operazioni binarie - Digilander

1
OPERAZIONI BINARIE
OPE
1.
Definizione di operazione binaria
Dato un insieme A non vuoto, si chiama operazione (binaria) su A ogni
applicazione di A2 in A.
In generale, un'operazione su A viene indicata con il simbolo ∗ . Se (x, y) è una coppia qualsiasi di A2, l'im
magine di (x, y) in ∗ si dice risultato e si indica con x∗y. Pertanto:
∗ : (x, y)
1
x ∗ y.
L'addizione (+) e la moltiplicazione ( ⋅ ) di numeri naturali sono operazioni su
+ : (x, y)
Ad ogni coppia (x, y) ∈
⋅ : (x, y)
x+y
:
x⋅y
2
, l'addizione fa corrispondere la somma x + y ∈
la moltiplicazione fa corrispondere il prodotto x ⋅ y ∈
,
.
Considerazioni del tutto analoghe valgono per l'addizione e la moltiplicazione su .
2
Consideriamo l'insieme delle classi−resto mod. n,
Su
n,
n
=
{ [0], [1], …, [n−1] }.
introduciamo due operazioni:
l'addizione mod. n, indicata con ⊕ e definita da:
x ⊕ y = resto della divisione di x + y per n
def
la moltiplicazione mod. n, indicata con ⊗ e definita da:
x ⊗ y = resto della divisione di x ⋅ y per n
def
per ogni x, y ∈
n.
ESEMPI − Nell'insieme delle classi−resto mod. 5,
5
= { [0], [1], [2], [3], [4] }, si ha:
3 ⊕ 4 = 2, perché 3+4 diviso per 5 ha resto 2;
2 ⊗ 3 = 1, perché 2⋅3 diviso per 5 ha resto 1.
3
Consideriamo l'insieme
Su
dei numeri razionali.
, introduciamo due operazioni:
l'addizione, indicata con + e definita da:
[ ba ] + [ cd ] = [ a ⋅ db+⋅ dc ⋅b ]
def
la moltiplicazione, indicata con ⋅ e definita da:
[ ba ] ⋅ [ cd ] = [ ba ⋅⋅ cd ]
def
per ogni [ a ], [ c
b
d
]∈
.
ESEMPI − Dati i numeri razionali [ 2 ] e [
3
1
4
], si ha subito:
11
[ 32 ] + [ 41 ] = [ 2 ⋅ 43 +⋅ 41⋅ 3 ] = [ 12
],
[ 32 ] ⋅ [ 41 ] = [ 32⋅⋅41 ] = [ 122 ] = [ 61 ].
2
4
L'intersezione ( ∩ ) e l'unione ( ∪ ) di sottoinsiemi di un universo Ω assegnato, sono
operazioni su ℘(Ω):
∩ : (X, Y)
X∩Y
∪ : (X, Y)
X∪Y
Ad ogni coppia (X, Y) ∈ ℘(Ω)2, l'operazione di intersezione fa corrispondere l'insieme
X ∩ Y ∈ ℘(Ω), l'operazione di unione fa corrispondere l'insieme X ∪ Y ∈ ℘(Ω).
5
Dato un insieme finito A ≠ ∅, si chiama sostituzione di A ogni applicazione bijettiva
di A in sé. Una sostituzione si rappresenta elencando gli elementi di A su una stessa
riga e scrivendo sotto a ciascuno la propria immagine.
Così, se A = {a, b, c}, le possibili sostituzioni di A sono:
I=
a b c
,
a b c
α=
a b c
,
a c b
β=
a b c
,
c b a
γ=
a b c
,
b a c
µ=
a b c
,
b c a
ν=
a b c
.
c a b
1
Si chiama elemento unito di una sostituzione ogni elemento di A coincidente con la
propria immagine. La sostituzione I in cui tutti gli elementi sono uniti è la sostituzione
identica in A.
Osserviamo che, comunque si prendano due sostituzioni p e q di un insieme A, l'ap
plicazione composta q p è a sua volta una sostituzione di A.
