LA FUNZIONE SINUSOIDALE

LA FUNZIONE SINUSOIDALE
La risoluzione di un circuito non è sempre semplice ma può risultare spesso
molto complessa. Sottoponendolo ad un segnale sinusoidale esso fornisce
varie informazioni.
Il segnale può essere generato da un vettore che ruota a velocità angolare 
che prende il nome di pulsazione. Una rotazione completa prende il nome di
periodo(T) ed è uguale a 2/ ovvero 1/f dove f rappresenta la frequenza, i
numeri di periodi in un secondo.
RAPPRESENTAZIONE VETTORALE
Le grandezze sinusoidali possono essere rappresentate attraverso i vettori
che le formano. Tali vettori sono collocati sul piano a seconda della posizione
che occupano nell’istante t=0. L’angolo che ciascun vettore forma con l’asse
delle ascisse si definisce fase.
Si considerano su un piano cartesiano due vettori A e B, con rispettive fasi α
e β. Stabilito come verso di trotazione quello antiorario si nota che il vettore a
è in anticipo di un angolo α e quello B in ritardo di uno α .
A
α
β
B
IL METODO SIMBOLICO
Per agevolare i calcoli vettoriali, è stato introdotto il metodo simbolico, che
consiste nel rappresentare o vettori con numeri complessi ed effettuare
operazioni tra essi mediante regole matematiche e non grafiche e
trigonometriche.
Le forme più adeguate risultano essere la forma cartesiana e quella formale.
L’esempio in figura mostra la rappresentazione di un vettore (espresso in
numeri complessi )in forma cartesiana e polare.
Forma cartesiana:
y
A
A=a+jb
φ
x
y
A
Forma polare:
φ
A=A φ
x
COMPONENTI PASSIVI IN REGIME SINUSOIDALE
RESISTORE
In un resistore attraversato da una corrente sinusoidale, la tensione risulta
essere in fase con essa. Vale, quindi, istante per istante, la legge di Ohm.
R=V/I
I
V
CONDENSATORE
La tensione ai capi di un condensatore attraversato da una corrente in regime
sinusoidale risulta essere in ritardo di 90° rispetto ad essa.
j
I
R
V
INDUTTORE
La tensione ai capi di un induttore attraversato da una corrente sinusoidale è
in anticipo di 90° rispetto ad essa.
V
R
I
J
Impedenza
L’impedenza è il rapporto complesso tra la tensione e la corrente ai capi di un
bipolo a regime sinusoidale. Si indica con la lettera Z.
V=ZI
La resistenza può quindi essere considerata un caso particolare di
impedenza priva di componente reattiva (capacitiva o induttiva).
V=I(R-jXc+jXL)
L’impedenza è quindi un operatore vettoriale che, moltiplicato per la corrente
I permette di ottenere la tensione sinusoidale V.
L’impedenza può quindi essere rappresentata da un numero complesso o da
un vettore.
CIRCUITI SERIE
I circuiti lineari in regime sinusoidale si risolvono con gli stessi principi e
teoremi usati per i circuiti resistivi. Occorre sostituire ai valori delle grandezze
i corrispondenti valori vettoriali.
Circuito RC serie
In un circuito RC serie, una resistenza ed una capacità sono attraversate
dalla stessa corrente sinusoidale I.
VR=RI
VC=-jXcI
V=VR+VC= RI-jXcI
V=(R-Xc)I
VR
V=ZsI
I
VC
V
La tensione sulla resistenza è in fase con la corrente, mentre quella sulla
tensione è in ritardo di 90° rispetto ad essa.
Pertanto, la tensione totale sarà in ritardo rispetto alla corrente I ed avrà una
fase() minore di 90°.
I

V
Circuito RL serie
In un circuito Rl serie una resistenza ed una induttanza sono attraversate
dalla stessa corrente I sinusoidale.
VR=RI
Vl=IjXL
V=VR+Vl
V=I(R+jXL)
V=ZsI
La tensione sulla resistenza è in fase con la corrente e quella sulla induttanza
è in anticipo di 90° rispetto ad essa.
Pertanto la tensione totale sarà in anticipo sulla corrente di un angolo di 90°.
V
V

I
VR
Circuito RLC serie
In un circuito RLC una resistenza, una capacità ed una induttanza sono
attraversate dalla stessa corrente I sinusoidale.
L’impedenza totale risulta essere pari a:
Z=R-jXC+JXL
Z=R+j(XL-XC)
Le reattanze XL ed XC si oppongono e si compensano.
La tensione varia rispetto alla corrente secondo i valori di XL ed XC: essi
determinano lo sfasamento.
Se XL>Xc, la rete si comporta come un circuito ohmico-induttivo e la tensione
è in anticipo rispetto alla corrente.
Se XL<XC, la rete si comporta come un circuito ohmico-capacitivo e la
tensione è in ritardo rispetto alla corrente.
Se XL=XC, la rete si comporta come un circuito resistivo.
L’ultimo caso (XL=XC) è una situazione particolare, detta di risonanza.
La RISONANZA è un fenomeno per il quale, per determinati valori di
frequenza, un circuito che comprende resistenze, capacità ed induttanze, si
comporta come un circuito puramente resistivo.
XL=XC
L=1/C
2LC=1
= √(1/LC)
Si considera solo la radice positiva perché non esiste alcuna pulsazione
negativa.
R= √(1/LC)
 PULSAZIONE DI RISONANZA
f=r/2 = 1/2√LC
 FREQUENZA DI RISONANZA
A tale frequenza l’impedenza si riduce ad una sola resistenza.
La tensione arriva ad essere in fase con la corrente.
V=RI
VL= IXL
VC=IXC
Se la resistenza è nulla il circuito si comporta come un corto circuito.
Se il circuito è alimentato da un generatore di tensione ( e non da uno di
corrente), la corrente diviene I=V/R. Se R è molto piccola, la corrente cresce
precipitosamente.
CIRCUITI R-L-C PARALLELO
Se si considera un resistore, un induttore ed una capacità in parallelo e si
alimenta il circuito con un generatore di tensione, la corrente in ogni ramo
risulta:
IR=V/R
IL=V/jXL
IC=V/(-jXL)
La corrente totale sarà:
I=IR+IC+IL=V(1/R+1/jXL-1/jXc)
Il termine 1/R+1/jXL-1/jXc prende il nome di AMMETTENZA e si indica con il
simbolo di Y.
I=YV
L’ammettenza Y si misura in Siemens.
VALORE EFFICACE
Il valore efficace di una tensione o di una corrente sinusoidale è il valore
continuo che, sostituito alla funzione periodica fornisce la stessa quantità di
calore in una resistenza.
Esso equivale al valore massimo diviso la radice di due: è circa il 70% del
valore massimo.
Veff=Vmax/√2
Ieff=Imax/√2