Matematica Discreta I
Lezione del giorno 5 novembre 2007
Rappresentazione di un numero naturale in base b>1.
È un’applicazione del teorema dell’algoritmo della divisione per i numeri interi.
Fissiamo un numero naturale a ed un naturale b>1 (detto “base”). Applicando l’algoritmo della
divisione, operiamo una divisione, con a come dividendo e b come divisore, ottenendo l’esistenza di
due interi q0 ed r0, entrambi ≥0, tali che a=bq0+r0, con r0<b. Se il quoziente q00 (cioè q0>0)
operiamo un’altra divisione, prendendo q0 come dividendo e b come divisore: esistono allora due
interi q1 ed r1, entrambi ≥0, tali che q0=bq1+r1, con r1<b. Ancora, se il quoziente q10 (cioè q1>0),
operiamo una terza divisione, prendendo q1 come dividendo e b come divisore, trovando che
esistono due interi q2 ed r2, entrambi ≥0 tali che q1=b*q2+r2, con r2>b; se q20 (q2>0) si ripete
ancora il procedimento. In pratica tale procedimento continua con una successiva divisione solo se
il quoziente della precedente divisione è non nullo, e nella successiva divisione il dividendo
coincide con il quoziente della divisione precedente, mentre il divisore rimane costantemente =b.
Il procedimento si arresta quando si perviene ad una divisione con quoziente nullo.
Dimostriamo che questo procedimento ha termine dopo un numero finito di divisioni.
Per assurdo supponiamo di operare infinite divisioni tutte con quoziente non nullo. Osserviamo che
il quoziente di ogni divisione è minore del quoziente della divisione precedente: infatti, essendo
b>1, si ha bq1>q1, ed essendo r1≥0, si ha q0=bq1+r1≥ bq1>q1, quindi q0>q1. Analogamente si
dimostra che q2>q1, che q3>q2 etc.
Potremmo allora costruire l’insieme S che contiene tutti i quozienti q1, q2,….. delle divisioni
effettuate: essendo per assurdo tali quozienti tutti non nulli, sarebbe un insieme di numeri naturali,
e quindi, per l’Assioma del minimo, S conterrebbe un elemento minimo, diciamo qi .
Ma, come osservato sopra, si avrebbe qi>qi+1 , contraddizione perché in S esisterebbe un elemento
qi+1 minore del minimo qi .
Possiamo quindi affermare che dopo un numero finito di divisioni, perverremo ad una divisione con
quoziente qn=0.
Elenchiamo le divisioni che effettuate (supponendo appunto che il quoziente qn di indice n sia
nullo):
a=bq0+r0
q0=bq1+r1
q1=bq2+r2
q2=bq3+r3
…….
…….
…….
qn-2=bqn-1+rn-1
qn-1=bqn+rn (con qn=0).
Operando delle sostituzioni successive si ottiene:
a=bq0+r0=b(bq1+r1)+r0=b2q1+br1+r0=b2(bq2+r2)+br1+r0=b3q2+b2r2+br1+r0=……………………=
=bnqn-1+bn-1rn-1+…..+ b2r2+br1+r0=bnrn+ bn-1rn-1+…..+ b2r2+br1+r0 .
La scrittura ottenuta:
a=rnbn+rn-1bn-1+…..+r2b2+r1b+r0
è detta rappresentazione di a in base b ed i numeri r0,r1,r2,…rn sono detti cifre della
rappresentazione. Come si nota nel procedimento precedente, le cifre r0,r1,r2,…rn (essendo resti di
divisioni per b) sono numeri interi ≥0 e <b, cioè i possibili valori delle cifre sono compresi fra i
numeri interi 0,1,…,b-1 , dove b è la base fissata.
Il simbolo usato per la rappresentazione di a in base b é è a=(rnrn-1rn-2……r2r1r0)b .
Esempio:
Scrivere il numero a=122 in base b=3.
I valori possibili delle cifre nella rappresentazione in base 3 sono 0,1,2. Procedendo con l’algoritmo
precedente otteniamo:
1a divisione: 122=340+2 dove 121=a, 3=b, 40= q0, 2=r0;
2a divisione: 40=313+1 dove 40=q0, 3=b, 13=q1, 1=r1;
3a divisione: 13=34+1
dove 13=q1, 3=b, 4=q2, 1=r2;
a
4 divisione: 4=31+1
dove 4=q2, 3=b, 1=q3, 1=r3;
5a divisione: 1=30+1
dove 1=q3, 3=b, 0=q4, 1=r4.
Allora a=121=(11112)3 .
Il procedimento inverso si effettua applicando la formula della scrittura vista e quindi effettuando le
moltiplicazioni delle singole cifre per le potenze della base (relative alla posizione della base stessa)
e sommando i prodotti.
Esempio:
Calcoliamo l’usuale rappresentazione decimale (cioè in base 10) del
rappresentato in base 5: a=(10241)5.
(10241)5=154+053+252+451+150=625+0+50+20+1=696.
seguente numero
Particolari basi sono la base b=10 (decimale), che è quella usata comunemente (forse in relazione al
numero di dita delle mani) e la base b=2 (binaria), le cui cifre sono 0 ed 1 e che si utilizza nei
calcolatori in quanto si può trovare una corrispondenza con gli stati dei circuiti (alta o bassa
tensione).
