APPUNTI PER RISOLVERE PROBLEMI E DIMOSTRARE TEOREMI

APPUNTI PER RISOLVERE PROBLEMI
E DIMOSTRARE TEOREMI DI GEOMETRIA
Come risolvere problemi e dimostrare teoremi
Risolvere i problemi è una questione di abilità vera e propria come il nuotare o lo sciare
il suonare il piano. Qualunque abilità pratica può essere acquisita con l’imitazione
l’esercizio. Sforzandosi di imparare a nuotare, si imitano i gesti di coloro che riescono
stare a galla nell’acqua e, a poco a poco, si impara a nuotare… nuotando. Per imparare
risolvere problemi, è necessario osservare ed imitare come vi riescono altre persone
infine si riesce a risolvere i problemi … risolvendoli.
o
e
a
a
e
Le quattro fasi della risoluzione
1. si deve comprendere il problema; è necessario conoscere chiaramente cosa sia
richiesto.
2. si devono scoprire i legami che intercedono tra le varie informazioni, fra ciò che si
cerca ed i dati, per rendersi conto del tipo di risoluzione e compilare un strategia
conveniente.
3. si procede allo sviluppo del piano, cioè a mettere in pratica la strategia
4. bisogna controllare il risultato ottenuto e procedere alla sua verifica ed alla sua
discussione.
I paragrafi successivi suggeriscono alcune domande per mettere in pratica queste fasi.
1 Comprendere il problema
Cosa si deve trovare?
Quali sono i dati?
Quali sono le condizioni?
È possibile soddisfare le condizioni?
Le condizioni sono sufficienti per determinare ciò che si deve trovare?
Oppure sono insufficienti?
O ridondanti?
O contraddittorie?
Disegna una figura. Introduci una notazione appropriata.
Separa le varie parti delle condizioni.
Puoi scriverle secondo la notazione scelta?
2 Elaborare una strategia
Hai già visto in precedenza questo problema?
Oppure hai visto lo stesso problema presentato in una forma leggermente diversa?
Conosci un problema simile?
Conosci un teorema che potrebbe essere utile? (vedi elenco di teoremi)
Guarda le incognite!
E prova a pensare a un problema che conosci già che ha le stesse incognite, o incognite
simili.
Esiste un problema analogo al tuo e già risolto in precedenza?
Puoi utilizzarlo?
Puoi usare i suoi risultati?
Puoi usare il suo metodo di risoluzione?
Potresti introdurre alcuni elementi ausiliari per rendere possibile l'uso di quel problema?
Puoi riformulare il problema?
Puoi riformularlo una seconda volta in un modo ancora diverso?
Se non riesci a risolvere il problema dato, prova prima a risolvere un problema simile al
tuo.
Puoi pensare a un problema analogo più semplice?
A un problema più generale?
A un problema più specifico?
A un problema analogo?
Puoi risolvere una parte del problema?
Prova a tenere solo una parte delle condizioni, lasciando perdere il resto; quanto differisce
il risultato che riesci a trovare da quello richiesto dal problema?
Come può variare?
Puoi ricavare qualcosa di utile dai dati?
Puoi pensare ad altri dati utili per determinare ciò che devi trovare?
Puoi cambiare le incognite, oppure i dati, o entrambi se necessario, in modo tale che le
nuove incognite e i nuovi dati siano più vicini tra loro?
Hai usato tutti i dati?
Hai usato tutte le condizioni?
Hai preso in considerazione tutte le nozioni essenziali coinvolte nel problema?
3 Mettere in pratica la strategia
Nello svolgimento della strategia, controlla ogni passaggio.
Riesci a riconoscere in modo chiaro che il passaggio è corretto?
Puoi dimostrare che è corretto?
4 Controllare
Puoi controllare il risultato? Puoi controllare le tue deduzioni?
Puoi ricavare il risultato in modo diverso? Puoi trovarlo con un'occhiata?
Puoi usare il risultato, o il metodo di risoluzione, per qualche altro problema?
L’analisi
Un suggerimento.
Per dimostrare un teorema applicare il metodo analitico significa ragionare come segue:
«Posso provare questa proposizione se posso provare questa cosa; posso
provare questa cosa se posso provare questa; posso provare questa se posso
provare una terza cosa». Questo non prova la proposizione, ma permette di rovesciare
il processo, iniziando con la cosa che si può provare e andando indietro, passo passo, alla
cosa che è da provare.
