TESI DI LAUREA IN FISICA
DIPARTIMENTO DI FISICA "E.R. CAIANIELLO"
EFFETTO UNRUH E TEORIA DEI CAMPI IN SPAZI-TEMPI
CURVI
"Io amo gli uomini che cadono, se non altro, perché sono quelli che attraversano"
- Friedrich Wilhelm Nietzsche
I Docenti:
Lo studente
Valerio Bozza (relatore):
Aniello Quaranta:
Gaetano Lambiase (correlatore):
Matricola: 0512600011
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2
DIPARTIMENTO DI FISICA "E.R. CAIANIELLO"
ABSTRACT
L'elaborato presentato mostra tutti i passaggi fondamentali che hanno condotto
dalle conoscenze fisiche dei primi del novecento (primi sviluppi della meccanica
quantistica, relatività ristretta) a quella che è la base teorica per la fisica attuale. La
tesi, escludendo l'introduzione e la conclusione, è strutturata in tre fasi: Elementi di
teoria dei campi,Introduzione alla relatività generale ed effetto Unruh. Non si è
tentato di dimostrare alcunché di nuovo, né di falsificare qualsiasi ipotesi. La
discussione si avvale di ragionamenti e metodi già ben comprovati nelle discipline
esposte e riportati in tutta la letteratura scientifica.
I Docenti:
Lo studente
Valerio Bozza (relatore):
Aniello Quaranta:
Gaetano Lambiase (correlatore):
Matricola: 0512600011
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INDICE
INTRODUZIONE.................................................................................................................................................. 6
1) TEORIA QUANTISTICA DEI CAMPI.................................................................................................................. 8
1.1) Basi di teoria dei campi .......................................................................................................................... 9
1.2) Schroedinger ed Heisenberg ................................................................................................................ 12
1.3) La seconda quantizzazione ................................................................................................................... 15
1.4) I propagatori ......................................................................................................................................... 21
1.5) Il concetto di rinormalizzazione ........................................................................................................... 22
2 RELATIVITA' GENERALE................................................................................................................................. 24
2.1) Il campo dei gravi ................................................................................................................................ 28
2.2) Onde gravitazionali............................................................................................................................... 32
2.3) Il formalismo delle tetradi .................................................................................................................... 33
3) TEORIA DEI CAMPI IN SPAZI TEMPI CURVI ED EFFETTO UNRUH................................................................. 37
3.1) Introduzione ......................................................................................................................................... 37
3.2) Lo spazio di Rindler............................................................................................................................... 41
3.3) Effetto Unruh ....................................................................................................................................... 43
CONCLUSIONE ................................................................................................................................................. 49
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................................. 51
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INTRODUZIONE
Come già accennato nell'Abstract lo scopo della tesi è puramente illustrativo. Il
taglio scelto è quello di "un'esplorazione" di alcune delle tematiche di maggiore
interesse nella fisica moderna. Nel 1900 Max Planck riesce a spiegare i dati
sperimentali relativi alla radiazione di corpo nero, ricorrendo ad uno stratagemma
che sarà poi noto con il termine di quantizzazione. La scoperta suscita
sconvolgimenti in tutto il mondo accademico, poiché introduce il concetto di
"quanto" ossia la fondamentale unità di energia ( ma anche informazione,vibrazione
ecc). Tutti gli scambi energetici avvengono, almeno per il campo elettromagnetico,
con energie multiple intere di tale quanto. Poco dopo (1905) un'altra teoria rimette
in discussione tutta la fisica: la relatività (speciale) di Einstein. Abituati a concepire il
mondo tridimensionalmente i fisici devono fare i conti con una nuova dimensione e
un nuovo modo di concepire lo spazio e le distanze. Mentre Einstein porta a termine
i suoi grandiosi lavori, nomi importanti quali Schroedinger, Heisenberg, Planck e
Dirac, si affacciano al mondo di possibilità aperto dalla quantizzazione. Finalmente,
le idee quasi filosofiche che aleggiano intorno ai concetti quantistici, trovano
sistemazione nell'equazione di Schroedinger, tramite la quale i fisici sono in grado di
descrivere il mondo atomico e sub-atomico ( nei limiti della trattazione classica). Qui
sorgono le prime complessità: a cominciare dall'interpretazione delle grandezze in
gioco, per finire con le apparenti contraddizioni della teoria. Ancora discussi, ad
esempio, sono il significato del collasso della funzione d'onda, la "definizione" di
misura e i suoi effetti sul mondo. Pur portandosi dietro pesanti incongruenze la
meccanica quantistica classica funziona, spiegando persino la tavola periodica degli
elementi ( pur ricorrendo ad approssimazioni). Nel 1916 Einstein pubblica la teoria
della Relatività generale, con la quale sembra chiudersi il capitolo "gravitazione".
Tuttavia, questa teoria, è in evidente contrasto con i concetti quantistici, non ancora
adatti ad una generalizzazione di questa portata. Negli anni 30 Dirac formula la sua
famosa equazione, il primo passo per l'integrazione tra meccanica quantistica e
relatività speciale. Integrazione che culminerà solo nei decenni successivi, prima con
la QED, poi con il lavoro di Weinberg e colleghi, per giungere ai giorni nostri sotto
forma di teoria quantistica dei campi. Ancora oggi non si è in grado di trovare
connubio funzionale tra la relatività generale e la teoria dei campi quantistica, e per
motivi concettuali e per difficoltà intrinseche nella struttura matematica delle due
teorie (le quali, ricordiamo, hanno consentito uno sviluppo enorme nella
6
matematica, portando all'introduzione dei Tensori,delle varie algebre operatoriali, e
così via).
