direzione, evitando
così danni al LASER.
Elemento fondamentale dell’isolatore è il rotatore di Faraday basato sull’effetto Faraday. L’effetto consiste
nella rotazione della polarizzazione lineare di un’onda che attraversa il rotatore, di un angolo
proporzionale alle dimensioni longitudinali dello stesso (per ulteriori dettagli si consulti l’appendice B).
L’aspetto più interessante del rotatore di Faraday è che l’angolo di polarizzazione viene ruotato sempre
nello stesso senso indipendentemente dalla direzione di incidenza dell’onda sull’oggetto. Pertanto
materiali soggetti a effetto Faraday non sono reciproci.
L’isolatore si compone di tre parti ordinate in questo modo

polarizzatore

rotatore di Faraday

polarizzatore
Il primo dispositivo serve a polarizzare linearmente l’onda che incide con una generica polarizzazione.
Il rotatore di Faraday ruota la polarizzazione incidente di un angolo che dipende dalla dimensione
longitudinale
del mezzo anisotropo. Il terzo dispositivo polarizza la luce nella stessa direzione di quella
ottenuta in uscita dal rotatore di Faraday. Non si tratta di un elemento importante in trasmissione, ma è
fondamentale per evitare che l’onda proveniente dalla porta di uscita e diretta verso l’ingresso possa
raggiungere la sorgente LASER.
Figura 19 - Struttura di un isolatore
22
Quindi il primo polarizzatore lineare polarizza la luce proveniente dal LASER, permettendo di ottenere
luce polarizzata a
in ingresso al rotatore di Faraday. In uscita dal rotatore, la luce risulta polarizzata
linearmente ad un angolo di .
Figura 20 - Fasi di polarizzazione della luce nella direzione consentita
In presenza di potenza ottica proveniente dalla porta di uscita, il polarizzatore con angolo
serve per
polarizzare linearmente la luce incidente. Poi la polarizzazione lineare subisce una rotazione di un
ulteriore angolo
dal rotatore. Si ottiene così un’onda polarizzata linearmente ad un angolo di
Risulta chiaro che, affinché non ci sia potenza che torni al LASER, è necessario che
.
così che il
polarizzatore sulla porta di ingresso impedisca completamente che la potenza ottica possa raggiungere la
sorgente. L’elemento chiave del funzionamento dell’isolatore si basa sulla non reciprocità del rotatore di
Faraday.
Figura 21 - Fasi di polarizzazione della luce nella direzione non consentita
23
Modulatore Mach-Zehnder
Effetto elettroottico
Un materiale si dice anisotropo quando le sue proprietà variano a seconda della direzione nella quale
viene interrogato (si veda appendice C.1). In un mezzo anisotropo, la relazione tra campo elettrico e
campo di induzione elettrica è di tipo tensoriale
⃗
⃗
Alcuni materiali otticamente anisotropi variano le proprie caratteristiche ottiche al variare della
tensione applicata ai capi del cristallo e della direzione nella quale la tensione viene applicata. L’effetto
prende il nome di effetto elettroottico. In prima approssimazione può considerarsi lineare (effetto Pockels), ma
nella realtà non lo è. L’algebra tensoriale permette di considerare l’effetto attraverso un tensore
appunto, elettroottico, che lega le variazioni degli elementi della matrice
detto,
di impermeabilità dielettrica (si
veda appendice C.2) alle tre componenti di campo elettrico, valutate lungo gli assi cartesiani del
riferimento.
(
)
Definito
⃗⃗⃗⃗
[ ( *
( *
( *
( *
( *
( *]
si verifica che
⃗⃗⃗⃗
(
(
(
,
)
*
∑
I materiali non elettroottici hanno il tensore elettroottico di elementi tutti nulli. L’effetto si manifesta
prevalentemente nei cristalli non centrosimmetrici.
La possibilità di modificare l’indice di rifrazione, con una tensione di polarizzazione applicata al
cristallo, permette una modulazione di fase di un segnale ottico che si propaga all’interno del mezzo
uniassico in questione.
Modulatore Mach-Zehnder
Il modulatore Mach-Zehnder permette la modulazione di ampiezza grazie alla modulazione di fase
introdotta dall’effetto elettroottico. L’effetto elettroottico è un effetto veloce che consente modulazioni di
ampiezza a frequenze anche molto elevate. Per creare una modulazione di ampiezza a partire da una
modulazione di fase è necessario dividere la radiazione in ingresso al Mach-Zehnder in due differenti
rami, per mezzo di un accoppiatore direzionale. Il cammino geometrico sui due rami è sempre lo stesso
(almeno in linea teorica), mentre il cammino ottico potrà essere modificato, proprio per mezzo di una
tensione applicata ad uno dei due rami.
24
Figura 22 - Struttura di un modulatore Mach-Zehnder
Entrambi i rami sono in LiNbO3 e su uno di essi viene applicata una tensione di bias, che, a causa
dell’effetto elettroottico, introduce modulazione di fase sul ramo sul quale è applicata.
Quando poi, al secondo accoppiatore, i due segnali vengono ricomposti, si ottiene un’onda con fase
diversa a seconda della tensione applicata al cristallo. Si considerino le onde sui due rami diversi con la
notazione complessa
(
)
(
)
Quando le due onde vengono ricongiunte dal secondo accoppiatore, si ottiene
(
|
|
|
|
)
( )
( )
( )
( )
Da cui si arriva a
( *
Figura 23 Caratteristica
Si può dimostrare che l’espressione della differenza di fase introdotta in un cristallo anisotropo
uniassico è proporzionale alla tensione di bias applicata. Quindi la potenza di uscita normalizzata in
funzione della tensione di polarizzazione, si osserva nella caratteristica in figura 24.
Una volta stabilito il punto di lavoro attraverso la tensione di polarizzazione sarà sufficiente applicare
un piccolo segnale, sovrapposto alla tensione di bias. Per “piccolo” si intende un segnale che non infici la
linearità del circuito. Risulta evidente che la regione di funzionamento più adatta per una modulazione a
radiofrequenza è sicuramente il punto in quadratura indicato in figura 23. In questo caso la pendenza
della curva nel punto di quadratura rappresenta la condizione di maggior guadagno di piccolo segnale
25
(maggiore pendenza
) ed è sicuramente il punto di maggiore linearità della funzione
Questo significa che la curva del guadagno di segnale è sfasata di
( ).
rispetto alla curva della
trasmissione. Pertanto il punto a maggiore pendenza rappresenta il miglior candidato per la scelta del
punto operativo in un sistema di trasmissione con modulatore di ampiezza Mach-Zehnder: infatti, come
detto, garantisce il massimo guadagno e contemporaneamente la zona di massima linearità.
Figura 24 - Guadagno di segnale
Si noti subito che il Niobato di Litio, uno dei cristalli più utilizzati per questo tipo di applicazioni,
risente anche dell’effetto piezoelettrico (variazione delle proprietà meccaniche del materiale al variare
della tensione applicata) e dell’effetto piroelettrico, nonché di quello fotoconduttivo. Questo si traduce in
shift della caratteristica che non si riescono ancora a modellare dal punto di vista teorico e che possono
sfasare la caratteristica cosinusoidale ottenuta in figura 23 anche di più di 90°. Tutto ciò comporta la
necessità di utilizzare un controllo in retroazione che garantisca sempre di operare al punto di lavoro
ottimale, cioè nel punto in quadratura per applicazioni di trasmissioni di segnali.
Si consideri, inoltre, che anche il campo elettrico dovuto alla luce incidente sul Mach-Zehnder
contribuisce a modificare localmente l’indice di rifrazione del mezzo preso in considerazione. Questo
fenomeno non lineare prende il nome di fotorefrattivo.
Multiplexer
Interferenza e diffrazione
Per ottenere multiplazione e demultiplazione di segnali è utile conoscere i fenomeni di interferenza e di
diffrazione da reticolo.
Quando luce monocromatica incontra una fenditura, essa si comporta da sorgente di Huygens. In
presenza di più fenditure, tutte le sorgenti equivalenti di Huygens interferiscono tra di loro generando un
pattern di interferenza su uno schermo opaco a distanza teoricamente infinita dalle fenditure.
L’interferenza è un fenomeno osservabile solo in condizioni di “coerenza” , cioè in condizioni in cui la
differenza di fase tra le onde emergenti dalle due sorgenti di Huygens resta costante nel tempo.
La luce non si propaga come un treno d’onda di durata infinita, ma si presenta sotto forma di pacchetti
d’onda ad energia quantizzata, i fotoni. In condizioni in cui la luce generata da una sorgente LASER
26
incontra un reticolo di interferenza, la condizione di coerenza è soddisfatta (almeno per angoli di
diffrazione piccoli).
In generale, quando il reticolo presenta
fenditure distinte, nei diversi punti dello spazio, le onde
provenienti da ciascuna sorgente si ricompongono tra loro con fasi differenti. Risulta evidente che, in
condizioni di incidenza normale, per una interferenza costruttiva è necessario che la differenza di
cammino ottico tra il raggio che emerge da una fenditura e quello che emerge dalla fenditura successiva
vale
( )
Figura 25 - Reticolo di diffrazione
con
Invece, in presenza della configurazione blazed grating (in figura 26), per ottenere una condizione di
interferenza costruttiva, a seguito della riflessione sul reticolo, si può ricavare l’espressione
(
( )
( ))
Infatti la differenza di cammino ottico tra due raggi, che incidono sul reticolo ad una distanza pari al
periodo di reticolo, vale
( )
Figura 26 - Diffrazione da blazed grating
27
Per quanto riguarda il raggio riflesso, si può ripetere lo stesso ragionamento. Pertanto l’ulteriore
differenza di cammino ottico varrà
( )
Globalmente la condizione di interferenza costruttiva tra i due raggi riflessi viene garantita da
(
( )
( ))
Per mezzo di un reticolo di riflessione, o un reticolo di interferenza, è possibile ottenere la
multiplazione e la demultiplazione di segnali ottici.
Si osservi, infatti che, fissato l’angolo
di incidenza, l’angolo
di massima interferenza cambia al variare
della lunghezza d’onda. Proprio in questo modo è possibile separare un solo raggio incidente in raggi
distinti a frequenze differenti.
Grating-Based Multiplexer/Demultiplexer
Il multiplexer e il demultiplexer sono due dispositivi indispensabili in un sistema di comunicazione WDM.
Essi si dividono in due classi molto estese:

Multiplexer/demultiplexer
diffraction-based utilizzano elementi a dispersione angolare (come i
reticoli di diffrazione)

I multiplexer/demultiplexer interference-based utilizzano componenti come accoppiatori e filtri.
Data la reciprocità degli elementi, e considerato il principio di invertibilità della luce, in tutti i casi lo
stesso dispositivo può essere utilizzato indifferentemente da multiplexer o da demultiplexer. Pertanto si
può studiare con più semplicità un demultiplexer, per poi estenderne i risultati al multiplexer.
Esistono sistemi basati su più tecnologie, che però presentano difficoltà in termini di trasmissione
multimodale e bidirezionale.
I demultiplexer grating-based sfruttano il fenomeno della diffrazione di Bragg da un reticolo ottico.
Figura 27 - Struttura demulitplexer
Il demultiplexer si compone di una fibra di ingresso e più fibre di uscita. La luce policromatica che
viaggia sui differenti canali di una stessa fibra incontra una lente sottile convergente, nel cui fuoco si
trova un reticolo di diffrazione. Il raggio viene collimato verso il reticolo di diffrazione e la luce viene
dispersa angolarmente a seguito della riflessione. Di seguito i fasci che emergono distinti dal reticolo
28
vengono focalizzati verso la propria fibra di uscita. Un’alternativa è rappresentata dall’utilizzo di una
lente a indice graduato.
Figura 28 - Demultiplexer con lente a indice graduato
Considerando, per esempio, un blazed-grating è possibile valutare la dispersione angolare.
Dall’espressione ottenuta su reticolo blazed,
(
( )
( ))
e ottenere(nel caso di un blazed-grating)
si può trascurare il
( )
( )
( )
( )
( )
Circolatore
Il circolatore è un dispositivo a tre porte che permette un trasferimento di potenza dalla porta
porta e dalla porta
alla porta , impedendo il passaggio di potenza ottica dalla porta
alla
alla porta .
Figura 29 – Circolatore
Da un punto di vista ottico, gli elementi chiave per la realizzazione di un circolatore sono il rotatore di
Faraday (si veda Appendice B) e i due blocchi di walk-off. Questi ultimi sono blocchi di materiale
birifrangente tagliati a 45° rispetto all’asse ottico. La luce che incide sul blocco di walk-off viene divisa in
due raggi, uno ordinario e uno straordinario (si veda appendice C.1). Nonostante i vettori di propagazione
di ciascuno siano paralleli rispetto a quello dell’onda incidente, le direzioni di massima trasmissione di
potenza sono diverse. Si ricordi che il raggio viene identificato dalla direzione del vettore di Poynting
(ovvero di massimo trasferimento di potenza) e nei mezzi anisotropi spesso non coincide con il vettore
d’onda (ortogonale ai fronti di fase). Il raggio ordinario viaggia parallelamente rispetto al raggio
incidente, mentre il raggio straordinario viene deviato nel blocco di walk-off. Poi i raggi riemergono
29
paralleli. Successivamente entrambi i raggi attraversano il rotatore di Faraday, che ne ruota la
polarizzazione di
. Un half-wave plate ruota la polarizzazione di ulteriori
. L’ultimo blocco di walk-
off ha l’effetto opposto rispetto al primo, ricombinando i due raggi in uno unico di uscita.
Figura 30 – Struttura del circolatore, potenza in ingresso alla porta 1
Per quanto riguarda il percorso dalla porta
alla porta , il primo blocco di walk-off divide le due
polarizzazioni ortogonali, che però riemergono parallele. L’half-wave plate ruota di
polarizzazioni. Il rotatore di Faraday, invece le fa ruotare indietro di
entrambe le
ricostituendo la polarizzazione
iniziale. Questo significa che i due raggi vengono ulteriormente allontanati dal secondo blocco di walk-off.
In questo modo la porta
rimane isolata.
Figura 31 –Struttura del circolatore, potenza in ingresso alla porta 2
Risulta chiaro in questi discorsi che il funzionamento è garantito dal comportamento differente del
rotatore di Faraday e dal half-wave plate. Infatti il primo non si comporta reciprocamente, diversamente dal
secondo. La non reciprocità del rotatore di Faraday garantisce la non reciprocità di tutto il circolatore.
Add-Drop Multiplexer
Dall’unità di ricezione del sistema di trasmissione di clock viene aggiunta una portante modulata
(detto flusso tributario) ad una trama multiplata (detto anche flusso aggregato) tramite l’utilizzo di un adddrop. Il dispositivo presenta quattro porte.

Porta di ingresso di segnale multiplato, a cui si vuole aggiungere un canale

Porta di “Add”, cioè l’ingresso da cui è possibile aggiungere un canale flusso tributario

Porta di “Drop” da cui si può prelevare un flusso tributario

Porta di uscita
30
Figura 32 - Struttura dell'add-drop multiplexer
Il nome del dispositivo si riferisce proprio alla possibilità di aggiungere e rimuovere flussi tributari.
Il dispositivo, nella sua forma più semplice è costituito dalla sequenza di un demultiplexer e di un
multiplexer.
Dopo il primo demultiplexer, la fibra relativa al tributario che si vuole estrarre diventa fisicamente la
porta di drop. Mentre la fibra con l’ingresso add viene aggiunta a tutte le altre fibre del flusso aggregato per
essere multiplata sul canale di uscita. È intuitivo che la frequenza associata al tributario di add è la stessa
di quella associata al tributario di drop.
Si osservi che questo dispositivo è reciproco. Pertanto, in presenza di potenza ottica che entra dalla
porta di uscita, add e drop invertono i propri ruoli. Quindi nel sistema di trasmissione considerato, la porta
add è sufficiente ad aggiungere un tributario e ad estrarre lo stesso dal flusso riflesso dall’FBG.
FBG
Nel sistema optoelettronico utilizzato, per la trasmissione di clock è necessario un Fiber Bragg Grating che
consente di ottenere una riflessione quasi totale di una lunghezza d’onda selezionata con alta selettività e
di garantire la massima trasmissione per tutte le altre portanti che occupano canali diversi.
Il reticolo di Bragg in fibra si basa sulla corrugazione periodica di indice di rifrazione all’interno di una
fibra ottica. L’utilità di questo oggetto all’interno del sistema in analisi è quella di garantire che uno dei
segnali torni all’analizzatore vettoriale di reti nell’unità di Misura. L’idea si basa su un criterio di correzione
del dimensionamento in trasmissione a seconda di ciò che torna all’unità di misura dopo essere stato
riflesso dall’FBG. Si consideri che il segnale di ritorno porterà con sé informazioni su eventuali fenomeni
di dispersione o attenuazione che dovranno necessariamente essere compensati.
Figura 33 - Struttura dell'FBG
31
All’interno dell’FBG, per garantire questa condizione di riflessione, si utilizza una corrugazione
periodica dell’indice di riflessione. Si tratta di una classica fibra, opportunamente drogata. Per garantire
la massima riflessione, bisogna imporre la condizione di interferenza costruttiva a monte dell’FBG, solo
per la lunghezza d’onda che deve essere riflessa.
Figura 34 - Riflessione da reticolo di Bragg
Si deve verificare, pertanto, che in ipotesi di incidenza normale sul reticolo
L’FBG presenta l’inconveniente di un’altissima dipendenza dalla temperatura. Spesso infatti può essere
utilizzato proprio come sensore termico.
Photoreceiver
I ricevitori ottici si dividono in due categorie:

I rivelatori termici sono in grado di riconoscere l’arrivo di luce incidente tramite l’aumento della
temperatura, che cambia a sua volta qualche parametro fisico da misurare (ad esempio la
conducibilità elettrica).

