Oscillatori in bassa frequenza

OSCILLATORI IN BASSA FREQUENZA
CON AMPLIFICATORE OPERAZIONALE
INDICE
PROGETTO E VERIFICA DI OSCILLATORI A PONTE DI WIEN ……………..….. pag. 1
PROGETTO E VERIFICA DI OSCILLATORI A PONTE DI WIEN ……………..….. pag. 5
PROGETTO E VERIFICA DI OSCILLATORI A RETE DI SFASAMENTO …..…… pag. 8
OSCILLATORE CON RETE A DOPPIO T ………………………………..……………. pag.15
OSCILLATORE A T PONTATO …………………………………………..…………….. pag. 19
APPENDICE. RISOLUZIONE DEI CIRCUITI ………………………..………………. Pag. 22
OSCILLATORI IN BASSA FREQUENZA CON AMPLIFICATORE OPERAZIONALE
PROGETTO E VERIFICA DI OSCILLATORI A PONTE DI WIEN
Circuito I
Circuito II
Sigle e valori dei componenti
Circuito I:
C = 4,7ηF ; R = 12kΩ ; R1 = 39kΩ ; R2 = 100kΩ ; RT = 20kΩ ;
DZ : VZK = 4,7V ; IC : TL081
Circuito II:
C = 4,7ηF ; R = 12kΩ ; R1 = 39kΩ ; R2 = 100kΩ ; RT = 20kΩ ;
DZ : VZK = 4,7V ; D : 1N4148 ; IC : TL081
1
Strumenti e apparecchiature
Alimentatore duale a tensione fissa ±12V ; oscilloscopio doppia traccia ; basetta di bread-board.
Richiami teorici
La frequenza di oscillazione è: f o =
R ⎞
1
⎛
. Condizione di oscillazione: R 2 = 2⎜ R 1 + T ⎟ .
2 ⎠
2πRC
⎝
Circuito I
Si ottiene la limitazione dell’ampiezza della tensione d’uscita mediante due diodi zener in antiserie,
usati come limitatori dell’ampiezza dell’uscita.
Poiché
VZ + Vγ =
R2
VoM
RT
R1 +
+ R2
2
In ogni caso risulterà
Pertanto, deve risultare:
VoM
⇒
VoM
R
⎛
⎜ R1 + T
2
= (VZ + Vγ )⎜1 +
R2
⎜
⎜
⎝
R
⎛
⎜ R1 + T
2
≤ (VZ + Vγ )⎜1 +
R2
⎜
⎜
⎝
VZ + Vγ ≥
⎞
⎟ 3
⎟ = (VZ + Vγ ) .
⎟ 2
⎟
⎠
⎞
⎟ 3
⎟ = (VZ + Vγ ) .
⎟ 2
⎟
⎠
R2
2
VoM = VoM .
R
3
R1 + T + R 2
2
Circuito II
La limitazione dell’ampiezza d’uscita viene ottenuta mediante quattro diodi disposti a ponte
inframmezzati da un diodo zener (al fine di ottenere la voluta ampiezza d’uscita), sempre in
conduzione inversa. Durante la semionda positiva, quando l’ampiezza d’uscita raggiunge il valore
VoM, vanno in conduzione diretta i diodi D1 e D2 ed in conduzione inversa il diodo DZ; sono
polarizzati inversamente i diodi D3 e D4. Durante la semionda negativa, quando l’ampiezza d’uscita
raggiunge il valore -VoM, vanno in conduzione diretta i diodi D3 e D4 ed in conduzione inversa il
diodo DZ; sono polarizzati inversamente i diodi D1 e D2. In entrambi i casi la tensione ai capi di R2 è
limitata al valore ± (VZ + 2Vγ ) .
Poiché
VoM
R
⎛
⎜ R1 + T
2
≤ (VZ + 2Vγ )⎜1 +
R2
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟ 3
⎟ = (VZ + 2Vγ )
⎟ 2
⎟
⎠
anche l’ampiezza della tensione
d’uscita risulterà limitata, comunque deve risultare VZ + 2Vγ ≥
2
2
VoM .
3
Tale soluzione, come limitazione dell’ampiezza della tensione d’uscita, dovrebbe risultare miglio
dell’altra in quanto le caratteristiche dei diodi zener in antiserie potrebbero risultare leggermente
diverse, provocando dissimmetria tra le semionde positive e le negative.
Dimensionamento del circuito
Si fissa la frequenza fo a 3kHz.
Calcolo di R e C
fo =
Poiché
1
2πRC
⇒
Si fissa C = 4,7ηF e si calcola
RC =
R=
1
1
=
= 53,05µs .
2πf o 2π ⋅ 3 ⋅ 10 3
53,05 ⋅ 10 −6 53,05 ⋅ 10 −6
=
= 11,287 kΩ ,
C
4,7 ⋅ 10 −9
valore commerciale 12kΩ.
Calcolo di R1 , R2 , RT
Poiché
R ⎞
⎛
R 2 = 2⎜ R 1 + T ⎟
2 ⎠
⎝
e si calcola
⇒
R1 +
RT R2
; si fissa R2 = 100kΩ e R1 = 39kΩ
=
2
2
R T = R 2 − 2R 1 = 100 ⋅ 10 3 − 2 ⋅ 39 ⋅ 10 3 = 22kΩ , valore commerciale RT = 22kΩ.
Scelta dei diodi
Circuito I
VZ + Vγ ≥
2
VoMAX ;
3
⇒
VZ ≥
si fissa VoMAX = 6V e Vγ = 0,7V
⇒
2
2
VoMAX − Vγ = 6 − 0,7 = 3,3V
3
3
Si utilizzano diodi zener da 4,7V.
Circuito II
VZ + 2Vγ ≥
2
VoMAX ;
3
⇒
VZ ≥
si fissa VoMAX = 6V e Vγ = 0,7V
⇒
2
2
VoMAX − 2Vγ = 6 − 2 ⋅ 0,7 = 2,6V
3
3
Si utilizza un diodo zener da 4,7V.
