Precorso di Matematica Silvia Marconi - 19 Settembre 2011 • MODULO E RADICE Nonostante 4 sia il quadrato sia di 2 che di −2, NON si può concludere che √ 4 = ±2. La radice quadrata di un numero, quando esiste (cioè quando quel numero è po√ sitivo), dà come risultato un numero positivo. 4 = 2. √ Allo stesso modo NON si può dire che x2 = ±x; vorrebbe dire che la radice quadrata di un numero positivo può dare due risultati, uno opposto dell’altro, il che è impossibile. NON si può nemmeno dire che √ x2 = x, perché, mentre se x è un numero posi- tivo il risultato è corretto, se x è un numero negativo vorrebbe dire che la radice quadrata di un numero positivo dà un risultato negativo, il che non può essere. La radice di x2 quindi è: √ ( x2 = x se x ≥ 0 −x se x < 0 Si noti che il risultato è POSITIVO in entrambi i casi (−x > 0 se x < 0!), e coincide con il modulo di x: √ x2 = |x| Altra questione è risolvere l’equazione x2 = a. Se a < 0 non ci sono soluzioni reali, perché un numero positivo non può essere uguale a un numero negativo. Se a = 0 allora x = 0. √ √ Se a > 0 per trovare x si estrae la radice ad entrambi i membri: x2 = a, da √ √ cui NON si deduce che ±x = a e quindi x = ± a, ma per quanto visto prima √ si ha |x| = a, che corrisponde alle due equazioni x= √ −x = che danno le due soluzioni x = √ a √ se x ≥ 0 a se x < 0 √ √ a e x = − a, ovvero x = ± a, che verificano tutte e due l’equazione x2 = a. Ricapitolando: √ x2 = |x| e √ x2 = a > 0 ⇒ x = ± a • FATTORIZZAZIONE DI UN TRINOMIO ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ), dove x1 e x2 sono le soluzioni dell’equazione ax2 + bx + c = 0. • NUMERI COMPLESSI Piano complesso, unità immaginaria Numeri complessi coniugati e modulo di un numero complesso • FATTORIZZAZIONE DI POLINOMI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Zeri o radici di un polinomio, molteplicità degli zeri Esempio: x5 − 3x4 + 2x3 − x2 + 3x − 2 = (x − 1)2 (x − 2)(x2 + x + 1) • FUNZIONI (vedere dispense) Funzione, dominio, codominio, immagine Funzione suriettiva, iniettiva, biunivoca o biiettiva Grafico di una funzione Dominio, grafico e proprietà delle funzioni fondamentali: f (x) = ax + b f (x) = x f (x) = x2 f (x) = xn con n ∈ N f (x) = f (x) = 1 x √ x f (x) = |x| f (x) = sgn(x) Funzione monotona crescente, decrescente, non crescente, non decrescente Funzione pari, funzione dispari Funzione modulo