In altre parole un altro modo di farsi venire le idee è dire: supponiamo il problema risolto
e vediamo che risultati seguono. Poi si rovescia il processo e si vede se si riesce ad avere
questi. Se la cosa funziona, si espone il processo e la dimostrazione risultante.
Spesso ci si chiede come uno ha fatto a farsi venire in mente come sistemare le
dimostrazioni in geometria e questo risponde in parte alla domanda. Qualcuno ha
congetturato che un dato enunciato fosse vero; ha applicato l’analisi e trovato che poteva
provarlo; ha applicato la sintesi e lo ha provato.
Suggerimenti
La figura non deve essere perfetta ma verosimile. Se si dice che due rette sono
parallele almeno devono sembrarlo.
• Bisogna evitare i casi particolari: se bisogna considerare un qualsiasi punto su di un
segmento non scegliere il punto medio. Se si parla di un triangolo qualsiasi non
farlo né isoscele, né equilatero, né rettangolo.
• Se bisogna disegnare un triangolo isoscele non farlo sempre con la base in basso,
se si tratta di un triangolo rettangolo non farlo sempre con l’angolo retto in basso a
sinistra. Altrimenti se ci si presenta un triangolo isoscele ruotato rispetto al
consueto, fatichiamo poi a riconoscerlo.
• Se si è pasticciata troppo la figura rifarla e partire da una figura pulita.
• Provare a girare la figura per vedere il problema sotto un altro punto di vista.
• Spesso il modo di scrivere una tesi suggerisce una via per la dimostrazione.
Nell’esempio 3 mette sulla strada delle dimostrazione scrivere che un angolo è
piatto piuttosto che 3 punti sono allineati.
• Tenete conto che spesso i teoremi proposti dai testi hanno più di una tesi e in molti
casi alla dimostrazione di una tesi è necessaria la dimostrazione della tesi
precedente.
• Una tendenza abbastanza diffusa è quella di segnalare tra le ipotesi tutte le
informazioni che si hanno. Ad esempio se l’enunciato del teorema dice “si consideri
un triangolo equilatero…” molti scrivono tra le ipotesi la congruenza di tutti i lati e
di tutti gli angoli. Il risultato è quello di avere numerose ipotesi, poco chiare e poco
utili (può capitare che la congruenza degli angoli non venga nemmeno utilizzata nel
corso della dimostrazione).
•
Non ci riesco
If you cannot solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it
Se non riesci a risolvere un problema, allora c’è un problema più facile che tu
sai risolvere: trovalo.
If you cannot solve the proposed problem try to solve first some related problem.
Se non riesci a risolvere il problema proposto, cerca dapprima di risolvere
qualche problema ad esso collegato. (G.Polya)
Esempio 1
Problema di costruzione
Si costruiscano le tangenti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa.
“Le posso fare a occhio?”
“no, non so quali siano i punti di tangenza, se li sapessi sarei a posto. Allora l’obiettivo è
trovare i punti di tangenza A e B.”
“Supponiamo di aver già risolto il problema. Se sapessi disegnare le tangenti che
caratteristiche avrebbero? Vediamo”
“Disegno due tangenti, anche se non precise”
“Cosa so della tangente ad una circonferenza?”
“Che deve essere perpendicolare al raggio condotto dal punto di tangenza”.
“Conduco i raggi ai due punti di tangenza A e B. Metto il segno di perpendicolare sul
disegno”
“Ricordo che A e B sono i punti che devo trovare ma sto facendo finta di averli già trovati”
“Che idea: il teorema delle tangenti!” “Calma. Non mettiamo troppa carne al fuoco.
Vediamo dove dobbiamo arrivare. Io voglio solo disegnarle. Se non riesco poi torno al
teorema delle tangenti. Me lo segno su un foglietto per non dimenticarlo.”
“Osservo la figura. Continuo ad osservare. Beh ho due triangoli rettangoli.”
“Cosa so dei triangoli rettangoli?” “Ho studiato qualche teorema ultimamente?”
“Sì, che un triangolo rettangolo è sempre inscritto in una semicirconferenza, che ha la
mediana relativa all’ipotenusa…”
“Una cosa alla volta: che è inscritto in una semicirconferenza: ci serve?”
“Disegno una delle due semicirconferenze con diametro PO.” “Ricordiamoci che sto
cercando di trovare A e B….”
“Ma allora è ovvio!”
Esempio 2
Problema di costruzione
In un triangolo assegnato, inscrivere un quadrato avente due vertici sulla base e ciascuno
degli altri due vertici su un lato del triangolo.
“Qual è l’incognita?”
“Un quadrato.”
“Quali sono i dati?”
