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Calcolare, per caso?
(Turing e la macchina)
g.pani
Charles Lutwidge Dodgson (Cheshire, 27 gennaio
1832 – Guildford, 14 gennaio 1898),
1
Linguaggio: sintassi e semantica
Sintassi: A,B,C,….
Semantica: vero, falso
2
(Non A) è vera se A è falsa
nota : (A è falsa iff A è vera)
(A o B) è vera se è vera A o B o entrambe
nota: A  B falsa iff entrambe sono false
(A e B) è vera se A e B sono vere
nota: (A  B è falsa iff una delle due è falsa)
(A segue B)
Esempio: Se piove ci sono le nuvole,
per essere falsa:
piove vera ma falsa la presenza delle nuvole
quindi A → B è falsa iff A vera ma B falsa
3
Grundgesetze der Arithmetik , G Frege (18481925)
Principia Matematica, B.Russell (1872-1970)
Tractatus logico-philosophicus, L. Wittgenstein
(Vienna 1889, Cambridge 1951)
4
AB
equivalente a
 (AB)?
A→B
equivalente
A B ?
Quanto dura l’infinito?
Anche un attimo.
Logic di Wilfrid Hodges
5
A,B ǀ— A,B
A,B ǀ— AB
AB ǀ— AB
ǀ— AB→AB
ǀ— AB→AB
AB ǀ—AB
A ǀ— A  B;
B ǀ— A  B
A ǀ— A; A ǀ— B;
B ǀ— A; B ǀ—B;
Logica lezioni di primo livello di Vito M. Abrusci
6
ǀ— A→A
Aǀ—A
A→A
ovvero
A A
terzo escluso
(realista)
7
G.Gentzen, Greisfald 1909, Praga 1945
8
Il giuoco delle perle di vetro. H.Hesse
9
Quanto dura l’infinito?
Anche un attimo.
per ogni 
Grande
esiste 
Grande
x. A(x)

y. A(y)

x. A(x) → y.A(y)
y. A(y) → x. A(x)
10
ǀ— x. A(x) → y.A(y)
x. A(x) ǀ— y.A(y)
A(a), x. A(x) ǀ— y.A(y)
A(a), x. A(x) ǀ— y.A(y), A(a)
A(a) ǀ— A(b)
A(a) ǀ— x. A(x)
y. A(y) ǀ— x. A(x)
ǀ— y. A(y) → x. A(x)
Logic di Wilfrid Hodges
11
Il giuoco delle perle di vetro, Das
Glasperlenspiel. H.Hesse
12
Realismo
La verità dei nostri asserti (e delle nostre teorie)
è fissata da come stanno le cose,
indipendentemente
dalle nostre credenze, conoscenze
e capacità di accertamento,
indipendentemente
dalla giustificazione obiettiva che potremmo addurne.
Il giuoco delle perle di vetro. H.Hesse
13
das Entscheidungsproblem
(il problema della decisione)
Formule del primo ordine
f. x. y. P(x,y)→ P(f(x),f(y))
Kőnisberg 1862 , Gottinga 1943
“ Entscheidungsproblem è risolto se una procedura
è definita che permette di decidere, usando un
numero finito di operazioni, la validità di una data
espressione logica del primo ordine“ (Hilbert)
14
Assiomi di Giuseppe Peano
(Cuneo 1852- Torino 1932 )
Specializziamo le x , le P e le f.
X×0=0
X ×(Y+1)= (X × Y)+X
5 ×3=5 ×2+5 ;
Somma, prodotto,
Il giuoco delle
perle di vetro.
È pronto
A(0) vera
se da A(x )segue A(x+1)
Allora A è vera per ogni numero naturale
Assiomi, regole, ordine
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Ottimismo
Soluzione per la logica del primo ordine monadica.
(Lowenheim 1914)
“possiamo cogliere l’importanza
del nostro teorema riflettendo sul
fatto che ogni teorema della matematica
o ogni calcolo che può essere inventato
può essere scritto come una formula
come una equazione, quindi ogni
teorema può essere vero o falso
a seconda se le formula
che lo rappresenta è soddisfacibile o no”
(Lowenheim 1915)
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Scetticismo
“segue che la domanda della validità del principio del terzo
escluso è equivalente alla domanda se problemi irresolvibili
in matematica esistono. Non esiste nessuna bozza di
dimostrazione che non esistono problemi indecidibili in
matematica” (Browner 1908)
1881-1966 Blaricum
17
Gödel, Escher, Bach. Un'eterna ghirlanda brillante.
Una fuga metaforica su menti e macchine nello
spirito di Lewis Carroll.
D. Hofstadler
Teorema di incompletezza (Gödel 1931)
In ogni formalizzazione coerente della matematica che
sia sufficientemente potente da poter contenere
«Peano» è possibile costruire una proposizione
sintatticamente corretta che non può essere né
dimostrata né confutata all'interno dello stesso sistema
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Ma Hilbert parlava di calcolare?
C. Babbage
26 dicembre 1791, 18 ottobre 1871,
Macchina di Babbage : mai
realizzata, nessuna conoscenza
fino al 1949
19
Operazioni
• Funzioni aritmetiche (+,-, x);
• Ogni sequenza di operazioni è una operazione;
• Iterazione: n iterazioni di una operazione è una operazione
(n registrato in un registro e non può variare)
• Iterazione condizionale: se P è una operazione e T un test
su un registro, allora iterare P finche T ha un preciso valore
è una operazione
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Contessa di Lovelace,
Augusta Ada Byron (1843)
Menabrea L.F. (1842)
21
A.M. Turing
Turing Mathematical Tripos nell’estate del
1934, fellowship King’s College.
