DISPENSE DI STATICA E SCIENZA DELLE COSTRUZIONI
Alfabeto greco
Per quanto sembri una precisazione superflua, oltre ad aver utilizzato l’intero alfabeto latino, sia maiuscolo
che minuscolo, in fisica si ricorre ai simboli dell’alfabeto greco.
Per evitare eventuali confusioni viene riportato uno schema sinottico utile a decifrare certe formule.
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ρ
σ (ς )
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
alpha
A
beta
B
gamma
G
delta
D
epsilon
E
zeta
Z
eta
E
theta
T
iota
I
kappa
K
lambda
L
mu (mì)
M
nù (nì)
N
csi
C-S
omicron
O
pi
P
rò
R
sigma
S
tau
T
ypsilon
U–I
fì
F
chi
C–X
psi
P
omega
O
Come si può notare ci sono 7 vocali. Inoltre il simbolo Ρ non è una p, che in greco è π. provate a guardare
una qualsiasi banconota in euro.
Nota: la sigma viene riportata col simbolo ς solo a fine parola; theta minuscola viene spesso resa calligraficamente q
anziché θ , il che spesso la confonde con altre lettere come la u o la v italiane. Stesso problema con la nì greca, che è
indistinguibile da una v. In alcuni formati calligrafici, la κ viene scritta κ ma è diversa dalla χ
Nota: a volte si è costretti ad utilizzare lo stesso simbolo per diverse grandezze fisiche: consideriamo la ρ : essa può
rappresentare il giratore, ma anche la resistività nella teoria dei circuiti e la densità in meccanica.
Nozioni utili di Fisica - meccanica
In fisica, la meccanica è la branca che studia gli spostamenti dei corpi e le cause degli spostamenti: le forze.
Viene divisa in tre settori legati tra loro: la cinematica, che studia il movimento ( dal greco κίνησις ), la
statica che studia l’equilibrio dei corpi e la dinamica che studia le forze (dal greco δύναμις).
lunghezza
massa
forza
durata
temperatura
pressione
Più importante ancora delle formule e delle leggi sono le unità di
misura. In fisica la misura è un confronto tra due fenomeni, come
ad esempio la dilatazione del mercurio con un riferimento, il quale
a sua volta è un fenomeno numerico, costituisce un buon modo per
misurare la temperatura.
Il Sistema Internazionale (SI) impone uno standard, qui riportato,
al quale in meccanica ci si attiene strettamente.
m
kg
N
s
K
Pa
metro
chilogrammo
newton
secondo
kelvin
pascal
Moto uniforme del punto materiale
Se osserviamo il moto di un punto lungo una retta, le unità di misura sufficienti a descrivere il fenomeno
sono la lunghezza dello spazio percorso ed il tempo impiegato. Chiameremo la velocità di tale moto:
v = spazio = metri = m
tempo
secondo
s
Moto uniformemente accelerato del punto materiale
Ovunque vi sia un cambio di velocità o un cambio di traiettoria c’è sempre accelerazione.
L’accelerazione come formula è la variazione di velocità, sempre nel tempo.
a = velocità = metri / secondo =
tempo
secondo
m
s2
Moto circolare uniforme:
Partendo dalle osservazioni su di un punto materiale in moto circolare uniforme,
quindi con velocità V costante, si può definire:
1) il periodo T è il tempo impiegato a fare un giro completo, misurato in secondi.
2) la frequenza f esprime quante volte avviene il passaggio in un secondo: f =1 / T
3) la pulsazione ω esprime lo spazio e ragiona in π, velocità angolare:
(Herz)
ω = 2π /T (radianti)
Facciamo un esempio banale: un autobus fa il giro della città in un periodo T = 1000 sec.
Alla fermata, una vecchietta chiede con che frequenza passa l’autobus, qualcuno le risponde: 1 volta ogni 1000 secondi,
ma solo un fisico direbbe: f = 1/1000 ovvero 0,001 Hz, oppure potremmo dire che ha una pulsazione ω = 2π /1000
ovvero 0,00628 rad. In effetti dipende dalla sua velocità V:
V = spazio = circonferenza = 2 π r = ω r
tempo
periodo T
T
chiamando
ω= 2π
T
Indaghiamo un altro esempio: la terra compie un giro intorno al sole in un periodo di 365 giorni.
La sua distanza dal sole, il raggio r di tale moto che approssimiamo a circolare uniforme, è di 147900000 Km.
