ESERCIZI DI MACCHINE ELETTRICHE
Problemi e aspetti teorici
Sandro Ronca
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SOMMARIO
PREFAZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
INTRODUZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
CAPITOLO 1
Trasformatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Trasformatore monofase ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 Deinizione di trasformatore ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.2 Forze elettromotrici primaria e secondaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3 Riduzione al primario dell’ impedenza del carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.4 Linea e trasformatore, trasporto dei parametri circuitali. . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.5 Regola per il trasporto dei parametri circuitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.1.6 Riduzione delle perdite in linea mediante due trasformatori . . . . . . . . . 25
1.1.7 Il sistema adimensionale p.u. (per unità) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.1.8 Calcolo con il sistema adimensionale pu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.1.9 Trasformatore ideale a carico e corrente di reazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.1.10 Trasformatore monofase ideale sotto carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.2 Trasformatore reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.2.1 Caratteristiche, circuito equivalente e diagramma vettoriale . . . . . . . . . 46
1.2.2 Prova a vuoto e in corto circuito del trasformatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2.3 Circuiti equivalenti del trasformatore reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.2.4 Circuito secondario equivalente dai dati di targa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.2.5 Potenza, fattore di potenza e tensione di corto circuito . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.2.6 Circuito equivalente e impedenza primaria equivalente . . . . . . . . . . . . . . 62
1.2.7 Rendimento di un trasformatore monofase di bassa potenza . . . . . . . . 64
1.2.8 Corrente, tensione, potenza e rifasamento del carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.3 Autotrasformatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.3.1 Caratteristiche e funzionamento dell’ autotrasformatore . . . . . . . . . . . . . . 73
1.3.2 Adattamento della tensione mediante autotrasformatore . . . . . . . . . . . . 78
Sommario
Esercizi di macchine elettriche
1.4 Parallelo dei trasformatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.4.1 Condizioni per efettuare il parallelo dei trasformatori . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.4.2 Parallelo con diversi triangoli di corto circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.4.3 Errato collegamento dei secondari, corrente di circolazione. . . . . . . . . . 88
1.4.4 Parallelo di trasformatori con tensioni a vuoto diverse . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.5 Trasformatore trifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.5.1 La trasformazione della potenza trifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.5.2 Rapporto spire, potenza e rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.5.3 Trasformatore trifase con linea e carico al secondario . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.5.4 Sistema trifase con trasformatore elevatore, linea, carico . . . . . . . . . . . 106
1.5.5 Trasformatori trifase in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.5.6 Adattamento di tensioni con autotrasformatore trifase . . . . . . . . . . . . . 115
1.5.7 Trasformatore trifase con carico squilibrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1.6 Il diagramma di Kapp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.7 Problemi da risolvere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.8 Sulla risoluzione dei problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1.9 Formule trasformatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
CAPITOLO 2
Motore asincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.1 Reti equivalenti del motore asincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.1.1 Rete esatta con parametri del rotore riportati allo statore . . . . . . . . . . 142
2.1.2 Rete equivalente del motore asincrono secondo Thévenin . . . . . . . . . 147
2.1.3 Rete approssimata con parametri riportati al primario . . . . . . . . . . . . . . 149
2.2 Coppia, potenza e rendimento da dati di targa e prova a vuoto . . . . . . . . . . 150
2.3 Flussi di potenza nel motore asincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2.3.1 Perdite di potenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2.3.2 Potenza trasmessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2.3.3 Potenza resa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.4 Coppia di avviamento e coppia massima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.5 Caratteristica meccanica e suo massimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.6 Prova a rotore bloccato, prova a vuoto sincrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.7 Separazione delle perdite meccaniche e nel ferro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