Il profilo che appare oggi della fisica, è quello di una scienza dai grandi risultati e
dalle prospettive ancora più grandi, che tuttavia presenta ancora contraddizioni ed
incongruenze non sanate alle radici delle sue più prolifiche discipline. Quello che
tenteremo di dare attraverso questo elaborato è una panoramica su queste
"fratture" ponendo particolare attenzione all'effetto Unruh.
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1) TEORIA QUANTISTICA DEI CAMPI
Senza troppo dilungarci, possiamo dire che la teoria quantistica dei campi
rappresenta una teoria (più precisamente un gruppo di teorie) di successo
straordinario : la QED (Elettrodinamica Quantistica) ha fatto luce sulla natura del
campo elettromagnetico in termini innovativi e generali; La QCD ( Cromodinamica
Quantistica) rappresenta oggi il nostro modello per descrivere le interazioni forti.
Sempre nell'ambito della teoria dei campi si è avuta l'unificazione dei campi
elettromagnetico e debole. Naturalmente, la teoria quantistica dei campi, riporta
con sé gli elegantissimi risultati della teoria classica dei campi,quali il teorema di
Noether, il principio Hamiltoniano,ecc. Il passo fondamentale, come si può dedurre,
è la quantizzazione. Per essere precisi, si tratta di una sostituzione concettuale: I
nostri campi classici, funzioni sostanzialmente "regolari" delle coordinate, vengono
sostituiti da Operatori (quantistici).
La quantizzazione, non è altro che la classica procedura alla Dirac. Tuttavia, nella
teoria emerge una natura particolare. Dovendo abbandonare lo studio della singola
particella, si arriva all'integrazione di tutte le sue proprietà in un campo continuo,
oscillante tra particella e onda, in cui trovano sistemazione le soluzioni ad energia
negativa della teoria di Dirac. Questo campo deve naturalmente essere descritto
come sovrapposizione di stati, questa volta nel continuo. Questa procedura può
essere applicata più volte e,a seconda dei campi,restituirà la corretta Hamiltoniana
in teoria di campi1.
Difatti tutta la teoria ha un approccio Hamiltoniano, sebbene sia relativisticamente
covariante. Va tuttavia sottolineato che questa covarianza non è generale, ossia,
non è generalmente valido per ogni trasformazione di coordinate ( e quindi sistema
di riferimento). Quando la teoria incontra la relatività generale, sorgono difficoltà
concettuali rilevanti.
1
Si veda ad esempio "Relativistic Quantum Fields" (Bjorken-Drell) pp. 2-23
8
1.1) Basi di teoria dei campi
Un campo è in generale una qualsiasi funzione:
Per semplicità scegliamo un qualsiasi sistema di riferimento inerziale e supponiamo
che il nostro campo sia uno scalare. L'azione relativa al campo deve essere funzione
del campo e deve esprimersi nella forma
Dove u è il campo e
è il volume d'integrazione Minkowskiano:
Dal principio di minima azione si ricava
Per la particella libera,l'azione è data semplicemente da
9
questa azione può essere riscritta come
Da cui si ottiene immediatamente
Per una particella carica,interagente con il campo elettromagnetico,si trova invece:
Che conduce alle classiche equazioni di Maxwell, se accompagnata dall'azione
completa del campo:
Il campo elettromagnetico, come potremo vedere, servirà da modello per la
formalizzazione di molti campi quantistici. Si noti che tutte le grandezze sono
covarianti di Lorentz e che tutti i tensori sono ben definiti. Quando si opera la
trasposizione tra scalare (classico) e rispettivo operatore, è sufficiente una
10
sostituzione funzionale. Quando si tratta con grandezze covarianti,invece, è bene
tenere a mente, così come accade per gli operatori trivettoriali, che i vari operatori
componenti del "tensore" devono essere legati covariantemente tra di loro,secondo
le trasformazioni di Lorentz. Così in meccanica quantistica relativistica, l'energia non
è altro che la componente zero del quadrivettore momento.
Naturalmente, nel caso di metrica minkowskiana,è facile individuare il volume
d'integrazione corretto per il calcolo dei valori medi. Il caso generale, invece,
presenterà ulteriori difficoltà concettuali. Fin qui, nulla di nuovo: non abbiamo fatto
altro che riconoscere i campi nelle azioni delle particelle relativistiche.
Naturalmente,anche le equazioni della meccanica quantistica, incluse quelle di
Schroedinger e Dirac, sono derivabili da un'opportuna lagrangiana, ove il ruolo di
campo è svolto dalla funzione/spinore d'onda. Vediamo nel dettaglio. Consideriamo
il campo scalare e il suo aggiunto
è immediato verificare che l'azione
restituisce l'equazione di Schroedinger. Analogamente, è possibile scrivere le azioni
per Klein-Gordon e Dirac:
11
Dove abbiamo fatto uso delle seguenti definizioni:
Si noti bene che, pur preservando la medesima forma scalare, queste grandezze
sono formate da quantità completamente diverse tra di loro. Discuteremo ora
brevemente dei diversi approcci quantistici.
