esercizi
capitolo
10
Sistemi lineari
Sistemi lineari letterali. Discussione
esercizi risolti
a. Risolvere e discutere il sistema letterale:
⎧ x − 4 ay = − 3
⎪a
a
⎨
⎪ 2 x + ay − 2 = 1
a
⎩
Per le condizioni di esistenza deve risultare a ≠ 0.
Sotto la condizione a ≠ 0, il sistema, scritto nella forma normale
⎧ x − 4 ay = − 3
⎪a
a
⎨
⎪ 2 x + ay = 2 + 1
a
⎩
può essere risolto con il metodo di riduzione, osservando che la variabile y può essere eliminata moltiplicando la seconda equazione per 4 e sommando membro a membro:
⎧ x − 4 ay = − 3
⎪a
a
⎨
4
+ ⎪ 8 x + 4 ay = 8 +
a
⎩
⇒
(1 + 8 a ) x 1 + 8 a
x
1
⇒
=
⇒ (1 + 8 a ) x = 1 + 8 a
+ 8x = 8 +
a
a
a
a
1
Se 1 + 8a ≠ 0, cioè se a ≠ − , l’equazione in x ottenuta ha la soluzione x = 1.
8
Sostituendo tale valore, per esempio, nella seconda equazione del sistema, si ottiene per y:
1
1
1
2 + ay = 2 +
⇒ ay =
⇒ y= 2
a
a
a
Pertanto, se a ≠ 0 e a ≠ −
1
il sistema è determinato e ha la sola soluzione
8
⎛ 1; 1 ⎞
⎝ a2 ⎠
1
l’equazione (1 + 8a)x = 1 + 8a è indeterminata, poiché risulta 0 · x = 0
8
e quindi il sistema è indeterminato.
Se invece a = −
Riassumendo si ha:
⎧ x − 4 ay = − 3
⎪a
a
⎨
⎪ 2 x + ay − 2 = 1
a
⎩
Valore del parametro
Sistema
a=0
equazioni non definite
a≠0∧a≠−
a=–
1
1
8
1
8
Soluzioni
determinato
⎛ 1; 1 ⎞
⎝ a2 ⎠
indeterminato
infinite soluzioni
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esercizi
capitolo
10
Sistemi lineari
b. Risolvere il seguente sistema discutendo le soluzioni al variare dei parametri a e b ∈:
⎧ax − by = − ab
⎨
⎩2 a + 3by = 8 ab
Risolviamo il sistema con il metodo di Cramer, pertanto calcoliamo i determinanti D, Dx ,
Dy. Si ha:
D=
a −b
= 3ab + 2 ab = 5 ab
2 a 3b
Dx =
− ab − b
= −3ab 2 + 8 ab 2 = 5 ab 2
8 ab 3b
Dy =
a − ab
= 8 a 2 b + 2 a 2 b = 10 a 2 b
2 a 8 ab
Il determinante dei coefficienti D = 5ab si annulla per a = 0 ∨ b = 0, quindi:
a) se a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 risulta D ≠ 0, pertanto il sistema è determinato e risulta:
x=
Dx 5 ab 2
=
=b
D
5 ab
y=
Dy 10 a 2 b
=
= 2a
D
5 ab
perciò il sistema ammette una sola soluzione costituita dalla coppia (b; 2a);
b) se a = 0 ∨ b = 0 risulta D = 0 e poiché anche Dx = 0 e Dy = 0, il sistema è indeterminato.
Riassumendo si ha:
⎧ax − by = − ab
a, b ∈ ⎨
⎩2 ax + 3by = 8 ab
D=
a −b
= 5 ab
2 a 3b
Valore dei
parametri
Valore dei
determinanti
Sistema
Soluzioni
a≠0∧b≠0
D ≠0
determinato
(b; 2a)
a=0∨b=0
D =0
Dx = 0
Dy = 0
indeterminato
infinite soluzioni
Risolvere e discutere, al variare dei parametri (∈), i seguenti sistemi letterali.
2
1
⎧ x + (t − 2 ) y − t − 2 = 0
⎨
⎩ 2 x − ky = 4 t + k
2
⎧(2b + a ) x + ay − 2 a − 2b = 0
⎨
⎩ ax + (2b − a ) y = 2b
per k + 2t − 4 ≠ 0 si ha x = 2t; y = −1;
per k + 2t − 4 = 0 il sistema è indeterminato
per
a2
per a2 ≠ 2b2 si ha x = 1; y = 1;
= 2b2 il sistema è indeterminato
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capitolo
10
Sistemi lineari
3
⎧⎪ x − y − 3h = 1
h
⎨ 2h
⎪⎩ 3x − 6 y = h + 8
4
⎧x − t + 1 − y = 0
⎪
t
⎨
y
x
+
1
1+ t2
⎪
+ −
=0
⎩ 1− t t t − t2
5
⎧x − 2y − a = 0
⎪
3a 3
⎨
2
(
x
+ 1) y − x y − 2 a − 3
⎪
=0
−
+
a
a +1
⎩ a +1
6
y
1
⎧ x
⎪ 3(b − 5 ) − 2(b − 5 ) = 6
⎨
⎪ 2 y + 5 = 2 − 3bx − 3b
b
⎩b
7
⎧ x + x−y = 1
⎪ a + b a − b a2 − b2
⎨
⎪ x + 2y = − 1
ab
⎩b a
per h = 0 la prima equazione non è definita;
8
per h ≠ 0 ∨ h ≠ ; il sistema è impossibile;
13
8
per h = − ; il sistema è indeterminato
13
per t = 0 ∨ t = 1 il sistema non è definito;
per t ≠ 0 ∧ t ≠ 1 ∧ t ≠ 2 si ha x = t; y = 1;
per t = 2 il sistema è indeterminato
per a = 0 ∨ a = −1 le equazioni non sono definite;
2
per a ≠ 0 ∧ a ≠ −1 ∧ a ≠ −
si ha x = a; y = a 2;
3
2
per a = − il sistema è indeterminato
3
per b = 0 ∨ b = 5 il sistema non è definito;
4
per b ≠ 0 ∧ b ≠ 5 ∧ b ≠ − si ha x = −b − 1; y = −b + 1;
9
4
per b = − il sistema è indeterminato
9
per a = 0 ∨ b = 0 ∨ a = ±b il sistema non è definito;
per a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ a ≠ ±b ∧ a ≠ −5b si ha x =
b−a
3
;
; y=–
a(a + 5b )
a + 5b
per a = −5b ≠ 0 il sistema è impossibile
8
y−n
⎧x − m
⎪ m = n
⎨
⎪ nx + my = 2 mn
⎩m +1 n +1
9
⎧⎪ x − y = k
⎨k h+ k h+ k
⎪⎩ hx − h 2 = ( k − h ) y
2
3
2
per m = 0 ∨ n = 0 ∨ n = −1 ∨ m = −1 il sistema non è definito;
per m + n ≠ −2 si ha x = m(m + 1); y = n(n + 1);
per m + n = −2 il sistema è indeterminato
per k = 0 ∨ h + k = 0 il sistema non è definito;
per k ≠ 0 ∧ h + k ≠ 0 ∧ h 2 + hk − k 2 ≠ 0 si ha x = k; y = h;
per h2 + hk − k2 = 0 il sistema è indeterminato
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