NUMERI COMPLESSI
LEZIONE 1:
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Insiemi numerici N, Z, Q, R quali elementi vi appartengono e necessità della loro
comparsa nel mondo dei numeri come risposta a problemi come ad esempio:
registrazione affari commerciali, rappresentazione debiti, divisioni non intere e lato
di un terreno quadrato di area 2
Perché nascono i numeri complessi: problema di cardano di trovare 2 numeri che
avessero somma 10 e prodotto 40. Spunta fuori la radice quadrata di -15!!
Radici quadrate di numeri negativi o soluzione di equazioni del tipo x2+1=0
Introduzione del simbolo i unità immaginaria.
Ipotesi di partenza i 2 = -1
Insieme C come estensione di R:
osservazione: 3*2i = 6i 3i*2i = 6i2 = -6
come rappresentare un numero reale nell'insieme C: 4 = 4+0 = 4 + 0*i = 4+0i
come può essere scritto allo stesso modo un numero immaginario: 3i = 0+3i
forma algebrica numeri C: a + bi aϵR, bϵR
LEZIONE 2:
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Operazioni: cos'è un'operazione e come definire somma, sottrazione e prodotto tra
numeri complessi a partire da come sono definite sui reali e tra binomi.
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i (a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
Verifica proprietà COMMUTATIVA, ASSOCIATIVA per somma e prodotto.
Ricerca ELEMENTO NEUTRO somma: 0+0i prodotto: 1+0i
Verifica proprietà DISTRIBUTIVA + rispetto al *
Ricerca ELEMENTO OPPOSTO rispetto alla somma: -a-bi
Ricerca ELEMENTO OPPOSTO rispetto al prodotto: 1/(a+bi)
Problema di eseguire e definire la divisione tra numeri complessi
[C,+,*] è un campo
LEZIONE 3:
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Divisione tra numeri complessi: ricordando prodotto notevole (a+b)*(a-b)= a2-b2
Primo passo: 1/(a+bi)= (a-bi)/(a+bi)*(a-bi)=(a-bi)/(a2+b2)
Secondo passo: (c+di)/(a+bi)=(c+di)*(a-bi)/(a2+b2)=[(ac+bd)+(ad-bc)i]/(a2+b2)
z = a-bi coniugato
scrittura simbolica: z= a+bi a=Re(z) b=Im(z)
z∗z
= a2+b2
1
=
z
z
z∗z
Proprietà del coniugato
LEZIONE 4: (con l'ausilio di geogebra)
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Rappresentazione numeri complessi.
z=a+bi aϵR, bϵR; z=(a,b)ϵ R×R
Piano di Gauss: asse reale Re(z), asse immagiario Im(z)
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Perché la struttura stile piano cartesiano è ideale per la rappresentazione di zϵC :
1*i2= -1 1*i=i
z elemento di C è un punto del piano di Gauss di coordinate (a,b)
Corrispondenza tra elementi di C e vettori nel piano con punto di applicazione
nell'origine. Verifica operazioni tra vettori e numeri complessi forniscono lo stesso
risultato.
Legame tra modulo del vettore, teorema di Pitagora e z∗z :
scrittura simbolica modulo ∣z∣ = √ (a 2+b 2)
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da cui ∣z∣2 = z∗z
e
1 z
=
z ∣z∣2
Ulteriori proprietà del coniugato legate al modulo e alla rappresentazione sul piano
di Gauss come simmetria rispetto all'asse reale.
LEZIONE 5:(con l'ausilio di geogebra)
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Due numeri complessi sul piano di Gauss, come succede con i vettori, differiscono
per modulo ρ, direzione e verso. Le variazioni di direzione e verso, essendo tutti
vettori con punto di applicazione nell'origine, si concentrano nella variazione
dell'angolo ϑ che il vettore forma con l'asse reale. (ϑ ϵ [0,2π) )
Richiami di trigonometria per osservare: a=ρcosϑ Re(z) e b=ρsinϑ Im(z)
forma trigonometrica numeri C: z = ρ ( cosϑ + i sinϑ ) ρϵR+ e ϑ ϵ [0,2π)
Conversione zϵC dalla forma trigonometrica a quella algebrica e viceversa.
