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Il cono retto
Solido di rotazione ottenuto dalla
rotazione di un triangolo rettangolo
attorno ad uno dei suoi cateti
http://www.geogebra.org/en/upload/files/italian/giovanna/
Cono_per_rotazione.html
1
Sviluppo del cono retto
sviluppo del cono
superficie
laterale
base
La superficie laterale (vista sul piano) è un settore circolare in cui:
arco AA' = circonferenza di base
raggio del settore circolare AV = apotema
Usando la formula del settore circolare:
(1)
per calcolare la superficie laterale del cono dovremo sostituire:
e la (1) diventa:
da cui le inverse:
e
Per l'area della superficie totale :
da cui le inverse:
e
Per il volume :
da cui le inverse:
e
2
Il cono equilatero
Per il cono equilatero:
apotema = diametro
Le formule della superficie laterale e totale diventano:
In un cono equilatero la sezione principale (ottenuta da un piano passante per l'asse di rotazione) è un triangolo equilatero per il quale:
La formula del volume diventa:
Sviluppo del cono equilatero
Lo sviluppo sul piano della superficie laterale di un cono equilatero è un settore circolare ampio 180° cioè un semicerchio.
Poiché in un cono equilatero:
e poiché il raggio del settore circolare e uguale all'apotema, si può scrivere:
3
Un triangolo rettangolo ha l'area di 13,5 cm 2 e il cateto maggiore lungo 6 cm. Calcoliamo la superficie totale e il volume del solido che si ottiene dalla rotazione completa del triangolo attorno al cateto minore.
Dati
Rappresentazione
C
C
B'
A
A
B
Incognite
B
Risoluzione
Poiché i tre lati del triangolo rettangolo rappresentano il raggio di base (AB), l'altezza (AC) e l'apotema del cono (BC), calcoliamo i lati mancanti:
Adesso abbiamo tutti i dati a disposizione per calcolare quanto richiesto dal problema:
4
Lo sviluppo sul piano della superficie laterale di un cono è un settore circolare ampio 270° ed appartenente ad un cerchio il cui raggio è lungo 20 cm. Calcoliamo la superficie totale e il volume del cono.
Dati
Rappresentazione
V
A
A'
V
Incognite
A
H
B
B
Risoluzione
Calcoliamo l'area del settore circolare che rappresenta l'area laterale del cono:
Calcoliamo l'arco del settore circolare che rappresenta la circonferenza di base del cono:
Nota la circonferenza di base del cono possiamo calcolare il raggio di base e di conseguenza la superficie di base :
Per calcolare il volume del cono occorre prima trovare l'altezza del solido, ovvero il cateto VH del triangolo rettangolo VHA:
5
Un triangolo rettangolo con gli angoli acuti ampi 30° e 60° ha l'ipotenusa lunga 12 cm. Calcoliamo la superficie totale e il volume del solido che si ottiene facendo ruotare il triangolo attorno al cateto maggiore.
Dati
Rappresentazione
C
Incognite
A
B
In questo tipo di triangolo il lato opposto all'angolo da 30° è la metà dell'ipotenusa e facendo ruotare il triangolo attorno al cateto maggiore si ottiene un cono in cui il diametro di base è uguale all'apotema cioè si ottiene un cono equilatero .
Risoluzione
6