I rivelatori fotonici, invece, funzionano secondo meccanismi quantistici di interazione
radiazione-materia. Questo comporta che i rivelatori fotonici hanno una capacità di rivelare
radiazione incidente fortemente limitata dai livelli energetici del materiale che costituisce il
fotorivelatore
I rivelatori vengono studiati e messi a confronto con diversi parametri:

Responsivity:
Dove per
per
si intende una grandezza elettrica misurata (corrente o tensione), mentre
si intende la potenza ottica incidente. Si tratta di una grandezza che tiene conto del
comportamento globale del rivelatore. Spesso i rivelatori risentono una banda passante
piuttosto limitata: ciò è dovuto a tempi di risposta lenti, causati da fattori differenti.
Per questo
( )
( )
Avendo approssimato il ricevitore come un sistema a singolo polo.
32

NEP (Noise Equivalent Power)
I sistemi di distribuzione in fibra sono praticamente privi di rumore (fatta eccezione per gli
amplificatori ottici). Tuttavia nella conversione da segnale ottico ad elettronico si inseriscono
due differenti tipologie di rumore:
1.
Rumore termico, dovuto all’agitazione termica dei portatori all’interno di un qualsiasi
resistore. Si viene così a creare una tensione ai capi del resistore a valor medio nullo, ma
con valore quadratico medio non nullo e densità spettrale:
( )
Il suo valor quadratico medio è:
( )
√
2.
√
( )
Rumore granulare, dovuto al fatto che in dispositivi attivi, come il diodo, la corrente
assume la forma di una successione di impulsi, a causa della natura discreta dei
portatori di carica. Questo comporta oscillazioni casuali attorno al valor medio di
corrente, con densità spettrale:
( )
dove è la corrente media. Il valor quadratico medio risulta:
√
( )
√ ( )
Quando viene rivelata radiazione, è necessario che la grandezza di uscita del rivelatore abbia un
valore quadratico medio almeno pari a quello del rumore. A questo proposito risulta utile la
definizione di NEP come potenza ottica minima incidente che permette di ottenere un’uscita di
segnale con valore quadratico medio pari a quello del rumore.
Poiché l’uscita in tensione o in corrente del fotorivelatore è una corrente o una tensione,
proporzionale alla radice quadrata della banda operativa del fotorivelatore (√
), e se si assume
che la potenza di rumore generata nel ricevitore sia proporzionale all’area di sensibilità, la
corrente fotogenerata sarà proporzionale alla radice quadrata dell’area.
Pertanto è utile definire la detectivity specifica come parametro di confronto tra differenti
fotoricevitori:
√
Il tipo di fotoricevitore più utilizzato è il fotorivelatore a giunzione. Si tratta di un ricevitore fotonico.
All’interno della regione di svuotamento di una giunzione pn, è presente un campo elettrico di built-in, a
cui si aggiunge il campo elettrico dovuto alla tensione di polarizzazione esterna, qualora presente.
Differentemente dai LASER, per i quali si utilizzano esclusivamente materiali a gap diretto, per i
fotorivelatori possono essere utilizzati materiali a gap indiretto. La motivazione risiede in considerazioni
di carattere probabilistico.
33
Figura 35 - Fotodiodo, creazione della coppia elettrone-lacuna
Il metodo fotoconduttivo, spesso utilizzato nella rivelazione, prevede una tensione di polarizzazione
inversa del fotodiodo, così da creare all’interno della regione di svuotamento un ulteriore campo elettrico
che si sommi a quello di built-in. Quando un fotone illumina la regione di svuotamento, può generare una
coppia elettrone lacuna, che dà vita ad un impulso di corrente. Il modello che meglio approssima questo
tipo di applicazione prevede di approssimare la corrente fotogenerata come un generatore di corrente
ideale, in parallelo ad un diodo ideale e ad una resistenza di shunt pari alla pendenza della caratteristica VI del diodo, valutata nel punto operativo. La capacità
rappresenta la capacità di giunzione del diodo.
Figura 36 - Modello equivalente di un fotodiodo
Quando incide potenza ottica sulla regione di svuotamento, detta
ed
l’intensità luminosa incidente,
l’area di esposizione della giunzione
rappresenta la potenza ottica incidente. Moltiplicandola per
l’efficienza è possibile ottenere la potenza ottica assorbita dalla giunzione. Dividendo per l’energia del
singolo fotone è possibile ottenere il numero di fotoni assorbiti per unità di tempo.
Moltiplicano questo risultato per la carica dell’elettrone, si ottiene la corrente
del modello considerato.
34
In assenza di illuminazione,
, tuttavia, sulla resistenza di uscita
scorre la somma della corrente
di polarizzazione inversa del diodo ideale e di quella che attraversa la resistenza di shunt. Questa corrente
prende il nome di corrente di buio.
(
Quando invece il fotoricevitore è illuminato,
)
e la tensione ai capi della resistenza
vale:
Per quanto riguarda il comportamento in frequenza del fotodiodo, la costante di tempo
determinata dalla capacità di svuotamento
del diodo e dalla resistenza di carico
viene
(perché la
resistenza di shunt è talmente elevata da poter essere considerata un circuito aperto). Tuttavia c’è un
ulteriore causa di ritardo, dovuto al tempo di attraversamento della regione di svuotamento nella sua
lunghezza
da parte dei portatori fotogenerati(
). La costante di tempo più alta tra
le due determina la banda del ricevitore.
35
Capitolo 3
Caratterizzazione dei dispositivi
Per le misure sui dispositivi sono state utilizzate le sorgenti WDM che verranno utilizzate nel sistema
di trasmissione. In particolare i canali corrispondenti alle sorgenti e le rispettive lunghezze d’onda sono:

ITU32 –

ITU34 –

ITU36–
Accoppiatore direzionale
Figura 37 – Accoppiatore direzionale
L’accoppiatore direzionale è un componente ottico molto utile per la caratterizzazione di altri
dispositivi. Si tratta di un dispositivo a quattro porte che permette di dividere la potenza ottica in
ingresso (
) tra i due rami di uscita, che chiameremo Test output e Monitor, con un fattore di
accoppiamento variabile. Nel caso specifico il rapporto di accoppiamento è di 50/50.
Caratteristica di uscita del LASER
Il LASER utilizzato è un diodo LASER DFB (Distributed FeedBack). All’interno di un diodo LASER,
l’inversione di popolazione viene raggiunta grazie a pompaggio di tipo elettrico. La corrente, che
attraversa una giunzione polarizzata direttamente e fortemente drogata, aumenta notevolmente il
numero di elettroni in banda di conduzione, a tal punto da creare l’inversione di popolazione necessaria
per l’emissione stimolata.
La caratteristica del LASER ottenuta sperimentalmente assume un andamento lineare, dopo una
corrente di soglia, come atteso. Dalle caratteristiche ottenute, risulta evidente un aumento della corrente
di soglia, con l’aumento della temperatura. Il fenomeno si spiega considerando che, all’aumentare della
temperatura, aumentano i fenomeni di carattere non radiativo, rendendo così più difficile il
raggiungimento dell’inversione di popolazione di soglia.
36
Figura 38 - Caratteristiche del LASER al variare della temperatura
Caratterizzazione dell’isolatore
Per caratterizzare l’isolatore vanno definiti tre parametri che permettano di identificarne tutte le
proprietà in tutte le possibili situazioni di lavoro.
Figura 39 - Isolatore, potenze in ingresso e in uscita
Si sono utilizzate tutte le tre sorgenti WDM per valutare i seguenti parametri dell’isolatore

