Capitolo 2 Introduzione allo Strato Fisico:Segnali Analogici e numerici

Capitolo 2
Introduzione allo Strato
Fisico:Segnali Analogici e numerici
1
Segnali – Definizioni (1/2)
  Concettualmente un segnale x(t) rappresenta
l’andamento nel tempo t di una grandezza fisica x
(tensione, corrente, intensità luminosa, temperatura)
  Formalmente, un segnale x(t) è una funzione
  definita in un dominio
sottoinsieme di R1 (detto
spazio di parametro) e a valori in un codominio
sottoinsieme di R1 o C1 (detto spazio dei valori)
2
Segnali – Definizioni (2/2)
  Un segnale
è detto di durata limitata se
sottoinsieme [a,b] limitato di R1 (ossia
=[a,b] con
  Un segnale
è detto di durata illimitata se
sottoinsieme illimitato di R1 (ossia,
oppure
oppure
)
è un
e
)
è un
  Un segnale
è detto analogico se
è un sottoinsieme
continuo di R1 (ossia è costituito da una infinità non numerabile di
punti) e è un sottoinsieme continuo di R1 o C1 (ossia
è costituito da
una infinità non numerabile di numeri reali o complessi)
  Un segnale
è detto numerico (o digitale) se
è un
sottoinsieme continuo di R1 e
è costituito da un
numero finito
di elementi.
3
Segnali-Classificazione
Esempio di Segnale Analogico con
x(t)
5
0
10
t
10
t
-5
Esempio di segnale numerico con
1
-10
x(t)
4
Segnali analogici e numerici (1/3)
analogici:
Audio (voce, musica)
Video (TV analogica)
  Segnali
o 
o 
t
numerici (sequenze di digit):
Audio e video digitalizzati
Immagini Digitali
Sequenze di immagini (videoclip, TV digitale, …)
Dati (documenti word/excel, files, …)
  Segnali
o 
o 
o 
o 
Reti analogiche: Broadcast radio/TV, cellulare TACS, cordless
analogico
Tutte le altre reti sono numeriche (audio e video vengono
digitalizzati)
5
Segnali analogici e numerici (2/3)
Nota bene: il segnale che trasporta un bit è comunque analogico:
Tensione elettrica sul filo,
dalla tastiera alla CPU
Potenza luminosa entrante in
una fibra ottica
+5V
0
-5V
1 0
…
0
0
1
0
1
t
0 1
0 0
0 1
0
1 …
t
Però l’informazione ad esso associata è numerica, ovvero 0 od 1.
6
Segnali analogici e numerici (3/3)
È quindi importante considerare i segnali analogici, facendo
riferimento a collegamenti analogici unidirezionali (es.
radiodiffusione):
Sorgente
Analogica
t
SA
t
Canale di
Trasmissione
Destinazione
Analogica
DA
A livello logico si può identificare un collegamento numerico (binario)
(es. modem in banda audio):
Sorgente
Binaria
SB
Modem
Tx
t
Canale
di Tx
t
Modem
Rx
Destinazione
Binaria
..010110..
DB
7
Fondamenti sui segnali analogiciStrato Fisico
8
Segnali analogici (1/2)
Collegamenti analogici punto-punto unidirezionali (es. radiodiffusione):
Sorgente
Analogica
t
SA
Esempi:
Voce
Telefono
Video
S
Trasduttore di
emissione
t
Canale di
Trasmissione
Destinazione
Analogica
DA
segnale di pressione acustica
segnale elettrico
segnale ottico
Canale fisico
(mezzo trasmissivo)
Trasduttore di
ricezione
D
9
Segnali analogici (2/2)
Segnale: andamento nel tempo di una grandezza perturbata
Esempi di segnale continuo, tempo-continuo (analogico):
Voce, temperatura ambiente, musica, televisione
10
Esempi di segnali analogici (1/3)
Sinusoide:
A
ampiezza;
To =1 /
frequenza;
periodo (sec);
=
fase (radianti);
pulsazione (rad/sec);
T0
11
Esempi di segnali analogici (2/3)
Esponenziale
reale:
.