Determinare: frequenza, pulsazione e velocità della terra:
f = 1 / T = 1 / 365gg = 1/ 31536000 sec = 0,00000003171 Hz
ω = 2π / T = 6.28 / 31536000 sec = 0.0000001991 rad
V = ω r = 0.0000001991
.
147900000
= 29.45 Km/s = 106000 Km/h
In generale in fisica adotteremo il raggio r unitario. La grande utilità della pulsazione ω , consiste nel fatto
che è possibile tracciare un diagramma dei fenomeni oscillatori grazie alle funzioni seno e coseno di cui ω
sarà l’argomento:
F(t) = A sen ω t
→
Vettori e scalari
La forza è la causa degli spostamenti: il modo grafico di descrivere una forza è il vettore.
Direzione: esprime la retta su cui agisce la forza
Punto di applicazione: rappresenta l’inizio del vettore. Tale punto può essere traslato lungo la direzione
Verso: rappresenta la fine del vettore ed indica con una freccia quale verso ha il vettore lungo la direzione
Modulo o intensità: indicato tra inizio e fine del vettore, esprime la quantità (Es.: in newton).
Non tutte le grandezze sono vettoriali: il tempo, ad esempio, non ha un verso: non è pensabile affermare che
sono le 16:00 in una certa direzione. Lo scalare è un vettore di cui si riporta solo il modulo.
Composizioni di vettori
Volendo comporre due forze che agiscono su uno stesso corpo per determinare una sola forza risultante che
rappresenti la combinazione delle due forze, si opera con la regola del parallelogramma: identificato un
unico punto di applicazione, si costruiscono delle rette parallele ai due vettori. Queste si uniranno a formare
un parallelogramma di cui la risultante è la diagonale principale:
Sarà utile concatenare i vettori come nell’ultimo passaggio, specie quando saranno più di due.
Momento di una forza
Non sempre le forze agiscono lungo la stessa direzione: quando questo avviene, ovvero quando una forza
agisce ad una distanza chiamata braccio da un dato punto fisso, si osserva una rotazione del corpo.
Il momento ( dal latino movere, muovere ) è dato dal prodotto della forza per il braccio considerato.
MOMENTO M = FORZA . braccio = F . b
(newton . metro)
Si deve tener conto del fatto che il braccio, come tutte le distanze da una retta, va presa in maniera
perpendicolare alla direzione del vettore.
Equilibrio nelle macchine
Le macchine (dal greco μηχανή ) costituiscono la prima dimostrazione pratica dei principi finora espressi
solo in teoria: devono produrre una forza motrice contraria ed almeno uguale ad una certa forza resistente .
Una macchina si dice in equilibrio quando la forza motrice eguaglia la forza resistente, mentre si dice che è
in funzione, che sta lavorando, appena la forza motrice è maggiore della forza resistente.
FORZA MOTRICE = FORZA RESISTENTE
Le macchine si dividono in due ordini: piano inclinato e leve.
Nel primo caso ipotizziamo un corpo adagiato su di un piano inclinato: sottoposto alla forza di gravità F
tenderà a scivolare sul piano. Per equilibrare tale cinematismo devo opporre una forza motrice, ma la sua
quantità non è pari alla forza F: se dividiamo infatti tale forza in due componenti, una lungo il piano di
scivolo ed una ad esso perpendicolare, noteremo che solo la componente Fs è responsabile dello scivolo,
mentre la componente Fp darà unicamente attrito. Per equilibrare questa configurazione la macchina dovrà
produrre una forza motrice Fm uguale e contraria ad Fs.
Nel caso delle leve si considera che le forze non agiscono lungo la stessa direzione, bensì ad una distanza che
già conosciamo come il braccio. Per questo tipo di macchina, non è sufficiente parlare di sola forza motrice:
avremo un momento agente che equilibra un momento reagente, dati rispettivamente dalla forza motrice
per la sua distanza dal fulcro, e dalla forza reagente per la sua distanza dal fulcro.
MOMENTOag = MOMENTOreag
→ Fm . b’ = Fr
.
b”
Equilibrio del corpo rigido vincolato
Essendo parte integrante della scienza delle costruzioni, non verrà approfondito come argomento in questa
sezione meramente introduttiva, anche se è opportuno, compreso l’equilibrio di una macchina, mettere in
evidenza la similitudine con l’equilibrio dei corpi: se un corpo fosse svincolato e libero di muoversi,
potrebbe compiere due tipi di movimenti: traslare e ruotare.
