Algebra Lineare – 3. Parte Algebra Lineare – 3. Parte. Argomenti svolti: • • • • Applicazioni lineari: definizione, esempi e proprietà elementari. Nucleo e immagine. Matrice associata ad una applicazione lineare. Se f : E → F è un’applicazione lineare, dim ker f + dim im f = dim(E). ESERCIZI 1. È lineare l’applicazione che M ∈ R2,2 associa il valore del suo determinante det M ? 2. Dimostrare che l’applicazione D dallo spazio delle funzioni f : [a, b] → R derivabili e lo spazio delle funzioni da [a, b] in R ha come nucleo l’insieme delle funzioni costanti. 3. Data l’applicazione lineare f : R3 → R3 definita da f (x, y, z) = (x − 3y + 2z, −2x − 2y − 2z, 3x − y + 4z) (a) scrivere la matrice associata a f ; (b) determinare ker f e una sua base; (c) trovare una base di im f . 4. Dimostrare che (a) se f : R3 → R2 è un’applicazione lineare, allora f non può essere iniettiva; (b) se f : R2 → R3 è un’applicazione lineare, allora f non può essere suriettiva. 5. Sia f l’applicazione lineare da R5 in R3 individuata rispetto alle basi canoniche dalla matrice 1 2 −1 0 3 2 1 0 −1 2 . 0 3 −2 1 4 (a) Trovare ker f e una sua base. (b) Trovare im f e una sua base. (c) Determinare per quali valori di h il vettore (1, h, h2 ) appartiene a im f . Ingegneria chimica 1 Geometria I Algebra Lineare – 3. Parte 6. Si consideri l’applicazione lineare f : R3 → R3 tale che f (e1 ) = e1 − e2 , f (e2 ) = e1 + e2 + 2e3 , f (e3 ) = e2 + e3 (dove (e1 , e2 , e3 ) è la base canonica di R3 ) Determinare una base e la dimensione di ker f e im f . 7. Si consideri l’applicazione lineare f : R3 → R3 definita da f (x1 , x2, x3 ) = (2x1 − x2 + x3 , x1 + x3 , x2 + x3 ) determinare una base e la dimensione di ker f e im f . 8. Sia f l’applicazione lineare di R3 che, rispetto alla base canonica, è associata alla matrice: 2 1 −1 A = 1 2 1 , h ∈ R, −1 1 h trovato il valore di h per cui f non è suriettiva: i) determinare im f ; ii) determinare per quali valori di k ∈ R il vettore (1, k 2 − k, k) ∈ im f ; iii) trovare un vettore di R3 privo di controimmagini; iv) determinare ker f ; v) verificare che ker f ∩ im f = {o}; ¯ vi) esistono dei vettori x ∈ R3 tali che f (x) = (3, 2, −2)? ¯ ¯ 3 9. In R , riferito alla base canonica B = (e1 , e2 , e3 ), si consideri l’endomorfismo f ¯ ¯ ¯ dato da: f (e1 ) − f (e2 ) − f (e3 ) = o, ¯ ¯ ¯ ¯ 2f (e1 ) − f (e2 ) = 3e1 + 2e2 − e3 , ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −f (e1 ) + f (e2 ) = 3e1 − e2 + 2e3 . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i) f è iniettivo? f è suriettivo? (1) ii) Trovare ker f e im f . Ingegneria chimica 2 Geometria I