Precorso di Matematica Silvia Marconi - 19 Settembre 2011 -

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Precorso di Matematica
Silvia Marconi - 19 Settembre 2011 • MODULO E RADICE
Nonostante 4 sia il quadrato sia di 2 che di −2, NON si può concludere che
√
4 = ±2.
La radice quadrata di un numero, quando esiste (cioè quando quel numero è po√
sitivo), dà come risultato un numero positivo. 4 = 2.
√
Allo stesso modo NON si può dire che x2 = ±x; vorrebbe dire che la radice
quadrata di un numero positivo può dare due risultati, uno opposto dell’altro, il
che è impossibile.
NON si può nemmeno dire che
√
x2 = x, perché, mentre se x è un numero posi-
tivo il risultato è corretto, se x è un numero negativo vorrebbe dire che la radice
quadrata di un numero positivo dà un risultato negativo, il che non può essere.
La radice di x2 quindi è:
√
(
x2 =
x
se x ≥ 0
−x
se x < 0
Si noti che il risultato è POSITIVO in entrambi i casi (−x > 0 se x < 0!), e
coincide con il modulo di x:
√
x2 = |x|
Altra questione è risolvere l’equazione x2 = a.
Se a < 0 non ci sono soluzioni reali, perché un numero positivo non può essere
uguale a un numero negativo.
Se a = 0 allora x = 0.
√
√
Se a > 0 per trovare x si estrae la radice ad entrambi i membri: x2 = a, da
√
√
cui NON si deduce che ±x = a e quindi x = ± a, ma per quanto visto prima
√
si ha |x| = a, che corrisponde alle due equazioni
x=
√
−x =
che danno le due soluzioni x =
√
a
√
se x ≥ 0
a
se x < 0
√
√
a e x = − a, ovvero x = ± a, che verificano
tutte e due l’equazione x2 = a.
Ricapitolando:
√
x2 = |x|
e
√
x2 = a > 0 ⇒ x = ± a
• FATTORIZZAZIONE DI UN TRINOMIO
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
dove x1 e x2 sono le soluzioni dell’equazione ax2 + bx + c = 0.
• NUMERI COMPLESSI
Piano complesso, unità immaginaria
Numeri complessi coniugati e modulo di un numero complesso
• FATTORIZZAZIONE DI POLINOMI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
Zeri o radici di un polinomio, molteplicità degli zeri
Esempio: x5 − 3x4 + 2x3 − x2 + 3x − 2 = (x − 1)2 (x − 2)(x2 + x + 1)
• FUNZIONI (vedere dispense)
Funzione, dominio, codominio, immagine
Funzione suriettiva, iniettiva, biunivoca o biiettiva
Grafico di una funzione
Dominio, grafico e proprietà delle funzioni fondamentali:
f (x) = ax + b
f (x) = x
f (x) = x2
f (x) = xn con n ∈ N
f (x) =
f (x) =
1
x
√
x
f (x) = |x|
f (x) = sgn(x)
Funzione monotona crescente, decrescente, non crescente, non decrescente
Funzione pari, funzione dispari
Funzione modulo
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