Riferendoci ad un sistema cartesiano, la traslazione si individua con le due componenti lungo gli assi che,
aggiunta alla rotazione costituiscono i tre gradi di libertà di un corpo nel piano.
I vincoli sopprimono le libertà di un corpo: l’incastro impedisce ogni cinematismo, mentre una cerniera
consente la rotazione ma non la / le traslazioni.
Le aste che collegano i vincoli, componendo un sistema di corpi vincolati, per un primo tempo verranno
considerate indeformabili, pertanto si parlerà di corpi rigidi. Solo in seconda battuta, ottenute dai calcoli
certe informazioni circa la distribuzione delle forze, tramite opportune formule valuteremo la deformazione
del corpo in base alle sue caratteristiche intrinseche come costituzione e geometria.
Per approfondire tali informazioni si consiglia di consultare trattazioni più specifiche.
Dinamica
Verrà preso in esame il concetto di forza, introducendo alcune grandezze fondamentali.
Alla domanda “cosa è responsabile degli spostamenti?” istintivamente chiunque parla di forza motrice, ma fu
il matematico e fisico Isaac Newton a fornire una risposta adeguata della forze: se tutti i corpi sulla terra sono
attratti verso il basso da una forza che è la medesima per tutti, come mai una mela cade più velocemente di
una foglia, ovvero, percorre lo stesso spazio in minor tempo?
La rivelazione sembra banale ma nasconde una grande realtà: la mela “pesa” più della foglia.
Abbiamo visto che l’unità di misura del peso è il chilogrammo, ed è stato specificato che è più corretto dire
che misura la massa di un corpo, ovvero definisce quanto il corpo è in grado di opporsi ad una forza.
La grande differenza tra il chilogrammo (M) ed il newton (F) è l’accelerazione ( F = M . ag ) dovuta alla
gravità terrestre, un valore che oscilla tra i poli e l’equatore tra 9,81 e 9,82 m/s2 , quindi la misura della
forza peso in newton, erroneamente si riporta in chili.
Sulla bilancia dovrebbe esserci riportato il peso in newton. Un uomo che pesa 98 Kg sulla terra, ha una
massa da 10 Kg, ed una forza peso di 98 newton, non chili: sulla luna, dove l’accelerazione è 1,6 m/s2, la
bilancia terrestre segnerebbe 16 Kg, e sarebbero 16 newton.
Pertanto ogni corpo in natura sarà caratterizzato da una sua massa M, la quale, sotto l’azione di una forza F
varierà la sua posizione nello spazio compiendo una accelerazione A, e nell’universo, tali misure sono tra
loro proporzionali:
F=MxA
(u.d.m. SI: Newton)
Pertanto la mela è attirata a terra poichè la sua massa è nettamente inferiore a quella della terra, la luna si
limita ad orbitare intorno perché la sua massa è parzialmente inferiore a quella della terra, ed inoltre, non è
troppo distante da essa per sottrarsi ad un’attrazione prodotta naturalmente tra masse.
Densità, peso specifico
La differenza consiste nel considerare, del medesimo corpo di 1 m3, la massa in kg o la forza peso in newton:
densità: indicata con ρ indica kg-massa/ 1 m3 (non i kg della bilancia terrestre, bensì la massa)
peso specifico: indica il medesimo rapporto ma utilizza il peso indicato dalla bilancia terrestre.
In pratica se prendiamo due corpi, come una sfera di metallo ed una di gomma piuma, a parità di dimensioni
presentano pesi ben differenti ai sensi. Pertanto è stato possibile definire la massa di elementi naturali grazie
ai diversi valori del peso specifico di un campione (reale o calcolato) di 1 m3 di dimensioni spaziali
Pressione
In generale, la pressione si indica come una forza (newton) applicata ad una superficie (m2).
Press. =
newton = (u.d.m. SI : pascal )
m2
( nota: consulta la dispensa sulla tensione )
Lavoro, potenza ed energia (cinetica e potenziale).
Lavoro, energia e potenza sono tra loro eternamente legate: l’energia è ciò che serve a compiere un lavoro,
e la potenza indica solo in quanto tempo il lavoro verrà effettuato. Disarmante la semplicità.
