braglia127745

Paolo Braglia – Matricola 127745 – Lezione del 11/12/2000 – Ore 16.30-18.30
TRANSITORI TERMICI
Consideriamo una lastra piana con uno spessore S dato e suddividiamola attuando quella che è
definita Discretizzazione spaziale.
Con il metodo delle differenze finite introduciamo il passo spaziale:
 
S
ND
dove S è lo spessore e ND è il numero di divisioni.
La lastra è così divisa in un numero finito di strisce l’una adiacente all’altra. Il punto mediano di
ciascuna striscia è chiamato nodo ed in esso si può considerare la temperatura costante.
Normalmente si assume che i nodi partano sulla superficie limite iniziale della lastra e che siano
numerati da 0 a ND. Secondo questa notazione avremo dunque ND divisioni e ND+1 nodi.
Ciascun nodo interno è così rappresentativo di una striscia di materiale con spessore . Al
contrario invece il primo e ultimo nodo sono rappresentativi di una striscia di materiale di spessore
.

 
0
1
2
 
3
4
X
Figura 1- Esempio di discretizzazione spaziale con cinque nodi e quattro divisioni.
L’ascissa x del nodo n-esimo equivale quindi a:
n  n
con
n  0.......ND
dove n è un numero puro chiamato indice di nodo e rappresenta il puntatore dentro il vettore o la
matrice che conterrà le temperature dei nodi. Per questo motivo indicheremo con T1 la temperatura
al nodo 1, e con Tn la generica temperatura al nodo n-esimo.
Si può notare che in questo modo la variabile X non è più continua ma assume solo valori discreti.
E’ importante sapere che questa non è però l’unica rappresentazione spaziale possibile. C’è infatti
chi parte ponendo il primo nodo appena dentro la pelle della lastra. In questo modo il numero dei
nodi equivale a quello delle divisioni e in più anche i nodi esterni sono rappresentativi di una
striscia di materiale di spessore .
Quale rappresentazione usare è in ogni caso una scelta soggettiva e tale decisione ha portato, tra le
varie cose, alla diversa interpretazione di vettori o matrici nei vari linguaggi di programmazione.
1
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Infatti per questo motivo ci sono linguaggi in cui il primo posto dei vettori è identificato con il
numero 1 mentre altri come il Basic o il Pascal in cui lo stesso è identificato con il numero 0.
Per risolvere i problemi di transitorio bisogna introdurre anche una discretizzazione temporale che
è effettuata con un passo temporale costante  misurato in secondi.
Tenendo conto delle cose già dette avremo:
  t
dove  è il tempo corrente e t è un numero puro chiamato indice di tempo.
La soluzione del problema di transitorio si riduce ad essere una matrice bidimensionale discreta in
entrambe le direzioni che contiene le temperature dei nodi ai vari istanti esaminati.
t
n
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
Figura 2 - Matrice rappresentativa di un problema suddiviso in 5 nodi ed esaminato per 7 unità temporali.
Indicheremo quindi con Tnt la generica temperatura al nodo n all’istante t the occuperà la cella
(n,t) nella matrice sopra descritta (Nei linguaggi di programmazione si utilizza in genere la seguente
rappresentazione: T(n,t) ,se si usa un linguaggio come il Basic o il Fortran, T[n,t] se invece si usa il
Pascal o il C).
Il nostro obbiettivo è riuscire a calcolare i contenuti delle celle della matrice. Come vedremo ciò è
possibile attraverso una formula ricorsiva utilizzando la tecnica di time marching.
In generale le temperature dei nodi allo stadio iniziale (corrispondente a t = 0) possono essere note a
priori. Partendo da queste, sotto opportune condizioni al contorno, è possibile ricavare le
temperature all’istante  = 1 (cioè t = 1). Analogamente le temperature dei nodi all’istante
seguente si calcolano partendo da quelle dell’istante precedente.
Procedendo con questo metodo iterativo si viene a conoscenza delle temperature di tutti i nodi negli
istanti considerati e si prosegue fino alla situazione stazionaria in cui più nulla cambia..
Per descrivere analiticamente il processo dobbiamo ricalcolare l’equazione di Fourier prendendo in
considerazione il generico nodo n (e quindi la generica striscia  al generico istante e stimare le
variazioni termodinamiche avvenute nell’intervallo di tempo .
Dobbiamo quindi scrivere:
U  Q
Considerando la lastra di spessore e altezza unitaria svolgiamo l’uguaglianza e otteniamo
CV Tnt 1  Tnt   QSN ,IN  QDX ,OUT
dove QSN,IN è il calore che entra da sinistra e QDX,OUT è il calore che esce da destra.
Noto che ho inserito nel primo termine la differenza di temperatura del generico nodo n in due
precisi istanti di tempo successivi. Questo è dovuto al fatto che il mio problema è impostato in
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forma finita e non più infinitesimale come eravamo abituati a considerare. Lo stesso discorso vale
anche per il calore al secondo termine.
Calcoliamo ora i singoli termini
QSN , IN
dt
Tnt  Tnt1