Si assume, per gli zener, un valore nominale nettamente maggiore di 3,3V e 2,6V perché, essendo
basso il valore di VZK, il ginocchio della transcaratteristica inversa è meno accentuato e lo zener
entra in conduzione, gradualmente, ben al di sotto di 4,7V (a circa 3,5V ÷ 4V si avrà la limitazione
della tensione d’uscita).
3
Procedimento di verifica
1. Si monta e si alimenta il circuito I, e si collega il canale CH1 dell’oscilloscopio all’uscita, pin
6.
2. Si agisce sul trimmer RT per verificare l’innesco e il disinnesco dell’oscillazione d’uscita.
3. Si regola RT fino ad ottenere una oscillazione d’uscita stabile e di forma sinusoidale.
1
.
4. Si misura l’ampiezza positiva e negativa e il periodo To. Si calcola la frequenza come f o =
To
5. Si ripetono i punti da 1 a 4 per il circuito II.
Valori misurati
Circuito I
Dopo avere verificato l’innesco e il disinnesco dell’oscillazione, si regola il trimmer fino ad
ottenere un oscillogramma stabile e un’onda sinusoidale indistorta. Si effettuano le misure.
Ampiezza:
Periodo:
VoMAX = 3,2V
To = 0,42ms
⇒
fo =
1
1
=
= 2,38kHz
To 0,42 ⋅ 10 −3
Circuito II
Dopo avere verificato l’innesco e il disinnesco dell’oscillazione, si regola il trimmer fino ad
ottenere un oscillogramma stabile e un’onda sinusoidale indistorta. Si effettuano le misure.
Ampiezza:
Periodo:
VoMAX = 2V
To = 0,39ms
⇒
fo =
1
1
=
= 2,56kHz
To 0,39 ⋅ 10 −3
4
PROGETTO E VERIFICA DI OSCILLATORI A PONTE DI WIEN
Circuito con limitatore a diodi zener
Circuito con limitatore di precisione di guadagno
Sigle e valori dei componenti
Circuito I:
C = 10ηF ; R = 12kΩ ; R1 = 10kΩ ; RT = 5kΩ ; DZ : VZK = 4,6V ; IC : TL082.
Circuito II:
C = 4,7ηF ; R = 12kΩ ; R1 = 10kΩ ; R2 = 27kΩ ; R3 = 82kΩ ; RT = 5kΩ ;
D : 1N4148 ; IC : TL082.
Strumenti e apparecchiature
Alimentatore duale a tensione fissa ±12V ; oscilloscopio doppia traccia ; basetta di bread-board.
5
Richiami teorici
1
2πRC
fo =
La frequenza di oscillazione è:
R = R1 +
e
RT
.
2
Circuito I: Il ramo contenente i diodi zener entra in conduzione, limitando l’ampiezza della
tensione d’uscita, quando Vo = ±(VZ + Vγ ) .
Circuito II: Il ramo contenente il diodo entra in conduzione quando VD = Vγ, per una tensione
d’uscita Vo = VoS:
Vγ =
R3
R2
VCC
VoS −
R2 + R3
R2 + R3
⇒
R 2 Vγ + R 3 Vγ = R 3 VoS − R 2 VCC
R 2 (Vγ + VCC ) = R 3 (VoS − Vγ )
⇒
⇒
⇒
R 3 Vγ + VCC
=
.
R 2 VoS − Vγ
Dimensionamento del circuito
Circuito I: si fissa la frequenza fo a 1kHz.
Calcolo di R e C:
poiché
fo =
1
2πRC
⇒
RC =
1
1
=
= 159,15µs .
2πf o 2π ⋅ 1 ⋅ 10 3
159,15 ⋅ 10 −6 159,15 ⋅ 10 −6
R=
= 15,915kΩ ,
=
C
10 ⋅ 10 −9
Si fissa C = 10ηF e si calcola
valore commerciale 15kΩ.
Calcolo di R1 e RT: poiché
R1 +
(
RT
= R = 15,915kΩ , si fissa R1 = 12kΩ
2
e si calcola RT:
)
R T = 2(R − R 1 ) = 2 ⋅ 15 ⋅ 10 3 − 12 ⋅ 10 3 = 6kΩ , valore commerciale RT = 5kΩ.
Al fine di ottenere un’ampiezza d’uscita di circa 5V, si utilizzano due diodi zener da 4,6V.
Circuito II: si fissa la frequenza fo a 3kHz.
Calcolo di R e C:
poiché
fo =
Si fissa C = 4,7ηF e si calcola
1
2πRC
⇒
RC =
1
1
=
= 53,05µs .
2πf o 2π ⋅ 3 ⋅ 10 3
53,05 ⋅ 10 −6 53,05 ⋅ 10 −6
= 11,287 kΩ ,
R=
=
C
4,7 ⋅ 10 −9
valore commerciale 12kΩ.
6
Calcolo di R1 e RT: poiché
R1 +
RT
= R = 12kΩ , si fissa R1 = 10kΩ
2
(
e si calcola RT:
)
R T = 2(R − R 1 ) = 2 ⋅ 12 ⋅ 10 3 − 10 ⋅ 10 3 = 4kΩ , valore commerciale RT = 5kΩ.
Calcolo di R2 e R3: con
e si calcola il rapporto
R 3 Vγ + VCC
=
; si fissa VosenMax = VoS = 5V ; Vγ = 0,7V ; VCC = 12V ,
R 2 VoS − Vγ
R3
:
R2
R 3 Vγ + VCC 0,7 + 12
=
=
= 2,95
R 2 VoS − Vγ
5 − 0,7
Si fissa il valore R2 = 27kΩ
commerciale R3 = 82kΩ.
⇒
R 3 = 2,95R 2 .
R 3 = 2,95R 2 = 2,95 ⋅ 27 ⋅ 10 3 = 79,15kΩ ,
e si calcola
valore
Procedimento di verifica
1. Si monta e si alimenta il circuito I, e si collega il canale CH1 dell’oscilloscopio al pin 7 e il
canale CH2 al pin 1.
2. Si agisce sul trimmer RT per verificare l’innesco e il disinnesco dell’oscillazione.
3. Si regola RT fino ad ottenere una oscillazione d’uscita stabile e di forma sinusoidale.
1
4. Si misura l’ampiezza di Vosen e di Vocos , e il periodo To. Si calcola la frequenza come f o =
.
