Soluzioni delle Esercitazioni I – 19-23/09/2016 A. Polinomi Si ha: 1

Esercitazioni di Matematica – Esercitazioni I – 19-23/09/2016
Soluzioni delle Esercitazioni I – 19-23/09/2016
A. Polinomi
◮
Si ha:
1. (2x + y)(3xy 2 − xy) = 6x2 y 2 − 2x2 y + 3xy 3 − xy 2 .
2. (2x − y)2 = 4x2 − 4xy + y 2 .
3. Se non ci si ricorda lo sviluppo del cubo di un binomio, si può fare semplicemente
(x − 1)3 = (x − 1)(x − 1)2 = (x − 1)(x2 − 2x + 1) = . . . = x3 − 3x2 + 3x − 1.
◮
Si ha:
4. 1 − 6x + 9x2 = (1 − 3x)2 .
5. 4x2 − x4 = x2 (4 − x2 ) = x2 (2 − x)(2 + x).
6. Con un doppio raccoglimento: x3 + x2 + x + 1 = x2 (x + 1) + x + 1 = (x + 1)(x2 + 1). Quest’ultimo non è
ulteriormente fattorizzabile.
7. x4 + 4x3 + 4x2 = x2 (x2 + 4x + 4) = x2 (x + 2)2 .
◮
8. P (x) = x2 − x − 2, D(x) = x + 3. Con la divisione euclidea dei polinomi si ottiene:
x2
−x2
//
−x
−2 x +3
−2x
x −4
−4x −2
4x +12
// +10
Quindi il quoziente è il polinomio x − 4 e il resto è 10.1 Si può scrivere quindi: x2 − x − 2 = (x + 3)(x − 4) + 10.
9. P (x) = x4 + x2 , D(x) = x2 + x. Ancora con la divisione euclidea dei polinomi si ottiene:
x4
−x4
//
+x2
x2
x2
3
−x
−x3
+x3
//
+x2
+x2
2x2
−2x2
//
+x
−x +2
−2x
−2x
Quindi il quoziente è il polinomio x2 − x+ 2 e il resto è −2x. Si può scrivere quindi: x4 + x2 = (x2 + x)(x2 − x+ 2)− 2x.
◮ 10. Il polinomio da scomporre è P (x) = x2 − x − 2. Le sue radici razionali vanno cercate tra i divisori di −2, e
cioè {±1, ±2}. Si trova che −1 è una radice dato che P (−1) = 0. Il teorema di Ruffini assicura che allora P è divisibile
per (x + 1). Effettuiamo la divisione usando la regola di Ruffini:
1
−1
1
−1 −2
−1 2
−2 0
Quindi si può scrivere: x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) (anche 2 è infatti una radice di P ).
1 La
divisione poteva essere effettuata anche con la regola di Ruffini.
A. Peretti – Corso di Matematica
1
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11. Il polinomio da scomporre è P (x) = x3 − x2 − 4. Le sue radici razionali vanno cercate tra i divisori di −4, e cioè
{±1, ±2, ±4}. Si trova che 2 è una radice dato che P (2) = 0. Il teorema di Ruffini assicura che allora P è divisibile
per (x − 2). Effettuiamo la divisione usando la regola di Ruffini:
1
−1 0
2 2
1 2
2
1
−4
4
0
Quindi si può scrivere: x3 −x2 −4 = (x−2)(x2 +x+2). Il polinomio di secondo grado non è ulteriormente scomponibile.
12. Il polinomio da scomporre è P (x) = x4 − x − 2. Le sue radici razionali vanno cercate tra i divisori di −2, e cioè
{±1, ±2}. Si trova che −1 è una radice dato che P (−1) = 0. Il teorema di Ruffini assicura che allora P è divisibile
per (x + 1). Effettuiamo la divisione usando la regola di Ruffini:
1
−1
1
0 0 −1 −2
−1 1 −1 2
−1 1 −2 0
Quindi si può scrivere: x4 − x − 2 = (x + 1)(x3 − x2 + x − 2). Il polinomio di terzo grado non ha radici razionali, dato
che i divisori di −2 non annullano il polinomio. La nostra scomposizione pertanto termina qui.