1.2) Schroedinger ed Heisenberg
Il punto,infatti, è che la nozione stessa di "scalare" viene a cambiare nel passaggio
dalla meccanica classica a quella relativistica. Senza entrare nel dettaglio, è
opportuno tenere a mente che tali grandezze si trasformano allo stesso modo,ma
sotto trasformazioni diverse. Lo stesso dicasi per i vettori. Nella cosiddetta
Schroedinger's picture, l'incognita è la funzione d'onda, il cui modulo quadro
corrisponde alla densità di probabilità. Tale funzione è in generale funzione delle
coordinate e del tempo,quest'ultimo rimanendo un parametro e favorendo quindi
l'impostazione Hamiltoniana del problema. Applicando la sostituzione classica
L'equazione di Schroedinger
Riproduce la relazione classica
12
Dove E è l'energia totale, T l'energia cinetica e V l'energia potenziale.
Mentre per quasi tutte le applicazioni della meccanica quantistica classica questa
formulazione è adatta, la teoria dei campi preferisce adottare una formulazione più
generale, dovuta ad Heisenberg. Mentre nella Schroedinger's Picture. gli operatori
non erano funzione del tempo, che faceva parte della funzione d'onda, nella
Heisenberg Picture . sono gli operatori a dipendere dal tempo e non più la funzione
d'onda. Riscrivendo formalmente la (1.13) e integrando, si ottiene
per un qualsiasi operatore
Questa equazione è nota anche come equazione di Heisenberg e costituisce il punto
di partenza formale per l'impostazione dei problemi quanto-relativistici. In effetti,
sebbene tale relazione non sia esplicitamente covariante è comunque valida in ogni
sistema di riferimento, data la natura probabilistica delle equivalenze. Il punto è
allora determinare la corretta Hamiltoniana, dalla quale le equazioni del moto si
derivano in maniera automatica.
Per motivi che saranno meglio chiari successivamente, riportiamo una breve
discussione relativa all'oscillatore armonico. Faremo una trattazione classica,alla
13
Schroedinger,puntando però alla risoluzione con metodo algebrico. Ciò servirà sia
per introdurre concetti del tutto generali in teoria dei campi, sia per mostrare
quanto sia rilevante l'approccio algebrico. L'oscillatore armonico è descritto
dall'Hamiltoniana classica:
Essendo la "somma di due quadrati" questa Hamiltoniana è chiaramente
fattorizzabile. Definendo infatti i due operatori:
si trova
dove l'operatore N ha ovvio significato fisico. I livelli dell'oscillatore armonico
unidimensionale dipendono solo dal numero quantico n(autovalore di N). Gli
operatori a sono detti operatori di creazione e distruzione. Come è facile dimostrare
essi aumentano o diminuiscono di uno il numero n. Qui,naturalmente tale numero si
riferisce ai livelli energetici. Nel seguito, gli operatori appena definiti saranno
generalizzati, intendendo però, in questo caso, la creazione e la distruzione di
particelle e stati.
14
1.3) La seconda quantizzazione
Cominciamo ora con l'inserirci nel cuore della tematica, affrontando la cosiddetta
"seconda quantizzazione". La prima, mostrata precedentemente in questo
elaborato, ha permesso una riscrittura del mondo fisico a tutti i livelli. La seconda,
permette di generalizzare i concetti della prima, arrivando a descrivere
correttamente ben tre delle quattro interazioni fondamentali a noi note.
Riscriviamo,per comodità tutte le relazioni fondamentali. Si consideri l'azione
dove
include tutte le derivate del generico campo. Allora
Definiamo il momento coniugato
dove,naturalmente, abbiamo fatto uso della nozione di derivata funzionale.
A questo punto possiamo definire l'Hamiltoniana come
15
Sia dall'Hamiltoniana che dalla Lagrangiana possiamo ricavare le "equazioni del
moto":
La seconda quantizzazione consiste nel postulare le seguenti relazioni algebriche:
da tali relazioni si deduce facilmente che
e infine,l'equazione Heisenberghiana:
Tale formulazione è detta formulazione canonica. Per esplicitare meglio il passaggio
dalla teoria classica a quella quantistica, daremo alcuni esempi:
16
A) Il campo scalare di Klein-Gordon
La densità di lagrangiana corretta è data da:
Tale forma restituisce la ben nota equazione di K-G. Se si considerano due qualsiasi
soluzioni, allora è conservato il seguente prodotto scalare:
E' diretto provare le proprietà di tale prodotto scalare. L'equazione d'onda che ne
deriva:
Possiede un set completo di soluzioni dato dalle funzioni
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Il set oltre ad essere completo è ortonormale2. Ciò ci consente di scrivere qualsiasi
soluzione nella forma
Che altri non è che un'espansione nei "modi" k del campo scalare. Gli a
rappresentano operatori di creazione e distruzione, in un senso che sarà meglio
chiaro a breve. Questi giocano il ruolo di "coefficienti" dell'espansione. In ogni caso
questi operatori soddisfano le relazioni:
L'operatore
con autovalori naturali, rappresenta l'operatore numerico. Tuttavia, a differenza del
caso classico, qui abbiamo a che fare con la rappresentazione di Fock: N non
commuta con il campo, quindi gli stati con un definito numero di quanti non hanno
un campo ben definito, essendo questa conseguenza del dualismo onda-particella.
In questa rappresentazione,gli operatori creazione e distruzione aumentano o
diminuiscono il numero di quanti in un determinato modo.