A
Rettangolo:
1
12
Esempi di segnali analogici (3/3)
Triangolo:
Gradino unitario:
ì1 - t / T
ï
=
=
x(t ) triT (t ) í1 + t / T
ï0
î
1
1
13
I numeri complessi (1/4)
(unità immaginaria);
x1
Esempio:
x2
Se b2<4ac si ha la radice quadrata di un numero negativo
le radici x1, x2 sono numeri complessi
14
I numeri complessi (2/4)
Numero complesso:
.
Relazioni inverse
15
I numeri complessi (3/4)
  Complesso coniugato:
  Reciproco di un numero complesso:
Somma e prodotto tra numeri complessi:
16
I numeri complessi (4/4)
Rapporto tra due numeri complessi:
Formule di Eulero:
17
Segnali complessi (1/2)
Coppia di segnali reali, associati come parte reale xR(t) e parte
immaginaria xI(t) di un segnale complesso x(t) = xR(t) + j xI(t)
Esempio - esponenziale complesso:
parte reale
parte immaginaria
18
Segnali complessi (2/2)
A
19
Operazioni sui segnali (1/2)
Poiché i segnali sono funzioni, tutte le operazioni tra funzioni
possono essere anche applicate ai segnali. In particolare:
Somma, Prodotto:
Prodotto per
costante:
(amplificazione, attenuazione)
Ribaltamento:
ribaltamento
20
Operazioni sui segnali (2/2)
Traslazione
t
t
t
t
Dilatazione e contrazione
t
t
t
21
Energia di un segnale (1/3)
Def:
Def:
Segnale “di energia”:
Def:
Segnale “impulsivo”:
22
Energia di un segnale (2/3)
Esempio: esponenziale negativo unilatero
t 0
t< 0
di energia
impulsivo
23
Energia di un segnale (3/3)
Esempio: esponenziale decrescente bilatero
Impulsivo e di energia
24
Potenza di un segnale
Def:
Def: Segnali “di potenza”:
Esempio: segnale costante
25
Segnale periodico (1/3)
…
…
t
(periodo principale)
Formule di calcolo della potenza di un segnale periodico
Un segnale periodico è un segnale di potenza
26
Segnale periodico (2/3)
Esempio: sinusoide
27
Segnale periodico (3/3)
Esempio: treno di “impulsi” rettangolari
t
28
Relazione tra segnali di energia,
impulsivi e di potenza
Segnali di
energia
Segnali impulsivi
Segnali di
potenza
Segnali periodici
29
Attraversamento di un sistema
tempo-continuo da parte di un
segnale analogico
 Un sistema S è un blocco che trasforma un
segnale di ingresso x(t) in uno di uscita
y(t)=f(x(t))
S
30
Attraversamento di un sistema
tempo-continuo da parte di un
segnale analogico
Classificazione dei sistemi:
Sistema Lineare:
(sovrapposizione degli effetti)
Sistema Permanente:
(invarianza nel tempo)
Un sistema lineare e permanente (LP) è detto “filtro”
31
L’impulso matematico
Rappresenta un segnale di durata brevissima (al limite, zero) e di
ampiezza elevatissima (al limite, infinita)
il cui integrale è
unitario
area 1
1
t
t
32
Proprietà fondamentali
dell’impulso matematico
(l’impulso matematico ha area unitaria)
1. 
2. 
(proprietà di campionamento dell’impulso
3. 
matematico)
33
Risposta impulsiva di un sistema
lineare e permanente
x(t)=d(t)
Filtro
y(t)=h(t)
La risposta impulsiva h(t) di un sistema lineare e permanente (filtro) è
definita come l’uscita y(t) del sistema quando all’ingresso è applicato
l’impulso unitario x(t)=d(t)
Proprietà elementari di h(t)
Permanenza
Linearità
34
Convoluzione – Definizione (1/6)
x(t)
y(t)
h(t)
Se il sistema è LP con risposta impulsiva h(t), allora l’uscita y(t)
corrispondente ad un generico segnale di ingresso x(t) è pari a
L’integrale precedente è detto integrale di convoluzione tra l’ingresso
x(t) e la risposta impulsiva h(t) del filtro.