◮ 13. Basta usare il teorema di Ruffini, in base al quale se P (1) = 0 allora P è divisibile per (x − 1) e se P (−2) = 0
allora P è divisibile per (x + 2). Dovendo essere P di quinto grado basta quindi scrivere
P (x) = x3 (x − 1)(x + 2) = . . . = x5 + x4 − 2x3 .
◮
14. Si ha
x2 − 4x − 1 = x2 − 4x + 4 − 4 − 1 = (x − 2)2 − 5.
15. Si ha
x2 − 3x + 1 = x2 − 3x +
9 9
− +1=
4 4
2
5
3
− .
x−
2
4
16. La difficoltà di questo rispetto ai precedenti è la presenza del coefficiente 2, anziché 1, davanti ad x2 . Anziché
cercare di completare
il quadrato mantenendo come primo termine 2x2 , che comporterebbe l’uso dei radicali (2x2 è il
√
quadrato di 2x) si può fare cosı̀:
"
#
2
3
3
3
1
9
9
1
1
2
2
2
2x − 3x + 1 = 2 x − x +
=2 x − x+
=2 x−
.
−
+
−
2
2
2
16 16 2
4
16
B. Potenze
◮
1. Si ha ad esempio
√
3
16 = 24/3
1
√ = 2−1/2
2
,
,
2
1+x
x
1
1
= 2 x +1 = 2 · 2 x .
Per quanto riguarda l’ultimo si può scrivere ad esempio
32x−1 = 3−1 · 32x =
1 x 1
· 9 = · (3x )2 .
3
3
Chiaramente ci sono anche molti altri modi di scrivere ciascuna di queste quantità (es.
◮
2. Si ha
2
3
3
1+x+x +x = x
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1
1
1
+ 2 + +1
x3
x
x
2
√
√
3
16 = 6 256).
= x3 (x−3 + x−2 + x−1 + 1).
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◮
3. Ricordando che quando si raccoglie a fattore qualcosa occorre poi dividere per la quantità raccolta, si ha
3−x
3x − 3−x = 3x 1 − x = 3x (1 − 3−2x ).
3
◮
4. Si ha
3x − 3−x + 1 = 3−x (32x − 1 + 3x ).
◮ 5. Ricordando anche qui che quando si raccoglie a fattore qualcosa occorre poi dividere per la quantità raccolta,
si ha
2x
4
23x−1
2x
3x−1
x
4 +2
= 2
+
2x
2x
2 2x
(2 )
3x−1−x
x
+2
= 2
2x
= 2x (24x−x + 22x−1 ) = 2x (23x + 22x−1 ).
◮
6. Applicando le proprietà delle potenze si ha ad esempio
21−3x =
2
2
2
2
= x 3 = 3 x = x.
3x
2
(2 )
(2 )
8
√
x è definita per x ≥ 0;
◮ 7.
√
3
x è definita in tutto R;
√
x3 è definita per x ≥ 0, dato che la radice è di indice pari e l’argomento è negativo se x < 0;
√
4
x2 è definita in tutto R, dato che l’argomento è comunque non negativo;
√
6
x3 è definita per x ≥ 0, dato che la radice è di indice pari e l’argomento è negativo se x < 0.
√
◮ 8. L’uguaglianza x2 = x è vera soltanto per x ≥ 0 (per x < 0 il primo membro è positivo mentre il secondo è
negativo).
√
√
4
L’uguaglianza x2 = x è vera soltanto per x ≥ 0 (il secondo membro non è definito per x < 0).