2
18
B) Il campo di Dirac
Il discorso effettuato precedentemente, rappresenta un caso particolare, nel quale
l'algebra è regolata dai commutatori. E' questo il caso del campo scalare, o
bosonico. Il campo di Dirac rappresenta un campo spinoriale il quale descrive un
campo fermionico a spin 1/2 ( ad esempio, un elettrone) . In questo caso l'algebra è
quella degli anticommutatori. Gli spinori sono grandezze fisiche regolate da leggi di
trasformazione descritte in forma matriciale. Lo spin, come si è potuto evincere, ha
evidenti connessioni con la statistica, ma non solo: esso rappresenta un grado di
libertà ulteriore, dovuto alla forma stessa delle trasformazioni di Lorentz.
La ben nota densità di Lagrangiana è:
gli operatori creazione e distruzione dovranno soddisfare le medesime relazioni
(1.24) ma in forma anticommutativa:
Conclusioni analoghe al caso scalare si deducono per il campo di Dirac. Con la
differenza che qui subentra il principio di esclusione di Pauli.
19
C) Il campo elettromagnetico
Particolare importanza, come già accennato, riveste il campo elettromagnetico.
Relativisticamente questi è descritto da un tensore del secondo ordine F dal quale si
deducono le equazioni di Maxwell:
l'azione completa per una particella carica in campo elettromagnetico è data da:
Dove
4-vettore densità di corrente
La Lagrangiana sarà data da
Veniamo ora al caso interessante, cioè la lagrangiana della QED (elettroni-positroni):
dove la derivata covariante è definita, in virtù dell'invarianza di gauge,come
20
Essendo i campi ben due,le equazioni algebriche saranno in totale 4 e
coinvolgeranno i potenziali elettromagnetici e il campo spinoriale. Si trova, infine,
come deve essere
1.4) I propagatori
Veniamo ora all'approccio dei propagatori di Feynman, che mettono meglio in luce
le caratteristiche degli stati discussi sopra. Cominciamo con il campo di Klein
Gordon(A). Per ottenere uno stato di carica +1 dal vuoto, operiamo tramite il campo
. Di esso sopravvivrà solo la parte di creazione (o frequenza negativa):
Ora, in accordo con la classica interpretazione delle ampiezze di probabilità,
l'ampiezza per la propagazione da un tempo t a un tempo t' per lo stato (1.43) sarà
dato da
Analogamente per il riassorbimento. Il propagatore di Feynman si forma sommando
i due contributi ( creazione e riassorbimento del quanto):
21
Si trova facilmente che
Come si è visto, il propagatore di Feynman rappresenta un potente strumento per
descrivere la dinamica dei campi. Lo stesso dicasi anche per il campo di Dirac e
quello elettromagnetico, per i quali il propagatore ricopre il medesimo significato
fisico.
1.5) Il concetto di rinormalizzazione
Per procedere nella discussione, dobbiamo focalizzare l'attenzione sulle proprietà
fondamentali degli stati e dei propagatori, senza cercare ancora di risolvere le
equazioni ( che spesso sono non lineari e accoppiate). Cominciamo sapendo
dell'esistenza di un quadrivettore-operatore momento che soddisfa le seguenti:
22
Definiamo, per comodità dei campi (in e out) che ci consentono di ridurre la
dinamica ai tempi - e + infinito. , entrambi soluzioni dell'equazione d'onda ( in
questo caso Klein-Gordon per semplicità). Consideriamo i due stati
Gli elementi
definiscono la matrice S. Il problema è ,per l'appunto, che questa Matrice può avere
o non avere forma analitica, a seconda dei casi, ed essere più o meno complesso. Ciò
che siamo portati a fare, è ricorrere ad uno sviluppo perturbativo. Volendo
esplicitare l'intero discorso teorico che conduce a questa matrice e quindi ai
diagrammi di Feynman, bisogna rimandare a testi specifici ( si veda la bibliografia)
Il nodo è che per ogni interazione e per ogni diagramma, va individuato un certo
numero di costanti di rinormalizzazione che devono essere,naturalmente, finite. E'
questo il caso dei diagrammi più semplici. Uno dei maggiori problemi nel
generalizzare la teoria dei campi, sta proprio nella rinormalizzazione e nella
trasposizione dei "diagrammi" da uno spazio piatto ad uno curvo.
23
2 RELATIVITA' GENERALE
Dopo aver esaminato la teoria dei campi,efficiente simposio di meccanica
quantistica e relativistica,ci accingiamo allo studio della quarta interazione.
La teoria della relatività generale postula i principi,appunto, per la totale generalità
del riferimento e dell'osservatore. Einstein si rende conto che la questione è in
realtà geometrica. L'azione libera per una particella deve essere sempre della forma
Con
Ora,in altri termini, l'azione minimizza la "distanza" quando si è in presenza del moto
reale di una particella. La sua traiettoria è detta geodetica e il problema della
Lagrangiana è il suo equivalente. Quando permettiamo al sistema di riferimento di
essere generico, quindi non inerziale in genere, le geodetiche sono diverse, in
quanto la distanza stessa è descritta da una metrica diversa. Il concetto è che
sebbene la distanza resti invariata, varia la metrica dello spazio-tempo, o,
equivalentemente , si possono effettuare trasformazioni qualsiasi di coordinate. Tale
concetto è di totale generalità: è matematico, prima che fisico, come la completezza
degli stati in meccanica quantistica. Questo è il principio di relatività generale: in
qualsiasi sistema di riferimento le equazioni devono essere equivalenti, sia esso
inerziale o non inerziale.