Risulta così definita sull'insieme delle sostituzioni di A, indicato con S(A), l'operazione:
: (p, q)
q p.
chiamata composizione di sostituzioni.
2
Ad ogni coppia (p, q) ∈ S(A) , la composizione di sostituzioni fa corrispondere la sosti
tuzione q p ∈ S(A).
ESEMPI − Nell'insieme S(A) =
β α =
µ β =
6
{ I, α, β, γ, µ, ν },
si ha:
a b c
c b a
a b c
a b c
=
a c b
c a b
= ν,
a b c
a b c
b c a
c b a
= α.
=
a b c
a c b
Dati due insiemi A e B non vuoti (finiti o infiniti), l'insieme di tutte le applicazioni di do
A
minio A e codominio B viene indicato con il simbolo B .
A
Nell'insieme A delle applicazioni di A in sé, l'ordinaria composizione:
: (f, g)
A 2
che ad ogni coppia (f, g) ∈ (A )
g f
A
operazione su A .
1
A
fa corrispondere l'applicazione g f ∈ A , è una
α (alfa), β (beta), γ (gamma), µ (mi), ν (ni) sono lettere dell'alfabeto greco.
3
2. Tabelle di Cayley
Quando A è un insieme finito, è possibile descrivere un'operazione ∗ su A mediante una tabella a doppia en
trata, chiamata tabella di Cayley dell'operazione.
ESEMPI
∗
a
b
c
⊕4
0
1
2
3
⊗4
0
1
2
3
a
c
b
a
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
b
c
a
b
1
1
2
3
0
1
0
1
2
3
c
b
c
a
2
2
3
0
1
2
0
2
0
2
3
3
0
1
2
3
0
3
2
1
(tab.1)
(tab.2)
(tab.3)
La tab.1 rappresenta un'operazione ∗ sull'insieme A = {a, b, c}.
Osserviamo che gli elementi di A sono disposti sulla prima riga in alto e, nel medesimo ordine, sulla pri
ma colonna a sinistra. Presa una coppia (x, y) ∈ A2, il risultato x∗y si trova all'incrocio della riga inte
stata all'elemento x con la colonna intestata all'elemento y. Così, a∗b = b, b∗a = c, c∗a = b, c∗c = a, ecc.
Le tab.2 e 3 rappresentano, rispettivamente, le operazioni ⊕ e ⊗ su
so le parentesi quadre che designano gli elementi di
( per comodità, abbiamo omes
4
4).
La tab.4 rappresenta l'operazione ∩ su ℘(Ω), con Ω = {a, b, c}.
∩
∅
{a}
{b}
{c} {a, b} {a, c} {b, c} Ω
∅
∅
∅
∅
∅
∅
∅
∅
∅
{a}
∅
{a}
∅
∅
{a}
{a}
∅
{a}
{b}
∅
∅
{b}
∅
{b}
∅
{b}
{b}
{c}
∅
∅
∅
{c}
∅
{c}
{c}
{c}
{a, b}
∅
{a}
{b}
∅ {a, b} {a}
{a, c}
∅
{a}
∅
{c}
{a} {a, c} {c} {a, c}
{b, c}
∅
∅
{b}
{c}
{b}
Ω
∅
{a}
{b}
{c} {a, b} {a, c} {b, c} Ω
{b} {a, b}
{c} {b, c} {b, c}
(tab.4)
EP OPE / 1,2
1
Calcola il valore delle seguenti espressioni fra elementi di
(1) 1 ⊕ 3
(2) 3 ⊕ 2
(3) 3 ⊕ 3
(9) (2 ⊕ 3) ⊕ 1
2
(4) 2 ⊕ 1
(10) 2 ⊕ (3 ⊕ 1)
(2) 4 ⊕ 3
(3) 1 ⊕ 2
(2) 3 ⊕ (2 ⊗ 4)
(7) 2 ⊗ 2
(12) 3 ⊗ (2⊗3).
(6) 3 ⊗ 2
(7) 3 ⊗ 3
(10) (3 ⊗ 4) ⊕ (3 ⊗ 2).
