Matematica Discreta
Lezione del giorno 11 novembre 2009
Rappresentazione di un numero naturale in una generica base b>1.
È un’applicazione del teorema dell’algoritmo della divisione per i numeri interi.
Fissiamo un numero naturale a ed un naturale b>1 (detto “base”). Applicando l’algoritmo della
divisione, operiamo una divisione, con a come dividendo e b come divisore, ottenendo l’esistenza di
due interi q0 ed r0, entrambi ≥0, tali che a=bq0+r0, con r0<b. Se il quoziente q00 (cioè q0>0)
operiamo un’altra divisione, prendendo q0 come dividendo e b come divisore e ottenendo
l’esistenza di due interi q1 ed r1, entrambi ≥0, tali che q0=bq1+r1, con r1<b. Ancora, se il quoziente
q10 (cioè q1>0), operiamo una terza divisione, prendendo q1 come dividendo e b come divisore,
ottenendo l’esistenza di due interi q2 ed r2, entrambi ≥0 tali che q1=bq2+r2, con r2>b; se q20 (q2>0)
si ripete ancora il procedimento. In pratica tale procedimento continua con una successiva divisione
solo se il quoziente della precedente divisione è non nullo: nella successiva divisione il dividendo
coincide con il quoziente della divisione precedente, mentre il divisore rimane costantemente =b.
Il procedimento si arresta quando si perviene ad una divisione con quoziente nullo.
Dimostriamo che questo procedimento ha termine dopo un numero finito di divisioni.
Per assurdo supponiamo di operare infinite divisioni tutte con quoziente non nullo. Osserviamo che
il quoziente di ogni divisione è minore del quoziente della divisione precedente: infatti, essendo
b>1, si ha bq1>q1, ed essendo r1≥0, si ha q0=bq1+r1≥ bq1>q1, quindi q0>q1. Analogamente si
dimostra che q2>q1, che q3>q2 etc.
Potremmo allora costruire l’insieme S che contiene tutti i quozienti q1, q2,….. delle divisioni
effettuate: essendo per assurdo tali quozienti tutti non nulli, sarebbe un insieme di numeri interi >0,
cioè di numeri naturali, e quindi, per l’Assioma del minimo, S conterrebbe un elemento minimo,
diciamo qi .Ma, come osservato sopra, si avrebbe qi>qi+1 , contraddizione perché in S esisterebbe un
elemento qi+1 minore del minimo qi .
Possiamo quindi affermare con certezza che dopo un numero finito di divisioni, perverremo ad una
divisione con quoziente qn=0.
Elenchiamo le divisioni effettuate (supponendo appunto che il quoziente qn di indice n sia nullo):
a=bq0+r0
q0=bq1+r1
q1=bq2+r2
q2=bq3+r3
…….
…….
…….
qn-2=bqn-1+rn-1
qn-1=bqn+rn (con qn=0, quindi con qn-1=rn ).
Operando delle sostituzioni successive si ottiene:
a=bq0+r0=b(bq1+r1)+r0=b2q1+br1+r0=b2(bq2+r2)+br1+r0=b3q2+b2r2+br1+r0=……………………=
=bnqn-1+bn-1rn-1+…..+ b2r2+br1+r0=bnrn+ bn-1rn-1+…..+ b2r2+br1+r0 .
La scrittura ottenuta:
a=rnbn+rn-1bn-1+…..+r2b2+r1b+r0
è detta rappresentazione di a in base b ed i numeri r0,r1,r2,…rn sono detti cifre della
rappresentazione. Come si nota nel procedimento precedente, le cifre r 0,r1,r2,…rn (essendo resti
delle divisioni per b) sono numeri interi ≥0 e <b, cioè i possibili valori delle cifre sono compresi fra
i numeri interi 0,1,…,b-1 , dove b è la base fissata.
Il simbolo usato per la rappresentazione di a in base b é è a=(rnrn-1rn-2……r2r1r0)b .
Esempio:
Scrivere il numero a=122 in base b=3.
I valori possibili delle cifre nella rappresentazione in base 3 sono 0,1,2. Procedendo con l’algoritmo
precedente otteniamo:
1a divisione: 122=340+2 dove 121=a, 3=b, 40= q0, 2=r0;
2a divisione: 40=313+1 dove 40=q0, 3=b, 13=q1, 1=r1;
3a divisione: 13=34+1
dove 13=q1, 3=b, 4=q2, 1=r2;
a
4 divisione: 4=31+1
dove 4=q2, 3=b, 1=q3, 1=r3;
5a divisione: 1=30+1
dove 1=q3, 3=b, 0=q4, 1=r4.
Allora a=122=(11112)3 .
Il procedimento inverso si effettua opernado le moltiplicazioni delle singole cifre per le potenze
della base (relative alla posizione della base stessa) e sommando i prodotti.
Esempio:
Calcoliamo l’usuale rappresentazione decimale (cioè in base 10) del
rappresentato in base 5: a=(10241)5.
(10241)5=154+053+252+451+150=625+0+50+20+1=696.
seguente numero
Particolari basi sono la base b=10 (decimale), che è quella usata comunemente (forse in relazione al
numero di dita delle mani) e la base b=2 (binaria), le cui cifre sono 0 ed 1 e che si utilizza nei
computers in quanto si può trovare una corrispondenza con gli stati dei circuiti elettronici (per es.
alta o bassa tensione).
