Cenni introduttivi sulle proprieta’ elementari del Feedback
La tecnica del feedback e’ applicata molto estesamente nei circuiti analogici, ad es.
il feedback negativo permette eleborazioni i segnali con alta precisione e il feedback
positivo rende possibile la costruzione dei oscillatori. Di seguito si analizzano le
caratteristiche principali del feedback negativo.
Un sistema con feedback negativo e’ rappresentato dallo schema seguente:
+
H(x)
X(s) −
Y(s)
G(s)
H(s) e G(s) rappresentano reti feedforward e feedback.
L’output del sistema Y (s) sara’ dato da Y (s) = H(s)[X(s) − G(s)Y (s)] dove si
indica con [X(s) − G(s)Y (s)] l’errore di feedback.
H(s)
Y (s)
=
(1)
X(s)
1 + G(s)H(s)
H(s) e’ la funzione di transfert ”open loop” e Y (s)/X(s) indica la funzione di
transfert ”closed loop”.
1
Nel modello H(s) rappresenta un amplificatore e G(s) e’ una una quantita’
indipendente dalla frequenza: una frazione del segnale di output e’ riportato in
input e confrontato generando un termine d’errore. In un sistema con un
feedback accurato il termine d’errore e’ minimizzato, rendendo la G(y) una ”copia”
fedele dell’input e quindi l’output una replica fedele dell’input.
+
H(x)
X(s) −
Y(s)
G(s)
Si dice che l’input di H(s) e’ un ground virtuale , perche’
l’ampiezza del segnale in questo punto e’ molto piccola. La G(s), poiche’
indipendente dalla frequenza, sara’ sostituita con β, ” fattore di feedback”.
Si individuano 4 elementi in un sistema con feedback:
-1) l’amplificatore feedforward
-2) un elemento per ”sentire” l’output
-3) una rete di feedback
-4) un elemento per generare l’errore di feedback
Elementi presenti in ogni sistema con feedback, anche se non sempre individuabili
facilmente, come ad es. in uno stadio common-source con degenerazione resistiva.
2
Proprieta’ dei circuiti con feedback Tre sono i benefici principali del feedback
negativo: desensibilizzazione del guadagno, modifica dell’impedenza ai terminali e
modifica della bandwidth.
Desensibilizzazione
Nello stadio CS della fig. (a) il guadagno e’ gm1 r01 , che non e’ proprio fisso
perche’ soggetto alle variazioni con la temperatura di gm1 e ro1 .
Vdd
Vdd
I1
I1
C2
Vout
Vout
C1
Vin
M1
Vin
X
M1
Inserendo una rete di feedback come in figura (b) il
guadagno totale in tensione, a basse frequenze di modo che C2 non carichi il nodo
di output, i.e. Vout /VX = −gm1 ro1 , dato (Vout − VX )C2 s = (VX − Vin )C1 s, si ha
Vout
Vin
=−
(1+ g 1r
m1 o1
1
C
) C2 + g
1
1
m1 ro1
Se gm1 ro1 ≫ 1, trascurando i termini a
C1
denominatore, si puo’ scrivere VVout
=
−
C2
in
Il guadagno in questo caso e’ controllato meglio, perche’ C1 e C2 sono meno
soggetti a variazioni con il tempo e la temperatura: desensibilizzazione.
3
Il feedback negativo desensibilizza il guadagno, i.e. il guadagno closed-loop e’
molto meno sensibile ai parametri circuitali del guadagno open-loop.
+
X
A
Y
−
β
Si puo’ quantificare questa proprieta’ scrivendo, vedi figura:
A
1
1
Y
=
≈
·
(1
−
X
1+βA
β
βA ) assumendo βA ≫ 1. Al primo ordine il guadagno di
closed-loop e’ determinato da β, e dato che βA ≫ 1 anche se il guadagno open
loop varia di un fattore 2 non modifica il rapporto Y /X.
La quantita’ βA si chiama guadagno di loop e’ importante perche’ quanto
maggiore tanto minore sara’ la variazione di Y /X al variare di A.
N.B. Se β aumenta il guadagno closed loop diminuisce, quindi e’ necessario un
aggiustamento tra precisione e guadagno: si comincia con un guadagno alto e si
applica un feedback per ottenere un guadagno minore ma meno sensibile.
Inoltre l’output della rete di feedback e’ uguate a X · A/(1 + βA), avvicinandosi ad
Y man mano che βA →≫ 1. come suggerito precedentemente.
4
Per calcolare il guadagno di loop si procede nel seguente modo, vedi figura: si
mette l’input a zero, si interrompe il loop in qualche punto, si inietta un segnale di
test nella direzione giusta, si segue il segnale lungo il loop e si ottiene il valore di
ritorno al punto di interruzione, il negativo della funzione di trasferimento cosi’
ottenuto costituisce il guadagno di loop. N.B. adimensionale!!! Infatti da figura si
X(s)=0
+
−
A
β
ricava che Vt β(−1)A = Vf e quindi Vf /Vt = −βA.
