Ammortamento

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I.T.C.G. ANGIOY – CARBONIA
CLASSE 5A – IGEA TRAVEL
Codocenza dei proff. Assunta Piroddi (Economia Aziendale) e Palmiro Putzulu (Matematica)
AMMORTAMENTO PROGRESSIVO O ALLA FRANCESE O A RATA COSTANTE
Laboratorio di informatica – Software Word 2000
1
Ammontare del prestito in €
= S
Tasso effettivo percentuale annuale
= r
Tasso effettivo unitario mensile
= i12
Tempo di ammortamento in mesi/anni = n
Rata mensile in €
= R
Quota capitale della rata essesima
= Cs
Quota interessi della rata essesima
= Is
Debito estinto dopo la rata essesima
= Es
Debito residuo dopo la rata essesima = Ds
01/06/2017
Onnis Lorena
Il tecnico di laboratorio
Sig. Stefano Caddeo
I.T.C.G. ANGIOY – CARBONIA
CLASSE 5A – IGEA TRAVEL
Codocenza dei proff. Assunta Piroddi (Economia Aziendale) e Palmiro Putzulu (Matematica)
AMMORTAMENTO PROGRESSIVO O ALLA FRANCESE O A RATA COSTANTE
Laboratorio di informatica – Software Word 2000
2
AMMORTAMENTO PROGRESSIVO O FRANCESE O A RATA COSTANTE
1. Introduzione
Con questo tipo di pagamento si entra nel vivo degli ammortamenti veri e propri, perché vengono
presi in considerazione rimborsi graduati, sia del capitale mutuato, sia degli interessi maturati.
Nel caso specifico dell’ammortamento progressivo i rimborsi graduati sono costituiti da rate
mensili costanti posticipate. Ciascuna rata, a sua volta, è composta da una quota capitale, che serve
per estinguere il vero debito, e da una quota interessi, che serve per pagare gli interessi sul debito
residuo. Al pagamento della rata generica essesima, oltre alla quota capitale e alla quota interessi, si
calcolerà il debito residuo e il debito estinto. Infine, una volta calcolate tutte le formule
finanziarie, sarà realizzato il programma in Excel che permetterà il calcolo automatico del piano di
ammortamento.
La stampa del piano di ammortamento di un esercizio pratico segnerà la fine della sperimentazione.
2. Ricerca delle formule finanziarie
Sono considerate note le seguanti grandezze:
 l’ammontare del prestito S in €;
 il tasso effettivo annuale percentuale r praticato dalla Banca;
 il tempo di ammortamento n in mesi.
Sono da calcolare le seguenti grandezze:
 il tasso effettivo annuale unitario i;
 il tasso effettivo mensile unitario i12;
 la rata mensile R in €;
 la quota capitale della rata essesima Cs in €;
 la quota interessi della rata essesima Is in €;
 il debito estinto dopo la rata essesima Es in €;
 il debito residuo dopo la rata essesima Ds in €.
2.1 Calcolo del tasso effettivo annuale unitario i
Noto il tasso effettivo percentuale r, il tasso unitario si calcola semplicemente dividendo r
per cento:
r
i
100
2.2 Calcolo del tasso effettivo mensile unitario i12
Scriviamo l’uguaglianza del montante di 1€ che capitalizza per un anno al tasso i e per 12
mesi al tasso equivalente mensile i12:
1 1  i   1 1  i12 
1
12
Usando note proprietà, semplifichiamo l’espressione omettendo i fattori 1 e l’esponente 1:
1  i  1  i12 
12
Scriviamo il secondo membro al posto del primo e, viceversa, il primo al posto del secondo:
1  i12 12  1  i
01/06/2017
Onnis Lorena
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Con semplici passaggi:
i12  12 1  i  1
2.3 Calcolo della rata mensile R
Consideriamo un debito S (l’ammontare del prestito), estinguibile mediante n rate mensili
posticipare R, al tasso effettivo unitario mensile i12:
0
1
2
n-2
n-1
n
R
R
R
R
R
R (1+i12 )-1
R (1+i12 )-2
R (1+i12 ) –(n-2)
R (1+i12 ) –(n-1)
R (1+i12 ) –n
Dallo schema si deduce che, per calcolare S, cioè il debito da estinguere, basta determinare il
valore attuale, al tempo zero, di tutte le n rate da versarsi mensilmente. Si ha dunque:
S  R1  i12   R1  i12   ...  R1  i12 
1
2
( n2)
 R1  i12 
 ( n 1)
 R1  i12 
n
da cui, raccogliendo R al secondo membro, si ottiene
1