Determinazione di ρ e ϑ per: numeri reali positivi e negativi, numeri z tali che
Re(z)=0 e per 0=0+0i con relative osservazioni.
Prove successive attraverso il software di moltiplicazione tra numeri complessi con
relative osservazioni sul risultato:
complesso z per reale, C × R : il modulo di z varia, la direzione no
complesso z per complesso w di modulo 1, C × C|w|=1 : direzione z varia, modulo no
complesso z per complesso w, C × C : variano sia direzione sia modulo di z
Moltiplicazione per un numero complesso: dilatazione e rotazione
LEZIONE 6: (con l'ausilio di geogebra)
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Esprimere prodotto tra numeri in C attraverso la forma trigonometrica per
evidenziare le osservazioni della lezione precedente:
z=ρ(cosϑ + i sinϑ) w=r(cosφ + i sinφ) z∗w = ρ*r( cos(ϑ+φ) + i sin(ϑ+φ))
analogamente
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z
=ρ/r( cos(ϑ-φ) + i sin(ϑ-φ))
w
Motivazione scrittura di un numero complesso in forma trigonometrica: grossa
difficoltà nell'eseguire potenze di numeri in C scritti in forma algebrica.
Potenza n-sima di un numero complesso.
z=ρ(cosϑ + i sinϑ) z2= z∗z =ρ*ρ(cos(ϑ+ϑ)+ i sin(ϑ+ϑ))=ρ2(cos(2ϑ)+ i sin(2ϑ))
Generalizzazione al caso n:
formula di De Moivre zn=ρn(cos(nϑ) + i sin(nϑ)
LEZIONE 7: (con l'ausilio di geogebra)
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Cercare di sfruttare la formula di De Moivre per risolvere il problema inverso:
Radice n-esima di un numero complesso.
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Noto z =ρ(cosϑ + i sinϑ) determinare w=r(cosφ + i sinφ) tale che: wn = z
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Uguagliando membro a membro si ottiene: r = √n ρ e φ=
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Visualizzando graficamente tutte le radici n-sime di z, al variare di k in Z, si scopre
che sono esattamente n.
Osservare che nella formula risolutiva delle equazioni di secondo grado in campo
complesso il ± è superfluo.
Radici n-sime dell'unità e loro rappresentazione sui vertici di un poligono regolare di
n lati.
Legame tra radici n-sime di zϵC e le radici dell'unità: √n z= √n z∗1=√n z∗√n 1
Basta determinare una radice n-sima di z per trovarle tutte, moltiplicando questa per
le rispettive radici n-sime dell'unità.
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( ϑ+2kπ)
k=0,1,..,n-1
n
LEZIONE 8:
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Teorema fondamentale dell'algebra
Un polinomio a coefficienti reali se ha zϵC come radice allora avrà come radice anche z
I polinomi di grado dispari hanno sicuramente una radice reale.
Funzioni f: C → C in particolare f (z) = e z
f (z) = e z =e a+ib =e a∗eib = r(cosφ + i sinφ) da cui segue che r = e a ϵR+ e soprattutto
e ib = (cosφ + i sinφ)
forma esponenziale numeri C (o formula di Eulero): z =ρ e iϑ ρϵR+ e ϑ ϵ [0,2π)
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verifica proprietà, operazioni e formule precedenti con la scrittura esponenziale di z
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LEZIONE 9: (in laboratorio a Fisica durante le ore curriculari)
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Esperimento sui circuiti RLC e legame con i complessi
Determinazione sperimentale della frequenza di risonanza
LEZIONE 10:
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Esercizi vari inerenti agli argomenti trattati per migliorare la confidenza con gli strumenti
incontrati durante il percorso.
Risoluzione di un problema proposto alle olimpiadi della matematica:
“Determinare quanto vale il prodotto (a*b*c) dei tre lati di un triangolo ricavato a partire da
un ettagono regolare, considerando a lato dell'ettagono e b e c prime due diagonali
successive e vicine al lato a”
a
c
b