35
Convoluzione – Calcolo (2/6)
1.  Poiché per ogni fissato valore di t, l’integrale è
nella variabile , conviene innanzitutto graficare i
due segnali da convolvere x(.) e y(.) come funzioni
di ottenendo così
,
,
.
va poi ribaltato rispetto all’asse ,
ottenendo quindi
.
2.  Il segnale
36
Convoluzione – Calcolo (3/6)
Il segnale così ottenuto va poi traslato della
quantità t lungo l’asse
ottenendo così
. A questo riguardo quando t>0 allora
va traslato di t verso destra. Quando
invece t<0,
va traslata di t verso
sinistra
4.  Per ogni valore di
si calcola il
prodotto
5.  Si integra rispetto a
la funzione
e cioè si calcola l’area sottesa dalla funzione
. La suddetta area è proprio il valore y(t)
assunto dalla convoluzione all’istante t.
3. 
37
Convoluzione – Esempio di Calcolo
(4/6)
2
-4
1
4
0
1
-3
0
3
1
1
-3+t t
-3+t t
2
2
-3+t t
-3+t t
38
Proprietà di base della
Convoluzione (5/6)
1. 
L’operazione di convoluzione è commutativa, ossia
2. 
L’operazione di convoluzione è associativa, cioè
3. 
L’operazione di convoluzione è distributiva rispetto alla somma di segnali
4. 
La convoluzione di
trasla
di t0, ossia
Ossia
5. 
Dati due segnali
,
ha durata pari alla somma
di durata
,il segnale convoluto
39
Risposta di un sistema LP-Prova
(6/6)
Filtro h(t)
• 
può essere espresso come
•  Permanenza
•  Linearità
40
Causalità e stabilità di un filtro
Def: Filtro causale:
il sistema “risponde” solo dopo che
è stato “eccitato”
Def:Filtro stabile:
Ingressi limitati, corrispondano uscite limitate
41
Trasformazioni istantanee
(senza memoria)
Ritardo
Moltiplicazione
per costante
c
Quadratore
Lineare
Segno
42
Sviluppo in serie di Fourier (SdF)
per segnali periodici (1/7)
Segnale periodico, periodo T:
Armonica n-esima
frequenza fondamentale:
Sviluppo in serie di Fourier
Coefficienti dello sviluppo
è una rappresentazione di
43
Sviluppo in serie di Fourier (SdF)
per segnali periodici (2/7)
x(t ) segnale reale e periodico di periodo T
1 T /2
Rn = ò-T / 2 x(t ) cos(2p f nt )dt = R- n (pari)
T
1 T /2
I n = - ò-T / 2 x(t ) sin(2p f nt )dt = - I - n (dispari)
T
X n = X -* n
M n = M - n (pari)
j
n
= -j
-n
(dispari)
(simmetria coniugata)
44
Sviluppo in serie di Fourier (SdF)
per segnali periodici (3/7)
Ricostruzione x(t ) reale e periodico di periodo T:
x(t ) = X 0 +
= R0 +
+¥
å [X n e j 2p f nt + X - n e - j 2p f nt ] =
n =1
+¥
å [M n e j ( 2pf nt +j n ) + M - n e - j ( 2p f nt -j - n )] =
n =1
+¥
= R0 + 2 å M n cos(2p f nt + j n )
n =1
(solo coseni di opportuna ampiezza e fase)
45
Sviluppo in serie di Fourier (SdF)
per segnali periodici (4/7)
46
Sviluppo in serie di Fourier (SdF)
per segnali periodici (5/7)
Esempio di sviluppo in serie di Fourier
t
n
47
Sviluppo in serie di Fourier (SdF)
per segnali periodici (6/7)
48
Sviluppo in serie di Fourier (SdF)
per segnali reali e periodici (7/7)
Spettro
di ampiezza
(complessa)
n
“fondamentale”
Spettro
di potenza
n
49
Trasformata di Fourier (1/7)
Def: Un segnale x(t) è impulsivo se
FT :
FT-1 :
