Capitolo 2
Introduzione allo Strato
Fisico:Segnali Analogici e numerici
1
Segnali – Definizioni (1/2)
Concettualmente un segnale x(t) rappresenta
l’andamento nel tempo t di una grandezza fisica x
(tensione, corrente, intensità luminosa, temperatura)
Formalmente, un segnale x(t) è una funzione
definita in un dominio
sottoinsieme di R1 (detto
spazio di parametro) e a valori in un codominio
sottoinsieme di R1 o C1 (detto spazio dei valori)
2
Segnali – Definizioni (2/2)
Un segnale
è detto di durata limitata se
sottoinsieme [a,b] limitato di R1 (ossia
=[a,b] con
Un segnale
è detto di durata illimitata se
sottoinsieme illimitato di R1 (ossia,
oppure
oppure
)
è un
e
)
è un
Un segnale
è detto analogico se
è un sottoinsieme
continuo di R1 (ossia è costituito da una infinità non numerabile di
punti) e è un sottoinsieme continuo di R1 o C1 (ossia
è costituito da
una infinità non numerabile di numeri reali o complessi)
Un segnale
è detto numerico (o digitale) se
è un
sottoinsieme continuo di R1 e
è costituito da un
numero finito
di elementi.
3
Segnali-Classificazione
Esempio di Segnale Analogico con
x(t)
5
0
10
t
10
t
-5
Esempio di segnale numerico con
1
-10
x(t)
4
Segnali analogici e numerici (1/3)
analogici:
Audio (voce, musica)
Video (TV analogica)
Segnali
o
o
t
numerici (sequenze di digit):
Audio e video digitalizzati
Immagini Digitali
Sequenze di immagini (videoclip, TV digitale, …)
Dati (documenti word/excel, files, …)
Segnali
o
o
o
o
Reti analogiche: Broadcast radio/TV, cellulare TACS, cordless
analogico
Tutte le altre reti sono numeriche (audio e video vengono
digitalizzati)
5
Segnali analogici e numerici (2/3)
Nota bene: il segnale che trasporta un bit è comunque analogico:
Tensione elettrica sul filo,
dalla tastiera alla CPU
Potenza luminosa entrante in
una fibra ottica
+5V
0
-5V
1 0
…
0
0
1
0
1
t
0 1
0 0
0 1
0
1 …
t
Però l’informazione ad esso associata è numerica, ovvero 0 od 1.
6
Segnali analogici e numerici (3/3)
È quindi importante considerare i segnali analogici, facendo
riferimento a collegamenti analogici unidirezionali (es.
radiodiffusione):
Sorgente
Analogica
t
SA
t
Canale di
Trasmissione
Destinazione
Analogica
DA
A livello logico si può identificare un collegamento numerico (binario)
(es. modem in banda audio):
Sorgente
Binaria
SB
Modem
Tx
t
Canale
di Tx
t
Modem
Rx
Destinazione
Binaria
..010110..
DB
7
Fondamenti sui segnali analogiciStrato Fisico
8
Segnali analogici (1/2)
Collegamenti analogici punto-punto unidirezionali (es. radiodiffusione):
Sorgente
Analogica
t
SA
Esempi:
Voce
Telefono
Video
S
Trasduttore di
emissione
t
Canale di
Trasmissione
Destinazione
Analogica
DA
segnale di pressione acustica
segnale elettrico
segnale ottico
Canale fisico
(mezzo trasmissivo)
Trasduttore di
ricezione
D
9
Segnali analogici (2/2)
Segnale: andamento nel tempo di una grandezza perturbata
Esempi di segnale continuo, tempo-continuo (analogico):
Voce, temperatura ambiente, musica, televisione
10
Esempi di segnali analogici (1/3)
Sinusoide:
A
ampiezza;
To =1 /
frequenza;
periodo (sec);
=
fase (radianti);
pulsazione (rad/sec);
T0
11
Esempi di segnali analogici (2/3)
Esponenziale
reale:
.