Insertion Loss

Isolation

Return Loss
L’Insertion Loss fornisce un’indicazione della perdita di potenza ottica tra l’ingresso e l’uscita
dell’isolatore. Il nome perdita da inserzione sta proprio ad indicare quanta perdita ha introdotto l’aver
inserito un componente nel percorso ottico.
L’Isolation rappresenta il parametro più importante per questo componente. Esso indica quanto viene
attenuata la potenza che è diretta dalla porta di
verso la porta . Un valore quanto più alto possibile,
garantisce protezione al LASER.
Il Return Loss indica il contributo di riflessioni introdotte dall’isolatore. Le riflessioni introdotte
dovrebbero essere molto basse.
Per le misure è stato utilizzato un accoppiatore direzionale come monitor di potenza. Noto il coupling
ratio dell’accoppiatore, è stato possibile calcolare la potenza alla porta test output, a partire dalla misura
del monitor, effettuata tramite un power meter.
37
Collegato l’isolatore come in figura, si è valutata la potenza ottica in uscita dalla porta . Con la stessa
configurazione, si è poi spostato il power meter dalla porta
alla porta isolata dell’accoppiatore direzionale
per eseguire la misura del Return Loss.
Figura 40 - Caratterizzazione dell'isolatore, setup di misura
Successivamente, dopo aver cambiato la direzione dell’isolatore, si è valutata la potenza ottica emersa
alla porta
per la misura dell’Isolation.
Si sono così effettuate le seguenti misure:
Parametro
Misure
Calcolo del
parametro[dB]
Si noti che per il calcolo di
ITU32
ITU34
ITU36
, dopo aver monitorato la potenza all’uscita della porta isolata della
accoppiatore, sono state aggiunte (in unità logaritmiche) anche le perdite tra il test output e la porta
isolata dell’accoppiatore:
Caratteristica di trasmissione del Multiplexer
Per caratterizzare il multiplexer si è utilizzato l’accoppiatore direzionale come monitor. Si è fatta variare
la lunghezza d’onda a passo
in
e di conseguenza plottato l’andamento del fattore di Transmission
(inteso come differenza, in unità logaritmiche, tra la potenza in uscita dalla porta COM e quella in
ingresso su ciascun canale del multiplexer). Per le misure si è utilizzato un Power Meter sulla porta COM
del multiplexer, mentre si è sempre utilizzato come monitor il ramo accoppiato dell’accoppiatore
direzionale.
38
Figura 41 - Caratterizzazione del multiplexer, trasmissione del canale ITU34
Le misure sono state effettuate per ciascuno dei due canali, facendo sempre variare la lunghezza d’onda
in tutto l’intervallo consentito dalle sorgenti.
Figura 42 - Caratterizzazione del multiplexer, trasmissione del canale ITU3 2
Come ci si aspettava, il fattore di Trasmissione assume il massimo valore in corrispondenza della
lunghezza d’onda centrale del canale sottoposto a misura. Al di fuori di una certa banda passante, la
trasmissione risulta praticamente nulla.
Figura 43 - Trasmissione del multiplexer su entrambi i canali
39
Caratteristica
del modulatore Mach Zehnder
Per la caratterizzazione del modulatore di ampiezza si è utilizzato il seguente setup di misura.
Figura 44- Caratterizzazione del Mach-Zehnder, setup di misura
Si è fatta variare la tensione di polarizzazione
di ingresso al modulatore mantenendo costante la
potenza ottica della sorgente WDM, monitorandola con il ramo accoppiato dell’accoppiatore direzionale.
È stato così possibile ottenere l’andamento della potenza ottica in uscita al variare della tensione di
polarizzazione. Le misure sono state ripetute più volte, a distanza di tempo tra loro, riscontrando
notevoli shift tra le caratteristiche.
Figura 45 - Caratteristiche
normalizzate
Per monitorare al meglio questo tipo di comportamento, si è programmato un sistema di acquisizione
automatico, utilizzando l’uscita PD del modulatore. Si tratta di un fotodiodo molto lento, interno al
Mach-Zehnder, insensibile a segnali veloci di modulazione. La corrente in uscita dal fotodiodo, tuttavia,
non è proporzionale alla potenza ottica in uscita dal Mach-Zehnder, anzi, come si può apprezzare dalle
misure (Figura 46), è in opposizione di fase con essa. Il motivo risiede nel fatto che il fotodiodo legge la
potenza ottica trasmessa sul secondo ramo di uscita del secondo accoppiatore interno al modulatore.
Pertanto in condizione di massimo trasferimento di potenza sulla prima porta di uscita (picco della
40
sinusoide in figura 45), il fotodiodo non sarà illuminato. Al contrario, quando la potenza sulla prima
porta di uscita è minima, per la teoria sui modi accoppiati, sarà massima la potenza ottica incidente sul
fotodiodo. L’utilità del fotodiodo risiede nel fatto che, come si vedrà nel capitolo 4, gli shift nella
caratteristica
del Mach-Zehnder rendono necessaria una continua valutazione della potenza
ottica in uscita dal modulatore, per poter realizzare un controllo automatico della tensione di
polarizzazione al fine restare sempre nel punto operativo ottimo (punto in quadratura nel caso specifico).
Si è inoltre valutato l’andamento del guadagno di segnale sfruttando l’ingresso RF del modulatore e
visualizzando l’uscita ottica attraverso un fotoricevitore su un oscilloscopio. Come atteso, il guadagno
coincide con la derivata della
rispetto alla
. Infatti le due curve sono tra loro in quadratura di
fase. Nel grafico che segue si è rappresentato il modulo del guadagno di segnale (Small Signal Gain).
Figura 46 - Mach-Zehnder: guadagno di segnale, corrente del fotodiodo normalizzata e potenza
ottica in uscita normalizzata
Si osservi inoltre che il guadagno di segnale varia con la potenza ottica incidente. Infatti, all’aumentare
della potenza in ingresso, aumenta il picco della caratteristica
, e così la pendenza della
curva. Nel grafico che segue vengono rappresentate le correnti in uscita dal fotodiodo (traslate a media
nulla) in funzione della tensione di polarizzazione, ottenuta con potenze ottiche di ingresso
e
.
41
Figura 47 - Corrente del fotodiodo al variare della potenza ottica in ingress o
Si è infine visualizzata la distorsione introdotta dalla modulazione RF del Mach-Zehnder
rappresentando contemporaneamente, al variare della
, il guadagno lineare di segnale normalizzato
(proporzionale alla radice potenza della prima armonica) e il rapporto tra la potenza della seconda
armonica e quella della prima armonica in unità logaritmiche. È evidente che la linearità massima è
garantita nei punti di maggior guadagno di segnale, mentre la condizione di peggiore linearità capita,
come atteso, nel punto di minimo guadagno di segnale.
Figura 48 – Mach-Zehnder: guadagno di segnale e non-linearità
42
Caratteristiche di trasmissione dell’ Add-Drop
L’Optical Add-Drop Multiplexer (OADM) viene utilizzato nel sistema di trasmissione per aggiungere la
portante del canale ITU36, e allo stesso tempo per ricevere il segnale di ritorno, riflesso dall’FBG.
Si è collegato il dispositivo come in figura.
Figura 49 - Caratterizzazione dell’add-drop multiplexer, valutazione della trasmissione IN-OUT
Sempre utilizzando il monitor dell’accoppiatore si è plottato il fattore di Trasmissione (
,espresso in
dB) al variare della lunghezza d’onda. Come atteso, il fattore di Trasmissione scende notevolmente (sotto
) in corrispondenza della lunghezza d’onda dell’ITU36.
Si è poi visualizzata la caratteristica di trasmissione
in dB, per visualizzare il corretto
funzionamento dell’Add-Drop a seguito della riflessione dall’FBG. Si è impostato il setup di misura come in
figura:
Figura 50 - Caratterizzazione dell'add-drop multiplexer, valutazione della trasmissione IN -OUT
Come atteso, la lunghezza d’onda corrispondente all’ITU36 viene quasi completamente trasmessa
all’uscita di ADD. Questo garantisce il perfetto funzionamento del dispositivo. Data la reciprocità
dell’Add-Drop Multiplexer, la caratteristica ottenuta è perfettamente compatibile con quella
.
Figura 51 - Add-drop: caratteristiche di trasmissione
43
Caratteristiche di trasmissione e riflessione dell’FBG
Per la caratterizzazione dell’FBG è stato necessario utilizzare un circolatore, per poter valutare la
potenza riflessa dal reticolo. Il circolatore serve anche per evitare che la potenza riflessa dall’FBG torni
alla sorgente LASER.
In particolare si è impostato il setup come in figura. Si è fatta variare la lunghezza d’onda della sorgente
LASER ad un passo di
. Per le misure si è utilizzato il canale ITU36, che, da specifiche
dell’FBG, corrisponde alla lunghezza d’onda che viene riflessa. Utilizzando un Power Meter sul Monitor
dell’accoppiatore si è valutato il fattore di riflessione dell’FBG, inteso come rapporto tra la potenza
riflessa e quella incidente nel dispositivo. Per conoscere la potenza in ingresso all’FBG, si è tenuto in
considerazione l’Insertion Loss (1>2) del circolatore. Allo stesso modo, per conoscere la potenza riflessa
dall’FBG si è considerato l’Insertion Loss (2>3) del circolatore.
Figura 52 - Caratterizzazione dell'FBG, setup di misura
Lo stesso procedimento è stato ripetuto per valutare il fattore di Transmission. In particolare un Power
Meter è stato posizionato sull’uscita dell’FBG. In questo caso si è dovuto solo tenere in considerazione
l’Insertion Loss (1>2) del circolatore per ottenere la potenza di ingresso all’FBG da quella di uscita del Test
Output.
Ripetendo le misure per i canali ITU34 e ITU32, non si è praticamente ottenuta alcuna riflessione(
), ma completa trasmissione (
).
Figura 53 - Caratteristiche di trasmissione e riflessione dell'FBG
44
Caratterizzazione del Circolatore
Si sono utilizzate tutte le tre sorgenti WDM per valutare i seguenti parametri del circolatore:

Insertion Loss (1>2)

Insertion Loss(2>3)

Isolation(2>1)

Isolation (3>2)

Directivity(1>3)

Directivity (3>1)

Return Loss (con le tre configurazioni)
Si è configurato il setup di misura come in figura.
Figura 54 - Caratterizzazione del circolatore, setup di misura

Si è collegato il monitor dell’accoppiatore ad un Power Meter.

