Sistemi di Numerazione - "PARTHENOPE"

Sistemi
di
Numerazione
- Sistemi di numerazione 1 -
Un sistema di numerazione è definito
dalla base che usa
La base è il numero di differenti simboli
richiesti da un sistema per rappresentare
un’infinita serie di numeri
- Sistemi di numerazione 2 -
Nel lungo percorso della storia, l’uomo ha
utilizzato diversi sistemi di numerazione
I babilonesi usavano un sistema sessagesimale,
basato sul numero 60
I maya usavano il sistema vigesimale, basato sul
numero 20
- Sistemi di numerazione 3 -
attualmente è usato il sistema decimale che
richiede dieci differenti cifre per
rappresentare numeri ed è quindi un sistema a
base 10
per il computer invece è usato il sistema
binario, basato sulle uniche due cifre 0 e
1, utilizzato per esigenze tecniche di
costruzione
- Sistemi di numerazione 4 -
Un Sistema di Numerazione è:
¾
Addizionale
Se il numero si ottiene sommando in modo
sequenziale i simboli che lo rappresentano
¾ Posizionale
Se la posizione di un simbolo in un numero
nella base determina il valore di quella cifra
in termini di valore esponenziale della base
- Sistemi di numerazione 5 -
Sistema Numerico Egiziano
notazione additiva
Basato su base dieci
Facendo uso di un semplice schema iterativo e
di simboli distinti per ognuna delle prime sei
potenze del dieci, gli egiziani riuscivano a
incidere su pietra numeri superiori al milione
Con la ripetizione di questi simboli si poteva
scrivere, per esempio, il numero 3673 così:
- Sistemi di numerazione 6 -
Sistema Numerico Romano
notazione additiva
I romani usavano utilizzare alcune lettere dell'alfabeto
per indicare i numeri
In base alla tabella, per esempio, si ha
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
XII = 10 + 1 + 1 = 12
MMMCCVII = 1000 + 1000 + 1000 + 100 + 100 + 5 + 1 + 1 = 3207
- Sistemi di numerazione 7 -
Sistema Numerico Decimale
notazione posizionale
Nel sistema decimale, la quantità
rappresentata da ciascuno dei dieci
simboli usati
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
dipende dalla sua posizione nel
numero
Le cifre del numero vengono
moltiplicate per le potenze di dieci
(da cui decimale) crescenti da destra
verso sinistra
- Sistemi di numerazione 8 -
Ad esempio il numero
3.098.323
Può essere scomposto i n questo modo:
(3x106) + (0x105) + (9x104) + (8x103) +
+ (3x102) + (2x101) + (3x100, o 3x1)
leggendo da destra verso sinistra:
il primo 3 rappresenta 3 unità
il secondo 3 trecento unità
il terzo 3 tre milioni d’unità.