√
√
9
L’uguaglianza x3 = 3 x è vera in tutto R.
p
√
◮ 9. Possiamo scrivere x4 + x2 = x2 (x2 + 1). Ora attenzione. Se vogliamo portare x2 fuori dalla radice,
dobbiamo tenere conto del fatto che x < 0: quindi dobbiamo scrivere
p
p
p
x2 (x2 + 1) = |x| x2 + 1 = −x x2 + 1.
√
◮ 10. Anche qui bisogna stare attenti al segno. Essendo x negativa (x ∈ (−1, 0)), il segno della quantità x 1 + x
è certamente negativo. Quindi possiamo portare x sotto radice ma occorre “lasciare un segno −” fuori dalla radice.
Una giustificazione forse più rigorosa di questo fatto sta in questo. Essendo x negativo, lo possiamo pensare come
−|x|, quindi si ha
√
√
x 1 + x = −|x| 1 + x.
Ora possiamo portare sotto radice |x| senza alcun problema, dato che |x| è non negativo. Si ottiene quindi
p
√
√
x 1 + x = −|x| 1 + x = − x2 + x3 .
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◮
√
11. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per x + 1 + x2 . Si ottiene
√
√
√
x − 1 + x2
(x − 1 + x2 )(x + 1 + x2 )
x2 − (1 + x2 )
1
√
√
√
=
=
=−
.
2
2
x
x(x + 1 + x )
x(x + 1 + x )
x(x + 1 + x2 )
C. Logaritmi
◮
1. La scrittura a = logb c significa che ba = c.
◮
2. Si ha
log3 9 = 2 , in quanto 32 = 9;
1
= −3 , in quanto 3−3 = 1/27;
27
√
1
1
log2 √ = − , in quanto 2−1/2 = 1/ 2;
2
2
−4
log 12 16 = −4 , in quanto 21
= 16.
log3
◮
3. Si ha
0 = log2 1 (infatti 20 = 1);
1 = log2 2 (infatti 21 = 2);
2 = log2 4 (infatti 22 = 4);
√
√
1
4
= log2 2 (infatti 21/4 = 4 2);
4
1
1
− = log2 √ (infatti 2−1/2 = √12 ).
2
2
◮
4. Si ha
1 = 20 ;
√
2 = 21/2 ;
1
1
√ = 3/2 = 2−3/2 ;
2
2 2
3 = 2log2 3 ;
1
= 2log2
5
◮
1
5
= 2− log2 5 .
5. Si ha
0 = ln 1;
non si può scrivere invece 0 come potenza di e.
2 = ln e2
1
= ln e1/3
3
√
√
2 = ln e 2
e
e
e
2 = eln 2 ;
1
1
= eln 3 ;
3
√
√
2 = eln 2 ;
−1 = ln e−1 = ln
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1
e
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mentre non si può scrivere −1 come potenza di e.
◮ 6. Ricordo intanto che ln x2 significa ln(x2 ) e la scrittura ha senso per x 6= 0. Possiamo applicare una delle
proprietà dei logaritmi e scrivere
ln x2 = 2 ln |x|, e l’uguaglianza vale per ogni x 6= 0.
Faccio notare allo studente che ci sono infiniti altri modi di scrivere la stessa quantità. Ad esempio scrivendo 12 ln x4 ,
p
oppure 13 ln x6 o ancora 4 ln |x|, e lascio allo studente inventarne altri. Tutte queste scritture equivalgono a quella
iniziale per x 6= 0. Si poteva anche scrivere ln x2 = 2 ln x, ma attenzione che allora dobbiamo dire che questa vale solo
con x > 0.
p
La quantità ln x4 è definita per x 6= 0 e si può trasformare ad esempio in 2 ln x2 , oppure 4 ln |x|, o ancora 16 ln 4 |x|.
Anche qui se vogliamo scrivere invece ln x4 = 4 ln x dobbiamo precisare che questa vale solo con x > 0.
La quantità ln x3 è definita invece per x > 0 e si può trasformare ad esempio in 3 ln x, oppure in
x > 0.
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2
ln x2 , ma solo se
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