 

dX

dove ho discretizzato la derivata attuando il rapporto incrementale.
Analogamente
QDX ,OUT
Tnt1  Tnt



Ora sostituiamo
CV T
t 1
n
 Tnt1  Tnt  Tnt1  Tnt
 T   


t
n





Ricordo che le temperature di tutti i nodi agli istanti t sono note e quindi la mia unica incognita è
Tnt+1.
Ricaviamo quindi

2
Tnt 1  Tnt 1 
2
  CV


t
t

T

T
n

1
n
1
  2 C
V



che è la formula risolutiva dei transitori.
Essa mi permette di ricavare i valori delle celle alla riga t+1 a patto che siano noti i valori della riga
t.
Guardando questa formula osservo che non posso scegliere un  grande a piacere una volta che è
stato fissato un passo spaziale X. Potrebbe infatti succedere che il termine moltiplicativo di Tnt
diventi negativo rendendo l’equazione numericamente instabile. Le temperature non tenderebbero
così più al valore nominale effettivo, ma produrrebbero oscillazioni che andrebbero via via
amplificandosi nel tempo mandando il computer in overflow.
Questo può essere logico anche intuitivamente in quanto non posso stimare un futuro troppo
lontano se non conosco i passi intermedi, perché non ho abbastanza informazioni.
Questo è comunque un problema di tipo fisico che non posso risolvere cambiando semplicemente
l’algorimo di calcolo.
Dobbiamo infatti ricordare che siamo giunti alla formula risolutiva partendo dal primo principio.
Ipotizziamo di trovarci in una situazione in cui il nodo generico n ha una temperatura più bassa
rispetto a quella dei nodi n-1 e n+1 che lo circondano e che il termine in esame sia negativo.
Secondo la formula Tnt+1 dovrebbe quindi essere inferiore a Tnt. Questo però viola il secondo
principio della termodinamica in quanto un corpo freddo circondato da due corpi più caldi si è
trovato a cedere calore invece di riceverlo. Andiamo quindi incontro ad un paradosso.
3
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Si può quindi introdurre il lim che corrisponde al maggior passo temporale accettabile.
Imponendo la condizione di non negatività del termine sopra discusso:
1
2 lim
CV  2
ricaviamo
 lim
CV  2

2
Bisogna però fare anche attenzione a non eccedere attuando una discretizzazione troppo fina. Infatti
utilizzare passi troppo piccoli risulta essere dannoso per il processo di calcolo anche se teoricamente
non sembrerebbe.
Visto che un eccesso di discretizzazione è altrettanto dannoso che una discretizzazione insufficiente
si è vista la necessità di introdurre una discretizzazione ottima che garantisca il giusto compromesso
tra le due.
Generalmente si usa utilizzare il seguente ott:
 ott 
2
 lim
3
Se sostituiamo nell’equazione risolutiva il valore di lim otteniamo
t 1
n
T
Tnt1  Tnt1

2
che corrisponde alla media temporale delle temperature del nodo n+1 e n-1 prese all’istante appena
precedente.
Ogni cella risente quindi solo ed esclusivamente della presenza delle due celle che stanno, rispetto a
lei, in alto a destra e in alto a sinistra.
Figura 3 - Schema risolutivo per un lim.
4
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Analogamente se usiamo ott otteniamo
t 1
n
T
Tnt  Tnt1  Tnt1

3
Quindi il valore della generica cella risulta essere calcolato come media delle tre celle che le stanno
sopra.
Figura 4
- Schema risolutivo per un ott.
ESEMPIO
Consideriamo una lastra di spessore S = 25 cm e diffusività a = (C) = 0,023 m2/h. La
temperatura della lastra è di 38 C. Al tempo   Immergiamo il tutto in un pentolone d’olio
bollente alla temperatura di 260 C.
Vogliamo studiare il transitorio del materiale nei primi 3 minuti.
Prima di cominciare dobbiamo però specificare le condizioni al contorno, cioè il particolare
comportamento della pelle della lastra. Ipotizziamo che la pelle (corrispondente alle coordinate X=0
e X=S) assuma, immediatamente con l’immersione, la temperatura dell’olio e che questa
temperatura sia costante durante il transitorio.
Avremo quindi una temperatura della pelle Tp = 260 C costante nei tre minuti.
Possiamo quindi ora attuare la discretizzazione spaziale. Per semplicità discretizzo con 9 nodi
(0,1,…8) e avremo quindi 8 divisioni.
Il passo spaziale risulta quindi essere:
 