A
Rettangolo:
1
12
Esempi di segnali analogici (3/3)
Triangolo:
Gradino unitario:
ì1 - t / T
ï
=
=
x(t ) triT (t ) í1 + t / T
ï0
î
1
1
13
I numeri complessi (1/4)
(unità immaginaria);
x1
Esempio:
x2
Se b2<4ac si ha la radice quadrata di un numero negativo
le radici x1, x2 sono numeri complessi
14
I numeri complessi (2/4)
Numero complesso:
.
Relazioni inverse
15
I numeri complessi (3/4)
Complesso coniugato:
Reciproco di un numero complesso:
Somma e prodotto tra numeri complessi:
16
I numeri complessi (4/4)
Rapporto tra due numeri complessi:
Formule di Eulero:
17
Segnali complessi (1/2)
Coppia di segnali reali, associati come parte reale xR(t) e parte
immaginaria xI(t) di un segnale complesso x(t) = xR(t) + j xI(t)
Esempio - esponenziale complesso:
parte reale
parte immaginaria
18
Segnali complessi (2/2)
A
19
Operazioni sui segnali (1/2)
Poiché i segnali sono funzioni, tutte le operazioni tra funzioni
possono essere anche applicate ai segnali. In particolare:
Somma, Prodotto:
Prodotto per
costante:
(amplificazione, attenuazione)
Ribaltamento:
ribaltamento
20
Operazioni sui segnali (2/2)
Traslazione
t
t
t
t
Dilatazione e contrazione
t
t
t
21
Energia di un segnale (1/3)
Def:
Def:
Segnale “di energia”:
Def:
Segnale “impulsivo”:
22
Energia di un segnale (2/3)
Esempio: esponenziale negativo unilatero
t 0
t< 0
di energia
impulsivo
23
Energia di un segnale (3/3)
Esempio: esponenziale decrescente bilatero
Impulsivo e di energia
24
Potenza di un segnale
Def:
Def: Segnali “di potenza”:
Esempio: segnale costante
25
Segnale periodico (1/3)
…
…
t
(periodo principale)
Formule di calcolo della potenza di un segnale periodico
Un segnale periodico è un segnale di potenza
26
Segnale periodico (2/3)
Esempio: sinusoide
27
Segnale periodico (3/3)
Esempio: treno di “impulsi” rettangolari
t
28
Relazione tra segnali di energia,
impulsivi e di potenza
Segnali di
energia
Segnali impulsivi
Segnali di
potenza
Segnali periodici
29
Attraversamento di un sistema
tempo-continuo da parte di un
segnale analogico
Un sistema S è un blocco che trasforma un
segnale di ingresso x(t) in uno di uscita
y(t)=f(x(t))
S
30
Attraversamento di un sistema
tempo-continuo da parte di un
segnale analogico
Classificazione dei sistemi:
Sistema Lineare:
(sovrapposizione degli effetti)
Sistema Permanente:
(invarianza nel tempo)
Un sistema lineare e permanente (LP) è detto “filtro”
31
L’impulso matematico
Rappresenta un segnale di durata brevissima (al limite, zero) e di
ampiezza elevatissima (al limite, infinita)
il cui integrale è
unitario
area 1
1
t
t
32
Proprietà fondamentali
dell’impulso matematico
(l’impulso matematico ha area unitaria)
1.
2.
(proprietà di campionamento dell’impulso
3.
matematico)
33
Risposta impulsiva di un sistema
lineare e permanente
x(t)=d(t)
Filtro
y(t)=h(t)
La risposta impulsiva h(t) di un sistema lineare e permanente (filtro) è
definita come l’uscita y(t) del sistema quando all’ingresso è applicato
l’impulso unitario x(t)=d(t)
Proprietà elementari di h(t)
Permanenza
Linearità
34
Convoluzione – Definizione (1/6)
x(t)
y(t)
h(t)
Se il sistema è LP con risposta impulsiva h(t), allora l’uscita y(t)
corrispondente ad un generico segnale di ingresso x(t) è pari a
L’integrale precedente è detto integrale di convoluzione tra l’ingresso
x(t) e la risposta impulsiva h(t) del filtro.