S  R 1  i12   1  i12   ...  1  i12 
1
2
 ( n2)
 1  i12 
 ( n 1)
 1  i12 
n

Tra la parentesi che figura al secondo membro dell’espressione scritta compare una somma di n
termini in progressione geometrica con:


Il primo termine a  1  i12 
1
La ragione q  1  i12 
1
Applicando alla (1), e solo alla quantità tra parentesi, la somma dei primi n termini di una serie
geometrica
1 qn
Sn  a 
1 q
Otteniamo
S n  1  i12 
1
01/06/2017
1  1  i12 
1  1  i12 
1  1  i12 



1
1  i12  1
i12
1  1  i12 
n
Onnis Lorena
n
n
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Da cui
4
1  1  i12 
S  R
i12
n
Esplicando R otteniamo
(2)
R
S  i12
1  1  i12 
n
Che è la formula cercata.
Esempio 1
Determinare la rata mensile da versare posticipatamente per 10 anni per estinguere un debito di €
30.000,00 conteggiato al tasso dello 0.8% mensile.
I dati sono i seguenti:
S = € 30.000
i12= 0.008
n = 120 mesi
Applichiamo la formula (2)
R  30.000 
0.008
1  (1  0.008) 120
R = € 389.84
Esempio 1
2.4
Calcolo della quota capitale contenuta nella s-esima rata
Volendo ora calcolare la quota capitale contenuta nella rata s-esima teniamo presente che la
caratteristica principale di questo tipo di ammortamento è che la rata è costate e posticipata. Poiché
ogni rata è costituita da una quota capitale e da una quota interessi, e le quote interessi vanno
diminuendo di rata in rata essendo calcolate sul debito residuo, che pure diminuisce, ne risulta che,
di rata in rata, di quanto diminuiscono le quote interessi, di altrettanto aumentano le quote capitali.
Vediamo ora la legge di variazione delle quote capitali e la relativa formula.
In generale, dette Is la quota interessi e Cs la quota capitale, la rata mensile costante sarà data da:
R  I s  Cs
Notiamo che I s  I s 1  C s 1  i12 , cioè gli interessi contenuti della s-esima rata sono dati dagli
interessi contenuti nella rata precedente, diminuiti degli interessi calcolati sulla quota capitale della
rata precedente, che è stata estinta e quindi non è più fruttifera. Si deduce che la rata s-esime è data
da:
R  I s 1  C s 1  i12  C s
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Da cui ricavando la relativa quota capitale:
Cs  R  I s1  Cs1  i12
Poiché
R  I s 1  Cs 1 , sostituendo nel secondo membro, si avrà:
CS  CS 1  CS 1  i12
Da cui, raccogliendo, si ottiene:
C S  C S 1  1  i12 
Generalizzando quanto esposto si deduce che, nell’ammortamento progressivo, le quote capitali,
che figurano nelle varie rate, costituiscono una progressione geometrica di ragione 1  i12  , nota
come legge di variazione delle quote capitali.
Per determinare il valore della quota capitale contenuta nella s-esima rata, si calcola innanzitutto la
quota capitale contenuta nella prima rata. Si ha:
C1  R  I 1
Poiché I1 , cioè la quota interessi contenuta nella prima rata, è I1  S  i12 e R  S
i12
1  1  i12 
n
possiamo scrivere:
C1 
S
1  1  i12 
i12
n
 S  i12
da cui raccogliendo S al secondo membro:




n


i12
i12  i12  i12  1  i12 


1
S


C1  S 

i

S

i

S

12 
12
n

n

n
 1  1  i 

1  i12 n  1
1  1  i12 
12


 1  1  i12 



i12
i12


Otteniamo la seguente formula:
S
C1 
1  i12 n  1
i12
Come abbiamo visto, le quote capitali aumentano di rata in rata con una progressione geometrica di
ragione (1+i), per cui:
S
C2 
 1  i12 
(1  i12 ) n  1
i12
cioè
ed ancora
cioè
01/06/2017
C2  C1  1  i12 
C3  C1  1  i12   1  i12 
C3  C 2  1  i12 
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6
che si può anche scrivere
C3  C1  1  i12 
Generalizzando, per una generica rata sarà:
2
3 
Cs 
S
(1  i12 ) n  1
i12
 1  i12 
s 1
La formula ora scritta, che esprime la quota capitale contenuta nella s-esima rata, si può indicare in
funzione della rata medesima, tenendo presente che:
1
1
n

 1  i12 
n
n
1  i12   1 1  1  i12 
i12
i12
Sostituendo al 2° membro della (3) abbiamo:
1
n
s 1
C1  S 
 1  i12   1  i12 
n
1  (1  i12 )
i12
ricordando che:
R  S
1
1  (1  i12 ) n
i12
otteniamo:
Cs  R  1  i12 
 n  s 1
che è la formula cercata
2. 5
Calcolo della quota interessi contenuta nella s-esima rata.
Volendo ora calcolare la quota interessi contenuta nella s-esima rata, basta fare la differenza tra la
rata e la quota capitale al tempo s, cioè:
I s  R  Cs
da cui
I s  R  R  1  i12 
 n  s 1
raccogliendo R nel secondo membro, otteniamo:

I s  R  1  1  i12 
 n  s 1

2. 6
Calcolo del debito estinto dopo il pagamento della s-esima rata.
Sappiamo che il debito estinto Es dopo s versamenti non è altro che la somma di tutte le quote
capitali pagate sino al tempo s, per cui abbiamo:
Es  C1  C2  C3  ...  Cs
01/06/2017
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Sostituendo le relative formule al secondo membro, si ottiene:
Es  R  1  i12   R  1  i12 
n
 n 1
 R  1  i12 
n  2
e, mettendo in evidenza il MCD, ovvero R  1  i12 
n

 ...  R  1  i12 
 n  s 1
:
Es  R  1  i12   1  1  i12   1  i12   ...  1  i12 
n
2
s 1

il fattore fra le parentesi quadre rappresenta una serie geometrica con:
primo termine a = 1
ragione q  1  i12 
il
numero dei termini pari a s.
La somma della serie geometrica è:
s
s
s

1  i12   1 1  i12   1 1  i12   1
1


1  i12   1 1  i12  1
i12
da cui:
s

1  i12   1
E s  R  1  i12  
n
i12
che è la formula cercata.
2. 7
Calcolo del debito residuo dopo il pagamento della s-esima rata.
Per calcolare il debito residuo dopo s versamenti basta tenere presente che esso non è altro che il
valore attuale, al tempo s, delle (n-s) rate che rimangono ancora da pagare, per cui possiamo
scrivere:
1  1  i12 
Ds  R 
i12
 n s
A questo punto, abbiamo concluso il nostro lavoro analitico di ricerca delle formule
dell’ammortamento francese. Siamo pronti per impostare gli algoritmi con il Software Excel.
FINE APPUNTI
01/06/2017
Onnis Lorena
Il tecnico di laboratorio
Sig. Stefano Caddeo
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