Teoria dei Giochi

Teoria dei Giochi
Dr. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., London)
Università degli Studi della Calabria
Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata
a.a 2011/2012
Handout 1
1
Nozioni introduttive
La teoria dei giochi racchiude modelli matematici per studiare i con‡itti o la
cooperazione tra agenti che sono ragionevolmente razionali. Un gioco è una
rappresentazione formale di una situazione in cui un certo numero di individui
interagisce in un contesto di interdipendenza strategica. In tali situazioni il benessere di un agente dipende non solo dalle azioni che egli decide di compiere ma
anche dalle azioni degli altri agenti. Inoltre, le azioni che egli considera come le
migliori da intraprendere dipendono da cosa egli si aspetta riguardo al comportamento degli altri individui. Noi considereremo principalmente i problemi di
interazione strategica che riguardano gli agenti economici (governo, banca centrale, imprese, lavoratori). In generale, cercheremo di illustrare ogni situazione
di interazione strategica riferendoci in generale a dei giocatori (players), e successivamente forniremo esempi di rilevanza Economico-Aziendale. Da questo
punto di vista, il corso potrebbe chiamarsi "Teoria dei Giochi ed Applicazioni".
In generale è possibile distinguere i giochi in due classi principali:
Giochi non cooperativi
Giochi cooperativi
Tale distinzione è in realtà non precisamente delineabile. Infatti, i giochi
cooperativi rappresentano situazioni di interazione strategica dove gli agenti
hanno un interesse comune nel trovare un determinato accordo (si pensi ad esempio ad un compratore e ad un venditore che devono accordarsi sul prezzo di
un bene). I giochi cooperativi suppongono che, prima di fare l’o¤erta sul prezzo
di vendita e sul prezzo di acquisto (e cioè prima che il gioco venga giocato), gli
individui si incontrino e discutano cercando di trovare l’accordo. Nei giochi non
cooperativi, invece, si suppone che i due agenti facciano le loro o¤erte/richieste
all’interno del gioco. Ma, allo stesso tempo, nei giochi non cooperativi è possibile modellare la presenza di un gioco più grande nella quale vengono studiate
le varie proposte precontrattuali come azioni strategiche inglobando la fase di
1
"contrattazione" all’interno di un gioco non cooperativo fuori dal quale non è
possibile fare altra pre-contrattazione. Per questo motivo lo studio dei giochi
non cooperativi è considerato solitamente più importante. In questo corso ci
occuperemo solo di giochi non cooperativi.
E’utile distinguere i giochi anche in base alla seguente distinzione:
Giochi a somma zero
Giochi non a somma zero
Un gioco è a somma zero se gli interessi degli agenti sono completamente
opposti, ovvero se massimizzare il risultato di un giocatore equivale a minimizzare il risultato dell’altro. Un esempio di gioco a somma zero è il così detto
gioco dei matching-pennies. Due individui hanno in mano una moneta ciascuno
e la mettono su un tavolo simultaneamente scegliendo il lato da mostrare. Se le
facce delle due monete sono uguali (due teste a due croci) l’individuo 2 paga un
dollaro all’individuo 1, mentre se le due facce sono diverse, l’individuo 1 paga
un dollaro all’individuo 2. Rappresentiamo tale situazione nella forma seguente:
Il gioco dei Matching-pennies
Individuo 1
testa
croce
Individuo 2
testa croce
1, -1 -1, 1
-1, 1 1, -1
Tale rappresentazione è detta in forma normale o forma strategica. Essa
è rappresentata dalla matrice dei payo¤ , dai possibili risultati (payo¤ s) per i
giocatori e dalle strategie che i giocatori possono scegliere. Tale gioco è a somma
zero poichè la somma dei payo¤s in ogni possibile combinazione di strategie è
pari a zero. Non tutti i giochi sono a somma zero. Ad esempio il seguente gioco,
che rappresenta il dilemma del prigioniero in forma normale, non è un gioco
a somma zero, e non rappresenta, come il precedente, una situazione di puro
con‡itto:
Il dilemma del prigioniero
Individuo 1
confessa
non confessa
Individuo 2
confessa non confessa
-6, -6
0, -10
-10, 0
-1, -1
Inoltre, consideriamo il problema dell’incontro tra due persone che non ricordano dove si sono date appuntamento a New York. Ad esempio i due individui
non ricordano se avevano deciso di andare alla Metropolitan Opera House oppure
al MoMa. Loro vogliono incontrarsi perchè vogliono vedere l’opera o visitare il
museo insieme, così come illustrato di seguito.