0
1
S
0,12m

 0,015m
ND
8
2
3
4
5
6
7
8
Figura 5 - Discretizzazione spaziale della lastra in esame.
Dalla figura noto che il problema è simmetrico e quindi lo sarà anche la soluzione.
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Possiamo perciò scrivere:
T0 = T8
T1 = T7
T2 = T6
T3 = T5
Decido di utilizzare il lim da cui:
 lim
0,015  18s
 2


2a
 0,023 
2

 3600 
2
Per cui avremo (3*60/18)=10 passi temporali.
Possiamo ora cominciare a riempire la tabella con le temperature dei nodi ai vari istanti.
Io conosco a priori le condizioni al contorno e quelle iniziali. Per questo motivo sono
immediatamente note la prima(e l’ultima) colonna e la prima riga.
Avremo cosi il nodo 1 e il nodo 8 costantemente alla temperatura di 260 °C. Analogamente al
tempo  = 0 i nodi che non appartengono alla pelle avranno una temperatura di 38 °C.
Le temperature delle restanti celle si calcolano secondo la formula risolutiva trovata e discussa in
precedenza. Per cui se vogliamo conoscere T11 ,cioè il valore della cella (1,1), dovremo fare la
media aritmetica tra la cella (0,0) e la cella (2,0) per un valore numerico di (260+38)/2 = 149 °C.
Procedendo riga per riga iterativamente si viene a completare tutta la matrice e si conclude il
problema.
Tempo
Idice di tempo
in secondi corrispondente
0
0
18
1
36
2
54
3
72
4
90
5
108
6
126
7
144
8
162
9
180
10
0
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
1
38
149
149
177
177
191
191
201
201
210
210
2
38
38
94
94
121
121
142
142
159
159
174
Indice
Indice
didi
nodo
nodo
3
4
5
38
38
38
38
38
38
38
38
38
66
38
66
66
66
66
94
66
94
94
94
94
118
94 118
118 118 118
139 118 139
139 139 139
6
38
38
94
94
121
121
142
142
159
159
174
7
38
149
149
177
177
191
191
201
201
210
210
8
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
Figura 6 - Tabella risolutiva del problema in esame usando il lim.
Analizzando la tabella si può verificare la simmetria sopra descritta.
Si può anche notare che l’innalzamento progressivo delle temperature non è uguale per tutti i nodi,
ma i nodi più esterni si scaldano più velocemente rispetto a quelli più interni.
Per descrivere più accuratamente questo fenomeno possiamo tracciare un grafico che descrive le
temperature dei nodi in funzione dell’indice di tempo t.
6
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Temperature
300
250
nodi 0 e 8
nodi 1 e 7
nodi 2 e 6
nodi 3 e 5
nodo 4
200
150
100
50
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nodi
Figura 7 – Grafico che mostra la variazione della temperatura in funzione dell’indice t per un lim
Noto che le temperature di ciascun nodo non variano con continuità, ma per due istanti successivi
assumono sempre lo stesso valore.
Questo problema è dovuto al fatto che noi calcoliamo il valore di ogni cella prendendo in
considerazione solo le due celle che le stanno in alto a destra e in alto a sinistra
Se ripeto ora il calcolo utilizzando il ott = 2/3 lim = 12 s devo considerare anche la temperatura
dello stesso nodo all’istante precedente.
Da un lato quindi avrò un maggior numero di calcoli perché utilizzo un passo temporale più
piccolo, ma dall’altro riesco ad ottenere un grafico che varia con continuità, a quindi più preciso.
Tempo in Indicedi tempo
secondi corrispondente
0
0
12
1
24
2
36
3
48
4
60
5
72
6
84
7
96
8
108
9
120
10
132
11
144
12
156
13
168
14
180
15
0
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
1
38
112
137
153
164
172
179
184
189
193
196
200
203
206
208
211
Indice di nodo
3
4
38
38
38
38
38
38
46
38
54
43
64
51
73
59
82
68
91
77
99
86
107
95
115
103
122
111
129
118
136
125
142
132
2
38
38
63
79
93
104
113
122
129
136
143
149
154
160
165
170
Figura 8 - Tabella risolutiva del problema in esame usando un ott
7
5
38
38
38
46
54
64
73
82
91
99
107
115
122
129
136
142
6
38
38
63
79
93
104
113
122
129
136
143
149
154
160
165
170
7
38
112
137
153
164
172
179
184
189
193
196
200
203
206
208
211
8
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260
260 .
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Temperature
300
250
nodi 0 e 8
nodi 1 e 7
nodi 2 e 6
nodi 3 e 5
nodo 4
200
150
100
50
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Nodi
Figura 9 – Grafico che mostra l’andamento delle temperature in funzione di t per un ott
Fino ad ora abbiamo considerato delle specifiche condizioni al contorno. Spesso invece succede che
le temperature sulla pelle della lastra non siano bene precisate.
In particolare il primo nodo potrebbe essere connesso da una resistenza termica a una temperatura
nota. Questa nuova condizione al contorno può ad esempio essere descritta da un certo coefficiente
 dovuto alla convezione, all’irraggiamento o alla somma dei due.
Sotto queste nuove ipotesi devo andare ad analizzare il comportamento del primo nodo che è
rappresentativo di una porzione di lastra pari a .