Il fulcro del passaggio avviene nell'identificare nel tensore metrico una funzione
delle coordinate, che contiene informazioni sulla trasformazione e quindi sul
passaggio da un sistema di riferimento (qualsiasi d'ora in poi) ad un altro;
24
Non solo, Einstein riesce ad identificare la non-inerzialità con l'effetto di campi
gravitazionali. Concettualmente siamo vicini a quello di forza centrifuga: è una
"forza" solo nel senso che appare nella trasformazione da un sistema inerziale ad
uno non inerziale (rotante). Tuttavia, il grado di complessità è di gran lunga
maggiore. Il nostro tensore (2.3) sarà il "potenziale" del nostro campo
gravitazionale.
Innanzitutto ci poniamo la questione geometrica: come cambiano i tensori nel
passaggio da un sistema di riferimento all'altro? Per gli scalari, dovrebbe essere
ovvio, non accade nulla. Per i 4-vettori, bisogna introdurre il concetto di connessione
e di trasporto parallelo. In altri termini, considerato un percorso chiuso nello spazio,
si trasporti parallelamente il vettore su tutto il contorno. Il risultato è un 4-vettore
diverso. Per esprimere matematicamente il concetto, si introduce la variazione del
4-vettore:
si noti che la quantità introdotta non è un tensore. La connessione,o simboli di
Christoffel possono essere nulli in qualche sistema di riferimento, il che basti per
dedurne la natura non tensoriale.
Da qui la derivata covariante:
La derivata di tensori di ordine superiore è data semplicemente dalla combinazione
di tali derivate. Applicando tale derivata al tensore metrico, ci permetterà di
esplicitare la forma dei simboli di Christoffel. Difatti deve essere, come per ogni 4vettore:
25
da cui
e quindi
Ora, l'equazione del moto per la particella "libera" in campo gravitazionale dovrà
essere l'analogo relativistico dell'equazione classica:
Ma ciò che più ci interessa è il campo gravitazionale. Abbiamo detto che il tensore
metrico deve fungere da potenziale del campo e quindi, le equazioni del moto
possono contenere soltanto derivate al più seconde del tensore metrico. Questo per
analogia con l'equazione di Poisson3. E' chiaro allora che la corretta combinazione di
derivate prime del tensore metrico deve fungere da "forza". Esiste,nondimeno , un
tensore del quarto ordine, detto tensore di Riemann, che esprime le variazione del
secondo ordine della metrica:
3
26
Successive contrazioni del tensore forniscono il tensore di ricci e la curvatura
scalare.
Veniamo dunque all'azione del campo gravitazionale. Si trova facilmente che:
Per poter scrivere le equazioni del moto, abbiamo bisogno anche dell'azione della
materia: difatti, senza materia non vi sarebbe campo gravitazionale. Per materia
intenderemo qualunque campo (incluso quello elettromagnetico, le cui equazioni
non vengono toccate).
Da cui, infine, le equazioni di campo di Einstein:
Queste equazioni vanno interpretate nel seguente modo: ad ogni tensore energia
impulso, e quindi materia, corrisponde una deformazione (del secondo ordine) della
27
metrica dello spazio tempo. Dato che la velocità di propagazione è finita, ciò dà
origine a onde gravitazionali.
2.1) Il campo dei gravi
Mostreremo ora, nei vari casi particolari, il calcolo delle grandezze di interesse. Nel
caso limite newtoniano, la componente 00 del tensore metrico è data da
Questa è l'unica componente di cui si avrà bisogno. Inoltre
dove rappresenta la densità di energia. Quindi, ponendo uguali ad uno le altre
costanti
ricordando la definizione del tensore di Ricci, si trova, infine, con le eq. di Einstein:
28
Passiamo ora a un caso di interesse maggiore. In primis, ci occupiamo di un campo
gravitazionale a simmetria centrale, ovvero, con l'espressione della distanza data da:
Possiamo quindi scrivere le componenti del tensore metrico nella forma:
e quindi
Da cui le equazioni di Einstein:
29
Nel caso più semplice, il vuoto, tali equazioni sono integrabili. Ponendo il tensore
energia impulso pari a 0 si ottengono le equazioni:
Che conducono alla soluzione
integrando la seconda delle (2.23) si trova
Imponendo che al limite, una massa subisca la forza newtoniana, si deduce il valore
della costante, detto raggio gravitazionale del corpo:
30
che ci consente infine di dare la completa soluzione al problema, nota come
soluzione di Schwarzschild:
Mostriamo ora quali sono gli invarianti del tensore di curvatura. Per definizione si
ha:
dove l'asterisco denota il tensore duale. Essendo noti i termini del tensore di
Riemann, si trova, per la metrica di Schwarzschild,
Ulteriori calcoli, mostrano, per il calcolo della curvatura gaussiana nel caso di
iperpiani perpendicolari ai raggi
31
2.2) Onde gravitazionali
Consideriamo, come incipit, una piccola variazione della metrica minkowskiana:
Il fatto che questa variazione sia piccola si traduce nell'invarianza del tensore
perturbativo per trasformazioni del tipo:
con le piccole rispetto alle grandezze in gioco. Possiamo quindi imporre condizioni
sull'iconale4, che ci permette infine di scrivere la relazione
Dalla forma della perturbazione, si deduce che un'onda gravitazionale piana è
determinata da un tensore bidimensionale del secondo ordine simmetrico ( e quindi
due sole grandezze). In virtù di ciò possiamo calcolare lo pseudo-tensore energia
impulso:
4
Si veda Landau
32
E' questo il caso delle cosiddette "onde gravitazionali deboli". Esistono, ovviamente
altri casi di maggiore interesse, ma che a poco servirebbe illustrare in questa sede.