“Soltanto un triangolo.”
“Qual è la condizione?”
“Che i quattro vertici del quadrato appartengano al contorno del triangolo e, precisamente,
due stiano sulla base e ciascuno degli altri due giaccia su un lato del triangolo.”
“E’ possibile soddisfare alla condizione?”
“Ritengo di sì, ma non ne sono sicuro.”
“Sembra che tu non trovi il problema troppo facile.”
Se non si riesce a risolvere il problema proposto, si tenti di risolvere prima qualche
problema connesso con questo.
“Si può soddisfare ad una parte della condizione?”
“Cosa si intende per una parte della condizione?”
“Ecco, la condizione riguarda tutti i vertici del quadrato; ossia quanti punti?”
“Quattro.”
Una parte della condizione dovrebbe riferirsi ad un numero di vertici minore di quattro. Si
tenga conto soltanto di una parte della condizione, trascurando l’altra. Quale parte della
condizione si presta ad essere soddisfatta più facilmente?”
“E’ immediato disegnare un quadrato con due vertici sul contorno del triangolo o anche
con tre vertici su di esso!”
“Si disegni una figura!”
“Così si è tenuto conto soltanto di una parte della condizione, trascurando l’altra. Fino a
che punto risulta ora determinata l’incognita?”
“Il quadrato richiesto non è ancora individuato: quello disegnato ha solo tre vertici
appartenenti al perimetro del triangolo.”
“Bene! Si disegni un’altra figura che soddisfi la condizione “ridotta”!”
“Abbiamo detto che il quadrato non è determinato dalla parte della condizione
considerata. Come può variare?”
“Tre vertici dei quadrati precedenti giacciono sul contorno del triangolo, ma il quarto
vertice non è ancora dove dovrebbe stare. Il quadrato richiesto, come abbiamo già notato,
non è fino a questo momento individuato; esso può variare e lo stesso accade per il suo
quarto vertice.”
“Come può variare questo quarto vertice al variare del quadrato?”
“Si facciano dei tentativi pratici, per vedere meglio. Si disegnino tanti quadrati, come quelli
già considerati, aventi tutti e tre i vertici sul contorno del triangolo: quadrati piccoli e
quadrati grandi. Quale sembra essere il luogo descritto dai quarti vertici? Come può quindi
variare il quarto vertice di ciascun quadrato?”
….
Si è giunti alla costruzione richiesta?
Esempio 3
Da un punto P esterno ad una circonferenza di centro O si conduca una tangente e sia
A il punto di tangenza. Dal punto medio M del segmento AP si conduca l’ulteriore
tangente alla circonferenza e si indichi con B il punto di tangenza. Detto C l’altro
estremo del diametro per A, si dimostri che i punti P,B,C sono allineati.
Dunque, faccio il disegno e lo osservo. Segno le congruenze.
Penso un altro modo per scrivere la tesi “sono allineati”. Posso scrivere che l’angolo PBC
deve essere piatto. Da quali angoli è composto PBC? Li disegno li osservo e vedo se so
qualcosa di qualche angolo. Quale sarebbe il modo più semplice per dimostrare che un
angolo è piatto? Certamente che è somma di due angoli retti. C’è qualche angolo retto
contenuto in PBC? Ma certo! ABC perché angolo alla circonferenza che sottende il
diametro. Ora mi rimarrebbe da dimostrare che ABP è retto. Se riuscissi sarei a posto.
Posso farlo? Osservo la figura e rifletto. Hum… Osservo in particolare il triangolo ABP: se
fosse retto…
Riguardo le ipotesi: le ho usate tutte? Per ora ho usato solo il diametro AC. Non ho usato
che M è punto medio di AP e che ho tracciato le tangenti. Però avevo segnato sulla figura
che AM congruente MP congruente MB. Ma allora è ovvio: M è il punto medio di AP. ABP è
rettangolo perché la mediana….
Esempio 4
Sia AB un diametro di una circonferenza di centro O e sia C un punto di una delle due
semicirconferenze AB. Si conduca la bisettrice dell’angolo ACB che interseca in E la
circonferenza e si indichi con H la proiezione di C su AB. Dimostrare che
a) CH parallelo ad OE
b) CE è bisettrice dell’angolo HCO.
Dunque: devo dimostrare che CH e OE sono parallele. Come dimostro che due rette sono
parallele? Il modo che uso di solito è ragionare sugli angoli alterni interni, corrispondenti,
etc…. Cioè il teorema che riguarda due rette tagliate da una trasversale.