Si è collegato il test output dell’accoppiatore alla porta 1 del circolatore e si è misurata la potenza
alla porta 2 e 3 del circolatore

Si è collegato il test output dell’accoppiatore alla porta 2 del circolatore e si è misurata la potenza
alla porta 1 e 3 del circolatore

Si è collegato il test output dell’accoppiatore alla porta 3 del circolatore e si è misurata la potenza
alla porta 2 e 3 del circolatore

Si sono ripetute queste misure per tutti i canali a disposizione
Per il calcolo del Return Loss con tutti i tre possibili ingressi, si è utilizzata sempre la porta Isolated
dell’accoppiatore.
Figura 55 - Circolatore: potenze in ingresso e in uscita
45
Misura
Parametro
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Calcolo del
parametro[dB]
ITU32
ITU34
ITU36
( )
( )
( )
Comportamento in frequenza del Photoreceiver
Si è utilizzato il Mach-Zehnder come modulatore per dare una stima dell’andamento in frequenza del
Photoreceiver. In particolare per mezzo dell’Analizzatore di Reti, si è ottenuta la risposta all’impulso del
sistema costituito dal complesso Mach-Zehnder/Photoreceiver. Si è effettuata la misura con il collegamento
in figura, in cui le linee continue sono collegamenti ottici, mentre quelle tratteggiate sono collegamenti
elettrici.
Figura 56 - Risposta in frequenza del fotoreceiver, setup di misura
46
È stato così possibile valutare la risposta all’impulso del complesso Mach-Zehnder-Photoreceiver.
L’andamento in frequenza così ottenuto può essere considerato, entro limiti di qualche decina di
,
proporzionale a quello del Photoreceiver, il quale presenta, da specifiche, una banda molto più limitata di
quella del modulatore. Si noti che la banda passante è di poco superiore ad
, coerentemente con le
specifiche del Photoreceiver.
Figura 57 - Risposta all'impulso del sistema Mach-Zehnder/Photoreceiver
47
Capitolo 4
Analisi dello shift della caratteristica
del modulatore Mach-Zehnder
All’interno del Mach-Zehnder la modulazione di ampiezza è ottenuta attraverso l’utilizzo di materiali
anisotropi che risentono dell’effetto elettroottico. Il Niobato di Litio è la scelta più frequente per
applicazioni di modulazione. Tuttavia la maggior parte dei dispositivi che risentono di effetto
elettroottico subiscono altri effetti indesiderati e a volte incontrollabili. Di seguito verrà analizzato
brevemente il cristallo del Niobato di Litio per illustrare tutti gli effetti che subisce quando viene
utilizzato all’interno del modulatore. Questo fornirà un’idea di quanto sia difficile che la caratteristica
del modulatore sia perfettamente corrispondente a quella teorica.
Il Niobato di Litio
Il Niobato di Litio (LiNbO3) è uno dei materiali più utilizzati nell’ottica integrata. In particolare è un
dispositivo interessante perché:

è un materiale anisotropo uniassico (birifrangente)

presenza una birifrangenza positiva

presenta
numerose
proprietà
ottiche:
piezoelettriche,
elastoottiche,
fotoelastiche
e
fotorefrattive.

la banda di trasparente del Niobato di Litio è molto larga e si estende dal visibile al vicino
infrarosso, rendendolo utile nei dispositivi ottici integrati

il suo cristallo viene accresciuto con il metodo di Czochralsky, che genera cristalli puri a forma
di carota, con elevata qualità e uniformità. Per garantire l’allineamento dei domini ferroelettrici
viene applicato un campo elettrico dell’ordine di qualche
, ad una temperatura superiore a
quella di Curie.