2.3) Il formalismo delle tetradi
Per poter ottenere un approccio migliore alla relatività generale e metterne in
evidenza la potenza teorica, svilupperemo un diverso formalismo, partendo dal
principio base di relatività generale. Sia X un sistema qualsiasi di riferimento, per
questo sistema, scegliamo un set di coordinate localmente inerziali . Essendo in
generale la metrica non minkowskiana, sarà
dove abbiamo definito
con x sistema di riferimento qualsiasi. Dato che queste grandezze si trasformano
come:
è bene tenere presente che questo è piuttosto un insieme di 4 4-vettori, che un
tensore del secondo ordine. Queste grandezze si chiamano tetradi o vierbein.
Queste tetradi consentono di esprimere, le relazioni tra grandezze covarianti e
controvarianti in funzione delle coordinate localmente inerziali,cioè:
33
Dato che ora la metrica è formalmente piatta, il campo gravitazionale entrerà
nell'azione tramite le tetradi e le derivate, ovvero tramite il campo tetradeale:
Vediamo ora come tale grandezza si trasforma nel passaggio da un sistema di
riferimento all'altro. Scelto un qualsiasi campo, si trova
E' possibile costruire una derivata di Lorentz, definendola come:
dove le matrici appena definite si trasformano come
Se poi ci mettiamo nel caso di trasformazioni "piccole", possiamo dedurre che,
avendosi:
34
deve essere
dove le
sono matrici simmetriche definite dalla seguente relazioni:
queste matrici sono, appunto, i generatori delle trasformazioni di Lorentz.Nella
teoria di Dirac queste matrici emergono naturalmente, così come lo spin( a
differenza di quanto non accadeva con l'equazione di Schroedinger).Riassumendo,
l'effetto della gravitazione sui campi, può essere messo in acconto sostituendo tutte
le derivate ordinarie con la "derivata covariante" definita come:
dove
indica la derivata covariante come definita in (2.5). E' facile mostrare
come l'azione, espressa in termini di tetradi, ricostituisca le equazioni di Einstein.
35
Nel corso di questa dissertazione abbiamo voluto fornire gli strumenti base per
affrontare l'argomento principe della tesi, in maniera esplorativa e ponendo
particolare enfasi sulle relazioni algebriche. La sezione relativa al formalismo delle
tetradi è stata volutamente aggiunta, per permettere un passaggio più efficace dalla
teoria dei campi quantistica a quella in spazi non minkowskiani (o comunque curvi,
in generale) integrando il concetto pieno di trasformazioni, spin, momento angolare
e gravitazione.
36
3) TEORIA DEI CAMPI IN SPAZI TEMPI CURVI ED EFFETTO UNRUH
3.1) Introduzione
Veniamo finalmente all'argomento cardine della tesi, il ben noto effetto Unruh. Per
poter capire di cosa si tratta, è necessario fare il punto, per determinare quali sono
le proprietà e le simmetrie che ancora possiamo sfruttare e quali sono invece le
caratteristiche che perdiamo, nel passaggio da un sistema all'altro. Il problema che
ci poniamo, del tutto generale, è la trattazione quantistica dei campi nel momento
in cui si effettua una trasformazione di coordinate generica sul sistema.
Volendo storicamente collocare gli argomenti a breve esposti si pensi che Rindler (
1966) e Unruh(1976) sono coloro a cui dobbiamo i maggiori contributi nello studio
(almeno quello elementare) dell'effetto noto (appunto) col nome di effetto Unruh.
Tuttavia, essendo una questione ancora discussa, le ripercussioni di tali studi
giungono fino ai giorni nostri5.
Mutueremo le nostre "azioni" da quelle mostrate in precedenza, con la differenza
che adesso dovremo tener conto di sostituire alle derivate ordinarie quelle
covarianti e modificare opportunamente i volumi d'integrazione ( immettendo cioè
lo Jacobiano della trasformazione
). Per semplicità supporremo che la nostra
metrica abbia la forma:
Si noti che questo è un caso particolare, dato che difatti non esistono termini misti
coinvolgenti il tempo e le altre coordinate. Per i nostri scopi, questa generalizzazione
della metrica minkowskiana è già sufficiente ad evincere le questioni rilevanti.
Scegliamo come campo il campo di Klein- Gordon minimamente accoppiato, vale a
dire, privo dell'accoppiamento con la curvatura. Difatti, generalizzazione immediata
dell'equazione di Klein Gordon è data proprio dalla seguente:
5
Si veda Birell-Davies
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con R curvatura scalare. Per comodità noi useremo l'equazione classica. Sappiamo
bene che la densità di Lagrangiana, corretta al caso curvo, si scrive:
( I segni di coniugazione sono stati soppressi per comodità). In virtù di questo, dalla
nostra metrica, possiamo scrivere l'equazione:
Siano ora f e g due soluzioni qualsiasi (complesse) di tale equazione. Definiamo
allora la corrente:
Questa corrente soddisfa ( per costruzione!) l'equazione di continuità:
Ora, sempre nell'ambito del nostro caso particolare, ovvero l'ipersuperficie a t
costante, possiamo definire una quantità indipendente dal tempo:
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Dove
rappresenta il versore normale all'ipersuperficie t=cost, orientato
positivamente verso il futuro. Tenendo conto della nostra metrica,il "prodotto
interno di Klein-Gordon" si definisce come:
E' inoltre immediato dedurre il momento coniugato:
che ci consente di riscrivere il prodotto scalare
con ovvio significato dei simboli. La quantizzazione avviene in maniera canonica.