To
5. Si misura il ∆t di anticipo di Vocos rispetto a Vosen , e si calcola lo sfasamento come ϕ = 360f o ∆t .
6. Si passa alla funzione XY dell’oscilloscopio e si verifica che la figura di Lissajouse che si
ottiene è un cerchio (segnali in quadratura).
7. Si ripetono i punti da 1 a 6 per il circuito II.
Valori misurati
Circuito I
Dopo avere verificato l’innesco e il disinnesco dell’oscillazione, si regola il trimmer fino ad
ottenere un oscillogramma stabile e un’onda sinusoidale indistorta. Si effettuano le misure.
Ampiezza:
VosenMax = 3,2V ; VocosMax = 4,3V.
Periodo:
To = 0,84ms
Fase:
∆t = 0,201ms
⇒
⇒
fo =
1
1
=
= 1,19kHz .
To 0,84 ⋅ 10 −3
ϕ = 360°f o ∆t = 360° ⋅ 1,19 ⋅ 10 3 ⋅ 0,201 ⋅ 10 −3 = 86,1° .
Il valore ottenuto è di circa 90°; la differenza è dovuta al rilievo oscillografico, che introduce
sensibili errori di valutazione e lettura.
7
Circuito II
Dopo avere verificato l’innesco e il disinnesco dell’oscillazione, si regola il trimmer fino ad
ottenere un oscillogramma stabile e un’onda sinusoidale indistorta. Si effettuano le misure.
Ampiezza:
VosenMax = 5V ; VocosMax = 4,8V.
⇒
Periodo:
To = 0,4ms
Fase:
∆t = 0,1025ms
fo =
⇒
1
1
=
= 2,5kHz .
To 0,4 ⋅ 10 −3
ϕ = 360°f o ∆t = 360° ⋅ 2,5 ⋅ 10 3 ⋅ 0,1025 ⋅ 10 −3 = 92,25° .
Il valore ottenuto è di circa 90°; la differenza è dovuta al rilievo oscillografico, che introduce
sensibili errori di valutazione e lettura.
8
PROGETTO E VERIFICA DI OSCILLATORI A RETE DI SFASAMENTO
Circuito I
Sigle e valori dei componenti
C = 3x10ηF ; R = 3x2,2kΩ ; RP = 100kΩ ; IC : TL081.
Strumenti e apparecchiature
Alimentatore duale a tensione fissa ±12V ; oscilloscopio doppia traccia ; basetta di bread-board.
Richiami teorici
La frequenza di oscillazione è:
fo =
1
e
2π 6RC
RP
A = − 2 = −29 .
R
Dimensionamento del circuito
Si fissa la frequenza fo a 3kHz.
Calcolo di R e C: poiché
fo =
Si fissa C = 10ηF e si calcola
1
2π 6RC
R=
⇒
RC =
1
2 π 6f o
=
1
2π ⋅ 6 ⋅ 3 ⋅ 10 3
= 21,66µs .
21,66 ⋅ 10 −6 21,66 ⋅ 10 −6
=
= 2,166kΩ ,
C
10 ⋅ 10 −9
valore commerciale 2,2kΩ.
Calcolo di RP: poiché
RP
A = − 2 = −29
R
⇒
R P = 58R = 58 ⋅ 2,2 ⋅ 10 3 = 127,6kΩ ,
9
valore commerciale RP = 100kΩ.
Procedimento di verifica
1. Si monta e si alimenta il circuito, e si collega il canale CH1 dell’oscilloscopio all’uscita pin 6.
2. Si agisce sul potenziometro RP per verificare l’innesco e il disinnesco dell’oscillazione.
3. Si regola RP fino ad ottenere una oscillazione d’uscita stabile e di forma sinusoidale.
1
.
4. Si misura l’ampiezza di Vo e il periodo To. Si calcola la frequenza come f o =
To
Valori misurati
Dopo avere verificato l’innesco e il disinnesco dell’oscillazione, si regola il potenziometro fino ad
ottenere un oscillogramma stabile e un’onda sinusoidale indistorta. Si effettuano le misure.
Ampiezza:
Periodo:
VosenMax = 11V.
To = 0,4ms
⇒
fo =
1
1
=
= 2,5kHz .
To 0,4 ⋅ 10 −3
Circuito II
Questo circuito, essendo uno degli operazionali in configurazione di derivatore invertente, consente
di ottenere una uscita addizionale in quadratura.
10
Sigle e valori dei componenti
C = 3x3,3ηF ; R = 2x27kΩ ; R3 = 270kΩ ; RT1 = 100kΩ ; R4 = 150kΩ ; RT2 = 50kΩ ;
R1 = 27kΩ ; R2 = 82kΩ ; D : 2x1N4148 ; IC : TL082.
Strumenti e apparecchiature
Alimentatore duale a tensione fissa ±12V ; oscilloscopio doppia traccia ; basetta di bread-board.
Richiami teorici
La frequenza di oscillazione è:
fo =
La tensione ai capi del diodo è:
Vγ =
1
2π 3RC
R 3 + αR T1 = 12R .
e
R1
R2
(− VCC )
Vosen +
R1 + R 2
R1 + R 2
Il diodo entra in conduzione quando VD = Vγ, per una tensione d’uscita Vosen = VoS:
Vγ =
R1
R2
VCC
VoS −
R1 + R 2
R1 + R 2
⇒
⇒
R 1 Vγ + R 2 Vγ = R 2 VoS − R 1 VCC
R 1 (Vγ + VCC ) = R 2 (VoS − Vγ )
⇒
R 2 Vγ + VCC
.
=
R 1 VoS − Vγ
⇒
Le ampiezze di Vosen e di Vocos devono essere uguali. Essendo:
VosenM = ωo (R 3 + αR T1 ) ⋅ C ⋅ VAM = ωo ⋅ 12RC ⋅ VAM =
⇒
R 4 + βR T 2
12
VAM =
VAM
R
3
12
3
⇒
VAM e Vo cos M =
R 4 + βR T 2 =
12
3
R 4 + βR T 2
VAM ⇒
R
R
Dimensionamento del circuito
Si fissa la frequenza fo a 1kHz.