è insolubile in acqua e in acidi diluiti
Il Niobato di Litio, in cristallografia, appartiene al sistema trigonale a cella romboedrica.
Figura 58 - Niobato di Lidio, struttura del cristallo
48
Gli interstizi sono occupati per
da atomi di Niobio, per
da atomi di Litio e per
da vacanze.
Nello spazio si possono individuare tanti ottaedri allineati lungo la direzione dell’asse ottico. L’ottadro
occupato dal Niobio condivide una faccia con l’ottaedro occupato da una vacanza, che a sua volta
condivide una faccia con l’ottaedro occupato dal Litio.
Per utilizzare il Niobato di Litio è necessario tagliarlo opportunamente. Esistono differenti tipologie di
tagli che possono essere applicati, che ne permettono differenti utilizzi, al variare dell’orientazione
dell’asse ottico.
Effetto elettroottico
Il Niobato di Litio è un cristallo particolarmente utilizzato nelle applicazioni in cui sia richiesta una
modulazione di fase (o di ampiezza, come nel Mach-Zehnder). Il tensore elettroottico del
è il
seguente:
(
)
Si consideri luce incidente su un cristallo di Niobato di Litio, disposto come in figura.
Figura 59 - Cristallo di Niobato di Litio, effetto elettroottico
Supponendo di applicare un campo elettrico nella direzione , si ottiene
(
(
*
(
*
)
Per cui, rivalutando l’espressione dell’indicatrice ottica, si ottiene
(
*
(
*
(
*
49
La componente di campo rivolta lungo e quella diretta lungo , subiscono uno sfasamento, ma gli assi
principali, come evidente, restano gli stessi (la matrice è ancora una matrice diagonale, e pertanto lo è
anche la matrice ).
Si può così valutare lo sfasamento subito dalla componente di campo elettrico della luce polarizzata
lungo
(non è interessante, ai fini della propagazione, la componente lungo ).
Approssimando il
con il
, è facile ottenere
(
*
Da cui si ha
Per cui si può ottenere con semplicità l’espressione dello sfasamento della componente rivolta lungo
l’asse
Il termine rappresenta l’aspect ratio e permette di modificare l’entità dello sfasamento, a parità di
tensione di polarizzazione. Questo è solo un esempio di come si possa disporre il cristallo di Niobato di
Litio per generare uno sfasamento alla luce polarizzata linearmente.
La tensione
per la quale
, prende il nome di tensione di semionda e si indica con
. La tensione
di semionda coincide con la tensione alla quale (in un modello ideale del Mach-Zehnder) la potenza
ottica di uscita è nulla.
Effetto elastoottico
L’effetto elastoottico consiste nel cambiamento delle proprietà ottiche di un materiale al seguito
dell’applicazione di una pressione sullo stesso secondo le seguenti caratteristiche
⃗⃗⃗⃗
dove
⃗⃗⃗⃗⃗
è la deformazione nella direzione k-esima, a seguito di uno sforzo nella direzione l-esima
è il tensore elastoottico a campo elettrico costante. Nel
solo 18 elementi del tensore sono
diversi da zero.
(
)
Si osservi che la deformazione ⃗⃗⃗⃗⃗ potrebbe essere introdotta anche dall’effetto piezoelettrico.
50
Effetto piezoelettrico
L’effetto piezoelettrico rappresenta una relazione tensoriale di causa effetto tra il campo elettrico
applicato e la deformazione da esso introdotta.
⃗
⃗
con
[ ]
(
Alla stessa maniera il tensore
)
mette in relazione lo sforzo con il campo elettrico generato.
⃗
Inoltre sforzo e deformazione sono legati dal tensore
⃗
In definitiva si ha che
⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗)
(
(
)⃗
Da questo risulta evidente come sia difficile controllare contemporaneamente tutti i fenomeni che si
manifestano nel cristallo di Niobato di Litio. A questi vanno aggiunti altri effetti dovuti alla temperatura.
Effetto piroelettrico
L’effetto piroelettrico si basa sulla relazione tra la variazione del vettore di polarizzazione nel mezzo e la
temperatura.
⃗⃗⃗⃗⃗
Nel tensore
, solo
è diverso da zero.
Espansione termica
La variazione di temperatura comporta una deformazione ⃗
⃗
con
(
+
51
Simulazione degli effetti di un’asimmetria tra i rami di un
Mach-Zehnder in COMSOL
Nell’ipotesi che i due rami di un modulatore Mach-Zehnder siano completamente simmetrici, un
qualsiasi tipo di effetto (elastoottico, di espansione termica o altro) che agisca contemporaneamente su
entrambi, non può causare uno shift della caratteristica Potenza ottica di uscita- Tensione di polarizzazione da
quella teorica centrata in
sono stati ottenuti valori di
Tuttavia la variazione della
, ma solo una variazione della tensione
compresi tra
e
. Nelle misure effettuate,
.
non sono così pericolose quanto gli shift introdotti da dissimmetrie sui
due rami. Infatti una qualsiasi dissimmetria, che causi una differenza di cammino ottico tra i rami
dell’ordine di grandezza della lunghezza d’onda, può causare, invece, traslazioni della caratteristica di
uscita anche di qualche Volt (come sarà chiarito in seguito).
Nelle caratteristiche ottenute del modulatore di ampiezza Mach-Zehnder, gli shift longitudinali sono
inaccettabili per l’utilizzo corretto del dispositivo. Per visualizzare quanto alcune cause difficilmente
controllabili possano influire sulla curva, si è effettuata una simulazione con il software COMSOL
Multiphysics. Il modello COMSOL del modulatore di ampiezza Mach-Zehnder è composto da due
accoppiatori direzionali di Niobato di Litio posti uno di seguito all’altro.
Figura 60 - Modulatore Mach-Zehnder
Nei dispositivi commerciali, come quello utilizzato in laboratorio, sono disponibili solo una porta di
uscita e una porta di ingresso ottiche. Inoltre nei dispositivi in vendita viene fornito anche, oltre
all’ingresso elettrico di polarizzazione, un ingresso a radiofrequenza, a cui si applica il segnale modulante,
che si sovrappone a quello di bias, per generare la modulazione di ampiezza alla frequenza desiderata.
La simulazione è stata effettuata a
.
Figura 61 - Modulatore Mach-Zehnder, modello COMSOL
52
Per simulare la modulazione del Mach-Zehnder, si è modificato l’indice di rifrazione del core del ramo
superiore utilizzando l’espressione ottenuta nell’esempio sull’effetto elettroottico del Niobato di Litio
nel paragrafo precedente.
con
indice di rifrazione a riposo del cristallo di Niobato di Litio (in assenza di campo elettrico) ed
pari al campo applicato nella direzione .
In questo modo si è simulata la modulazione di fase (sul singolo ramo) e di ampiezza (sulle uscite del
modulatore) della polarizzazione lineare della luce incidente, rivolta lungo l’asse .
L’analisi dei parametri
in funzione della
coincide con i risultati teorici attesi. Si noti che il parametro
corrisponde al rapporto tra la potenza alla porta 4 (rivelata dal fotodiodo) e la potenza di ingresso
alla porta 1 (valutato in dB), mentre il parametro
corrisponde al rapporto tra la potenza in uscita dalla
porta 2 e la potenza in ingresso alla porta 1(valutato in dB).
Figura 62 - Parametri di scattering in condizioni di simmetria tra i rami
Nella simulazione che segue si visualizza, invece, lo shift della stessa caratteristica dopo aver modificato
l’indice di rifrazione a riposo del secondo ramo rispetto a quello a riposo del primo ramo(
).
In particolare si è simulato il comportamento corrispondente ad una variazione dell’indice di rifrazione
del secondo ramo rispetto al primo di
nella simulazione è pari ad
(
.). Lo shift longitudinale ottenuto
.
Il motivo di uno shift così consistente risiede nel fatto che la lunghezza d’onda utilizzata è tale che una
differenza di cammino ottico tra i due rami (che sia essa causata da una differenza tra gli indici di
rifrazione a riposo o da una differenza di cammino geometrico) pari alla metà della lunghezza d’onda
(
) causi, anche in assenza di tensione di polarizzazione, una interferenza distruttiva tra la
luce proveniente dai due rami.
53
Figura 63 - Parametri di scattering in condizioni di asimmetria tra i rami
Si osservi che lo shift della tensione
di massima potenza ottica di uscita (
) è direttamente
proporzionale alla variazione dell’indice del secondo ramo rispetto al valore a riposo del primo. Infatti si
può equivalentemente considerare che la variazione dell’indice di rifrazione introdotta sul secondo ramo
sia dovuto all’effetto elettroottico causato da un altro campo elettrico costante applicato ai suoi capi. In
questo caso la
che massimizza l’uscita ottica, corrisponde proprio alla
(in figura), perché in questo
modo viene ristabilita la simmetria tra i rami. Di conseguenza, ricordando la diretta proporzionalità tra
e
(
proporzionalità tra la
, con