+
−
+
V1 Vf
−
Vdd
I1
Vout
+
+
C2
Vt
−
Vf
M1
−
C1
procedendo in questo modo con lo stadio CS con feedback, vedi
figura, si scrive
2
(−gm1 ro1 ) = Vf , che vale
Vt C1C+C
2
Vf
Vt
2
= − C1C+C
gm1 ro1 .
2
5
Quali sono i 4 elementi di feedback nel circuito CS analizzato?
-1 Il transistor M1 ed il current source I1 costituiscono l’amplificatore feedforward.
-2 La capacita’ C2 ”sente” la tensione di output e
-3 la converte in un segnale di corente di feedback, che e’
-4 sommata alla corrente prodotta da Vin attraverso C1 .
N.B. Il feedback e’ negativo anche se le correnti attraverso C1 e C2 sono sommate,
perche’ e’ l’amplificatore feedforward stesso fornisce un guadagno negativo.
La desensibilizzazione del guadagno per via del feedback mette in evidenza molte
altre proprieta’ del feedback. Si e’ visto come anche una grande variazione del
guadagno A tocchi Y /X molto marginalmente se βA ≫ 1. Queste variazioni
possono derivare da diverse sorgenti: processo di fabbricazione, temperatura,
frequenza e carico.
6
Modifica delle impedenze dei terminali di input ed output
Nel circuito, si nota che il ”sense” di Vout di uno stadio CG e’ un divisore
capacitivo, che applica il risultato al gate del current source M2 e quindi
ritornando un segnale di corrente di feedback all’input. Si vuole determinare le
impedenze di input ed output con e senza feedback.
VDD
RDD
Vout
Vb
M1
C1
Vin
P
M2
Rin
C2
Rompendo il loop, e trascurando le modulazioni di lunghezza di
1
. Per calcolare la resistenza di input,
canale, si puo’ scrivere: Rin,open = gm1 +g
mb1
a loop chiuso , si inietta un segnale VX , allora Vout = (gm1 + gmb1 )VX RD e
1
VP = Vout C1C+C
.
2
Cosi’ la corrente ID,M 2 per piccoli segnali e’ ID,M 2 = gm2 VP . Aggiungendo
ID,M 2 alla ID,M 1 con la polarita’ giusta si ottiene IX :
1
) · VX
IX = (gm1 + gmb1 )VX + gm2 VP = (gm1 + gmb1 )(1 + gm2 RD C1C+C
2
7
Ricavando la Rin,closed si ha:
Rin,closed
VX
1
1
=
=
·
.
1
IX
gm1 gmb1 1 + gm2 RD C C+C
1
2
(2)
Si conclude che il feedback negativo riduce l’impedenza di input di un fattore
1 + gm2 RD C1 /(C1 + C2 , e si vede che il termine
gm2 RD C1 /(C1 + C2 )
e’ il guadagno di loop.
Nel circuito i 4 elementi, caratteristici del feedback negativo, si individuano in:
(1) l’amplificatore forward e’ costituito da M1 e RD ,
(2) l’output e’ ”sentito” da C1 e C2 ,
(3) la rete di feedback e’ costituita da C1 , C2 e M2 e
(4) la sottrazione avviene nel dominio di corrente al terminale di input.
8
Per valutare la modifica dell’impedenza di output ad opera del feedback si consideri
il seguente circuito con stadio Common-Source. Nel circuito, C1 ,C2 e M2
”sentono” la tensione di output e ritornano una corrente uguale a
[C1 /(C1 + C2 )]Vout gm2 alla sorgente di M1 .
VDD
RD
Vout
Vin
M1
M2
RS
C1
P
C2
Si calcola la resistemza di output, a basse f , mettendo a zero l’input.
Rs
1
.
Cosi’ si ha: ID1 = VX C1C+C
g
·
1
m2
Rs +
2
gm1 +gmb1
Poiche’ IX = VX /RD + ID1 , si ha :
VX
=
IX
1+
RD
gm2 Rs (gm1 +gmb )RD
(gm1 +gmb1 )Rs +1
·
C1
C1 +C2
Poiche’ a denominatore c’e un termine che lo aumenta, (uno piu’ loop di
guadagno), ne deriva che l’impedenza di output e’ diminuita.
9
(3)
Modifica della bandwidth
Per valutare l’effetto del feedback negativo sulla bandwidth si puo’ utilizzare il
seguente esempio. Si suppone che l’amplificatore feedforward, ”loop aperto”, abbia
una funzione di trasferimento ad un polo,
A0
A(s) =
s .
