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Esercitazione tipo compitino
Risolvo i primi due esercizi
Esercizio 1. Sia g =: LB : R4 → R4 , la funzione definita da
LB (X) = BX
ove


0 1
1
2
 1 0 −1 −1 

B=
 0 −1 −1 −2 
1 2
1
3
1. Si dimostri che LB è una funzione lineare (o omomorfismo), si descriva
g in termini di coordinate di un vettore e si determinino equazioni
Cartesiane per lo spazio immagine e per il nucleo;
2. si determinino una base per il nucleo e una base per l’immagine;
3. si dica per quali vettori c ∈ R4 il sistema BX = c ammette soluzione
(è compatibile);
4. si determinino tutte e sole le soluzioni di
BX =t (1, 2, −1, 4)
descrivendole come sottospazio affine di giacitura???
SOLUZIONE.
1,2 Proviamo che la funzione g è lineare:
in generale una funzione tra due spazi vettoriali V en W sul Campo K
è lineare se valgono le due sguenti condizioni:
(a) ∀v1 , v2 ∈ V risulta g(v1 + v2 ) = g(v1 ) + g(v2 );
(b) ∀α ∈ K e v ∈ V , risulta g(αv) = αg(v):
Siano dunque X, Y ∈ R4 . Per la proprietà distributiva del prodotto
righe per colonne tra matrici, si ha B(X + Y ) = BX + BY , ovvero
LB (X) + LB (Y ) = LB (X + Y ).
Per la proprietà del prodotto per uno scalare risulta inoltre
αBX = B(αX), ovvero αLB (X) = LB (αX)
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Per descrivere g tramite le coordinate, semplicemente scrivo
g t (x1 , x2 , x3 , x4 ) =t (x2 +x3 +2x4 , x1 −x3 −x4 , −x2 −x3 −2x4 , x1 +2x2 +x3 +3x4 )
Per determinare Ker(g), basta trovare le soluzioni del sistema lineare
omogeneo
BX = 0.
Applicando l’eliminazione di Gauss alla matrice B, ottengo che il sistema è equivalente al sistema B 0 X = 0, dove
1 0 −1 −1
0
B =
0 1 1
2
Equazioni cartesiane per Ker(g) sono pertanto
{
x1 −x3 −x4 = 0
x2 + x3 + 2x4 = 0
Si trova inoltre che una base BKer(g) = {t (1, −1, 1, 0),t (1, −2, 0, 1)}.
(ricordo che per determinare una base, dato che ho 4 incognite e due
equazioni, con due incognite “libere”, x3 e x4 , è sufficiente trovare due
vettori linearmente indipendenti di Ker(g), dando valori alle incognite
x3 e x4 e determinando x1 e x2 di conseguenza. Per trovare il primo
vettore ho scelto x3 = 1, x4 = 0, per trovare il secondo ho scelto
x3 = 0, x4 = 1)
Per quanto riguarda lo spazio immagine, un vettore appartiene a Im(g)
se e solo se è combinazione lineare delle colonne B 1 , B 2 , B 3 , B 4 della
matrice B. Si riconosce facilmente che il massimo numero di colonne
linearmente indipendenti è 2 e che B 1 e B 2 costituiscono una base per
Im(g).
Le equazioni parametriche di Im(g) sono:
c = λB 1 + µB 2 , λ, µ ∈ R.
Per trovare le equazioni cartesiane posso scrivere c =t (α, β, γ, δ) e
eliminare i parametri λ e µ, oppure notare che il sistema BX =t c è
equivalente al sistema SX =t c0 , con