Mettendoci nelle giuste ipotesi di regolarità, ossia assumendo che i valori iniziali
siano ben assegnati univocamente, si trova che
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Postulando l'esistenza di un set completo di soluzioni, possiamo infine espandere i
nostri campi (operatoriali):
Avendo omesso l'elemento d'integrazione. Difatti, l'espressione può ridursi ad una
sommatoria (nel caso discreto). Per semplicità, ci metteremo in questa condizione.
Ne deriva che gli operatori creazione e distruzione saranno dati da
E' facile mostrare che il campo può essere espresso in termini di altri operatori
creazione e distruzione, qualora si disponga di un altro set completo di soluzioni.
Inoltre queste soluzioni, sono relative a modi a frequenza positiva, mentre le
complesse coniugate a frequenza negativa. Siccome in generale la scelta di questo
set di soluzioni non è univoca ( come nel caso di Minkowski) è possibile individuare
un altro set. Essendo entrambi completi, queste funzioni possono essere espresse le
une in termini di combinazioni delle altre, più precisamente, indicando con la lettera
maiuscola l'indice relativo al secondo set, si trova:
ed espressione analoga per lo sviluppo inverso. Le trasformazioni da un set all'altro
sono dette trasformazioni di Bogolubov. La scelta del set determina lo stato
fondamentale ( il vuoto). Ora, sebbene questa scelta non sia univoca, emerge uno
stato di vuoto "naturale". Per rendercene conto, riscriviamo l'equazione dei modi
per il nostro caso particolare:
40
Dove l'operatore N è già stato definito in precedenza. La forma dell'equazione ci
induce a cercare soluzioni che siano esponenziali complessi nel tempo, determinate
da costanti indicizzate, che corrispondono alle varie frequenze. Queste frequenze
corrispondono ad energie positive rispetto al vettore di Killing diretto verso il futuro.
Ricordiamo che un vettore di Killing K soddisfa per definizione la relazione:
Mentre per lo spazio di Minkowski è possibile individuare vettori di Killing "globali",
lo stesso non si può dire per gli spazi-tempi curvi. Questa condizione è equivalente
all'affermazione che lo stato fondamentale è definito univocamente nella metrica
piatta.
3.2) Lo spazio di Rindler
I cosiddetti cunei di Rindler sono quelle regioni dello spazio- tempo per le quali
ove z è una qualsiasi delle coordinate spaziali. Queste regioni assumono
svariati nomi (si veda la bibliografia). Ora consideriamo la metrica Minkowskiana.
Ricordando le trasformazioni di Lorentz, è palese che il quadri-intervallo resta
immutato sotto la trasformazione:
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Questa forma ci induce ad esaminare una trasformazione di coordinate del tipo:
Il quadriintervallo sarà dato, a seguito della trasformazione, da:
E' opportuno effettuare una seconda trasformazione:
Per cui il nostro elemento di distanza sarà dato da:
Il vettore di Killing sarà di tipo tempo nelle regioni di Rindler(destra e sinistra) e di
tipo spazio per le regioni degeneri di Krasner6. Esso si annulla per le ipersuperfici con
. Queste ultime sono dette "orizzonti di Killing". L'effetto Unruh viene
definito in questo ambito, come il fatto che l'usuale stato di vuoto Minkowskiano,
ristretto al cuneo destro di Rindler, è uno stato "termico" con la coordinata che
gioca il ruolo del tempo. Analogamente si può definire per il cuneo sinistro.
Questa definizione può sembrare, a primo acchito, come una semplice conseguenza
della trasformazione di coordinate dagli effetti più o meno rilevanti. In realtà, le
6
Si veda la bibliografia per una dissertazione completa.
42
questioni concettuali che reca con sé sono della massima complessità e
rappresentano tutt'ora problemi aperti di fisica teorica. Per meglio capire come
funziona questo fenomeno, passiamo a dare qualche esempio.