35
Convoluzione – Calcolo (2/6)
1. Poiché per ogni fissato valore di t, l’integrale è
nella variabile , conviene innanzitutto graficare i
due segnali da convolvere x(.) e y(.) come funzioni
di ottenendo così
,
,
.
va poi ribaltato rispetto all’asse ,
ottenendo quindi
.
2. Il segnale
36
Convoluzione – Calcolo (3/6)
Il segnale così ottenuto va poi traslato della
quantità t lungo l’asse
ottenendo così
. A questo riguardo quando t>0 allora
va traslato di t verso destra. Quando
invece t<0,
va traslata di t verso
sinistra
4. Per ogni valore di
si calcola il
prodotto
5. Si integra rispetto a
la funzione
e cioè si calcola l’area sottesa dalla funzione
. La suddetta area è proprio il valore y(t)
assunto dalla convoluzione all’istante t.
3.
37
Convoluzione – Esempio di Calcolo
(4/6)
2
-4
1
4
0
1
-3
0
3
1
1
-3+t t
-3+t t
2
2
-3+t t
-3+t t
38
Proprietà di base della
Convoluzione (5/6)
1.
L’operazione di convoluzione è commutativa, ossia
2.
L’operazione di convoluzione è associativa, cioè
3.
L’operazione di convoluzione è distributiva rispetto alla somma di segnali
4.
La convoluzione di
trasla
di t0, ossia
Ossia
5.
Dati due segnali
,
ha durata pari alla somma
di durata
,il segnale convoluto
39
Risposta di un sistema LP-Prova
(6/6)
Filtro h(t)
•
può essere espresso come
• Permanenza
• Linearità
40
Causalità e stabilità di un filtro
Def: Filtro causale:
il sistema “risponde” solo dopo che
è stato “eccitato”
Def:Filtro stabile:
Ingressi limitati, corrispondano uscite limitate
41
Trasformazioni istantanee
(senza memoria)
Ritardo
Moltiplicazione
per costante
c
Quadratore
Lineare
Segno
42
Sviluppo in serie di Fourier (SdF)
per segnali periodici (1/7)
Segnale periodico, periodo T:
Armonica n-esima
frequenza fondamentale:
Sviluppo in serie di Fourier
Coefficienti dello sviluppo
è una rappresentazione di
43
Sviluppo in serie di Fourier (SdF)
per segnali periodici (2/7)
x(t ) segnale reale e periodico di periodo T
1 T /2
Rn = ò-T / 2 x(t ) cos(2p f nt )dt = R- n (pari)
T
1 T /2
I n = - ò-T / 2 x(t ) sin(2p f nt )dt = - I - n (dispari)
T
X n = X -* n
M n = M - n (pari)
j
n
= -j
-n
(dispari)
(simmetria coniugata)
44
Sviluppo in serie di Fourier (SdF)
per segnali periodici (3/7)
Ricostruzione x(t ) reale e periodico di periodo T:
x(t ) = X 0 +
= R0 +
+¥
å [X n e j 2p f nt + X - n e - j 2p f nt ] =
n =1
+¥
å [M n e j ( 2pf nt +j n ) + M - n e - j ( 2p f nt -j - n )] =
n =1
+¥
= R0 + 2 å M n cos(2p f nt + j n )
n =1
(solo coseni di opportuna ampiezza e fase)
45
Sviluppo in serie di Fourier (SdF)
per segnali periodici (4/7)
46
Sviluppo in serie di Fourier (SdF)
per segnali periodici (5/7)
Esempio di sviluppo in serie di Fourier
t
n
47
Sviluppo in serie di Fourier (SdF)
per segnali periodici (6/7)
48
Sviluppo in serie di Fourier (SdF)
per segnali reali e periodici (7/7)
Spettro
di ampiezza
(complessa)
n
“fondamentale”
Spettro
di potenza
n
49
Trasformata di Fourier (1/7)
Def: Un segnale x(t) è impulsivo se
FT :
FT-1 :