2
Il problema del coordinamento
Individuo 1
Metropolitan
MoMa
Individuo 2
Metropolitan
MoMa
100, 100
20, 20
20, 20
100, 100
Si tratta di una situazione dove non c’è nessun con‡itto. Gli interessi degli
agenti sono completamente allineati. Ma l’utilità di ogni individuo dipende da
cosa farà l’altro e, ancora più importante, l’azione di ogni individuo dipenderà
da cosa egli pensa che l’altro farà. Quindi anche il semplice coordinamento tra
persone che hanno lo stesso interesse ha natura strategica. La teoria dei giochi
permette di analizzare tutte le situazioni di puro con‡itto, di con‡itto parziale
e le situazioni di coordinamento tra agenti.
1.1
Gli ingredienti di un gioco in forma normale
1. Giocatori i = 1; 2; :::n
2. L’insieme delle strategie Si per ogni giocatore i. Una strategia tipica
è indicata da si 2 Si :
3. La funzione dei payo¤ (una funzione di utilità) i : Si S i ! R per
ogni giocatore i, dove S i = nj=1 Sj 8j 6= i: Un tipico elemento di S i è
indicato da s i : In altre parole, il payo¤ è funzione delle strategie giocate:
i = i (si ; s i ):
Possiamo quindi riassumere un gioco come l’aggregazione di questi tre elementi. Formalmente:
G = (Si ;
n
i )i=1
(1)
In generale indichiamo con S = ni=1 Si come l’insieme di tutte le strategie
di tutti gli n giocatori.
E’importante notare che l’elemento si 2 Si rappresenta un piano di azione
(o regola decisionale) per ogni possibile contingenza in cui il giocatore
i è chiamato a decidere nel gioco G:
Si tratta di capire che una strategia deve dire che cosa fare ad ogni possibile livello decisionale. Per capire meglio, consideriamo il dilemma del prigioniero illustrato sopra. In quel gioco ogni giocatore ha due possibili azioni per
un totale di Si S i = 4 possibili risultati o strategie (azioni data l’azione
dell’avversario). Consideriamo adesso il caso in cui il dilemma del prigioniero
sia giocato due volte consecutive con i giocatori che ricordano esattamente le
strategie precedentemente giocate (perfect recall ). Nel secondo periodo ogni giocatore può essere chiamato a giocare da 4 possibili set di informazioni. Egli ha
sempre due possibili strategie Si : Quindi per ogni nodo di informazione avremo
Si S i = 4, quindi nel complesso avremo 16 possibili strategie per ogni giocatore. Il che vuol dire un totale di 32 strategie. Quindi, se abbiamo 5 set
3
di informazioni e due azioni per giocatore, il totale delle strategie è dato da
25 = 32:
1st time
1#
4%
sets di informazioni
risultati
2nd time
4#
16
ogni giocatore ha 5 set di informazioni e 2 strategie per ogni set, questo
signi…ca che le può combinare in 2 2 2 2 2 = 25 = 32 modi. Quanti sono
i set di informazioni se il gioco è giocato 3 volte?
sets di informazioni
risultati
1st time
1#
4%
2nd time
4#
16
3th time
16
64
I set di informazioni sono 21. Il totale delle possibili strategie in un dilemma
del prigioniero giocato 3 volte è pari a 221 = 2097152! Questo ci serve a capire
che quando aumenta il numero dei nodi a cui un individuo è chiamato a giocare,
la de…nizione di tutte le combinazioni dei suoi possibili comportamenti aumenta
in maniera incontrollabile. La teoria dei giochi ci aiuta a modellare tali situazioni. (Sapreste dire quanti sono i set di informazioni se il gioco del dilemma
del prigioniero è ripetuto tre volte ma ogni giocatore ricorda solo le sue azioni
e non quelle dell’avversario?).