Calcolo di R e C:
poiché
fo =
Si fissa C = 3,3ηF e si calcola
1
2π 3RC
R=
⇒
RC =
1
2π 3f o
=
1
2π ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 10 3
91,9 ⋅ 10 −6 91,9 ⋅ 10 −6
= 27,84kΩ ,
=
C
3,3 ⋅ 10 −9
valore commerciale 27kΩ.
11
= 91,9µs .
1
Con tali valori:
fo =
Calcolo di R3 e RT1:
poiché
2π 3RC
=
1
= 1,03kHz
2π ⋅ 3 ⋅ 27 ⋅ 10 3 ⋅ 3,3 ⋅ 10 −9
R 3 + αR T1 = 12R = 324kΩ , si fissa α = 0,5 e R3 = 270kΩ ⇒
(
)
R T1 = 2(12R − R 3 ) = 2 ⋅ 12 ⋅ 27 ⋅ 10 3 − 270 ⋅ 10 3 = 108kΩ , valore commerciale RT = 100kΩ.
Calcolo di R4 e RT2:
R 4 + βR T 2 =
poiché
si fissa β = 0,5 e R4 = 150kΩ
⇒
12R
3
=
12 ⋅ 27 ⋅ 10 3
3
= 187,06kΩ ,
⎛ 12R
⎞
R T 2 = ⎜⎜
− R 4 ⎟⎟ ⋅ 2 = 187,06 ⋅ 10 3 − 150 ⋅ 10 3 ⋅ 2 = 37,04kΩ ,
⎝ 3
⎠
(
)
valore commerciale RT2 = 50kΩ.
Calcolo di R1 e R2: si fissa VosenM = VoS = 5V ; Vγ = 0,7V ; VCC = 12V.
R 2 Vγ + VCC 0,7 + 12
=
= 2,95
=
R 1 VoS − Vγ
5 − 0,7
Si fissa il valore R1 = 27kΩ
commerciale R2 = 82kΩ.
Con tali valori:
e si calcola
⇒
R 2 = 2,95R 1 .
R 2 = 2,95R 1 = 2,95 ⋅ 27 ⋅ 10 3 = 79,15kΩ ,
valore
⎛
⎛ 27 ⋅ 10 3 ⎞
R ⎞
R
27 ⋅ 10 3
⎟
VosenM = ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟Vγ + 1 VCC = ⎜⎜1 +
⋅
0
,
7
+
⋅ 12 = 4,88V .
3 ⎟
R2
82 ⋅ 10 3
⎝ 82 ⋅ 10 ⎠
⎝ R2 ⎠
Procedimento di verifica
1. Si monta e si alimenta il circuito, e si collega il canale CH1 dell’oscilloscopio al pin 1 e il canale
CH2 al pin 7.
2. Si agisce sul trimmer RT1 per verificare l’innesco e il disinnesco dell’oscillazione.
3. Si regola RT1 fino ad ottenere una oscillazione d’uscita stabile e di forma sinusoidale.
4. Si regola RT2 fino ad ottenere per Vocos la stessa ampiezza di Vosen.
1
.
5. Si misura l’ampiezza di Vosen e di Vocos , e il periodo To. Si calcola la frequenza come f o =
To
6. Si misura il ∆t di anticipo di Vocos rispetto a Vosen , e si calcola lo sfasamento come ϕ = 360f o ∆t .
7. Si passa alla funzione XY dell’oscilloscopio e si verifica che la figura di Lissajouse che si
ottiene è un cerchio (segnali in quadratura).
Valori misurati
Dopo avere verificato, agendo su RT1, l’innesco e il disinnesco dell’oscillazione, si regola tale
trimmer fino ad ottenere un oscillogramma stabile e un’onda sinusoidale indistorta. Si tara RT2 fino
a ottenere una ampiezza Vocos uguale a quella di Vosen. L’ampiezza con onda non distorta che si
ottiene è al massimo di 4,6V.
12
Si sostituisce il potenziometro di 100kΩ con uno di 220kΩ. Il segnale indistorto risulta lo stesso.
Si reinserisce il potenziometro di 100kΩ.
Si regola RT1 fino ad ottenere un’ampiezza d’uscita di 4,4V e segnale stabile e indistorto. Si regola
RT2 fino ad ottenere la stessa ampiezza per i due segnali (Vosen e Vocos).
Passando alla scansione XY si ottiene, come figura di Lissajouse, un cerchio, ossia i due segnali
sono in quadratura (sfasati di 90°). I valori misurati sono i seguenti:
Ampiezza:
VosenMax = VocosMax = 4,4V.
⇒
Periodo:
To = 0,9ms
Fase:
∆t = 0,22ms
fo =
1
1
=
= 1,11kHz .
To 0,9 ⋅ 10 −3
ϕ = 360°f o ∆t = 360° ⋅ 1,11 ⋅ 10 3 ⋅ 0,22 ⋅ 10 −3 = 87,91° .
⇒
Il valore ottenuto è di circa 90°; la differenza è dovuta al rilievo oscillografico, che introduce
sensibili errori di valutazione e lettura.
Stesso circuito con frequenza fo = 2kHz
Sigle e valori dei componenti
C = 3x4,7ηF ; R = 2x10kΩ ; R3 = 100kΩ ; RT1 = 50kΩ ; R4 = 56kΩ ; RT2 = 50kΩ ;
R1 = 27kΩ ; R2 = 82kΩ ; D : 2x1N4148 ; IC : TL082.
Dimensionamento del circuito
Si fissa la frequenza fo a 2kHz.
Calcolo di R e C:
fo =
poiché
1
2π 3RC
Si fissa C = 4,7ηF e si calcola
⇒
RC =
1
2π 3f o
=
1
2π ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 10 3
= 45,94µs .
45,94 ⋅ 10 −6 45,94 ⋅ 10 −6
R=
=
= 9,77 kΩ ,
C
4,7 ⋅ 10 −9
valore commerciale 10kΩ.