3.3) Effetto Unruh
Al fine di studiare l'effetto Unruh propriamente detto, è necessario specificare che
ne esistono svariate forme e in una notevole quantità di spazi. Ai nostri scopi,
tuttavia, è sufficiente prendere in considerazione lo spazio di Minkowski
bidimensionale dotato della metrica:
u' e v' rappresentano le "coordinate dello spazio di Rindler". A scopo esemplificativo
riportiamo le trasformazioni:
In termini delle nuove coordinate il quadriintervallo sarà dato da:
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Naturalmente, si deve imporre (a>0)
Le linee ad η costante sono rette, mentre quelle a ξ costante sono delle iperboli:
avendo definito7 l'accelerazione propria α in relazione al tempo proprio, si deduce
che tali osservatori saranno degli osservatori "accelerati" con tempo e accelerazione
propria dati rispettivamente da:
Ora si consideri l'equazione d'onda per un campo non massivo:
i cui modi normali sono dati da:
7
si veda Birell Davies pp. 52-53
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Rispetto al vettore di Killing dato dalla derivata temporale, si ha
il che evidenzia che si tratta di modi a frequenza positiva. Ora, ritornando al sistema
di Rindler, avremo:
Ora si definiscano per i cunei sinistro (L) e destro (R)
L'insieme di questi modi (L,R) è una base completa grazie alla quale possiamo
espandere il campo direttamente come:
o
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Due diversi spazi di Fock, i cui stati fondamentali denoteremo come
ossia, Minkowski e Rindler,emergono da questo studio. Gli stati di vuoto sono
definiti come:
Il fatto che questi stati non siano equivalenti lo si vede già dalla struttura analitica
dei modi. La non analiticità dei modi di Rindler nei punti di passaggio da un segno
all'altro (u',v') fa si che siano presenti,nell'espressione di tali modi, componenti a
frequenza negativa, a differenza di quanto non accada con i modi Minkowskiani. Per
determinare le "particelle di Rindler" che sono presenti nel vuoto di Minkowski
dobbiamo determinare la trasformazione di Bogolubov che correla i due insiemi di
modi. Un metodo elegante per farlo viene seguito da Unruh nel 1976. Egli notò che
sebbene i modi definiti nella (3.33) non siano analitici lo sono le combinazioni:
sono analitiche e limitate in tutto il semipiano complesso inferiore ( e per tutti i
reali). Riscriviamo il campo come:
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Da cui le trasformazioni di Bogolubov:
Un osservatore di Rindler vedrà, per lo stato di vuoto Minkowskiano un numero di
particelle pari a:
In altri termini,è bastato operare delle semplici trasformazioni di coordinate per
ottenere, con gli strumenti a nostra disposizione, un' "incongruenza" di un certo
valore. La questione pone l'interrogativo sul concetto stesso di particella e di misura,
oltre a fornire un importante stimolo per la sua corretta interpretazione. Questo
fenomeno può essere studiato in una notevole quantità di spazi-tempi,il che
complica alquanto le trasformazioni e gli stati. Già la semplice risoluzione connessa
del problema in relatività generale, è in realtà cosa per niente semplice.
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48
CONCLUSIONE
I motivi che hanno portato all'illustrazione esplorativa dell'effetto Unruh, possono
ora essere resi molto più chiari. Abbiamo visto che tale fenomeno deriva da semplici
conseguenze geometriche quando si effettua una trasformazione di coordinate in
dati settori dello spazio-tempo. In altri termini, non abbiamo ancora toccato la
relatività generale vera e propria, e lo spazio è ancora quello di Minkowski; tuttavia
già la semplice sostituzione (3.18) conduce all'incongruenza mostrata prima.
Il concetto è che la costruzione di una teoria quantistica della gravitazione deve
passare prima per tali ostacoli, che emergono naturalmente dalle nostre basi
teoriche. Nonostante la grande potenza delle teorie quantistiche dei campi e della
relatività generale, possiamo dire che queste teorie sono incomplete, così come
qualsiasi teoria fisica degna di questo nome. Il passo successivo, sarà riuscire ad
integrare le due grandi scuole per formare una teoria efficace nella descrizione della
gravitazione a livello quantistico.
Sono stati svolti svariati tentativi (le famose teorie del tutto), molti dei quali vanno
ad aggiungere ulteriori dimensioni e gradi di libertà per giustificare le interazioni ( si
veda Kaluza - Klein ,teoria delle stringhe,teorie M , ecc.) che fino ad ora, purtroppo o
per fortuna, si sono rivelati infruttuosi, o almeno non sono riusciti nello scopo di
costruire una funzionale "teoria del tutto". I ragionamenti svolti condizionano anche
lo studio della radiazione di Hawking e una gran quantità di fenomeni prettamente
astrofisici e relativistici. Quello che si è voluto mostrare in questa dissertazione,
senza alcuna pretesa, è quanto sia fondamentale l'approccio algebrico e la struttura
matematica sottostante sia alla relatività generale sia alla teoria dei campi
quantistica. E', a mio avviso, nella direzione di una nuova algebra e di un nuovo
formalismo matematico, che la teoria a venire potrà trovare giusta sistemazione,
inglobando tutti i risultati mostrati e facendo luce sulle questioni fondamentali della
fisica, compresi, ad esempio, il collasso della funzione d'onda,l'effetto Unruh,
l'evoluzione cosmologica del nostro universo, la materia e l'energia oscura, e così
via.
Solo una migliore comprensione della relatività generale e dei meccanismi
quantistici potrà condurre alla tanto agognata "teoria del tutto".
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BIBLIOGRAFIA
Per la teoria quantistica dei campi e il formalismo:
Bjorken-Drell " Relativistic Quantum Fields" (McGraw-Hill)
Birrell-Davies " Quantum Field Theory in curved space-time" (Cup - 1982)
David J. Griffiths "Introduction to Quantum Mechanics" (Pearson Education 2005)
Goldstein-Poole-Safko "Meccanica Classica" (Zanichelli -2004)
Per la relatività generale:
Landau-Lifsits "Teoria dei campi" (Mir-1976)
S.Weinberg "Gravitation and Cosmology"
Per l'effetto Unruh:
Birrell-Davies " Quantum Field Theory in curved space-time" (Cup - 1982)
Crispino-Higuchi-Matsas " Unruh effect and its applications" (2008)
http://arxiv.org/pdf/0710.5373v1.pdf
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