(3) (3 ⊗ 2) ⊕ (4 ⊗ 5)
(8) 3 ⊗ 3
5.
(5) 4⊗2
Calcola il valore delle seguenti espressioni fra elementi di
(1) 5 ⊗ 5
(6) 2 ⊗ 3
(11) (3 ⊗ 2) ⊗ 3
(4) 2 ⊕ 3
(9) 3 ⊗ (4 ⊕ 2)
3
(5) 1⊗3
Calcola il valore delle seguenti espressioni fra elementi di
(1) 2 ⊕ 4
4.
6.
(4) (4 ⊕ 4) ⊗ (3 ⊕ 5).
(8) 4 ⊗ 3
4
4
Esegui le seguenti composizioni nell'insieme S{1, 2, 3, 4 } (insieme delle sostituzioni su {1, 2 , 3, 4} ).
(1)
5
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 1 4
2 3 4 1
(2)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 4 2 3
4 3 1 2
,
(3)
(2)
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
3 4 1 2 5
2 4 5 1 3
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
3 4 1 2 5
2 4 5 1 3
,
.
(2) b ∗ a,
(3) c ∗ d,
(4) d ∗ c, (5) c ∗ c,
(6) b ∗ b,
(7) d ∗ a,
(8) a ∗ d,
(9) b ∗ c.
.
∗
a
b
c
d
a
b
c
d
c
a
b
d
b
c
a
d
d
b
d
a
a
d
c
b
Descrivi le tabelle di Cayley delle seguenti operazioni.
(1) ⊕ e ⊗ su
2;
(2) ⊕ e ⊗ su
(3) ⊕ e ⊗ su
3;
(5) ∪ e ∆ su ℘(Ω), con Ω = {a, b, c};
8
1 2 3 4
2 4 1 3
Si noti che le espressioni (1) e
(2) sono costituite dalle mede
sime sostituzioni, scritte nel
medesimo ordine.
L'operazione ∗ su A = {a, b, c, d} è definita dalla tabella
di Cayley a lato. Determina:
(1) a ∗ c,
7
1 2 3 4
3 1 4 2
Esegui le seguenti composizioni nell'insieme S{1, 2, 3, 4, 5 } .
(1)
6
,
(6)
5;
(4) ⊕ e ⊗ su
6;
su S{a, b, c}.
Descrivi le tabelle di Cayley delle seguenti operazioni.
(1) ⋅ su A = { 0, 1, −1 }, dove ⋅ è l'ordinaria moltiplicazione di numeri interi;
(2) ∩ su A =
(3)
{ {1}, {1, 2}, {1, 2, 3} }, dove ∩ è l'ordinaria intersezione d'insiemi;
su A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} definita da x y =
1, se x è divisibile per y
;
0, in caso contrario
(4) ∗ su A = {a, b, c} definita da x ∗ y = x;
(5) ⊗ su A = {1, 3, 7, 9} ⊆
(6) ⊗ su A = {1, 5, 7, 11} ⊆
(7)
10,
dove ⊗ è l'ordinaria moltiplicazione mod. 10;
12,
dove ⊗ è l'ordinaria moltiplicazione mod. 12;
su A = {1, 2, 3, 4, 5} definita da x y = max(x, y) (cioè x y è il più grande dei numeri
x, y quando questi sono diversi è il loro valore comune quando coincidono);
(8) ⊥ su A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} definita da x ⊥ y = M. C. D.(x, y);
(9) T su A = {1, 2 ,4, 8} definita da x T y = m. c. m.(x, y).
9
Spiega perché l'espressione x ∗ y =
x y
+
2 2
non definisce un'operazione sull'insieme A = {2, 4, 6}.
10 Spiega perché la differenza d'insiemi (−) non definisce un'operazione sull'insieme
A = { {1}, {1, 2}, {1, 2, 3} }.
11 Spiega perché la differenza di numeri naturali (−) non definisce un'operazione su
.
SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI
1 (1) 0, (2) 1, … 2 (1) 1, (2) 2, … 3 (1) 1, … 4 (1)
5 (1) e (2)
1 2 3 4 5
2 4 1 3 5
1 2 3 4
2 1 4 3
, (2)
1 2 3 4
3 2 1 4
, (3)
. 6 (1) d, (2) a, (3) c, (4) a, (5) d, (6) c, (7) d, (8) a, (9) b.
1 2 3 4
1 2 3 4
.
5
3. Proprietà delle operazioni
Sia A un insieme qualsiasi non vuoto e sia ∗ un'operazione (binaria) su A.
L'operazione ∗ si dice associativa se:
∀ x, y, z ∈ A
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
L'associatività dell'operazione ∗ consente di scrivere l'espressione (x ∗ y) ∗ z nella forma x∗y∗z, l'espressione
[(x ∗ y) ∗ z] ∗ t nella forma x∗y∗z∗t, e così via.
Le ordinarie operazioni di addizione (+) e di moltiplicazione (⋅) su
(x + y) + z = x + (y + z)
n
sono associative:
(x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z).
Dall'associatività dell'addizione e della moltiplicazione su
(⊕) e la moltiplicazione (⊗) su
, ,
si può dedurre che l'addizione
sono, a loro volta, associative.
Le operazioni di intersezione ( ∩ ) e di unione ( ∪ ) su ℘(Ω) sono associative.
A
L'operazione di composizione ( ) sull'insieme A è associativa.
Per provarlo, consideriamo le figure 5 e 6.
A
A
(h g) f
x
A
t
h
f
(fig.5)
f
(fig.6)
z
g
A
y
A
(h g) f : x
h
z
g
A
Dalla fig. 5 si deduce:
t
g f
h g
y
A
h (g f)
x
A
Dalla fig. 6 si deduce:
t
h (g f) : x
t
Le funzioni (h g) f e h (g f) hanno allora lo stesso dominio A, lo stesso codominio A
e risulta ((h g) f)(x) = (h (g f))(x) per ogni x ∈ A.
∴
A
∀ f, g, h ∈ A
(h g) f = h (g f).
E' appena il caso di osservare che la composizione di sostituzioni è un caso particolare di
A
composizione su A . Quindi l'operazione
su S(A) è associativa.
Un elemento u ∈ A si dice elemento neutro per l'operazione ∗ , se
∀x∈A
In
e
x ∗ u = u ∗ x = x.
, 0 è elemento neutro per l'addizione; 1 è elemento neutro per la moltiplicazione:
x+0 = 0+x = x
In
n,
x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x.
[0] e [1] sono rispettivamente elementi neutri per l'addizione e la moltiplicazione.
Nell'insieme ℘(Ω), l'insieme Ω è elemento neutro per l'intersezione; ∅ è elemento neutro
per l'unione.
6
A
Nell'insieme A , l'applicazione identica in A, iA, è elemento neutro per l'operazione di com
posizione:
A
∀f∈A
iA
f =f
iA = f.
Quando A è finito e l'operazione ∗ ammette un elemento neutro u, la tabella di Cayley di
detta operazione contiene una riga e una colonna i cui elementi compaiono nello stesso
ordine con cui sono indicati nelle intestazioni. La riga e la colonna suddette risultano en
trambe intestate a u (vedi fig. 2, 3 e 4).
Sia u elemento neutro per l'operazione ∗. Un elemento x ∈ A si dice
simmetrizzabile, se esiste un x' ∈ A tale che:
x ∗ x' = x' ∗ x = u.
x' si dice elemento simmetrico di x per l'operazione ∗.
In
x∈
e
tutti gli elementi sono simmetrizzabili per l'addizione; il simmetrico addittivo di
o x∈
si indica con −x e prende il nome di opposto di x:
x + (−x) = (−x) + x = 0.
Ad esempio, se x = 5, è −x = −5; se x = −3, è −x = −(−3) = 3; ecc.
In
ogni elemento diverso da zero è simmetrizzabile per la moltiplicazione; il simmetrico
moltiplicativo di x si indica con x−1 e prende il nome di inverso di x:
x ⋅ x−1 = x−1 ⋅ x = 1.