1
Con tali valori:
fo =
Calcolo di R3 e RT1:
poiché
2π 3RC
=
1
2π ⋅ 3 ⋅ 10 ⋅ 10 3 ⋅ 4,7 ⋅ 10 −9
= 1,955kHz
R 3 + αR T1 = 12R = 120kΩ , si fissa α = 0,5 e R3 = 100kΩ ⇒
(
)
R T1 = 2(12R − R 3 ) = 2 ⋅ 12 ⋅ 10 ⋅ 10 3 − 100 ⋅ 10 3 = 40kΩ , valore commerciale RT = 50kΩ.
Calcolo di R4 e RT2:
poiché
R 4 + βR T 2 =
12R
3
13
=
12 ⋅ 10 ⋅ 10 3
3
= 69,28kΩ ,
si fissa β = 0,5 e R4 = 56kΩ
⎛ 12R
⎞
R T 2 = ⎜⎜
− R 4 ⎟⎟ ⋅ 2 = 69,28 ⋅ 10 3 − 56 ⋅ 10 3 ⋅ 2 = 26,26kΩ ,
⎝ 3
⎠
(
⇒
)
valore commerciale RT2 = 50kΩ.
Calcolo di R1 e R2: si fissa VosenM = VoS = 5V ; Vγ = 0,7V ; VCC = 12V.
R 2 Vγ + VCC 0,7 + 12
=
=
= 2,95
R 1 VoS − Vγ
5 − 0,7
Si fissa il valore R1 = 27kΩ
commerciale R2 = 82kΩ.
e si calcola
⇒
R 2 = 2,95R 1 .
R 2 = 2,95R 1 = 2,95 ⋅ 27 ⋅ 10 3 = 79,15kΩ ,
valore
Procedimento di verifica
1. Si monta e si alimenta il circuito, e si collega il canale CH1 dell’oscilloscopio al pin 1 e il canale
CH2 al pin 7.
2. Si agisce sul trimmer RT1 per verificare l’innesco e il disinnesco dell’oscillazione.
3. Si regola RT1 fino ad ottenere una oscillazione d’uscita stabile e di forma sinusoidale.
4. Si regola RT2 fino ad ottenere per Vocos la stessa ampiezza di Vosen.
1
.
5. Si misura l’ampiezza di Vosen e di Vocos , e il periodo To. Si calcola la frequenza come f o =
To
6. Si misura il ∆t di anticipo di Vocos rispetto a Vosen , e si calcola lo sfasamento come ϕ = 360f o ∆t .
7. Si passa alla funzione XY dell’oscilloscopio e si verifica che la figura di Lissajouse che si
ottiene è un cerchio (segnali in quadratura).
Valori misurati
Dopo avere verificato, agendo su RT1, l’innesco e il disinnesco dell’oscillazione, si regola tale
trimmer fino ad ottenere un oscillogramma stabile e un’onda sinusoidale indistorta di ampiezza
4,4V.
Si regola RT2 fino a ottenere la stessa ampiezza di 4,4V (Vocos = Vosen).
Si passa alla scansione XY e si verifica che la figura di Lissajouse è un cerchio (segnali in
quadratura). I valori misurati sono i seguenti:
Ampiezza:
VosenMax = VocosMax = 4,4V.
Periodo:
To = 0,55ms
Fase:
∆t = 0,1445ms
⇒
fo =
⇒
1
1
=
= 1,82kHz .
To 55 ⋅ 10 −3
ϕ = 360°f o ∆t = 360° ⋅ 1,82 ⋅ 10 3 ⋅ 0,1445 ⋅ 10 −3 = 94,35° .
Il valore ottenuto è di circa 90°; la differenza è dovuta al rilievo oscillografico, che introduce
sensibili errori di valutazione e lettura.
14
OSCILLATORE CON RETE A DOPPIO T
Il circuito si presenta nel seguente modo:
La rete selettiva a doppio T, o rete di Scott, è particolarmente conveniente in bassa frequenza.
V-
Vo
A frequenza zero e a frequenza infinita la rete di Scott non determina alcuno sfasamento tra la
tensione d’ingresso e la tensione d’uscita (infatti, a frequenza zero e a frequenza infinita risulta V- =
Vo). Alle basse frequenze prevale l’effetto delle capacità C dei rami in serie, che determinano uno
sfasamento positivo; alle alte frequenze prevale quello della capacità C/b di uno dei rami in
derivazione, che determina uno sfasamento negativo.
1
Si può dimostrare che la rete di sfasamento presenta un Qo ≅ 0,25 alla pulsazione ωo =
, e che,
RC
a tale pulsazione, l’attenuazione è massima e vale:
V−
2b 2 − b
=
.
Vo 2b 2 + b + 1
Nel caso che b =
V−
1
=0.
, si ottiene
Vo
2
15
1
1
l’attenuazione risulta positiva e la rete, alla pulsazione ωo, sfasa di 0°; con b <
2
2
l’attenuazione diventa negativa e la rete sfasa di 180°.
1
Se è soddisfatta la condizione b ≥ , Vo risulta in fase con V- e ha ampiezza minima.
2
Poiché, nel nostro caso, la rete a doppio T agisce sull’ingresso invertente, realizza una retroazione
negativa che risulta minima alla pulsazione ωo.
Se l’amplificazione è tale da compensare esattamente questa attenuazione, essendo presente anche
una retroazione positiva, il circuito potrà oscillare alla frequenza
Con b >
fo =
1
.
2πRC
1
viene realizzata utilizzando per R/2 un trimmer da tarare in fase
2
sperimentale. L’oscillazione si manterrà se
La condizione
b≥
B=
Le condizioni di progetto sono:
V+
R1
=
≥ 1.
Vo R 1 + R 2
R 2 << R 1 ; R 2 = 2R ; R 1 ≅ 10R 2 .
Risoluzione del circuito
ZA
A
Vo
Vo
Vo-
B
ZA’
ZC
ZC’
ZB
ZB’
V-
O
Al fine di semplificare il calcolo del circuito, trasformiamo le due stelle ABO in due triangoli.