1.2
Gli ingredienti di un gioco in forma estesa
1) Giocatori
2) Nodo iniziale (no predecessori, rappresentato da un cerchio vuoto);
3) Nodi successori
4) Payo¤s
Per quanto riguarda i giochi sopra illustrati (matching pennies, dilemma del
prigioniero o gioco del meeting in New York), quando questi vengono rappresentati in forma estesa, i nodi successori, in cui il giocatore 2 è chiamato a giocare
non sono in realtà "staccati" dal nodo precedente, in quanto i due giocatori
stanno giocando simultaneamente. Per capire meglio, tali nodi sarebbero staccati se il gioco fosse in due fasi (se fosse un gioco dinamico, la cui tipologia verrà
studiata in dettaglio più avanti). Consideriamo il Matching-pannies game. Se il
gioco fosse dinamico, avremmo che il giocatore 1 mette per primo la sua moneta
sul tavolo, dopo di che, il giocatore 2 osserva la scelta del giocatore 1 e sceglie
il lato della sua moneta (un bel gioco per il giocatore 2!).
Per indicare invece, che la scelta dell’azione avviene simultaneamente tra
i due giocatori, si "cerchiano" i nodi che "appartengono" al nodo precedente.
Tutti i nodi che in una rappresentazione in forma estesa non sono cerchiati
sono intesi essere singletoni, ovvero sono singoli set di informazione.
4
Figure 1: Matching pennies sequenziale
1.3
Strategie miste
Un elemento si 2 Si è detto strategia pura. Gli individui possono giocare a
caso su tutti gli elementi di Si ovvero giocare con una certa probabilità tutte le
strategie che egli ha a disposizione. Tale "randomizzazione" sulle strategie pure
è detta strategia mista o mixed strategy (nel gioco dei matching pennies simultaneo, ad esempio, un giocatore non sceglie quale lato della moneta giocare ma la
lancia per aria. Egli sta giocando una strategia mista che attribuisce una probabilità di 1=2 a entrambe le sue strategie pure. L’insieme delle strategie miste
del giocatore i, indicato da Si è l’insieme della distribuzione di probabilità su
Si:
In presenza di strategie miste i payo¤ degli individui sono dati dai valori
attesi dati i payo¤ originali (la funzione di utilità che è contenuta nella matrice
soddisfa tale condizione). Il generico gioco con strategie miste derivato da un
gioco G = (Si ; i )ni=1 in strategie pure, è indicato con la seguente forma:
G = ( Si ; E[ i ])ni=1
(2)
In un gioco con due giocatori dove ognuno ha due strategie, la situazione
può essere rappresentata come segue:
5
Figure 2: Matching pennies simultaneo
Player 1
1
Player
p2
A2
A1 1, 0
B1 0, 1
p1
p1
2
1
p2
B2
0, 1
1, 0
con pi 2 [0; 1] per ogni i:
La coppia [pi ; (1 pi )] è una tipica strategia mista per il giocatore i: L’insieme
delle strategie miste è dato da.
Si = f(p; 1
p) j p 2 [0; 1]g
(3)
Una strategia pura è una strategia mista a cui è assegnata una probabilità
p = 1:
Quale è il payo¤ atteso dal giocatore 1 in tale gioco?