I due segmenti che sto considerando da quali trasversali possono essere tagliati? EC o AB.
Vediamo se conosciamo qualcuno di questi angoli.
Considero i segmenti EO e HC tagliati da EC. So qualcosa dell’angolo OEC? E’ congruente a
OCE perché il triangolo OEC è isoscele. Ma di HCE non so niente. Noto però che non sto
usando le ipotesi: né che AB diametro, né che CH è perpendicolare a AB, né che CE
bisettrice di ACB.
Passiamo a considerare i segmenti segmenti EO e HC tagliati da AB. So qualcosa di
qualche angolo? Sì, so che AHC è retto (e così uso un’ipotesi). A questo punto se sapessi
che EOB è retto sarei a posto. Lo è? Sembra proprio di sì. Lo posso dire? Che tipo di
angolo è? Un angolo al centro. Ma allora so che è il doppio di un corrispondente angolo
alla circonferenza: ECB. So qualcosa di questo Angolo? Sì! È proprio la metà di ACB (e uso
l’altra ipotesi!) il quale (ecco tutte le ipotesi è retto!). Tutto chiaro.
Per la seconda tesi: segniamo sulla figura le novità che ci ha portato la prima tesi. Se sono
paralleli creano angoli alterni interni congruenti. Questa è facile…
Esempio 5
Dimostrare che se si biseca l’angolo alla circonferenza AVˆB e per il punto P d’incontro
della sua bisettrice con la circonferenza si conduce la corda PQ parallela ad AV, si ha
PQ " BV .
!
!
Segno sulla figura le congruenze.
Inizio ad osservare la tesi: PQ congruente a VB. Come potrei dimostrarlo? Quasi
spontaneamente inizio a cercare dei triangoli congruenti. Ma aspettiamo un attimo e
osserviamo che siamo in una circonferenza e che PQ e VB sono corde. Teoremi sulle
corde: per essere uguali devono avere distanza uguale dal centro. Ma qui non so nulla
sulle distanze. Un altro: se corrispondono ad angoli al centro congruenti sono congruenti.
Stessa cosa per angoli alla circonferenza. Non giungo a niente. Ritorniamo ai triangoli PQV
e PBV. Hanno PV in comune e PVB congruente QPV da cui si deduce che PB congruente a
VQ. Quindi hanno congruenti due lati e un angolo non compreso. Non basta. Cerco un
altro lato (ma è la tesi!) quindi cerco un altro angolo. Eccolo: PBV e PQV. Siamo a posto.
Esempio 6
E’ dato un triangolo equilatero ABC inscritto in una circonferenza. Congiungi i 3 vertici
A,B,C con un punto D qualsiasi dell’arco AB. Considera poi il punto E della corda DC tale
che DE " AD . Dimostra che
c) Il triangolo ADE è equilatero
!
d) I triangoli AEC e ABD sono congruenti.
Devo dimostrare che un triangolo è equilatero: o lavoro sui suoi angoli o sui suoi lati. Di
lati ne ho già due congruenti. Mancherebbe solo uno. Ci penso un po’.
Mi sa che mi conviene lavorare sugli angoli perché conosco molti più teoremi sugli angoli
in una circonferenza che sui segmenti. Gli angoli del triangolo in questione sono ADE
(angolo alla circonferenza) AED (non so nulla) e EAD (nulla anche di questo). Però ADE e
CBA sono congruenti perché entrambi corrispondo a AC e per ipotesi CBA è 60°. Se un
altro angolo di ADE è 60° sono a posto. Riguardo le ipotesi: AD conguente A ED. Quindi
ADE isoscele.
Ci siamo. Prima tesi dimostrata.
Sulla seconda però, dovendo dimostrare che due triangoli sono congruenti uso i criteri! AC
congruente a AB, AE congruente a AD. Mi manca il terzo lato o l’angolo compreso. Del
terzo lato non so nulla. Proviamo con l’angolo. Ci sono lì degli angoli di 60°. CAB e EAD.
Ma a entrambi tolgo la stessa parte per ottenere CAE e BAD. Ovvio che sono uguali.
Ecco la seconda tesi.
Tradurre
Canto 13 del Paradiso (vv.94-102)
Non ho parlato sì, che tu non posse
ben veder ch'el fu re, che chiese senno
acciò che re sufficïente fosse;
non per sapere il numero in che enno
i motor di qua sù, o se necesse
con contingente mai necesse fenno;
non si est dare primum motum esse,
o se del mezzo cerchio far si puote
trïangol sì ch'un retto non avesse.
A cosa di riferisce Dante?