spessore del core), è immediato comprendere la relazione di
di massima uscita ottica e il
.
Figura 64 - Mach-Zehnder, alterazione della simmetria
Considerati i numerosi effetti che subisce il Niobato di Litio, è lecito supporre uno shift importante
della caratteristica del Mach-Zehnder, nel momento in cui uno degli effetti si manifesti in misura diversa
tra i due rami.
Ipotizzando una differenza di temperatura di
del secondo ramo rispetto al primo, si ottiene una
deformazione
⃗
da cui è possibile ricavare, per effetto elastoottico,
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Senza entrare nei dettagli di calcolo, si può ottenere una variazione dall’indice a riposo, riferito alla
polarizzazione della luce lungo
proporizionalità tra
e
del secondo ramo di circa
, si ottiene in questo caso una
. Ricordando la relazione di
dell’ordine dei
. Questo significa che
54
bisogna tenere in considerazione tanti altri effetti contemporanei per spiegare variazioni della
dell’ordine dei Volt.
È evidente come gli shift visualizzati siano da tenere sotto controllo. Infatti, mantenendo una
costante, l’incontrollato shift della caratteristica potrebbe comportare un peggioramento considerevole
della linearità della forma d’onda demodulata da un Photoreceiver, o addirittura un cambiamento di segno
nel segnale demodulato. Per risolvere questo problema è utile progettare sistemi retroazionati che
permettano di mantenere la
sempre nel punto di quadratura, così da mantenere sempre il massimo
guadagno e la massima linearità.
A conferma delle ipotesi fatte, a puro scopo qualitativo, è stata ripetuta la misura della caratteristica del
Mach-Zehnder dopo aver applicato una leggera pressione sul case del dispositivo (grafico in blu). Il
risultato ottenuto mostra chiaramente una traslazione della caratteristica, che indica una leggera
asimmetria tra i due rami del modulatore nel momento della perturbazione.
Figura 65 - Traslazione della caratteristica a seguito di una pressione sul dispositivo
55
Controllo
automatico
della
tensione
di
polarizzazione del Mach-Zehnder
Di seguito viene proposto un algoritmo di controllo automatico della tensione di polarizzazione del
Mach-Zehnder per la ricerca del punto operativo in quadratura, il più idoneo per la trasmissione di un
segnale a radiofrequenza. Considerata la caratteristica Corrente del fotodiodo-Tensione di polarizzazione, il
punto operativo di massimo guadagno di segnale (corrispondente a quello di maggiore linearità) coincide
con la tensione di polarizzazione che massimizza la derivata
.
L’algoritmo si basa pertanto sulla massimizzazione del valore assoluto della pendenza della corrente
del fotodiodo rispetto alla
, attraverso un controllo digitale della corrente in uscita dal fotodiodo
integrato nel modulatore, e sulla periodica correzione della tensione di polarizzazione.
Il progetto dell’algoritmo ha seguito i seguenti passi:
1.
Viene impostato un punto operativo iniziale, fissando una tensione di polarizzazione.
2.
Viene variata la tensione di polarizzazione, incrementandola e decrementandola della stessa
quantità rispetto all’attuale punto operativo e viene valutata la corrente in uscita dal fotodiodo
in entrambi i casi.
3.
Viene calcolato il valore assoluto della derivata discreta sia destra che sinistra attraverso i dati di
corrente ottenuti al punto 2.
4.
Un controllo sulla differenza tra il valore assoluto della derivata discreta destra e di quella
sinistra permette di scegliere la direzione verso cui modificare il punto operativo.
5.
Viene modificato il punto operativo e viene ripetuto il ciclo a partire dal punto 2.
Figura 66 – Progetto del sistema di controllo
Per l’implementazione dell’algoritmo si è utilizzata il kit di sviluppo PSoC (Programmable System-on-Chip)
5LP Cypress. Per generare tensioni superiori ai limiti di alimentazione della scheda si è comandato un
generatore di tensione tramite collegamento seriale.
56
Nel grafico che segue è evidente che la ricerca del punto operativo di quadratura tende asintoticamente
ad un valore di regime.
Figura 67 - Controllo automatico della
Una volta raggiunto il punto di equilibrio, esso subisce degli scostamenti non trascurabili. Essi possono
essere dovuti a errori di misura di corrente, e di conseguenza errori sul calcolo delle derivate discrete,
oppure essere causati dallo shift della caratteristica del Mach-Zehnder.
Si è notato che questo tipo di approccio nel controllo automatico della tensione di polarizzazione
presenta problemi per il controllo della tensione di bias quando la trasmissione del segnale è attiva. Infatti
per effettuare il calcolo delle derivate discrete, viene alterato il punto di lavoro. Si noti che quanto meno
viene alterata la
per il calcolo delle derivate discrete, tanto più grande diventa l’errore sulle misure.
Differentemente, grandi scostamenti dal punto operativo, per il calcolo delle derivate discrete, sono più
robusti nei confronti degli errori, ma alterano notevolmente il punto di lavoro.
57
APPENDICE A
1)
I fotoni e l’intuizione di Planck
Nei fenomeni di interazione tra radiazione e materia, la natura ondulatoria della luce proposta da
Maxwell appare incompleta per fornire una spiegazione adeguata. Max Planck notò che le osservazioni
sperimentali conducevano all’idea che l’energia della luce fosse emessa in multipli di una certa unità
minima di energia.
La teoria di Planck nacque dallo studio della radiazione di un corpo nero. Un corpo nero è un corpo
ideale capace di assorbire ed emettere tutte le radiazioni. Si tratta di un’astrazione, che però rappresenta
una buona approssimazione di molti corpi reali. Per esempio un sfera cava con una fenditura, dalla quale
può entrare radiazione luminosa ma non può uscirne a causa delle multiple riflessioni, rappresenta una
buona approssimazione di corpo nero.
Figura 68 - Approssimazione di corpo nero
Cercando di dare una spiegazione fisica all’energia irradiata da un corpo nero, Rayleigh e Jeans
considerarono l’energia media immagazzinata all’interno di una cavità metallica (equivalente ad un corpo
nero) secondo la concezione fino ad allora condivisa che l’energia potesse assumere valori nel continuo.
Ricavarono così un’espressione della densità spettrale di energia per unità di volume, però discorde dalle
evidenze sperimentali
( )
La legge empirica di Wien fornisce un’espressione per la massima lunghezza d’onda alla quale si trova il
picco dell’energia irradiata secondo le prove sperimentali
Planck, attraverso operazioni di interpolazione dei dati sperimentali, ottenne un’espressione del tipo
( )
Dopo qualche anno lo stesso Max Planck diede un’interpretazione teorica di questo risultato
prendendo in considerazione l’ipotesi per cui l’energia della luce potesse assumere solo valori discreti
multipli di un valore minimo
. Partendo dalle basi della teoria di Rayleigh-Jeans, ma
considerando una sommatoria discreta piuttosto che un integrale nel calcolo dell’energia media della
radiazione all’interno di un corpo nero, è stato possibile ottenere proprio l’espressione ricavata tramite
58
interpolazione. In particolare, definendo
come numero di modi per unità di volume e di frequenza
all’interno di un corpo nero, si può dimostrare che
Per ottenere l’energia per unità di volume e di frequenza, bisogna moltiplicare l’espressione appena
ottenuta per l’energia media dei modi alla frequenza . L’energia media
classicamente si calcola
con la distribuzione di Boltzmann, che dà la probabilità che uno stato in equilibrio termico a temperatura
abbia l’energia
(
)
Da questa espressione si può ricavare facilmente la costante , imponendo la normalizzazione di (
(
∫
Posto
)
(
)
)
,
∑
∑
(
(
[∑
)
∑
∑
)
(
(
)
∑
∑
)
∑
∑
]
∑
(
∑
(
( )
)
)
∑
(
(
)
)
La dimensione del pacchetto minimo di energia, denominato quanto (e successivamente fotone da
Einstein), dipende pertanto dalla frequenza ν della radiazione ed è fornita dall’espressione
2)
La “lineshape function”
Nella realtà, anche in presenza di soli due livelli energetici, sia la radiazione emessa che assorbita non
sarà perfettamente monocromatica. Basti pensare al principio di esclusione di Pauli (per materiali allo
stato solido) che comporta la presenza di bande di energia piuttosto che di livelli distinti all’interno di un
sistema denso. Tuttavia, anche nell’ipotesi di livelli discreti ci sono due possibili cause di allargamento
della banda della trasmissione/emissione:

nei laser a gas, le alte velocità degli atomi comportano, per effetto Doppler, emissioni a
lunghezze d’onda differenti. Quando avviene emissione spontanea, per esempio, all’interno di un
gas, il fotone viene emesso da una sorgente in movimento. Chiamando
la componente di
velocità della sorgente rispetto all’osservatore, la frequenza risultante per l’osservatore sarà:
(

)
Nei laser allo stato solido, invece, l’interazione della radiazione con la materia potrebbe
comportare il coinvolgimento di un’altra particella: il fonone. Si tratta di un quanto di vibrazione
59
reticolare, che però, seppur di poco, altera la frequenza di emissione. In questo caso il salto di
energia
in caso di emissione spontanea sarà diverso da
:
Questo significa che lo spettro della radiazione sia emessa che assorbita avrà una larghezza di banda
non nulla. In particolare questo allargamento può essere quantificato attraverso una funzione di lineshape.
Essa può essere valutata studiando la trasmissione di un particolare materiale stimolato a tutte le
frequenze. La curva di assorbimento (e quella di emissione) sarà il complemento a
trasmissione. La curva di lineshape si ottiene da quella di emissione con la normalizzazione ∫
di quella di
( )
Figura 69 - Trasmissione e lineshape function
Si può dimostrare che nella maggior parte dei casi succede che ( )
.
60
APPENDICE B
Effetto Faraday
Un problema da prendere in considerazione nella progettazione di un sistema optoelettronico è la
potenza che torna al LASER in seguito alle riflessioni dovute a tutti gli apparati che lo seguono. Pertanto
diventa necessario interporre tra il LASER e il resto del sistema un isolatore. Si tratta di un diodo ottico che
impedisce alla potenza ottica di fluire nella direzione sbagliata. La maggior parte degli isolatori si basa su
un effetto noto come effetto Faraday.
L’effetto Faraday è un fenomeno magnetoottico, che consiste nella rotazione del piano di
polarizzazione rispetto alle condizioni a riposo. In particolare Faraday dimostrò che, in presenza di un
campo elettrico, il piano di polarizzazione subisce una rotazione proporzionale al campo, e alla
dimensione longitudinale dell’oggetto che subisce effetto Faraday.
All’interno di un mezzo magnetico anisotropo la relazione che lega il campo magnetico ⃗ con
l’induzione magnetica ⃗ è di tipo tensoriale.
⃗
Con
⃗
tensore di permeabilità magnetica.
L’effetto Faraday si verifica in caso di direzione di propagazione coincidente con la polarizzazione
magnetica applicata. Pertanto si ipotizzi di essere in presenza di una materiale magnetico anisotropo, con
una polarizzazione magnetica DC del tipo ⃗
⃗⃗⃗⃗ ed un tensore di permeabilità magnetica
, che
nel caso specifico assume l’espressione
(
+
Si osservi che gli elementi del tensore variano al variare della polarizzazione magnetica del mezzo.
Un materiale che presenta questo tipo di tensore di permeabilità magnetica prende il nome di girotropico.
Si consideri, quindi, un’onda piana con direzione di propagazione diretta lungo l’asse , con
.
Le equazioni di Maxwell assumono le espressioni
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
Dalle prime due equazioni si ricavano
(
)
(a)
61
(
)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Da (c) ed (f) , come ci si aspetta per un’onda di tipo TEM
Inoltre con semplici passaggi si ottiene
E, sostituendo nella (a) e nella (b)
{
(
)
(
)
Cercando soluzioni non banali del sistema, si ottengono i due auto valori del sistema
√ (
Utilizzando il risultato
)
, e sostituendolo nella (a), si ottiene
E quindi
Il risultato è un campo a polarizzazione destrorsa
⃗⃗⃗⃗
Con l’altro risultato,
(⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ )
, si ottiene un’onda a polarizzazione sinistrorsa
⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ )
Queste due onde si propagano all’interno del mezzo con due velocità distinte. In assenza di attenuazioni,
i due campi a polarizzazione circolare hanno la stessa ampiezza. Considerando il campo elettrico
complessivo che si propaga lungo , e valutandolo per
⃗|
(⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗
Alla generica posizione , si ottiene
⃗
(⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ )
(
[
(⃗⃗⃗⃗
)⃗⃗⃗⃗
(
* ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ )
(
(
)⃗⃗⃗⃗
* ⃗⃗⃗⃗ ]
(
)
E l’angolo di polarizzazione rispetto all’asse
(
*
62
Infine si può dimostrare che
Con
costante di Verdet, B ampiezza del campo magnetico DC diretto lungo
ed distanza (nella
direzione ⃗⃗⃗⃗ ) dopo la quale si valuta la rotazione di polarizzazione.
63
APPENDICE C
1) Materiali anisotropi
Materiali di più alto interesse nelle applicazioni ingegneristiche sono anisotropi. Un materiale
anisotropo presenta proprietà che variano a seconda della direzione nella quale viene interrogato. In
questo contesto verranno trattati materiali che risultano anisotropi dal punto di vista delle proprietà
ottico/elettriche. L’anisotropia si traduce in una relazione tensoriale tra causa ed effetto. In particolare
⃗
⃗
⃗
⃗
e così
con
(
+
(
+
Da cui
∑
È evidente come ogni componente di campo elettrico sia influenzato da tutte le componenti di campo
di induzione elettrica e non solo da quella parallela ad essa.
Gli elementi di entrambi i tensori possono essere genericamente diversi. Tuttavia è sempre possibile
individuare una terna di assi principali tali per cui entrambe le matrici presentino solo elementi sulla
diagonale principale.
Considerando un sistema di riferimento disposto secondo le direzioni degli assi principali, i tensori
assumeranno un’espressione più semplice
(
)
(
)
In questo caso si ha
64
Si definisce uniassico (o birifrangente) un mezzo anisotropo con due elementi del tensore (valutato
lungo gli assi principali) uguali tra loro (
, indice ordinario) e uno differente (
, indice straordinario).
L’asse a cui fa riferimento l’elemento diverso dagli altri prende il nome di asse ottico. Un mezzo con tutti
gli elementi del tensore diversi tra loro prende il nome di biassico.
In presenza di incidenza normale da un mezzo isotropo ad uno otticamente anisotropo, nell’ipotesi di
omogeneità del mezzo birifrangente, i fronti di fase saranno tutti paralleli alla superficie di incidenza.
Infatti, seguendo la costruzione di Huygens, senza ancora sapere che forma abbia il fronte di fase nel
mezzo anisotropo, l’inviluppo dei fronti di fase non potrà che essere un piano parallelo alla superficie di
incidenza, e pertanto il vettore di d’onda manterrà la stessa direzione di quello associato all’onda
incidente (in realtà, come vedremo, si formeranno due distinti vettori di propagazione sempre nella stessa
direzione).
Figura 70 - Incidenza normale, fronti di fase
Nella trattazione che seguirà si dimostrerà l’esistenza di due onde distinte, una detta ordinaria e l’altra
detta straordinaria. L’onda ordinaria avrà direzione di massima trasmissione di potenza (coincidente con la
direzione del vettore di Poynting) coincidente con la direzione del vettore d’onda. L’onda straordinaria,
invece, avrà direzione di massima trasmissione di potenza distinta dalla direzione del vettore d’onda ⃗ . In
particolare, a causa dell’anisotropia, il campo ⃗ e il campo ⃗ associati all’onda straordinaria non saranno
ortogonali. Pertanto, mentre la direzione del vettore d’onda sarà parallelo a ⃗
vettore di Poynting sarà la stessa di ⃗
⃗ , la direzione del
⃗⃗⃗⃗ . La direzione del vettore di Poynting identifica il raggio.
Pertanto in un mezzo anisotropo il vettore d’onda e il raggio non coincidono (tranne in alcuni casi
particolari)
Figura 71 - Incidenza normale, direzione del raggio ordinario e straordinario
65
2) Indicatrice Ottica
L’indicatrice ottica è un ellissoide che permette di illustrare graficamente la propagazione di un’onda
all’interno di un mezzo anisotropo.
Si dimostrerà che, quando un’onda supera la discontinuità tra un mezzo isotropo e uno anisotropo
uniassico, si possono distinguere, nel mezzo anisotropo uniassico, due onde piane differenti, ciascuna
delle quali si propaga secondo il proprio vettore d’onda.
Il tensore di impermeabilità dielettrica (valutato lungo tre assi principali) ha la seguente espressione
(
)
Si propone di seguito una dimostrazione della indicatrice ottica differente da quella classica presente in
letteratura. Si ricordi che il campo ausiliario di induzione elettrica ⃗ dipende soltanto dalle sorgenti che
lo generano ed è indipendente dal materiale nel quale viene considerato.
Si consideri un’eccitazione di campo ⃗ (con generica polarizzazione) che generi un’onda piana nella
direzione di ⃗⃗⃗⃗ . Si consideri poi un sistema di riferimento come in figura, con l’asse z coincidente con
l’asse ottico del mezzo anisotropo uniassico in questione e l’asse y scelto nel piano ortogonale a ⃗⃗⃗⃗ .
Il campo ⃗ preso in esame (di polarizzazione generica) può essere scomposto nelle due polarizzazioni
lineari ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ visibili in figura(in cui il pedice e sta per extraordinary e il pedice o sta per ordinary). In
particolare ⃗⃗⃗⃗
giace sull’asse y, ⃗⃗⃗⃗
giace invece sul piano xz. Entrambe appartengono comunque al
piano ortogonale rispetto alla direzione di propagazione.
Figura 72 - Assi principali e polarizzazione della luce
In particolare ⃗⃗⃗⃗ ha componenti solo lungo y, risultando pertanto parallelo al campo ⃗⃗⃗⃗ . Mentre ⃗⃗⃗⃗ ha
una componente lungo z e una lungo x, che sperimentano due costanti dielettriche diverse.
{
66
{
Dove
rappresenta la direzione dell’onda rispetto all’asse ottico, ma anche l’angolo tra
Per conoscere il campo elettrico risultante nella direzione di ⃗⃗⃗⃗ (cioè
e l’asse x.
), è possibile proiettare
entrambi i campi ottenuti nella direzione di ⃗⃗⃗⃗ .
Per cui risulta
(
)
Si considerino adesso le equazioni di Maxwell. Per linearità si può considerare il campo elettrico dovuto
alla sola onda straordinaria come soluzione delle equazioni
⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗
Applicando il rotore ad entrambi i membri della seconda e utilizzando la prima (ricordando che la
divergenza di ⃗ è nulla nello spazio vuoto), si ottiene
⃗⃗⃗⃗
⃗
Si osservi che considerando la componente lungo ⃗⃗⃗⃗ di entrambi i membri, si ha (ricordando che ⃗ non
ha componenti lungo ⃗⃗⃗⃗ )
(
⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗
Pertanto risulta
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Così si ottiene
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Questa è la nota equazione di Helmotz e non è più un’equazione tensoriale.
Essa rappresenta la propagazione di un’onda piana con velocità di fase
√
. Pertanto risulta
dimostrato che
( )
√
Dove
rappresenta la velocità dell’onda straordinaria nel mezzo anisotropo.
È possibile adesso estendere il risultato ottenuto. Poiché per qualsiasi direzione di ⃗⃗⃗⃗ è possibile ripetere
questa dimostrazione (fissando di volta in volta il sistema di riferimento opportuno), si può considerare
adesso un sistema di riferimento xyz, fissato indipendentemente dall’onda incidente: data l’invarianza dei
risultati ottenuti rispetto all’angolo
( )
sul piano
(
, si può scrivere
(
)
Volendo dare una rappresentazione tridimensionale di
)
( ), sarà sufficiente sostituire nell’equazione
appena ottenuta le tre componenti
( )
( )
67
( )
Per cui si ottiene
che rappresenta proprio l’espressione nota in letteratura dell’indicatrice ottica.
Si può dimostrare che la direzione del raggio straordinario(direzione di massimo trasferimento di
potenza), che non coincide con il suo vettore d’onda, è determinata dalla perpendicolare all’indicatrice
ottica nel punto che individua l’indice straordinario.
È possibile ottenere l’equazione dell’indicatrice ottica a partire dall’espressione della densità di energia
elettromagnetica all’interno del mezzo anisotropo (come è ricorrente in letteratura).
⃗
⃗
∑
∑
∑
∑
∑
∑∑
Effettuando la normalizzazione
√
√
√
Si ottiene
con
Nel caso in cui la terna di assi cartesiani corrisponda con la terna di assi principali del cristallo in
analisi,
l’equazione
appena
ottenuta
si
riconduce
a
quella
dimostrata
rigorosamente.
Spesso si utilizza la notazione più comoda
68
Conclusioni
Nei laboratori dell’esperimento TOTEM sono stati caratterizzati tutti i dispositivi necessari alla
trasmissione del clock. Un’attenzione particolare è stata rivolta al modulatore di ampiezza MachZehnder, perché le misure eseguite non hanno trovato corrispondenza con i risultati teorici attesi. Gli
shift della caratteristica Potenza di uscita-Tensione di polarizzazione possono costituire un rischio eccessivo per
l’utilizzo del modulatore sprovvisto di un controllo, all’interno di un sistema di trasmissione di clock ad
alta precisione. Diventa pertanto necessario creare una condizione di stabilizzazione del punto operativo
attraverso un controllo attivo della tensione di polarizzazione. L’algoritmo proposto, tuttavia, perturba il
punto di lavoro nello stesso momento in cui cerca di stabilizzarlo. È pertanto necessario ridurre al
minimo l’intervallo di tensioni all’interno del quale vengono valutate le derivate discrete della curva
, sempre nei limiti della risoluzione delle misure di corrente. Contemporaneamente una
stabilizzazione termo-meccanica del modulatore eviterebbe eccessivi shift e derive della caratteristica
.
69
Bibliografia e sitografia
Bibliografia
[1] Agrawal G. P., Fiber-Optic Communications Systems, New York, Wiley Interscience, 2002
[2] Chiaradia M. T., Guerriero L., Selvaggi G., Fisica II - Onde elettromagnetiche, Bari, Adriatica Editrice,
2003
[3] Gathak A., Thyagarajan K., Introduction to fiber optics, Cambridge University Press, 1998
[4] Hawkes J. ,Wilson J., Optoelectronics an introduction, Prentice Hall Europe, 1998
[5] Magri A., Studio dell'elettronica di Front End nell'ambito dell'esperimento TOTEM, Facoltà di Scienze
Matematiche, Fisiche e Naturali, Università degli Studi di Genova, 2012
[6] Padmaraju K., Faraday Rotation, Department of Physics and Astronomy, University of Rochester
[7] Pozar D. M., Microwave Engineering, 4th Edition, Wiley, 2011
[8] Quinto M., Design Development and Characterization of 2nd Level Trigger System for Very Forward Detector at
LHC, Dipartimento Interateneo di Fisica “M.Merlin”, Università degli Studi di Bari “Aldo Moro”, 2014
[9] Svarny J., Bias driver of the Mach-Zehnder intensity electro-optic modulator, based on harmonic analysis
Sitografia
http://www.dmf.unicatt.it/~sangalet/SSIS/lez5_6.pdf
http://people.na.infn.it/~pq-qp/notes/sciarrino/Corponero.pdf
https://www.comsol.it/model/download/187145/models.woptics.mach_zehnder_modulator.pdf
http://www.ece.umd.edu/~davis/chapter18.pdf
https://cds.cern.ch/record/1753189/files/TOTEM-TDR-002.pdf
http://ftp-dee.poliba.it:8000/Petruzzelli/Componenti%20e%20Circuiti%20Ottici/2.1%20Niobato%20di%20Litio.pdf
70
Ringraziamenti
Ringrazio il prof. Ing. Passaro per avermi dato l’opportunità di svolgere questo lavoro di tesi, i miei
correlatori, il dott. Cafagna e il dott. Radicioni, per avermi seguito durante la mia permanenza al CERN
con professionalità e disponibilità. Ringrazio tutto il gruppo TOTEM dell’Istituto Nazionale di Fisica
Nucleare (INFN) di Bari per aver reso concreta la possibilità di vivere una simile esperienza formativa.
Ringrazio il gruppo TOTEM del CERN per l’ospitalità dimostrata, per il supporto, per gli uffici e per i
laboratori messi a disposizione. Ringrazio il prof. Corsi. Ringrazio ancora Michele Quinto per la sua
collaborazione e Gueorgui Antchev per le piacevoli giornate trascorse insieme in laboratorio.
Un ringraziamento speciale va a Nicola Minafra, esempio di competenza e concretezza, vera guida nel
mio lavoro di tesi, pronto a chiarire qualsiasi dubbio e ad ascoltare e a prendere in considerazione le mie
osservazioni. A lui in particolar modo sono debitore, per l’aiuto costante e per gli insegnamenti, grazie ai
quali sono stati conseguiti i risultati più importanti di questa tesi.
Ringrazio infine la mia famiglia, sempre pronta a spronarmi e supportarmi in tutto il mio percorso
universitario.
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