X(f) è una rappresentazione di x(t) nel dominio della frequenza
(dominio “spettrale”) anziché del tempo
50
Trasformata di Fourier (2/7)
X(f) = R(f) + j I(f) = M(f)e j
M(f)
R(f)
f
f
(f)
I(f)
f
f
51
Trasformata di Fourier di segnali
reali (3/7)
segnale reale:
Simmetria coniugata:
52
Trasformata di Fourier di segnali
reali (4/7)
Conseguenza :
Per segnali reali si può fare riferimento alle sole frequenze positive
della X(f)
M(f)
M(f)
f
f
(f)
(f)
f
f
53
Trasformata di Fourier – Banda di
un segnale di banda base (4/7)
Un segnale reale x(t) si dice limitato nella banda [-W,W] se la sua
trasformata di Fourier X(f) è identicamente nulla per f [-W,W]
X(f)
-W
W
f
La quantità W si misura in Hz (o suoi multipli) e costituisce la
“Larghezza di Banda” del segnale x(t)
Poiché X(f)0 in un intorno [-W,W] di f=0, il segnale x(t) si
dice “segnale di banda base”
54
Trasformata di Fourier – Banda di
un segnale di banda base (6/7)
1)
2)
Un segnale reale x(t) si dice limitato in banda, con banda 2W
centrata intorno alla frequenza f0 (Hz) se:
f0 >W;
X(f) è identicamente nulla per f [- f0-W,- f0 +W]U [f0-W,f0 +W]
X(f)
-f0-W -f0
W-f0
-W+f0
f0
f0+W f
La quantità 2W (Hz) costituisce la larghezza di banda del segnale
x(t)
Poiché X(f)0 in un intorno di f0 non adiacente all’origine f0, il
55
segnale x(t) si dice “segnale in banda traslata”.
Trasformata di Fourier – Unità di
misura della larghezza di banda
(7/7)
La larghezza di banda W (2W) di un segnale x(t) di banda base (di
banda traslata) si misura in
o in suoi multipli
56
Trasformata di Fourier e Teorema di
Parseval
E’ possibile calcolare l’energia di un segnale
“impulsivo” o “di energia” x(t) mediante la sua
trasformata X(f).
In particolare, vale il seguente risultato noto come
“Teorema di Parseval per segnali impulsivi e/o di
energia”:
57
Trasformata di Fourier: Esempi (1/4)
essendo
1
t
f
58
Trasformata di Fourier: Esempi (2/4)
1)
1
t
f
2)
S
1
t
f
59
Trasformata di Fourier: Esempi (3/4)
3)
f
t
4)
t
f
60
Trasformata di Fourier: Esempi (4/4)
5)
f
t
t piccolo:
t
f
61
Relazioni tempo/frequenza
Segnali brevi (in t)
banda larga (in f)
Segnali lunghi (e lenti)
banda stretta (in f)
Segnali rapidamente varianti in t
t
t
banda larga (in f)
f
62
f
Proprietà della trasformata di
Fourier
1) Linearità:
2) Ritardo:
3) Modulazione:
4) Derivazione:
63
TdF di un segnale periodico
(segnale periodico)
SdF:
n
TdF:
f
64
Proprietà fondamentale della
convoluzione
La trasformata di Fourier della convoluzione
è pari al prodotto delle trasformate
dove
65
Risposta in frequenza di un sistema
LP (filtro)
Convoluzione (nel tempo):
: risposta impulsiva del filtro
Prodotto (in frequenza):
: risposta in frequenza del filtro
o funzione di trasferimento del filtro
66
Filtraggio analogico (1/2)
Filtro passa-basso:
Meccanismo di filtraggio:
(LP, low-pass)
f
f
Filtro passa-alto
Filtro
(HP, high-pass)
1
f
f
Filtro passa-banda
(BP, band-pass)
f
f
67
Filtraggio analogico (2/2)
reale
(simmetria coniugata)
E’ sufficiente conoscere
solo per le frequenze
