Trasformazione isoterma

Termodinamica dei gas
1.1
IL GAS PERFETTO
Viene definito perfetto o ideale un gas che si immagina formato da molecole puntiformi, cioè di
dimensioni nulle e che non si scambiano reciproche azioni di attrazione o repulsione: da questa
definizione derivano tutte le semplici proprietà che vedremo tra breve.
Nella realtà il comportamento di un gas si può discostare anche marcatamente da quello ideale,
a meno che la pressione non sia molto bassa o la temperatura piuttosto elevata: nel primo caso
infatti le molecole del gas sono tanto distanti le une dalle altre da risentire in misura trascurabile
di forze attrattive e repulsive, mentre nel secondo l'agitazione termica è così intensa da rendere
trascurabile l'effetto di tali forze.
Quindi la teoria del gas perfetto è solo un modello fisico-matematico, cioè un copione teorico di
comportamento che non corrisponde alla realtà ma che ha il pregio di far cominciare lo studio
dei gas con equazioni semplici e di portare velocemente a risultati accettabili in un primo
calcolo di massima. Inoltre tutti i modelli di gas reale sono costruiti come modifiche di quello
del gas perfetto, che resta pertanto un utile punto di partenza.
1.2
PROPRIETÀ FONDAMENTALI DI UN GAS PERFETTO
Si potrebbe dimostrare che dalle ipotesi di molecole puntiformi e di interazioni molecolari nulle
discendono le seguenti proprietà del gas perfetto:
- assenza di reazioni chimiche e di passaggi di stato;
- calori specifici fondamentali
Cp
e
Cv
costanti (cioè non variabili con la temperatura);
- esistenza di una semplice equazione di stato, che è:
per l kg di gas
p v =R T
pV
=
mRT
per m kg di gas
con:
p
pressione assoluta, in P a o N/m 2 ;
v
volume specifico, in m 3/kg;
V volume totale, in m3 ;
m quantità in massa, in kg;
T
R
temperatura assoluta, in K;
=
costante del gas in esame, in J/(kg K)
1
1.3
TRASFORMAZIONE ISOTERMA
Si definisce isoterma una trasformazione che avviene a temperatura costante, quindi la si potrà
indicare brevemente con:
T= costante
ovvero con
dT=O
Si può pensare di realizzare una trasformazione isoterma
circondando il recipiente che contiene il gas con un
sistema detto termostato (fig. 2.1), in grado di garantire
sempre una temperatura costante nel tempo, o per la sua
elevata capacità termica o perché formato da un sistema
bifasico in condizioni di equilibrio oppure ancora grazie a
sistemi automatici di regolazione.
Figura 1.1 -Trasformazione isoterma.
Realizzare nei gas una trasformazione rigorosamente isoterma è però praticamente impossibile
perché, come vedremo, la costanza della temperatura nasce da un bilanciamento continuo e
preciso tra gli scambi di lavoro e di calore che il sistema ha con l'esterno. Solo operando molto
lentamente in una esperienza di laboratorio si può sperare di approssimare una isoterma per un
gas, ma non se si deve operare velocemente come richiede la tecnica: per questo motivo non si
riesce a realizzare praticamente una macchina a gas la quale operi secondo il ciclo di Carnot
che, come studieremo più avanti, è formato da due adiabatiche e, purtroppo, da due isoterme.
EQUAZIONE DI TRASFORMAZIONE
Un'equazione di trasformazione mostra quale legame matematico intercorre fra le variabili
termodinamiche che variano durante il suo svolgimento: nel caso della trasformazione isoterma
variano la pressione e il volume. Dal momento che nell'equazione di stato p v= R T (valida
sempre e per qualunque trasformazione) sono costanti R e T, l'equazione di trasformazione si
ricava immediatamente ed è:
p v = costante
cioè lungo una isoterma il prodotto della pressione per il volume si mantiene sempre costante.
Se, anziché fare un'affermazione generale per tutta la trasformazione, si vuole sottolineare che la
cosa si verifica con riferimento agli stati iniziale l e finale 2, si può scrivere l'equazione di
trasformazione nella forma equivalente:
Pressioni e volumi sono dunque inversamente proporzionali, cioè la pressione diminuisce al
crescere del volume e viceversa. Questa legge è detta anche di Boyle-Mariotte, dal nome degli
scienziati che la formularono, l'irlandese Robert Boyle nel 1661, uno dei precursori della
chimica moderna, e il francese Edme Mariotte pochissimi anni dopo.
2
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA NEL PIANO
p-v
Il fatto che sia p1·v1 = p2·v2 , con l e 2 punti generici di
un'isoterma, comporta che tracciando da questi punti le
parallele agli assi cartesiani, si ottengono rettangoli che
hanno la medesima area (fig. 2.2).
In questo modo è possibile tracciare un'intera isoterma che
passi per un punto dato.
La curva che si ottiene è una iperbole equilatera avente
per asintoti gli assi delle pressioni e dei volumi.
Figura 1.2 - Trasformazione isoterma.
p
La legge di Boyle e Mariotte suggerisce
un semplice metodo grafico per costruire
un fascio di isoterme partendo da una
isoterma data. Supponendo di aver già
tracciato l'isoterma l 00 K per un dato
gas (fig. 2.3), indichiamo con P 1 la sua
intersezione con la retta parallela all'asse
dei volumi tracciata a partire da un punto
qualunque P0 sull'asse delle pressioni e
riportiamo più volte un segmento uguale
a PoP 1 segnando i punti P2, P3 , P4 ecc.
L'area sottesa a P0P2 (prodotto p v) è il
doppio di quella sottesa a P0P 1 , quindi
per il punto P2 deve passare l 'isoterma
200 K, così per P4 deve passare la 400 K
ecc. Ripetendo la costruzione con altre
parallele ali'asse dei volumi, è facile
costruire un intero fascio di isoterme.
lOOOK
800 K
Figura 1.3 - Costruzione di un fascio di isoterme.
Se l'isoterma procede verso destra (fig. 2.4) il volume cresce, quindi si verifica una dilatazione
e, poiché la pressione cala, anche un'espansione; se invece l'isoterma procede verso sinistra
(fig. 2.5) il volume cala, quindi la trasformazione che avviene è una contrazione e, poiché la
pressione cresce, anche una compressione.
p
v
Figura 1.4 - Dilatazione isoterma ed
espansione isoterma.
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