Informalmente, il giocatore 1 sta "randomizzando" (così come il giocatore
2). Il risultato di tale processo sarà:
E[
1 (p1 ; p2 )]
= p1 p2 (1) + p1 (1 p2 )(0) + (1
= p1 p2 + (1 p1 )(1 p2 ):
p1 )p2 (0) + (1
p1 )(1
p2 )(0)
E’ovvio che nel caso di un giocatore con due strategie la sua distribuzione
di probabilità può essere semplicemente espressa con pi ed 1 pi (vedi relazione
6
(3)): Ma abbiamo bisogno di poter generalizzare anche al caso in cui un giocatore
ha più di 2 strategie sulle quali distribuisce la sua probabilità. In generale
indichiamo una strategia mista con i 2 Si : Se Si è un insieme …nito, noi
avremo che i è tale che:
X
(4)
i (si ) = 1:
si 2Si
Con questa notazione, possiamo scrivere una de…nizione più corretta di profitto atteso (expected payo¤). In particolare per ogni ( i ; i ), avremo che il
payo¤ atteso per il giocatore i è dato da:
X
(si ; s i ) i (si ) i (s i )
(5)
E[ i ( i ; i )] =
si 2Si ;s
i 2S
i
Nei giochi in forma estesa ogni giocatore può generare una distribuzione di
probabilità su tutte le sue strategie o ad ogni nodo di ogni set di informazioni.
Questo ultimo caso è noto come strategia comportamentale (behavioural strategies, do noi non studiate in questo corso. Ad ogni modo nei giochi con perfect
recall le strategie comportamentali e le strategie miste coincidono.).
1.4
Conoscenza (knowledge) ed informazione
E’fondamentale stabilire cosa i giocatori conoscono in un gioco. Abbiamo già
detto che si assume che ogni giocatore ricorda tutte le strategie giocate (da lui
e dagli altri) nel passato (perfect recall). Diamo le seguenti de…nizioni.
Un evento si de…nisce common knowledge se è noto a tutti i giocatori, se
tutti i giocatori sanno che tale elemento è noto a tutti i giocatori, se tutti i
giocatori sanno che tutti i giocatori sanno che tale elemento è noto a tutti i
giocatori e se tutti i giocatori sanno.......ad in…nitum.
Un gioco è un gioco ad informazione completa se la struttura del gioco è
common knowldge.
Un gioco è detto essere ad informazione perfetta se tutti i set di informazioni
sono singletoni (le mosse passate sono perfettamente osservate).
Nota che un gioco ad informazione imperfetta con informazione completa è
un gioco la cui struttura è nota a tutti e che al suo interno prevede un’asimmetria
informativa (in forma estesa, due nodi non singletoni e la struttura del gioco
perfettamente nota a tutti i giocatori). Come vedremo più avanti, un gioco
con informazione incompleta (ad esempio un individuo non sa quale gioco sta
giocando, mentre l’altro individuo sa che gioco sta giocando e sa che l’altro giocatore non sa che gioco sta giocando) può essere trasformato, secondo l’approccio
di Harsanyi (premio nobel) in un gioco con informazione imperfetta ma completa.
Esercizi
1) a. Si descrivino in forma normale ed in forma estesa il seguente gioco:
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Giocatori: 2 imprese
Regole: L’impresa 1 inizialmente deve decidere se entrare o non in un
mercato. Se l’impresa 1 non entra, il gioco …nisce e l’impresa 2 che è già nel
mercato si gode un pro…tto di monopolio di 2000 euro e l’impresa 1 prende zero
pro…tti. Se l’impresa 1 entra, l’impresa 2 deve decidere se fare la concorrenza
(…ght) contro l’impresa 1 oppure se dividere il mercato (share). Se l’impresa 2
decide di fare la guerra con l’impresa 1 entrambe avranno una perdita di 1000
euro. Se invece l’impresa 2 decide di dividere il mercato con il nuovo entrato,
entrambi faranno un pro…tto di 1000.
b. Come si modi…cano le rappresentazioni se lo scenario prevedesse
che dopo l’entrata nel mercato entrambe le imprese devono decidere se farsi la
guerra o cooperare? (si assumano payo¤ a piacere). (Suggerimento: fare prima
la forma estesa).
2) In un gioco dove un giocatore i ha N set di informazioni con n = 1; 2; :::N
e Mn possibili azioni ad ogni set n, quante strategie ha il giocatore i?
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