X(f) è una rappresentazione di x(t) nel dominio della frequenza
(dominio “spettrale”) anziché del tempo
50
Trasformata di Fourier (2/7)
X(f) = R(f) + j I(f) = M(f)e j
M(f)
R(f)
f
f
(f)
I(f)
f
f
51
Trasformata di Fourier di segnali
reali (3/7)
segnale reale:
Simmetria coniugata:
52
Trasformata di Fourier di segnali
reali (4/7)
Conseguenza :
Per segnali reali si può fare riferimento alle sole frequenze positive
della X(f)
M(f)
M(f)
f
f
(f)
(f)
f
f
53
Trasformata di Fourier – Banda di
un segnale di banda base (4/7)
Un segnale reale x(t) si dice limitato nella banda [-W,W] se la sua
trasformata di Fourier X(f) è identicamente nulla per f [-W,W]
X(f)
-W
W
f
  La quantità W si misura in Hz (o suoi multipli) e costituisce la
“Larghezza di Banda” del segnale x(t)
  Poiché X(f)0 in un intorno [-W,W] di f=0, il segnale x(t) si
dice “segnale di banda base”
54
Trasformata di Fourier – Banda di
un segnale di banda base (6/7)
 
1) 
2) 
Un segnale reale x(t) si dice limitato in banda, con banda 2W
centrata intorno alla frequenza f0 (Hz) se:
f0 >W;
X(f) è identicamente nulla per f [- f0-W,- f0 +W]U [f0-W,f0 +W]
X(f)
-f0-W -f0
W-f0
-W+f0
f0
f0+W f
La quantità 2W (Hz) costituisce la larghezza di banda del segnale
x(t)
  Poiché X(f)0 in un intorno di f0 non adiacente all’origine f0, il
55
segnale x(t) si dice “segnale in banda traslata”.
 
Trasformata di Fourier – Unità di
misura della larghezza di banda
(7/7)
  La larghezza di banda W (2W) di un segnale x(t) di banda base (di
banda traslata) si misura in
o in suoi multipli
56
Trasformata di Fourier e Teorema di
Parseval
  E’ possibile calcolare l’energia di un segnale
“impulsivo” o “di energia” x(t) mediante la sua
trasformata X(f).
  In particolare, vale il seguente risultato noto come
“Teorema di Parseval per segnali impulsivi e/o di
energia”:
57
Trasformata di Fourier: Esempi (1/4)
essendo
1
t
f
58
Trasformata di Fourier: Esempi (2/4)
1)
1
t
f
2)
S
1
t
f
59
Trasformata di Fourier: Esempi (3/4)
3)
f
t
4)
t
f
60
Trasformata di Fourier: Esempi (4/4)
5)
f
t
t piccolo:
t
f
61
Relazioni tempo/frequenza
Segnali brevi (in t)
banda larga (in f)
Segnali lunghi (e lenti)
banda stretta (in f)
Segnali rapidamente varianti in t
t
t
banda larga (in f)
f
62
f
Proprietà della trasformata di
Fourier
1) Linearità:
2) Ritardo:
3) Modulazione:
4) Derivazione:
63
TdF di un segnale periodico
(segnale periodico)
SdF:
n
TdF:
f
64
Proprietà fondamentale della
convoluzione
 La trasformata di Fourier della convoluzione
è pari al prodotto delle trasformate
dove
65
Risposta in frequenza di un sistema
LP (filtro)
Convoluzione (nel tempo):
: risposta impulsiva del filtro
Prodotto (in frequenza):
: risposta in frequenza del filtro
o funzione di trasferimento del filtro
66
Filtraggio analogico (1/2)
Filtro passa-basso:
Meccanismo di filtraggio:
(LP, low-pass)
f
f
Filtro passa-alto
Filtro
(HP, high-pass)
1
f
f
Filtro passa-banda
(BP, band-pass)
f
f
67
Filtraggio analogico (2/2)
reale
(simmetria coniugata)
E’ sufficiente conoscere
solo per le frequenze