positive, perché le f negative si deducono dalla simmetria
coniugata
f
f
68
Risposta di un filtro al segnale
sinusoidale
Le sinusoidi sono largamente impiegate nelle trasmissioni
(esempi: fax, tastiera telefono, GSM, …)
t
69
Proprietà duale della FT
Proprietà della FT: alla convoluzione in t corrisponde il prodotto in f
La convoluzione in t aumenta la durata temporale del segnale
Proprietà duale: al prodotto in t corrisponde la convoluzione in f
Il prodotto in t aumenta la banda (occupazione in
frequenza) del segnale
70
Segnale aleatorio (Gaussiano)
Segnale aleatorio:
t
Funzione densità di probabilità di una variabile:
esprime la probabilità che la variabile
assume un valore nell’intorno di x.
Densità di probabilità gaussiana:
(media nulla, varianza
)
Sono più probabili i valori piccoli e meno probabili i valori grandi
(positivi e negativi in ugual misura)
71
Segnale aleatorio (Gaussiano)- Esempi
Esempi di segnale con “distribuzione”
Gaussiana:
o
o
o
Voce umana
Suoni
“rumore” caotico (voci da stadio, radio fuori
sintonia, …)
I segnali aleatori sono tipicamente segnali
potenza
di
72
Fondamenti sui segnali numericiStrato Fisico
73
Sequenza numerica- Definizione
Una sequenza numerica
è una stringa ordinata di
numero reali o complessi il cui indice di posizione n può assumere solo
i valori interi (positivi e/o negativi)
Esempio
La sequenza
graficamente come in
può essere rappresentata
2
1
-1
0
-1
1
n
Una sequenza numerica è detta di durata finita N>0 se ammette
valori diversi da zero solo in corrispondenza di N valori dell’indice n.
74
Campionamento
Segnale analogico
Sequenza dei suoi campioni:
....
t
intervallo di campionamento (sec)
t
frequenza di campionamento (Hz)
Campionatore:
Trasmissione a distanza,
o immagazzinamento
75
Ricostruzione (1/3)
Ricostruzione, con treno di impulsi matematici:
Filtro LP:
t
Segnale
ricostruito
76
Ricostruzione (2/3)
Ricostruzione ideale, con treno di impulsi matematici:
f
t
77
Ricostruzione (3/3)
78
Teorema del campionamento
(1/4)
Se
è limitato in banda, con banda
intorno all’origine, e se
(criterio di Nyquist), allora il segnale ricostruito
risulta uguale all’originale, ossia:
79
Teorema del campionamento
(2/4)
Spiegazione intuitiva: se
varia lentamente, e se la si osserva
abbastanza frequentemente, allora il suo andamento completo è
perfettamente ricostruibile tramite interpolazione delle osservazioni
80
Teorema del campionamento
(3/4)
La proprietà fondamentale che sta alla base del
teorema del campionamento è la seguente:
81
Teorema del campionamento
(4/4)
Nel dominio
della frequenza:
X(f)
2W
f
f
f
82
Aliasing da sotto-campionamento
f
2W
Sotto-campionamento:
f
1) Manca una parte dello spettro
2) La parte mancante si
“ripiega” e si somma al resto
f
c’è dell’altro (“alias”)
nello spettro ricostruito
83
Campionamento e quantizzazione
(conversione A/D)
x(n)
b bit, che rappresentano:
Q
Sampling
Quantizer
ADC: Analog-to-Digital Converter
q(n): errore di quantizzazione, che svanisce all’aumentare di