1 0 −1 −1
 0 1 1
2 

S=
 0 0 0
0 
0 0 0
0
2
e t c0 = (β, α, γ + α, β − δ + 2α). Se il sistema deve essere risolubile,
occorre che sia γ + α = 0 = β − δ + 2α. le equaxioni delo spazio
immagine sono dunque:
{
α+
γ
= 0
β −δ+ 2α = 0
Abbiamo provato i primi due punti dell’esercizio.
3 Anche il punto 3 è gia fatto:
c =t (α, β, γ, δ) ∈ Im(g) ⇔ γ + α = 0 = β − δ + 2α
4 Dalla teoria (si veda la soluzione dell’esercizio 4), sappiamo che se
f : V → W è un’applicazione lineare tra gli spazi V e W e w0 = f (v0 ) ∈
Im(f ), allora
f −1 (w) = {v ∈ V : f (v) = w0 } = Ker(f ) + v0 .
Nel nostro caso dunque si tratta di trovare una soluzione del sistema
BX =t (1, 2, −1, 4). Tale soluzione è ad esempio v0 =t (2, 1, 0, 0).
Pertanto l’insieme delle soluzioni è lo spazio affine Ker(g) +t (2, 1, 0, 0),
di giacitura Ker(g).
OSSERVAZIONE Al posto di t (2, 1, 0, 0) si può scegliere una qualsiasi soluzione di BX =t (1, 2, −1, 4)
Esercizio 4. Siano V e W due spazi vettoriali sul campo K
1. si dia la definizione di applicazione lineare f tra V e W , di nucleo di
f , Ker(f ) e di Im(f ),
2. si dimostri che ker(f ) e Im(f ) sono sottospazi vettoriali rispettivamente di ??? e di ???
3. se w0 ∈ Im(f ), si dimostri che f −1 (w0 ) = {v ∈ V : f (v) = w0 } è un
laterale di W = Ker(f ), ovvero
f −1 (w0 ) = W + v0 ,
dove f (v0 ) = w0
Soluzione
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1. Una funzione f tra due spazi vettoriali V en W sul campo K è lineare
se valgono le due sguenti condizioni:
(a) ∀v1 , v2 ∈ V risulta g(v1 + v2 ) = g(v1 ) + g(v2 );
(b) ∀α ∈ K e v ∈ V , risulta g(αv) = αg(v):
Il nucleo di f , Ker(f ) è cosı̀ definito:
Ker(f ) = {v ∈ V : f (v) = 0W } ⊆ V ;
L’immagine di f è invece
Im(f ) = {w ∈ W : ∃v ∈ V : f (v) = w} ⊆ W
2. Dimostriamo che sono sottospazi vettoriali rispettivamente di V e di
W:
Ker(f ):
a) Ker(f ) 6= ∅ poiché 0V ∈ Ker(f ): infatti ∀v ∈ V, f (v) = f (v +
0V ) = f (v) + f (0V ) e quindi f (0V ) = 0W e 0V ∈ Ker(f );
b) Siano v1 e v2 ∈ Ker(f ). Allora f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 ) =
0W + 0W = 0W e quindi Ker(f ) è chiuso rispetto alla somma.
c) Sia α ∈ K e v ∈ Ker(f ). Allora f (αv) = αf (v) = α0W = 0W e
quindi Ker(f ) è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare.
3. Ricordiamo che in generale, se T è un sottospazio di V , un laterale di
T in V (detto anche spazio affine di giacitura T ) è un elemento dello
spazio quoziente V /T ed è l’insieme
T + v0 = {v ∈ V : ∃t ∈ T, v = t + v0 };
inoltre un laterale è individuato da un qualsiasi elemento che vi appartiene; ovvero: T + v1 = T + v2 per ogni v2 ∈ T + v1 , o ancora
T + v1 = T + v2 ⇔ v1 − v2 ∈ T .
Sia dunque v0 ∈ V tale che f (v0 ) = w0 . Vogliamo dimostrare:
Ker(f ) + v0 = f −1 (w0 ).
Sia pertanto t + v0 ∈ Ker(f ) + vo : risulta f (t + v0 ) = f (t) + f (v0 ) =
f (v0 ) = w0 , poichè t ∈ Ker(f ), provando che Ker(f ) + v0 ⊆ f −1 (w0 );
viceversa, sia v ∈ f −1 (w0 ); si ha allora w0 = f (v) = f (v0 ) e quindi
f (v) − f (v0 ) = 0W da cui segue che v − v0 = t ∈ Ker(f ) e quindi
v = t + v0 ∈ Ker(f ) + v0 .
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Esercizio 2.
1. Sia r ⊆ R3 la retta (affine) congiungente i punti (3, 1, 2)t e (0, 2, 1)t .
Trovare equazioni Cartesiane e rappresentazione parametrica per r;
2. stabilire se r è un sottospazio vettoriale di R3 ;
3. determinare la distanza tra r e l’origine;
4. determinare l’equazione di un piano Φ per il punto (1, 1, −1)t che sia
perpendicolare a r.
Esercizio 3. Sia A uno spazio vettoriale reale con n = dim(A) < +∞.
1. si dia la definizione di insieme di vettori linearmente indipendenti, di
sistema di generatori e di base per A;
2. dati due sottospazi B e C di A, si dimostri che B ∩C è un sottospazio di
A; si definisca lo spazio somma B +C e si dimostri che è un sottospazio;
3. si enunci il Teorema (formula) di Grassmann che lega dim(B + C) e ...;
4. Lo si dimostri.
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