positive, perché le f negative si deducono dalla simmetria
coniugata
f
f
68
Risposta di un filtro al segnale
sinusoidale
Le sinusoidi sono largamente impiegate nelle trasmissioni
(esempi: fax, tastiera telefono, GSM, …)
t
69
Proprietà duale della FT
Proprietà della FT: alla convoluzione in t corrisponde il prodotto in f
La convoluzione in t aumenta la durata temporale del segnale
Proprietà duale: al prodotto in t corrisponde la convoluzione in f
Il prodotto in t aumenta la banda (occupazione in
frequenza) del segnale
70
Segnale aleatorio (Gaussiano)
Segnale aleatorio:
t
Funzione densità di probabilità di una variabile:
esprime la probabilità che la variabile
assume un valore nell’intorno di x.
Densità di probabilità gaussiana:
(media nulla, varianza
)
Sono più probabili i valori piccoli e meno probabili i valori grandi
(positivi e negativi in ugual misura)
71
Segnale aleatorio (Gaussiano)- Esempi
  Esempi di segnale con “distribuzione”
Gaussiana:
o 
o 
o 
Voce umana
Suoni
“rumore” caotico (voci da stadio, radio fuori
sintonia, …)
  I segnali aleatori sono tipicamente segnali
potenza
di
72
Fondamenti sui segnali numericiStrato Fisico
73
Sequenza numerica- Definizione
Una sequenza numerica
è una stringa ordinata di
numero reali o complessi il cui indice di posizione n può assumere solo
i valori interi (positivi e/o negativi)
Esempio
La sequenza
graficamente come in
può essere rappresentata
2
1
-1
0
-1
1
n
Una sequenza numerica è detta di durata finita N>0 se ammette
valori diversi da zero solo in corrispondenza di N valori dell’indice n.
74
Campionamento
Segnale analogico
Sequenza dei suoi campioni:
....
t
intervallo di campionamento (sec)
t
frequenza di campionamento (Hz)
Campionatore:
Trasmissione a distanza,
o immagazzinamento
75
Ricostruzione (1/3)
Ricostruzione, con treno di impulsi matematici:
Filtro LP:
t
Segnale
ricostruito
76
Ricostruzione (2/3)
Ricostruzione ideale, con treno di impulsi matematici:
f
t
77
Ricostruzione (3/3)
78
Teorema del campionamento
(1/4)
Se
è limitato in banda, con banda
intorno all’origine, e se
(criterio di Nyquist), allora il segnale ricostruito
risulta uguale all’originale, ossia:
79
Teorema del campionamento
(2/4)
Spiegazione intuitiva: se
varia lentamente, e se la si osserva
abbastanza frequentemente, allora il suo andamento completo è
perfettamente ricostruibile tramite interpolazione delle osservazioni
80
Teorema del campionamento
(3/4)
La proprietà fondamentale che sta alla base del
teorema del campionamento è la seguente:
81
Teorema del campionamento
(4/4)
Nel dominio
della frequenza:
X(f)
2W
f
f
f
82
Aliasing da sotto-campionamento
f
2W
Sotto-campionamento:
f
1) Manca una parte dello spettro
2) La parte mancante si
“ripiega” e si somma al resto
f
c’è dell’altro (“alias”)
nello spettro ricostruito
83
Campionamento e quantizzazione
(conversione A/D)
x(n)
b bit, che rappresentano:
Q
Sampling
Quantizer
ADC: Analog-to-Digital Converter
q(n): errore di quantizzazione, che svanisce all’aumentare di