Le regole di trasformazione sono:
2
Z2
Z3
3
ZA
2
ZC
Z1
3
ZB
1
1
Stella-triangolo
ZA =
Z1 Z 2 + Z1 Z 3 + Z 2 Z 3
Z Z + Z1 Z 3 + Z 2 Z 3
Z Z + Z1 Z 3 + Z 2 Z 3
; ZB = 1 2
; ZC = 1 2
Z1
Z2
Z3
16
ZB ZC
;
ZA + ZB + ZC
Z1 =
Triangolo-stella
ZA ZC
;
ZA + ZB + ZC
Z2 =
Z3 =
ZA ZB
ZA + ZB + ZC
Trasformazione della prima stella
R
R
2
ZA
2
3
Z3
2C
Z2
Z1
ZC
ZA =
ZB
1
1
R
3
1
1
R
R
(1 + sRC )
+R
+ R2
+ R2
s 2C
s 2C
sC
sC
=
=
= 2R (1 + sRC )
1
1
1
s 2C
s 2C
s 2C
R
+ R2
1
1
(1 + sRC) = 1 + sRC
Z B = Z C = sC
=
+R =
R
sC
sC
sC
Trasformazione della seconda stella
C
C
2
3
Z2
ZA’
2
3
Z3
Z1
R/2
ZC’
ZB’
1
1
R 1 R 1
1
R
1
⋅
+ ⋅
+ 2 2
+ 2 2
2
1
Z 'A = 2 sC 2 sC s C = sC s C = ⋅ 2 2 (1 + sRC )
R
R
R s C
2
2
R
1
+ 2 2
1
1
(1 + sRC )
Z 'B = Z 'C = sC s C = R +
=
1
sC sC
sC
2
ZA //ZA’
Vo ZC //ZC’
3
Z B // Z 'B
V− =
Vo
Z A // Z 'A + Z B // Z 'B
ZB //ZB’ V1
17
)
2
(1 + sRC) 22 2 (1 + sRC) 2(1 +2 sRC
2
2
2R (1 + sRC )
s C R
s C
= s C
=
Z A // Z 'A =
=
2 2
2
1
2
1 + s 2C2R 2
1+ s C R
2R (1 + sRC ) + 2 2 (1 + sRC )
R+ 2 2
s C R
s C R
s2C2R
2R (1 + sRC ) ⋅
2
Z B // Z 'B =
ZB
1
(1 + sRC )
=
2
s 2C
1 + sRC
1
2
1 + (sCR )
s 2C
s 2C
V− =
Vo =
V
=
Vo =
o
2
2
2R (1 + sRC ) 1 + sRC
(
)
(
)
s
4
RC
+
1
+
sCR
1
+
sCR
+
s
4
RC
+
2
2
s 2C
1 + (sCR )
s 2C 1 + (sCR )
[
=
1 − (ωCR )
]
2
1 − (ωCR ) + j4ωRC
2
Vo
Perché il circuito oscilli è sufficiente che sia minima la tensione di saturazione negativa, cioè che
sia:
1
1
2
.
1 − (ω o CR ) = 0 ⇒ ωo =
⇒ fo =
RC
2πRC
Ciò porta a
B=
V+
R1
=
= 1 che si realizza se R2 = 0.
Vo R 1 + R 2
In pratica, però, sbilanciando leggermente la rete, aumentando di poco il valore di R/2, alla
V
frequenza fo si avrà un valore minimo (non nullo) di − ; quindi si prende per R2 un valore non
Vo
nullo, ma molto più piccolo di R1.
18
OSCILLATORE A T PONTATO
La funzione di trasferimento del T-pontato è minima alla frequenza di risonanza f o =
1
, per
2πRC
cui tale rete viene impiegata come retroazione negativa.
Supponendo ideale l’amplificatore operazionale, si ha V+ = V- , da cui:
R1
Vo
R1 + R 2
V+ =
⇒
B=
V+
R1
=
Vo R 1 + R 2
Per determinare V- si trasforma la stella ABC in un triangolo.
kR
kR
C
C
A
Z2
Vo
B
2
V-
Vo
ZA
3
Z3
Z1 R/k
ZC
C
ZC
V-
1
R 1 R 1
1
⋅
+ ⋅
+
k sC k sC (sC )2
Z Z + Z1 Z 3 + Z 2 Z 3
k ⎛ 2R
1
=
= ⎜⎜
+
ZA = 1 2
R
Z1
R ⎝ skC (sC )2
k
=
2
k
2 ⎛1
k ⎞ 2
+
= ⎜ + 2
⎟= ⋅
2
sC (sC ) R C ⎝ s s 2CR ⎠ C
s+
⎞
⎟=
⎟
⎠
k
2RC
s2
2R
1
k
+
s+
Z1 Z 2 + Z1 Z 3 + Z 2 Z 3 skC (sC )2 2R 1
2R ⎛
k ⎞ 2R
2RC
ZB = ZC =
=
=
+
=
⋅
⎜1 +
⎟=
1
Z2
k sC
k ⎝ s 2RC ⎠
k
s
sC
19
V− =
ZC
Vo
Z A // kR + Z C
⇒
B=
ZC
V−
=
Vo Z A // kR + Z C
k
kR ⎛
k ⎞
2
2RC
⋅ ⎜s +
⎟
kR ⋅ ⋅
2
2
2RC ⎠
s ⎝
C
s2
=
= ⋅
Z A // kR =
k
k ⎞
C 2 ⎛
s+
⋅ ⎜s +
⎟ + kR
2
2RC + kR
2RC ⎠
s 2C ⎝
⋅
C
s2
s+
k
k
s+
2
2
2RC
2RC
= ⋅
= ⋅
1
k ⎞ 2 C s2
C 2 ⎛
+
+ s2
⋅ ⎜s +
⎟+s
2
kRC (RC )
kRC ⎝
2RC ⎠
s+
2R ⎛
k ⎞
⋅ ⎜S +
⎟
ZC
V−
Sk ⎝
2RC ⎠
B=
=
=
=
k
Vo Z A // kR + Z C
s+
2
2R ⎛
k ⎞
2RC
⋅
+
⋅ ⎜s +
⎟
1
C s2
sk ⎝
2RC ⎠
2
s
+
+
kRC (RC )2
=
1
sk
RC
s2
1
+
s2 +
kRC (RC )2
2
s2
1
1
+
+s⋅
s2 +
2
2
kRC (RC )
kRC
(RC )
=
=
=
sk
s2
1
1
k
2 ⎞
⎛
2
2
+s +
+
s +
+ s⋅⎜
+
⎟
2
2
RC
kRC
(
)
RC
kRC ⎠
RC
(
)
RC
⎝
+1
s2 +
1
2
2ω
−ω+
+ j⋅
2
kRC
kRC
(RC)
ω(RC )
=
=
1
2 ⎞
1
2 ⎞
⎛ k
⎛ k
+ j⋅⎜
+
− ω2 +
+ jω ⋅ ⎜
+
⎟
⎟ −ω+
2
2
(RC)
ω(RC )
⎝ RC kRC ⎠
⎝ RC kRC ⎠
− ω2 +
1
2
+ j⋅
La parte immaginaria non dipende dalla frequenza.