“Meccanico “ prof. Newman.
«Potremmo prendere questo statement
letteralmente questo termine, intendendo con
processo meccanico un processo che può essere
portato avanti da una macchina. » (Turing
1939)
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• Dati nastro
• Stati Transizioni Caratteri
•
•
• Stato A
• Stato B
• Stato C
1
1dA
1dB
* stop
*
1dB
*sC
23
Computor (Gandy 1987)
«Il calcolo procede per step discreti
e produce un record che consiste
in un numero finito (ma illimitato)
di celle, ognuna delle quali contiene
un blank o un simbolo appartenente a
un alfabeto finito. Ad ogni passo
l’azione è locale
1919 Peppard Oxfordshire –
20 November 1995 Oxford
ed è localmente determinata in
accordo ad una tavola finita di istruzioni».
24
Teorema di Turing (Gandy 1987).
Ogni funzione che è effettivamente calcolabile da
un astratto essere umano seguendo una routine
fissata è effettivamente calcolabile da una
macchina di Turing.
Chiaramente vale il contrario.
Vale il contrario
25
• La macchina universale
Non decidibilità del problema dell’alt (Turing 1936)
Non esiste nessuna procedura calcolabile che dato
in input un qualsiasi programma e qualsiasi dato ci
dica se quel programma su quel dato dà un risultato
oppure no .
Teorema (Turing, 1936)
Esiste una formula della teoria del primo
ordine che esprime il problema dell’alt.
26
Da Turing ai computer
1- le istruzioni elementari sono
estremamente semplici;
2- macchina universale (macchina che
memorizza un programma), non presente
in Babbage;
3- le operazioni su numeri binari.
27
1. Bletchley Park (seconda guerra)
2. 1940 Eniac finito 1945
3. National Physical laboratory 1945-48, presenta suo
lavoro alla London Mathematical Society (1947)
4. Turing a Manchester con Newman (mark I, mark II)
The Alan Turing Enigma di Andrew Hodges
Bombe, il computer di Turing e intelligenza
meccanica di C.Porcelluzzi
A.M.Turing, l’indecidibilità della vita, uscito
oggi?
28
Ma il problema dell’alt è
semidecidibile, ovvero
- posso calcolare/provare se un
programma su un dato converge;
- non posso calcolare /provare se
diverge.
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A→A
ovvero
A A
terzo escluso
(realista)
Sia A semidecidibile
???A A???
Antirealismo: no al terzo escluso
ovvero non più semantica che si basa sul
vero e sul falso.
Quale semantica?
le dimostrazioni
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A  B è “vera” se abbiamo una dimostrazione
di A o di B o entrambe
A  B è “vera” se abbiamo una dimostrazione
di A e una dimostrazione di B
A → B è “vera”:
Se a partire da A possiamo costruire una
dimostrazione di B.
A è “vera”
se esiste una dimostrazione di A; quella è la sua semantica
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A→A
Dal fatto che non sappiamo dimostrare  A non
implica che sappiamo dimostrare A
A→A
Dal fatto che sappiamo dimostrare A implica che
non sappiamo dimostrare A
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Anti-Realismo
La nozione di verità non è indipendente da qualsiasi
giustificazione (passata, presente e futura),
colui che fa una asserzione
deve essere consapevole che nuove evidenze
nuove informazioni,
nuovi metodi di calcolo possono
costringerlo a rettificare quello che ha detto
Sir M. Dummett
27-6-1925 Londra;
27-12 - 2011 0xford
Non più Il giuoco delle perle di vetro
immutabile
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Anti-Realismo
Realismo
La verità dei nostri asserti
(e delle nostre teorie)
La verità dei nostri asserti
(e delle nostre teorie)
è fissata da come stanno le cose,
non è indipendente
- da qualsiasi giustificazione
(passata, presente e futura).
indipendentemente:
- dalle nostre credenze, conoscenze
e capacità di accertamento,
- dalla giustificazione obiettiva che
potremmo addurne.
Colui che fa una asserzione
deve essere consapevole che
nuove evidenze, nuove
informazioni, nuovi metodi di
calcolo possono costringerlo a
rettificare quello che ha detto.
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Libertà positiva: valuta la libertà nell'ottica
della partecipazione degli individui alla
produzione delle leggi che essi stessi
devono rispettare.
Libertà negativa: assenza di limitazioni o
interferenze nei riguardi di ciò che un
soggetto può fare.
Sir Isaiah Berlin
6 -6-1909 Riga, 5 11- 1997 Oxford
"Due concetti di libertà“.
Entrambe accettabili.
Rendiamo estrema la
libertà positiva.
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”la volpe sa molte cose, ma il riccio ne sa una grande”.
Archiloco (Paro, 680 a.C. – 645 a.C)
“ Il riccio e la volpe”
I. Berlin
i “ricci” come Platone, Lucrezio, Pascal, Hegel,
Dostoevskij, Nietzsche, Ibsen, Proust,
«riferiscono tutto a una visione centrale, a un sistema più o
meno coerente e articolato, con regole che li guidano a capire,
a pensare e a sentire – un principio ispiratore, unico e
universale, il solo che può dare un significato a tutto ciò che
essi sono e dicono»
Antirealismo, per caso
le “volpi” come Shakespeare, Erodoto, Aristotele, Erasmo,
Molière, Goethe, Puskin, Balzac, Joyce e Montaigne «che
perseguono molti fini, spesso disgiunti e contraddittori, magari
collegati soltanto genericamente, de facto, per qualche ragione
psicologica o fisiologica, non unificati da un principio morale
ed estetico»
Per caso