b, ovvero del numero di bit impiegati nella conversione A/D
84
Relazione ingresso-uscita di un
quantizzatore uniforme
Passo di
quantizzazione
xmax= xq(L-1)
xq(i)
xmax
-xmax
xq(2)
L
Livello di
restituzione
rappresentato
con b bits
Numero dei livelli
di quantizzazione
x(n)
xq(1)
-xmax=xq(0)
85
Ricostruzione (conversione D/A)
b bits
Generatore
di livelli di
restituzione
Generatore
di forma
d’onda
DAC: Digital-to-Analog
Converter
86
Schema completo di
campionamento e ricostruzione
flusso binario
b bits
Campionatore
+
quantizzatore
P/S
(bits/sec)
Trasmissione
Convertitore
parallelo/serie
b bits
flusso binario,
bit/sec
S/P
Convertitore
analogicodigitale
Filtro LP
Con banda
[-W,W]
Convertitore
serie/parallelo
87
Esempi
Esempio: digitalizzazione del segnale telefonico (PCM, Pulse Code
Modulation)
Esempio: brano musicale di 3 minuti
88
Rumore di quantizzazione nel PCM
(1/3)
L intervalli di quantizzazione,
L valori (“livelli”) di quantizz.
89
Rumore di quantizzazione nel PCMPrestazioni del quantizzatore (2/3)
campione
quantizzato
campione
originale
errore di
quantizzazione
•  L’errore di quantizzazione può assumere tutti i valori da
•  Modello probabilistico: q è una variabile
a
aleatoria con “distribuzione” (densità di
probabilità) uniforme tra
e
,ea
media nulla
  Il valore massimo del modulo dell’errore q è:
, e va
a zero al crescere di b
  Sul segnale ricostruito l’errore di quantizzazione viene percepito
come un disturbo (rumore) sommato al segnale originale
90
Rumore di quantizzazione nel PCMPrestazioni del quantizzatore (3/3)
o  Supponiamo che x possa assumere solo valori in [-xmax, xmax]
o  Supponiamo che l’intervallo [-xmax, xmax] sia suddiviso in L=2b intervalli di
quatizzazione di estensione
Si può dimostrare che il valore medio E{q2} del quadrato dell’errore di
quantizzazione q vale
Quindi E{q2} va a zero in maniera esponenziale al crescere di 2b
91
Elaborazione numerica dei
segnali- Strato Fisico
92
Sequenza numerica
  può essere
quantizzata oppure no
  può essere la sequenza dei campioni
di un segnale analogico
, oppure può nascere proprio come
sequenza (esempi: indicatori economici, distribuzione di
temperatura)
  Sequenza numerica di
durata finita (N elementi):
93
Trasformata discreta di Fourier per
sequenze di durata finita (DFT)
 
DFT: Discrete Fourier Transform
k
94
Trasformata discreta di Fourier per
sequenze di durata finita (DFT)
 
La DFT {Xk,k=0,…,N-1} costituisce una
rappresentazione di
nel dominio k delle
frequenze discrete. Infatti vale la seguente
formula di ricostruzione
95
Proprietà elementari della DFT
i.  Linearità:
ii.  Simmetria:
se
è a valori reali, allora
96
Filtraggio numerico(1/9)
Definiamo come impulso discreto
la sequenza numerica che vale 1 in n=0 ed è nulla
altrove, ossia
 
1
-4 -3 -2 –1 0 1 2 3 4
n
97
Filtraggio numerico (2/9)
  Un
sistema numerico S è un sistema che trasforma una
sequenza di ingresso
in una di uscita
in accordo ad una specifica relazione ingresso-uscita
.