La tensione di retroazione negativa sarà minima alla pulsazione ωo che annulla la parte reale del
numeratore e del denominatore:
− ω o2 +
1
=0
(RC)2
⇒
ωo =
20
1
RC
⇒
fo =
1
2πRC
2ω o
V
2
kRC
B= − =
= 2
2 ⎞ k +2
Vo
⎛ k
jω o ⋅ ⎜
+
⎟
⎝ RC kRC ⎠
j⋅
A tale frequenza
Perché l’oscillazione si mantenga stabile la reazione positiva dovrà uguagliare quella negativa, cioè
V+
R1
2
=
= 2
Vo R 1 + R 2 k + 2
⇒
k 2 R 1 + 2R 1 = 2R 1 + 2R 2
⇒
R2 =
k2
R1
2
Normalmente si assume per k il valore 1 o 2.
R1
2
Per k = 1
B=
2
3
⇒
R2 =
Per k = 2
B=
1
3
⇒
R 2 = 2R 1
Per innescare l’oscillazione si deve agire sulle resistenze R1 e R2 che introducono una retroazione
positiva, quindi porre un NTC al posto di R1, oppure un PTC al posto di R2.
21
APPENDICE - RISOLUZIONE DEI CIRCUITI
Oscillatore a rete di sfasamento
Calcolo di fo , β e A.
Circuito I
Si riduce il circuito applicando il teorema di Thèvenin tra i punti A e A’ e poi tra i punti B e B’:
C
Vo
C
A
R
VAA ' =
C
B
R
R
1
R+
sC
Vf
R
⋅ Vo =
1
1
1+
sRC
⋅ Vo
1
1
sC = sC
=
1
1
1+
R+
sRC
sC
R⋅
A’
Z AA '
B’
ZAA’
C
C
R
VAA’
VBB' =
=
R
R
Z AA ' + R +
1
sC
1
1
1
1
+
+
sRC sRC (sRC )2
1
1+
sRC
Z BB'
ZBB’
⋅ VAA ' =
C
VBB’
Vf
1
1
sRC + 1 + 1
1
sRC
1+
sRC
R
⋅
Vf
−1
⋅ Vo =
1
1+
sRC
−1
−1
⋅ Vo =
⋅ Vo
1
1
3
1
+1+
1+
1+
+
sRC
sRC
sRC (sRC )2
⋅
1
1
1
⎛ 1
⎞
+
+ 2 2
⎜
⎟
1
⎜ sC + ⎟R sC sC s C R
1 ⎞
⎛
1
1
sC ⎟
⎜ Z AA ' + ⎟R ⎜⎜ 1 +
1+
⎟
sC ⎠
sRC
⎠ =
sRC
=⎝
=⎝
=
1
1
1
Z AA ' + R +
sC
sC + R + 1
sRC + 1 + 1
1
1
sC
sRC
1+
1+
sRC
sRC
22
2
1
+ 2 2
sC s C R
2
1
1
+ 2 2
1+
sRC
= sC s C R
=
1
3
1
1
1
1
+
+
+1+
1+
+
2
sRC sRC (sRC )
sRC
sRC (sRC )2
1
1+
sRC
Applicando la regola di partizione si ottiene Vf.
Vf =
Z BB'
R
⋅ VBB' =
1
+
+R
sC
=
=
R
1
⋅
3
1
2
1
+ 2 2
1+
+
1
sRC (sRC )2
sC s C R +
+R
3
1
sC
+
1+
2
sRC (sRC )
1
1
⋅
1
2
1
3
+
1+
+
2
sRC (sRC )
sRC (sRC )2
1
+
+1
3
1
sRC
1+
+
2
sRC (sRC )
⋅ Vo =
⋅ Vo =
Vo
Vo
1
⋅
=
6
5
1
3
1
6
5
1
1+
1+
1+
+
+
+
+
+
2
3
2
2
sRC (sRC )
sRC (sRC )
sRC (sRC )
(sRC )
(sRC )3
3
1
1+
+
sRC (sRC )2
sostituendo con s = jω , s 2 = −ω 2 , s 3 = − jω3 , si ha:
Vf =
1
5
6
1
1+
+
+
2
3
jωRC − (ωRC )
− j(ωRC )
=
⋅ Vo =
1−
5
(ωRC )2
1
⎡ 6
1 ⎤
5
1−
− j⎢
−
2
(ωRC ) ⎣ ωRC (ωRC )3 ⎥⎦
−
Lo sfasamento tra Vf e Vo è:
1
ϕ = −arctg
6
1
+
ωRC (ωRC )3
5
1−
(ωRC )2
23
+j
⋅ Vo
1
(ωRC )3
6
−j
ωRC
⋅ Vo =
Lo sfasamento tra Vf e Vo sarà di 180° allorché la parte immaginaria risulta nulla, cioè alla
frequenza fo che verifica l'equazione:
6
1
−
=0
ω o RC (ω o RC )3
β=
A tale pulsazione
Vf
=
Vo
6RC
1
1−
⇒
6
1
ωo =
⇒
(ωo RC )2 = 1
⇒
5
⇒
fo =
=
1
1−
(ωo RC )2
1
⇒
6
1
2π 6RC
=
5
⎛ 1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 6⎠
ωo RC =
1
1
=− .