- Sistemi di numerazione 9 -
Sistema Numerico Binario
notazione posizionale
Si dice Sistema Binario un
sistema di numerazione che si
basa su due soli simboli o cifre
01
Il sistema di numerazione binario è
particolarmente legato ai calcolatori
in quanto essi possono riconoscere
solo segnali aventi due valori :
uno alto e uno basso
- Sistemi di numerazione 10 -
Dal punto di vista circuitale lo 0 può essere
realizzato portando il punto considerato ad
un livello di tensione basso come nel
seguente schema
mentre la cifra 1 può essere realizzata
portando il punto considerato ad un livello di
tensione alto, come nel seguente schema
- Sistemi di numerazione 11 -
I numeri binari vengono costruiti nello
stesso modo del sistema decimale, solo
che invece di potenze di 10 si usano le
potenze di 2
Ad esempio il numero binario
11010010
110100102 = 1*27 + 0*26 + 1*25 +
+0*24 + 0*23 + 0*22 +
+1*21 + 0*20 = 21010
scomponendolo ed effettuando i calcoli si
ottiene il corrispondente numero decimale
210
- Sistemi di numerazione 12 -
Il sistema binario è un sistema
posizionale, in quanto le due cifre
assumono un valore diverso, secondo
la posizione in cui si trovano, come nel
seguente schema:
1
1
1
1
1
24
23
22
21
20
16
8
4
2
1
- Sistemi di numerazione 13 -
a partire da destra verso sinistra se la cifra
1 si trova
prima posizione vale 1
nella seconda vale 2;
nella terza vale 4;
nella quarta vale 8;
nella quinta vale 16;
e così continuando secondo le potenze del 2
la cifra è 0 vale sempre 0
non si può omettere perché serve per la
posizione delle cifre
Esempio
il numero binario 1011 vale
8 + 0 + 2 + 1 = 11
- Sistemi di numerazione 14 -
Conversione di un numero
dalla sua rappresentato in base 10
nella sua rappresentazione in base 2
Convertiamo il numero decimale 145 nella sua
rappresentazione in base 2
Algoritmo di conversione
1 - Si divide la cifra decimale per 2
2 - Se il quoziente è pari si scrive 0 se è dispari 1
3 - Si divide il quoziente ancora per 2 e si ripete il
passo 3
4 - La sequenza ottenuta RIBALTATA è la
rappresentazione binaria del numero decimale
- Sistemi di numerazione 15 -
145 |
72 | 1 ( cifra - significativa )
36 | 0
18 | 0
9|0
4|1
2|0
1|0
0 | 1 (cifra + significativa )
145 in base 10 equivale a 10010001 in base 2
- Sistemi di numerazione 16 -
regole elementari della somma di
numeri binari
+
0
1
0
0
1
1
1
10
regole elementari del prodotto
di numeri binari
x
0
1
0
0
0
1
0
1
- Sistemi di numerazione 17 -
SOMMA
Per capire come si effettua una somma basta pensare
a cosa avviene con i numeri in base 10 e ricordarsi
che in base 2 ci sono solo due cifre
Quindi (in base 10) se sommo 7 a 6 scrivo 3 con il
riporto di 1, sommo il riporto a 0 e unendo i
risultati ottengo (magia) 13
In decimale il riporto si ha quando la somma supera
10 in binario quando la somma supera 2
- Sistemi di numerazione 18 -
MOLTIPLICAZIONE
- Sistemi di numerazione 19 -
SOTTRAZIONE
•0-0 = 0
•1-0 = 1
•1-1= 0
•10-1 = 1 (prestito di 1 dalla cifra a sinistra)
10110111100=
10001
4528 =
17
- Sistemi di numerazione 20 -
Sistema Numerico Esadecimale
notazione posizionale
Il sistema di numerazione esadecimale
(HEX) si basa sulle sedici cifre
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Il sistema esadecimale è posizionale
la conversione Hex .Dec si effettua nello
stesso modo della conversione binario
decimale.
( naturalmente si usano le potenze di 16)
- Sistemi di numerazione 21 -
ESADECIMALE
BINARIO
DECIMALE
0
0000
0
1
0001
1
2
0010
2
3
0011
3
4
0100
4
5
0101
5
6
0110
6
7
0111
7
8
1000
8
9
1001
9
A
1010
10
B
1011
11
C
1100
12
D
1101
13
E
1110
14
F
1111
15
- Sistemi di numerazione 22 -
I numeri in base 16 risultano utili in
quanto ogni cifra esadecimale
corrisponde a 4 cifre binarie e il
passaggio da una base all'altra risulta
facile
il numero esadecimale
3F5
corrisponde al numero binario
001111110101
3 F 5
corrisponde al numero decimale
1013
- Sistemi di numerazione 23 -
Per il viceversa basta prendere il
numero binario a blocchi di 4 cifre
(partendo dalla meno significativa)
e convertirli in cifre esadecimali
Il numero binario
100101110101010010
Corrisponde al numero esadecimale
25D52
E al numero decimale
154962
- Sistemi di numerazione 24 -