b, ovvero del numero di bit impiegati nella conversione A/D
84
Relazione ingresso-uscita di un
quantizzatore uniforme
Passo di
quantizzazione
xmax= xq(L-1)
xq(i)
xmax
-xmax
xq(2)
L
Livello di
restituzione
rappresentato
con b bits
Numero dei livelli
di quantizzazione
x(n)
xq(1)
-xmax=xq(0)
85
Ricostruzione (conversione D/A)
b bits
Generatore
di livelli di
restituzione
Generatore
di forma
d’onda
DAC: Digital-to-Analog
Converter
86
Schema completo di
campionamento e ricostruzione
flusso binario
b bits
Campionatore
+
quantizzatore
P/S
(bits/sec)
Trasmissione
Convertitore
parallelo/serie
b bits
flusso binario,
bit/sec
S/P
Convertitore
analogicodigitale
Filtro LP
Con banda
[-W,W]
Convertitore
serie/parallelo
87
Esempi
Esempio: digitalizzazione del segnale telefonico (PCM, Pulse Code
Modulation)
Esempio: brano musicale di 3 minuti
88
Rumore di quantizzazione nel PCM
(1/3)
L intervalli di quantizzazione,
L valori (“livelli”) di quantizz.
89
Rumore di quantizzazione nel PCMPrestazioni del quantizzatore (2/3)
campione
quantizzato
campione
originale
errore di
quantizzazione
• L’errore di quantizzazione può assumere tutti i valori da
• Modello probabilistico: q è una variabile
a
aleatoria con “distribuzione” (densità di
probabilità) uniforme tra
e
,ea
media nulla
Il valore massimo del modulo dell’errore q è:
, e va
a zero al crescere di b
Sul segnale ricostruito l’errore di quantizzazione viene percepito
come un disturbo (rumore) sommato al segnale originale
90
Rumore di quantizzazione nel PCMPrestazioni del quantizzatore (3/3)
o Supponiamo che x possa assumere solo valori in [-xmax, xmax]
o Supponiamo che l’intervallo [-xmax, xmax] sia suddiviso in L=2b intervalli di
quatizzazione di estensione
Si può dimostrare che il valore medio E{q2} del quadrato dell’errore di
quantizzazione q vale
Quindi E{q2} va a zero in maniera esponenziale al crescere di 2b
91
Elaborazione numerica dei
segnali- Strato Fisico
92
Sequenza numerica
può essere
quantizzata oppure no
può essere la sequenza dei campioni
di un segnale analogico
, oppure può nascere proprio come
sequenza (esempi: indicatori economici, distribuzione di
temperatura)
Sequenza numerica di
durata finita (N elementi):
93
Trasformata discreta di Fourier per
sequenze di durata finita (DFT)
DFT: Discrete Fourier Transform
k
94
Trasformata discreta di Fourier per
sequenze di durata finita (DFT)
La DFT {Xk,k=0,…,N-1} costituisce una
rappresentazione di
nel dominio k delle
frequenze discrete. Infatti vale la seguente
formula di ricostruzione
95
Proprietà elementari della DFT
i. Linearità:
ii. Simmetria:
se
è a valori reali, allora
96
Filtraggio numerico(1/9)
Definiamo come impulso discreto
la sequenza numerica che vale 1 in n=0 ed è nulla
altrove, ossia
1
-4 -3 -2 –1 0 1 2 3 4
n
97
Filtraggio numerico (2/9)
Un
sistema numerico S è un sistema che trasforma una
sequenza di ingresso
in una di uscita
in accordo ad una specifica relazione ingresso-uscita
.