S
lineare se vale il principio di
sovrapposizione degli effetti, ossia
 Un sistema numerico è
 Un sistema numerico è permanente se il suo comportamento
non varia nel tempo, ossia
98
Filtraggio numerico (3/9)
 Un sistema numerico lineare e permanente è un
filtro numerico
 Si definisce come risposta impulsiva
del filtro numerico la sequenza di uscita dal filtro
quando all’ingresso è applicata la sequenza impulso
discreto
Filtro
Numerico
99
Filtraggio numerico (4/9)
CLASSIFICAZIONE DEI FILTRI NUMERICI
 Un filtro numerico è causale se hn=0 per ogni n<0
 Un filtro numerico è FIR (Finite Impulse Response)
se {hn} è diversa da zero solo per un numero finito di
valori di n.
 Un filtro numerico è IIR (Infinite Impulse
Response) se {hn} è diversa da zero per un numero
infinito di valori di n
100
Filtraggio numerico – Convoluzione
discreta (5/9)
Filtro
hn
  Dato un filtro numerico con risposta
impulsiva {hn}, la sequenza di uscita {yn}
ottenuta in corrispondenza di una generica
sequenza di ingresso {xn} si ottiene mediante la
convoluzione discreta di {xn} e {hn}, ossia come
in:
101
Calcolo della convoluzione
discreta (6/9)
Per calcolare la convoluzione discreta
si procede come segue:
i. 
Poiché per ogni fissato valore di n, la sommatoria è
nell’indice m, conviene innanzitutto graficare le due
sequenze da convolvere come funzioni di m, ottenendo
{xm} e {hm}.
ribaltata rispetto all’asse delle
ascisse, ottenendo quindi la sequenza {h-m}
ii.  La sequenza {hm} va poi
102
Calcolo della convoluzione
discreta (7/9)
La sequenza {h-m} va poi traslata della quantità n
lungo l’asse m, ottenendo così {hn-m, m=0, 1,
2,…}. A questo riguardo
–  quando n0, allora {h-m} va traslata di n
verso destra
–  quando n<0, allora {h-m} va traslata di n verso
sinistra
v.  Per ogni valore di m, si calcola il prodotto xm
hn-m, m=0, 1, 2…
vi.  Si sommano rispetto all’indice m tutti i prodotti
{xm hn-m, m=0, 1, 2…} ottenendo il valore yn
delle sequenza convoluta al passo n.
iii. 
103
Calcolo della convoluzione
Discreta (8/9)
xm
2
hm
1
h-m
-2 –1 0 1 2
1
m
hn-
-1 0
m
01
hn-
m
m
1
1
n-1 n
-1+n n
m
xmhn-m
2
2
–1+n n
m
m
-1+n n
m
xmhn-m
m
104
Proprietà della convoluzione discreta
(9/9)
i. 
La convoluzione discreta è communtativa, ossia:
ii.  La convoluzione discreta è associativa, ossia:
iii.  La convoluzione discreta è distributiva rispetto alla somma,
ossia:
vii.  Se {xm,m=0,..,M-1} è una sequenza lunga M e {hn,n=0,…,L-1} è una
sequenza lunga L, allora la convoluzione discreta yn=xn*hn è una
sequenza lunga L+M-1
105
Filtri FIR (Finite Impulse
Response) (1/2)
 Def: un filtro numerico è detto FIR se la sua risposta impulsiva {hn,n=0,…,L-1}
ha lunghezza finita L<+
Ritardo di
1 passo
(delay)
Ritardo di
1 passo
(delay)
Ritardo di
1 passo
(delay)
Linea di
ritardo
digitale
…..
 L’uscita
all’ ”istante” n è pari alla combinazione lineare di L
valori di ingresso
immagazzinati nella linea di ritardo
digitale
106
Filtri FIR (Finite Impulse
Response) (2/2)
Esempio di filtro FIR
“media mobile” su 2 istanti:
Altro esempio:
107
Filtri IIR (Infinite Impulse
Response) (1/2)
  Un filtro è detto IIR (Infinite Impulse
Response) se la sua risposta impulsiva {hn} è
non nulla in un numero infinito di istanti.
108
Filtri IIR (Infinite Impulse
Response) (2/2)
Esempio di filtro IIR
D
109