In fisica, il lavoro è il risultato di una forza per uno spostamento, e non è possibile alcun guadagno in lavoro.
L=FxS
= Newton x metro
(u.d.m. SI : joule )
Mentre la potenza considera il lavoro svolto nell’unità di tempo.
P = L
T
= joule
secondo
(u.d.m. SI : watt )
L’esempio calzante è quello di un operaio che trasporta un sacco da 25 kg di cemento passando per le scale fino ad
un’altezza di 10 metri, ed un suo collega che alza lo stesso sacco con un argano montato sul tetto. In termini di lavoro,
entrambi hanno portato il sacco sul tetto, e per il fisico Joule, il loro dispendio energetico è pari al lavoro svolto:
L=FxS
= Newton x metro = 25 x 10 = 250 j
Non parimenti vero in potenza: il primo ha impiegato 100 secondi a compiere il lavoro mentre quello con l’argano ha
impiegato 10 secondi: la potenza quindi è:
operaio: P = L = 250 j
= 2,5 W
T
100 sec
argano: P = L = 250 j
= 25 W
T
10 sec
Appare logico che una macchina abbia maggior potenza di un organismo umano. Le macchine meccaniche amplificano
la forza umana, ma nel caso dell’argano elettrico, abbiamo subito trasceso dalla potenza meccanica alla potenza
elettrica, ma nessuno si stupisca se entrambi i fenomeni rispondono alla stessa legge. Servirà un argano da 25W.
Energia cinetica
Il suono di una goccia d’acqua che cade è parte dell’energia cinetica prodotta che si disperde sottoforma di
onde sonore. Se immaginiamo una cascata, applicando una pala a tale corrente tale da recepirne l’energia,
otterremmo di nuovo un lavoro: una macchina che lavora al posto dell’uomo e, come osservato, con molta
più potenza e senza coinvolgere energie umane: l’energia è presente in natura. Come si arriva alla formula
non può essere omesso: riprendiamo la formula del lavoro e della forza:
L=FxS
;
F=MxA
quindi
L= MxA xS
L’accelerazione è una variazione di velocità nel tempo, è una media tra velocità iniziale e finale.
A sua volta la velocità è una variazione di spazio nel tempo: cosa succede se immetto tali valori:
L= 1 . M . S . S =
2
T2
1 . M . S2
2
T2
= 1 M
2
S
T
2
Al posto di S/T siamo autorizzati a mettere la velocità V. Il risultato finale è in duplice veste il lavoro
prodotto da una massa M accelerata ( la forza non è espressa direttamente ma è rapportata all’energia
potenziale intrinseca di un corpo avente una determinata massa) o l’energia che tale massa produce
impattando contro un’altra massa. Non parleremo più quindi di lavoro ma di energia cinetica:
Ec = ½ M V2
Ovvero: un moscerino ha massa 0,001 e viaggia a 60 km /h. un autobus ha massa 10000 e va alla stessa velocità.
L’impatto del moscerino sulla fronte di un passante rilascia una quantità di energia cinetica a malapena percepibile,
l’impatto con un autobus è sensibilmente più traumatico:
moscerino: ½ 0,001 602 = ½ 0,001 3600 = ½ 3,6 = 1,8 j
autobus: ½ 10000 3600 = ½ 36000000 = 18.000.000 j
L’energia potenziale, ultimo argomento, è in definitiva la capacità che un corpo, data la sua massa (in
meccanica) di produrre energia.
Un proiettile ha sempre la stessa massa, ma se lo tiro con la mano non uccide nessuno, sparato con
un’esplosione con la polvere da sparo nel fucile può abbattere un elefante, ma non riesce comunque ad
attraversare una lastra di piombo, poiché ha una massa molto più pesante. Se togliamo la velocità ed
osserviamo solo il corpo, l’energia potenziale è in definitiva la sua massa, la sua capacità di opporsi alle
forze e produrre energia relativamente alle qualità fisiche osservate in meccanica con le unità di misura della
meccanica.
Conclusioni
Senza una chiara cognizione di tali fondamenti sarà impossibile la chiara comprensione delle trattazioni
successive. Tali nozioni, riportate in modo assai riassuntivo, vogliono indicare alcuni argomenti utili da
approfondire, pertanto qualora uno di questi argomenti non fosse chiaro, si esorta l’interessato ad
approfondirlo con ricerche su testi (vanno bene quelli del liceo) e su internet.