T

Figura 10 - Esempio di primo nodo connesso a una temperatura nota tramite resistenza termica
Dato che non posso più ritenere costante la temperatura del primo e dell’ultimo nodo mi devo
andare a calcolare anche per queste regioni una formula risolutiva.
Analogamente a quanto espresso in precedenza per i nodi interni avrò:
U  QSN , IN  QDX ,OUT
Per cui:
T1t  T0t

t 1
t
t
CV T0  T0   T  T0  

2


 

8
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da cui si ricava




t 1
t
T0  T0 1 



 2
CV

C

V
2
2



   T   T1t
2
 

CV
CV

2
2

Questa è la formula ricorsiva che mi permette di calcolare la temperatura della pelle della lastra in
funzione della temperatura che la stessa aveva all’istante precedente.
Anche in questo caso, guardando la formula, noto che il termine moltiplicativo di T0t potrebbe
essere negativo provocando la violazione del secondo principio della termodinamica.. In particolare
tanto più  è grande tanto più ci saranno problemi.
Dovrò quindi introdurre un passo per i nodi esterni, che difficilmente coincide con quello dei nodi
interni, ma risulta essere più piccolo. Per risolvere questo inconveniente basta scegliere il più
piccolo passo temporale e applicarlo su tutta la lastra (pelle compresa).
Possiamo quindi affermare a priori che la presenza di convezione mi porta ad usare passi temporali
più piccoli.
Bisogna tener presente che in presenza da  molto grandi mi posso trovare davanti passi
ridicolmente piccoli che mi portano a dover affrontare un’infinità di calcoli con grande dispendio di
tempo e energia.
Uguagliando a zero il termine sopra descritto posso ricavate il massimo passo temporale applicabile
sul primo nodo:
 lim, 0
1  2
1

2 a 1   

Possiamo a questo punto facilmente vedere la dipendenza del passo da .
Guardando la formula possiamo notare anche la presenza del termine:
Numero di
BIOT  


che rappresenta un numero puro ed è caratteristico dei fenomeni di transitorio termico.
Possiamo affermare che quando il numero di Biot >40 ,cioè con  molto grande, la temperatura
alle pareti sia equivalente a quella all’infinito, e ricadiamo nel caso descritto in precedenza.
Viceversa se numero di Biot<0.1 si può ipotizzare che l’intera parete sia isoterma in ogni istante.
In questo caso non avremmo un problema di transitorio in quanto la mia lastra entra subito
istantaneamente a regime.
Nei casi intermedi la convezione e l’irraggiamento non sono trascurabili e devo studiare l’intero
transitorio passo per passo anche sulle pelli.
Per risolvere problemi di questo genere devo utilizzare quello che è chiamato metodo implicito.
Fino ad ora abbiamo utilizzato un metodo esplicito in quanto era possibile esprimere un’unica
incognita in funzione di termini tutti noti ragionando dal presente verso il futuro.
9
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Il metodo implicito, viceversa, ragiona dal presente verso il passato.
Quando vado a fare il bilancio dell’energia avrò perciò una derivata temporale sinistra e non più
destra.
CV T  T
t 1
n
t
n

 Tnt1  Tnt  Tnt1  Tnt
  






In questo caso però non posso ricavare subito la soluzione in quanto io conosco solo le temperature
del passato. Ho quindi 3 incognite.
Noto però che io ho scritto il bilancio relativo solo al nodo generico n. Se io ripeto il calcolo per i
nodi interni (n=1,…..n=n-1) alla fine trovo un sistema di n equazioni in n incognite risolvibile con
tecniche di calcolo a noi note.
Una riga generica di questa matrice potrebbe essere
T
t
n 1

2  t

t
t 1



1

T

T

T
n
n

1
n
2
2
2
 CV   CV 
 CV


elemento
diagonale
ripetendo lo stesso procedimento per tutti i nodi interni posso ottenere la seguente rappresentazione
AT t   T t 1 
dove A è una matrice tridiagonale.
Moltiplico entrambi i membri per A-1
 
 
I T t  A 1 T t 1
Il vettore delle temperature cercate si ottiene quindi moltiplicando le temperature note per la
matrice inversa di A.
Concludendo posso affermare che il metodo implicito è sempre stabile sotto qualsiasi condizione al
contorno. Non ho più il problema di oscillazioni in caso di un passo temporale troppo ampio come
succedeva utilizzando il metodo esplicito.
10