1 − 30
29
2
Per avere oscillazioni, per il criterio di Barkhausen, dovrà risultare: A ⋅ β = 1
⇒
A=
1
= −29 ,
β
cioè l’amplificatore, a tale frequenza fo, deve avere una amplificazione di 29 e invertire il segnale
rispetto a quello d’ingresso.
Circuito II
Calcolo di fo , β e A.
vo
Applicando il teorema di Thèvenin tra i punti A e A', si ha:
VAA ' =
1
1+
3
1
+
sRC (sRC )2
⋅ Vo
;
Z AA '
2
1
+ 2 2
= sC s C R
3
1
1+
+
sRC (sRC )2
Considerando l'amplificatore operazionale ideale deve risultare IC = I1.
24
I1 = −
Vo
;
R1
1
1
⋅ Vo
3
1
3
1
+
+
1+
1+
sRC (sRC )2
sRC (sRC )2
VAA '
=
=
=
IC =
2
1
1
3
1
1
2
1
+
+
+
+
+
Z AA ' +
sC s 2 C 2 R + 1
sC s 2 C 2 R sC s 2 C 2 R s 2 C 2 R 2
sC
3
1
3
1
sC
+
+
1+
1+
2
sRC (sRC )2
sRC (sRC )
=
Vo
3
4
1
+ 2 2 + 3 3 2
sC s C R s C R
=
⋅ Vo
Vo
3
4
1
+
+
2 2
3 3 2
jω C − ω C R − jω C R
=
Vo
4
1
⎞
⎛ 3
− j⎜
− 3 3 2⎟
2 2
ω C R ⎝ ωC ω C R ⎠
Poiché I1 = −I C , le correnti devono essere in opposizione di fase e avere lo stesso modulo.
Prendendo I1 come riferimento, si ha:
ϕ C = −arctg
Da ϕC = 180°
⇒
⇒
−
3
1
+ 3 3 2
ωC ω C R , fase che è sempre negativa.
4
− 2 2
ω C R
−
3
1
+ 3 3 2 =0
ωo C ωo C R
ωo CR =
1
3
⇒
1
⇒
(ωo CR )
1
ωo =
3RC
2
⇒
=3
⇒
fo =
(ωo CR )2 = 1
3
1
2π 3RC
,
frequenza alla quale si ha l’oscillazione.
I Co =
A questa frequenza
Da
ICo = I1
⇒
−
−
Vo
4
=
1
⋅ C2R
3C 2 R 2
Vo
V
=− o
R1
12R
⇒
25
Vo
V
=− o .
4
12R
−
1
3R
R 1 = 12R , ovvero
R1
= 12 .
R
⇒
Oscillatore a ponte di Wien
Calcolo di fo , β e A nel caso ideale: Ao = ∞.
Nel caso ideale gli ingressi non assorbono corrente e V− = V+ .
R1
Vo ;
R1 + R 2
V− =
− jRX C
− jRX C
R − jX C
R − jX C
− jRX C
V+ =
Vo = 2
Vo = 2
Vo =
2
− jRX C
R − j3RX C − X C2
R − j2RX C − X C − jRX C
R − jX C +
R − jX C
R − jX C
=
1
⎛ R XC ⎞
⎟⎟
−
3 + j⎜⎜
X
R
⎝ C
⎠
ωo RC −
V− = V+
1
=0
ωo RC
⇒
A questa frequenza si ha:
V− =
1
1 ⎞
⎛
3 + j⎜ ωRC −
⎟
ωRC ⎠
⎝
R1
Vo =
R1 + R 2
Vo
1
= B.
1 ⎞
⎛
3 + j⎜ ωRC −
⎟
ωRC ⎠
⎝
Essendo il primo membro reale, dovrà esserlo anche il secondo, il che avverrà per la frequenza fo
che rende nulla la parte immaginaria:
Da
⇒
Vo =
(ωo RC )2 − 1 = 0
B=
R1
1
=
R1 + R 2 3
⇒
⇒
ωo RC = 1
BA = 1
⇒
⇒
1
RC
⇒
fo =
1
=3
B
⇒
R 2 = 2R 1 .
ωo =
A=
1
2πRC
Calcolo di fo , β e A nel caso reale: Ao finito.
Supponendo che l'amplificatore non assorba corrente d'ingresso e sia nulla la sua resistenza d'uscita,
possiamo aprire le maglie in corrispondenza dei terminali d'ingresso, senza alterare il
26
comportamento del circuito, e schematizzare l'amplificatore mediante un generatore di tensione
ideale A o Vd (= Vo ) . Il circuito equivalente risulta il seguente:
Affinché il generatore A o Vd , considerato come generatore indipendente, determini una tensione Vd
in ingresso, deve risultare:
⎛
⎜
R1
1
Vd = VA − VB = V+ − V− = A o Vd ⎜
−
⎜
1 ⎞ R1 + R 2
⎛
⎟
⎜ 3 + j⎜ ωRC −
ωRC ⎠
⎝
⎝
Perché si abbia oscillazione
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
deve essere in fase con il segnale Vd (cioè il segnale
1
retroazionato deve essere in fase con la tensione in ingresso) e ciò si ha alla frequenza f o =
2πRC
alla quale si annulla la parte immaginaria. Alla frequenza fo si ha:
⎛1
R1
Vd = A o Vd ⎜⎜ −
⎝ 3 R1 + R 2
⎞
⎟⎟
⎠
A o Vd
⇒
⎛1
R1
1 = A o ⎜⎜ −
⎝ 3 R1 + R 2
⎞
⎟⎟
⎠
⇒
B=
R1
1 1
.
= −
R1 + R 2 3 Ao
Se Ao = ∞ si ricade nel caso ideale. Si devono, quindi, avere valori di Ao il più alti possibile.
Tenendo conto di una amplificazione finita, la condizione di oscillazione sarà:
R1
1
≤
R1 + R 2 3
⇒
27
R 2 ≥ 2R 1 .