Ad esempio, se x = 2, è x−1 =
1
2
; se x =
3
5
, è x−1 =
5
3
; se x =
1
4
, è x−1 = 4; ecc.
In n tutti gli elementi sono simmetrizzabili per l'addizione e, se n è un numero primo, tutti
sono simmetrizzabile per la moltiplicazione.
In S(A) tutti gli elementi sono simmetrizzabili per la composizione ( ); il simmetrico di una
sostituzione coincide con l'inversa della sostituzione stessa.
Ad esempio, con riferimento alle sotituzioni su A = {a, b, c} (esempio 5 a pag.2), risulta:
µ=
a b c
,
b c a
µ' = µ−1 =
a b c
.
c a b
Infatti, come subito si riconosce, è µ' µ = µ µ' = I.
Quando l'operazione ∗ è descritta da una tabella di Cayley, due elementi x, x' sono sim
metrici solo se all'incrocio della riga intestata a x con la colonna intestata a x' e all'incrocio
della riga intestata a x' con la colonna intestata a x, compare u (vedi fig. 2, 3 e 4).
L'operazione ∗ si dice commutativa se:
∀ x, y ∈ A
x∗y = y∗x
Le operazioni di addizione ( + ) e di moltiplicazione ( ⋅ ) su
,
sono commutative:
x ⋅ y = y ⋅ x.
x+y = y+x
Dalla commutatività dell'addizione e della moltiplicazione su
l'addizione (⊕) e la moltiplicazione (⊗) su
,
n
si può dedurre che
sono, a loro volta, commutative.
7
Le operazioni di intersezione ( ∩ ) e di unione ( ∪ ) su ℘(Ω) sono commutative.
L'operazione
A
su S(A) o su A , se A è costituito da n > 2 elementi, non è commutativa.
La tabella di Cayley di un'operazione commutativa ∗ è simmetrica rispetto alla diagonale
principale (così viene chiamata la diagonale che unisce l'angolo in alto a sinistra con l'an
golo in basso a destra della tabella).
Può accadere che vi siano due elementi x, y ∈ A per cui risulti x ∗ y = y ∗ x senza che ciò valga necessaria
mente per ogni x, y ∈ A; tali elementi si dicono permutabili per l'operazione ∗ . Osserviamo che l'elemento
neutro di A per l'operazione ∗ , se esiste, è permutabile con tutti gli elementi di A. Un elemento simmetrizzabi
le x ∈ A è permutabile con il suo simmetrico x'.
Siano ∗ e
due operazioni (binarie) entrambe definite su uno stesso insieme A non vuoto.
L'operazione ∗ si dice distributiva rispetto a , se:
x ∗ (y
(y
z) = (x ∗ y)
(x ∗ z)
z) ∗ x = (y ∗ x)
(z ∗ x)
∀ x, y, z ∈ A.
Diciamo subito che la validità di una delle due uguaglianze assicura la validità dell'altra se ∗ è commutativa.
La moltiplicazione ( ⋅ ) è distributiva rispetto all'addizione ( + ) su
,
,
:
x ⋅ (y + z) = x⋅y + x⋅z
Osserviamo che al secondo membro di quest'ultima uguaglianza abbiamo omesso le parentesi; assumiamo
infatti, convenzionalmente, che le moltiplicazioni hanno la precedenza sull'addizione.
Dalla distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione su
della moltiplicazione (⊗) rispetto all'addizione (⊕) su
si deduce la distributività
n.
Sull'insieme ℘(Ω), l'intersezione ( ∩ ) è distributiva rispetto all'unione ( ∪ ) e viceversa:
X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y) ∪ (X ∩ Z),
X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y) ∩ (X ∪ Z),
∀ X, Y, Z ∈ ℘(Ω).
EP OPE / 3
1
Indica le proprietà delle seguenti operazioni:
(1) ∗ definita nell'esercizio 6 a pag.4.
(2) ∪, ∆, , definite negli esercizi 7(5) e 7(6) a pag.4.
(3) ⋅ , …, T, definite negli esercizi 8(1), …, 8(9) a pag.4.