1 + ω0
(4)
dove A0 indica il guadagno a basse frequenze ed ω0 e’ la bandwidth a 3-dB. Da
quanto visto in precedenza, si puo’ calcolare la funzione di transfer closed-loop del
sistema come:
Y
(s) =
X
1
A0
1+s/ω0
A0
+ β 1+s/ω
0
A0
A0
1+βA0
=
=
s
1 + βA0 + s/ω0
1 + (1+βA
0 )ω0
(5)
La (5) mostra chiaramente che il numeratore e’ il guadagno closed-loop a basse
frequenze, come previsto, mentre il denominatore mostra un polo a (1 + βA0 )ω0 .
Cosi’ a scapito della riduzione del guadagno a loop aperto A0 , la bandwidth a 3-dB
risulta aumentata di un fattore (1 + βA0 ).
10
Si vede chiaramente dalla figura l’effetto sulla bandwidth dall’introduzione del
|Y/X|
+
Y(s)
X(s)
Ao
−
Ao
1+ βΑ
β
=1/β
ω
ωο
(1+βΑο)ωο
feedback negativo.
L’aumento della bandwidth ha origine fondamentalmente dalla desensibilizzazione
del guadagno, dovuta al feedback. Infatti, se A e’ abbastanza grande, il guadagno
closed-loop e’ circa 1/β, anche se A subisce variazioni.
Dalla figura si vede che A varia con la frequenza, piuttosto che per cause di
fabbricazione o temperatura, ma il feedback negativo sopprime queste variazioni,
allargando la bandwidth.
Ad alte frequenze, comunque, se A scende a valori molto bassi, allora βA diventa
confrontabile con l’unita’ e quindi il guadagno closed-loop cade sotto 1/β.
11
La modifica della bandwidth produce anche effetti sulla velocita’ della funzione di
f 3−dB=100MHz
f 3−dB=10MHz
f 3−dB=100MHz
Av=10
Av=100
Vin
Vout
Vin
Av=10
Vin
Vout
Vin
τ =16ns
τ=1.6νσ
Vout
Vout
trasferimento.
Si debba amplificare un’onda
quadra di 20MHz di un fattore 100 con un massimo di bandwidth, ma si abbia solo
un amplificatore con un open-loop gain di 100 e una bandwidth 3-db di 10MHz.
Applicando l’onda all’input dell’amp open loop, la risposta appare come in (a),
causa la lunga costante di tempo, 1/(2πf3−dB ) ≈ 16ns.
Con il feedback si porti il guadagno a 10 e la bandwidth a 100MHz. Con due amp
di questo tipo in cascata (b), si ottiene una risposta piu’ veloce ed un guadagno
totale di 100. Naturalmente il consumo raddoppia, ma altrimenti non si sarebbe
potuto ottenere lo stesso risultato con un solo amp open loop.
(a)
t
t
(b)
12
Il feedback non migliora il rendimento in termini di noise dei circuiti. Si consideri il
circuito di fig. (a) dove un amplificatore di guadagno open loop A1 ha una tensione
di noise riferita all’input Vn ed una rete di feedback β.
Vn
Vin
+
−
+
A1
−
Vin
Vout
Vn
−
+
+
A1
Vout
−
β
β
(a)
(b)
In output si avra’ (Vin − βVout + Vn ) = Vout che significa:
Vout = (Vin − Vn )
A1
1 + βA1
(6)
che e’ la rappresentazione del circuito come in fig. (b) che mette in evidenza come
il noise Vn riferito all’input e’ ancora il noise totale del circuito.
Questa analisi si estende a tutte le topologie di feedback e mostra come la tensione e
la corrente di noise riferita all’input rimangono le stesse se la rete di feedback NON
introduce noise.
13
In pratica, la rete di feedback stessa puo’ contenere resistori o transistori che
degradano il rendimento del noise.
negli schemi generali l’output Vout e’ lo stesso che e’ sentito dal feedback, ma non
sempre e’ cosi’.
In figura l’output e’ preso al drain di M1 mentre la rete di feedback sente la tensione
VDD
RD
Vout
Vin
+
−
A1
M1
RS
Nella figura il Vn,in e In,in del circuito
alla sorgente di M1 .
closed loop puo’ non essere uguale a quello del circuito open-loop anche se la rete
di feedback e’ noiseless.
Del circuito in figura si consideri solo il noise di RD e Vn,RD . Il guadagno in
tensione del closed-loop vale : −A1 gm RD /(1 + (1 + A1 )gm Rs
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La tensione di noise riferita all’input dovuta a RD vale
|Vn,in,closed | =
|Vn,RD | 1
[
+ (1 + A1 )Rs ]
A1 RD gm
(7)
Per il circuito open-loop il noise riferito all’input vale:
|Vn,RD | 1
[
+ Rs ]
|Vn,in,open | =
A1 RD gm
(8)
In questo caso la rete di feedback opera anche sul noise e lo modifica, per cui anche
il SNR risulta alterato.
Interessante il caso con A1 → ∞, |Vn,in,closed | → |Vn,RD |Rs /RD
per cui si ha
|Vn,in,open | → 0.
Ma questo vale anche per il segnale in ingresso!
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