2.8 Coppia trasmessa a vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
2.9 Reostato d’ avviamento, coppia di spunto e coppia massima . . . . . . . . . . . . . 181
2.10 Funzionamento con fasi di statore a triangolo e a stella . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
2.11 Uso del circuito equivalente di rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
2.12 Problemi da risolvere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
2.13 Note sulla risoluzione dei problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
2.14 Formule del motore asincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4
Sommario
CAPITOLO 3
Macchina sincrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3.1 Generatore sincrono o alternatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3.1.2 Modello di Behn-Eschenburg del generatore sincrono . . . . . . . . . . . . . . 231
3.1.3 Corrente erogata, potenza e coppie di un alternatore . . . . . . . . . . . . . . . 233
3.1.4 Corrente di eccitazione per tentativi, carico ohmico induttivo . . . . . 236
3.1.5 Corrente di eccitazione con carico ohmico capacitivo . . . . . . . . . . . . . . . 244
3.1.6 Caratteristiche esterne dell’ alternatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3.2 Parallelo degli alternatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3.2.1 Angolo di carico dell’ alternatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
3.2.2 Parallelo con la rete ed erogazione della potenza attiva. . . . . . . . . . . . . 255
3.2.3 Flussi di potenza nell’ alternatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
3.2.4 Parallelo con la rete, potenza reattiva, limite di stabilità . . . . . . . . . . . . . 262
3.2.5 Parallelo di alternatori identici e ripartizione delle potenze. . . . . . . . . 268
3.3 Motore sincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3.3.1 Diagrammi vettoriali del motore sincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
3.3.2 Motore sincrono come compensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
3.3.3 Curve a v del motore sincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
3.4 La teoria di Potier sull’ alternatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
3.4.1 Applicazione della teoria di Potier sull’ alternatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
3.5 Problemi da risolvere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
3.6 Sulla risoluzione dei problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
3.7 Formule macchina sincrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
CAPITOLO 4
Macchine in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
4.1 Generatore (dinamo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
4.1.1 Dinamo ad eccitazione derivata: punto di lavoro e coppia . . . . . . . . . . 302
4.1.2 Coppia elettromagnetica e coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
4.1.3 Corrente di eccitazione e regolazione della velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
4.1.4 Funzionamento in zona lineare di una dinamo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
4.1.5 Caratteristica esterna dinamo ad eccitazione indipendente . . . . . . . . 315
4.2 Motori in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
4.2.1 Motore a eccitazione indipendente, velocità e rendimento. . . . . . . . . 318
4.2.2 Caratteristica meccanica, motore a eccitazione indipendente. . . . . . 320
4.2.3 Potenza resa e perdite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
4.2.4 Variazione di velocità di un motore a eccitazione derivata . . . . . . . . . . 324
4.2.5 Corrente, coppia di spunto e reostato di avviamento . . . . . . . . . . . . . . . . 332
5
Sommario
Esercizi di macchine elettriche
4.2.6 Variazione di velocità modiicando la tensione di armatura. . . . . . . . . 336
4.2.7 Motore con eccitazione in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
4.2.8 Potenze e coppia di un motore con eccitazione in serie . . . . . . . . . . . . . 343
4.3 Problemi da risolvere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
4.4 Formule macchine in corrente continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6
PREFAZIONE
Questo testo raccoglie un insieme di problemi, risolti e da risolvere, relativi alle
macchine elettriche: trasformatore, motore asincrono, alternatore e motore sincrono,
generatori e motori in corrente continua.
Lo studio di prima approssimazione delle macchine elettriche costituisce, almeno
ino ad ora, parte signiicativa e fondamentale dei programmi del biennio terminale
degli Istituti Tecnici Industriali, indirizzo Elettrotecnica e Automazione, e il livello
di complessità e di approfondimento qui adottato è consono a questo ordine di studi.
Ho scritto “almeno ino ad ora” perché il ripensamento degli itinera formativi e
contenutistici della formazione tecnica potrebbe, a detta di molti, portare a trattazioni
sostanzialmente più supericiali, o quantomeno ridotte, di argomenti fondamentali.
