Esame di ALGEBRA 1 - 20 settembre 2010 Si risponda ai seguenti

Esame di ALGEBRA 1 - 20 settembre 2010
Si risponda ai seguenti quesiti, giustificando la risposta.
Esercizio 1. Sia g : A → B un’applicazione fissata. Si dimostri che le seguenti
condizioni sono equivalenti:
(a) g è iniettiva;
(b) per ogni insieme C e ogni coppia di applicazioni f1 : C → A e f2 : C → A, si
ha che g ◦ f1 = g ◦ f2 implica f1 = f2 .
Esercizio 2. Sia N∗ = N \ {0}. Per ogni n ∈ N∗ , sia µ(n) il numero di
primi positivi distinti che dividono n. (Ad esempio, µ(16) = µ(24 ) = 1, µ(12) =
µ(22 · 3) = 2.) Si definisca una relazione ρ su N∗ ponendo, per ogni n, m ∈ N∗ , nρm
se µ(n) ≤ µ(m).
(a) Si dica se ρ è una relazione di ordine parziale, giustificando la risposta.
(b) Si definisca una seconda relazione σ su N∗ ponendo, per ogni n, m ∈ N∗ ,
nσm se nρm ed mρn. Si dica se σ è una relazione di equivalenza, giustificando la
risposta.
Esercizio 3. Sia M un monoide e sia e un elemento di M tale che e2 = e. Si
consideri il sottoinsieme N = { eme | m ∈ M } di M .
(a) Si dimostri che N , con l’operazione indotta dall’operazione su M , è un
monoide.
(b) Si dimostri che se e 6= 1, allora N non è un sottomonoide di M . Qual è
l’identità di N ?
Esercizio 4. Sia R = Z × Q il prodotto cartesiano dell’insieme Z dei numeri
interi e dell’insieme Q dei numeri razionali. L’insieme R è un anello commutativo
con identità rispetto alle operazioni + e · definite da
(z, q) + (z 0 , q 0 ) = (z + z 0 , q + q 0 )
e
(z, q)(z 0 , q 0 ) = (zz 0 , zq 0 + z 0 q)
per ogni z ∈ Z, q ∈ Q. Sia I il sottoinsieme {0} × Q = { (z, q) ∈ R | z = 0 } di R.
(a) Si calcoli la caratteristica di R.
(b) Si dimostri che I è un ideale di R.
(c) Si dimostri che R/I ∼
= Z.
(d) Si dimostri che se (x2 ) denota l’ideale principale generato da x2 nell’anello
Q[x] dei polinomi a coefficienti razionali, allora R è isomorfo ad un sottoanello di
Q[x]/(x2 ).
Esercizio 5. (a) Si definisca cosa si intende per dominio euclideo.
(b) Si dimostri che in un dominio euclideo ogni ideale è principale.
1