Un’altra base spesso usata in Informatica è b=16: in questo caso il valore numerico delle cifre è
compreso fra 0 e 15 (per le cifre di valore 10,11,12,114,15 si usano le lettere dell’alfabeto
A,B,C,D,E,F).
Divisori e multipli fra i numeri naturali
Dati 2 numeri naturali a,b diremo che b è divisore di a (o che a è multiplo di b) se esiste un
numero naturale c tale che a=bc: in tale caso scriveremo il simbolo ba. Per esempio 28 perché
esiste il numero naturale c=4 tale che 8=24.
Ovviamente se a è un qualunque numero naturale, i numeri naturali 1,a sono divisori di a (basta
osservare che a=a1. Tali divisori 1,a sono detti divisori banali del numero naturale a .
Osservazione:
Se ba allora certamente ba; infatti esisterà un numero naturale c tale che a=bc, ed essendo 1c si
avrà bbc=a (moltiplicando membro a membro le diseguaglianze bb , 1c)
Il prossimo Teorema indica un algoritmo per verificare se ba:
Teorema. Siano dati 2 numeri naturali a,b. Allora si ha:
ba dividendo a per b (con l’algoritmo della divisione) si ottiene resto 0
Dimostrazione:
Dimostriamo la doppia implicazione:
: Per ipotesi esiste un numero naturale c tale che a=bc. Dividiamo a per b ottenendo 2 numeri
interi q,r≥0 (quoziente e resto) tali che a=bq+r, con r<b; ma si ha anche:
a=bq+r=bc+0 con 0<b
e per l’unicità del resto nella divisione di a per b si ottiene r=0 (tesi).
: Per ipotesi se dividiamo a per b otteniamo resto 0, quindi a=bq+r con r=0, ossia a=bq, con q
(quoziente) numero intero0; ma si può notare che q è certamente positivo (perché a,b lo sono)
quindi a=bq con q numero naturale e si ottiene la tesi ba.
Massimo comune divisore
Dati 2 naturali a,b, si chiama massimo comune divisore di a e b un numero naturale d tale che:
1) da, db (quindi d è divisore comune di a,b)
2) d è multiplo di tutti i divisori comuni di a,b
(ovviamente dalla proprietà 2) e da un’osservazione precedente segue che d è anche il più grande
dei divisori comuni di a e b).
Esempio: se a=24, b=18, i divisori comuni di a,b sono 1,2,3,6 e d=6 è multiplo di tutti i divisori
comuni, quindi 6=mcd(24,18).
Dati i naturali a,b definiamo combinazione lineare di a,b a coefficienti interi relativi un
qualunque numero intero relativo della forma ax+by dove i numeri x,y (detti appunto coefficienti)
variano fra i numeri interi relativi.
Per esempio se a=4, b=6, esempi di combinazioni lineari di 4 e 6 a coefficienti interi relativi sono i
seguenti numeri:
4∙5+6∙(-2)=8 ; 4∙(-7)+6∙2= -16, 4∙(-3)+6∙2=0 .
Teorema di esistenza del massimo comune divisore. Dati comunque i naturali a,b esiste sempre
il loro massimo comune divisore.
Dimostrazione: Costruiamo l’insieme S di tutte le possibili combinazioni lineari di a,b a
coefficienti interi relativi che siano positive:
S = { z / z=ax+by, con x,y ; z>0}
L’insieme S é non vuoto perché contiene per esempio almeno l’elemento a=a∙1+b∙0, e l’elemento
b=a∙0+b∙1 .
Per l’Assioma del minimo esiste in S un elemento minimo d: in particolare d è un intero >0 e d è
combinazione lineare di a,b della forma d=ax+by per opportuni valori x,y. Dimostriamo che d è
il massimo comune divisore di a,b che cercavamo, verificando che d soddisfa le proprietà 1), e 2)
della definizione di massimo comune divisore di a,b.
1) Dimostriamo che da e che db.
Per l’Algoritmo della divisione fra numeri naturali, possiamo dividere a per d ottenendo a=dq+r,
con q, r interi 0, ed r<d. Per il Teorema precedente, per dimostrare che da, basta dimostrare che
il resto r è =0. Se per assurdo fosse r>0 sarebbe r=a-dq=a-(ax+by)q=a(1-xq)+b(-yq) e si otterrebbe
che anche r è combinazione lineare (positiva)di a,b, cioè rS, con r<s ed s minimo in S,
contraddizione.
In modo molto simile si dimostra che db.
2) Dimostriamo che d è multiplo di qualunque divisore comune s di a,b: ma se s è divisore comune
di a,b esisteranno due numeri naturali c,v tali che a=sc, b=sv, da cui si ricava
d=ax+by=scx+svy=s(cx+vy) ossia d è multiplo di s, come si voleva dimostrare.
Poiché d soddisfa le proprietà 1) e 2) della definizione di massimo comune divisore, si conclude che
d è il massimo comune divisore.di a,b e si ottiene la tesi.
Se d è il massimo comune divisore dei numeri naturali a,b scriveremo d=mcd(a,b).
