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Triangoli isoperimetrici e equiestesi nel laboratorio di matematica
di Luciano Porta
Lo studio dei triangoli isoperimetrici ed equiestesi si può affrontare nel laboratorio di matematica: attività
progettuale e manuale, uso del software di geometria dinamica e degli strumenti tradizionali del disegno
tecnico, riflessione sulle proprietà dei poligoni mentre questi vengono deformati, introduzione
sperimentale dell’ellisse e applicazione della geometria per esporre una legge dell’astronomia.
Triangoli isoperimetrici
E’ bene che, prima di affrontare lo studio teorico, gli studenti costruiscano su di un rettangolo di cartone, su
cui abbiano già disegnato le perpendicolari, il triangolo tendendo un filo inestensibile. La base è il segmento
tra i due fori (simmetrici rispetto al punto di intersezione delle due perpendicolari) in cui abbiamo inserito
il filo prima di annodarlo posteriormente e il vertice è mobile poiché è ciascuno dei punti in cui il filo è teso
al massimo ad esempio dalla punta di una matita (alcuni di questi punti vertice possono essere
materializzati con un fermacampione inserito nel cartone).
Suggeriamo agli studenti un’importante osservazione: se i fuochi si avvicinano fino a coincidere otteniamo
una circonferenza. Affrontando il problema di costruire sperimentalmente i triangoli isoperimetrici siamo
riusciti ad introdurre naturalmente la definizione geometrica di ellisse ed è naturale a questo punto della
lezione enunciare la prima legge (1608) di Kepler del moto dei pianeti: l’orbita descritta da un pianeta
intorno al Sole è un’ellisse e il Sole occupa uno dei due fuochi.
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Ora studiamo attentamente i triangoli isoperimetrici ABC e ci poniamo la domanda: sono anche equiestesi?
A questo punto diventa molto utile un software di geometria dinamica per poter disegnare mediante
un’animazione tutti questi triangoli isoperimetrici con il vertice C che traccia l’ellisse.
Di questa animazione continua è opportuno fissare alcune “istantanee” che stamperemo poi su carta per
misurare con cura base e altezza di alcuni triangoli.
Come si osserva dalle immagini i triangoli isoperimetrici non sono equiestesi, poiché hanno la stessa base
AB, ma diversa altezza (segmento verticale verde): l’area è massima quando il vertice C è l’estremo del
semiasse minore dell’ellisse (situazione 3) e addirittura si annulla quando il vertice C è l’estremo del
semiasse maggiore.
Triangoli equiestesi
Consideriamo due rette parallele, alla prima delle quali appartenga la base comune a tutti i triangoli
equiestesi e alla seconda delle quali appartengano i vertici di tutti questi triangoli.
Ricordiamo che l’altezza di un triangolo è il segmento di perpendicolare condotto dal vertice ad un lato
opposto (è la distanza tra le due parallele).
I triangoli di base AB e di vertici V,V1,V2,V3 sono equiestesi essendo la metà di parallelogrammi equivalenti
(potremmo anche stabilire l’equivalenza dei triangoli applicando il principio di Cavalieri alle figure piane).
Non sono isoperimetrici: il triangolo isoscele azzurro è quello di perimetro minimo: il perimetro aumenta
più il vertice del triangolo considerato è distante dal vertice del triangolo isoscele.
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