ESERCIZIO SVOLTO − 1. Vogliamo stabilire se l'operazione ∗ su
definita da:
x ∗ y = 2xy, ∀x, y ∈
è associativa o commutativa.
Come si vede, l'operazione ∗ viene definita chiamando in causa la moltiplicazione su
: calcolare
x ∗ y significa moltiplicare fra loro i numeri razionali x, y e raddoppiare il prodotto ottenuto.
8
5
3
Ad esempio, per x =
6
5
e y=
, risulta
5
3
6
5
∗
= 2⋅
5
3
⋅
6
5
= 4.
Le proprietà dell'operazione ∗ vengono allora determinate supponendo note le proprietà della moltiplicazione di numeri razionali (vedi paragrafo 3). In altre parole, le proprietà di ∗ si deducono dalle
proprietà della moltiplicazione su
Ciò premesso, si ha subito:
.
Proprietà associativa
Proprietà commutativa
(x ∗ y) ∗ z = (2xy) ∗ z = 2⋅(2xy)⋅z = 4xyz;
x ∗ y = 2xy;
x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (2yz) = 2x⋅(2yz) = 4xyz.
y ∗ x = 2yx = 2xy.
∴ ∀ x, y, z ∈
∴ ∀ x, y ∈
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
ESERCIZIO SVOLTO − 2. Vogliamo stabilire se l'operazione ∗ su
x ∗ y = y ∗ x.
definita da:
x ∗ y = 2x + 2y, ∀x, y ∈
è associativa o commutativa.
L'operazione ∗ è definita ricorrendo all'addizione e alla moltiplicazione su
significa addizionare il doppio di x con il doppio di y.
Ad esempio, per x =
3
4
e y=
1
2
, risulta
3
4
: calcolare x ∗ y
∗ 1 = 2⋅ 3 + 2⋅ 1 =
2
4
2
5
2
.
Deduciamo allora le proprietà di ∗ dalle proprietà dell'addizione e della moltiplicazione su
∴
2
.
Proprietà associativa
Proprietà commutativa
(x ∗ y) ∗ z = (2x + 2y) ∗ z = 2(2x + 2y) + 2z = 4x + 4y + 2z;
x ∗ y = 2x + 2y;
x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (2y + 2z) = 2x + 2(2y + 2z) = 2x + 4y + 4z.
y ∗ x = 2y + 2x = 2x + 2y.
¬∀ x, y, z ∈
∴ ∀ x, y ∈
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
x ∗ y = y ∗ x.
Determina quali delle seguenti operazioni sono associative o commutative.
(1) x ∗ y = y + 1, ∀x, y ∈
.
(2) x ∗ y = 2x + y, ∀x, y ∈ .
(4) x ∗ y = x⋅y + x, ∀x, y ∈ .
(3) x ∗ y = x⋅y + 1, ∀x, y ∈
.
(5) x ∗ y = 2xy − 1, ∀x, y ∈ .
SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI
1 (1) L'operazione ∗ non è associativa. Infatti, è (a ∗ c) ∗ b ≠ a ∗ (c ∗ b).
L'operazione non ammette l'elemento neutro e non è commutativa.
(2) L'operazione ∪ è associativa e ammette elemento neutro {1, 2, 3}.
L'elemento neutro è il solo elemento simmetrizzabile. L'operazione è commutativa.
(3) Le nove operazioni descritte sono tutte associative tranne una: la definita in 8(3).
Elemento neutro: 8(1) 1; 8(2) {1, 2, 3}; 8(3) non esiste; … ; 8(8) 12; … .
Elementi simmetrizzabili: 8(1) 1' = 1, (−1)' = −1; … ; 8(5) 1' = 1, 7' = 3, 3' = 7, 9' = 9;
8(6) ogni elemento è il simmetrico di sé stesso; … .
Le operazioni non commutative sono soltanto due… Quali?
2 (1) Non associativa, non commutativa. (2) Non associativa, non commutativa. (3) Non associa
tiva, commutativa. (4) Non associativa, non commutativa. (5) Non associativa, commutativa.