S
lineare se vale il principio di
sovrapposizione degli effetti, ossia
Un sistema numerico è
Un sistema numerico è permanente se il suo comportamento
non varia nel tempo, ossia
98
Filtraggio numerico (3/9)
Un sistema numerico lineare e permanente è un
filtro numerico
Si definisce come risposta impulsiva
del filtro numerico la sequenza di uscita dal filtro
quando all’ingresso è applicata la sequenza impulso
discreto
Filtro
Numerico
99
Filtraggio numerico (4/9)
CLASSIFICAZIONE DEI FILTRI NUMERICI
Un filtro numerico è causale se hn=0 per ogni n<0
Un filtro numerico è FIR (Finite Impulse Response)
se {hn} è diversa da zero solo per un numero finito di
valori di n.
Un filtro numerico è IIR (Infinite Impulse
Response) se {hn} è diversa da zero per un numero
infinito di valori di n
100
Filtraggio numerico – Convoluzione
discreta (5/9)
Filtro
hn
Dato un filtro numerico con risposta
impulsiva {hn}, la sequenza di uscita {yn}
ottenuta in corrispondenza di una generica
sequenza di ingresso {xn} si ottiene mediante la
convoluzione discreta di {xn} e {hn}, ossia come
in:
101
Calcolo della convoluzione
discreta (6/9)
Per calcolare la convoluzione discreta
si procede come segue:
i.
Poiché per ogni fissato valore di n, la sommatoria è
nell’indice m, conviene innanzitutto graficare le due
sequenze da convolvere come funzioni di m, ottenendo
{xm} e {hm}.
ribaltata rispetto all’asse delle
ascisse, ottenendo quindi la sequenza {h-m}
ii. La sequenza {hm} va poi
102
Calcolo della convoluzione
discreta (7/9)
La sequenza {h-m} va poi traslata della quantità n
lungo l’asse m, ottenendo così {hn-m, m=0, 1,
2,…}. A questo riguardo
– quando n0, allora {h-m} va traslata di n
verso destra
– quando n<0, allora {h-m} va traslata di n verso
sinistra
v. Per ogni valore di m, si calcola il prodotto xm
hn-m, m=0, 1, 2…
vi. Si sommano rispetto all’indice m tutti i prodotti
{xm hn-m, m=0, 1, 2…} ottenendo il valore yn
delle sequenza convoluta al passo n.
iii.
103
Calcolo della convoluzione
Discreta (8/9)
xm
2
hm
1
h-m
-2 –1 0 1 2
1
m
hn-
-1 0
m
01
hn-
m
m
1
1
n-1 n
-1+n n
m
xmhn-m
2
2
–1+n n
m
m
-1+n n
m
xmhn-m
m
104
Proprietà della convoluzione discreta
(9/9)
i.
La convoluzione discreta è communtativa, ossia:
ii. La convoluzione discreta è associativa, ossia:
iii. La convoluzione discreta è distributiva rispetto alla somma,
ossia:
vii. Se {xm,m=0,..,M-1} è una sequenza lunga M e {hn,n=0,…,L-1} è una
sequenza lunga L, allora la convoluzione discreta yn=xn*hn è una
sequenza lunga L+M-1
105
Filtri FIR (Finite Impulse
Response) (1/2)
Def: un filtro numerico è detto FIR se la sua risposta impulsiva {hn,n=0,…,L-1}
ha lunghezza finita L<+
Ritardo di
1 passo
(delay)
Ritardo di
1 passo
(delay)
Ritardo di
1 passo
(delay)
Linea di
ritardo
digitale
…..
L’uscita
all’ ”istante” n è pari alla combinazione lineare di L
valori di ingresso
immagazzinati nella linea di ritardo
digitale
106
Filtri FIR (Finite Impulse
Response) (2/2)
Esempio di filtro FIR
“media mobile” su 2 istanti:
Altro esempio:
107
Filtri IIR (Infinite Impulse
Response) (1/2)
Un filtro è detto IIR (Infinite Impulse
Response) se la sua risposta impulsiva {hn} è
non nulla in un numero infinito di istanti.
108
Filtri IIR (Infinite Impulse
Response) (2/2)
Esempio di filtro IIR
D
109