In ogni caso, probabilmente, diminuirà il tempo che sarà possibile dedicarvi, con il
rischio, però, di creare uno iato importante tra le conoscenze e competenze fornite
dalla scuola superiore (si dovrebbe dire: secondaria di secondo grado) e quelle richieste
per afrontare con un certo agio la più complessa trattazione di livello universitario.
Anche per queste ragioni, ma non solo, come cercherò brevemente di spiegare, questo
lavoro può trovare un’ utile collocazione.
Il taglio che ho voluto dare a questo libro nasce dall’esperienza didattica, che insegna
principalmente quanto sia faticoso per lo studente formarsi un’idea chiara e coerente
sul funzionamento di questi sistemi e quanto sia complicato acquisire le competenze
necessarie per un corretto uso del modello isico-matematico che le descrive. Il risultato
“salvavita” è che, spesso, egli tende a imparare il meccanismo di soluzione di qualche
problema, senza veramente poter dire di aver compreso ino in fondo “perché si fa così”.
Si tratta quindi di un testo di esercizi un po’ anomalo, nel senso che, mescolati
ai vari problemi, si trovano paragrai dedicati a questioni teoriche note per essere
particolarmente ostiche, se pur essenziali per la soluzione, ma soprattutto per la
comprensione della strategia risolutiva adottata.
La stessa scelta e sequenza dei problemi risolti è stata disposta con lo scopo di
fornire un percorso di apprendimento che, arricchito di alcune nozioni teoriche
Prefazione
Esercizi di macchine elettriche
aggiuntive, magari quelle fornite dalla sempre benedetta dispensa del docente, possa
garantire un buon livello di conoscenza della materia.
I problemi risolti sono dettagliatamente, a volte quasi pedantemente, commentati;
le formule necessarie sono sempre riscritte e non semplicemente richiamate
numericamente; schemi, graici e diagrammi corredano, in numero importante,
la trattazione; i formulari, per ogni categoria di macchina, raccolgono le formule
essenziali e aiutano la sintesi; la veriica è aidata a gruppi di problemi proposti alla
ine di ogni capitolo, per alcuni dei quali vi sono commenti e suggerimenti per la
soluzione.
Tutto questo con lo scopo di rendere il più eicace possibile l’ uso di questo
strumento.
Per concludere e riassumere, posso afermare di aver cercato di riunire qui,
in forma scritta, quello che quotidianamente si fa nelle nostre classi e nei nostri
laboratori, nell’ ovvia speranza che ciò possa risultare di qualche utilità.
Il controllo del testo, delle formule, delle soluzioni è stato molto rigoroso e attento,
ma è noto che non esiste libro senza errori, dei quali mi scuso anticipatamente,
essendo grato a chi vorrà segnalarmeli come pure a chi vorrà suggerire miglioramenti
o semplicemente commentare.
SR
8
INTRODUZIONE
Risolvere problemi sulle macchine elettriche signiica ottenere stime più o
meno accurate delle grandezze elettriche e meccaniche che ne caratterizzano il
funzionamento in varie situazioni, qui limitate però ai casi di funzionamento a
regime, tralasciando lo studio della complessa fenomenologia relativa alle fasi
transitorie originate dalle variazioni di grandezze normalmente considerate costanti.
Alcune di queste grandezze e alcuni dettagli sulle modalità di calcolo
dipendono ovviamente dal tipo di macchina, ma, inine, ciò che per tutte
interessa è di ottenere valutazioni quantitative delle potenze, delle perdite di
potenza dei rendimenti, delle correnti assorbite o erogate, delle coppie, se si
tratta di macchine rotanti.
Tutte le macchine elettriche comportano un trasferimento di energia tra diversi
circuiti, in genere isolati elettricamente, con la mediazione di campi magnetici
variabili nel tempo. Ciò avviene nel quadro fenomenologico dell’ induzione
elettromagnetica governata, come è noto, dalla legge di Faraday-Lenz:
C’ è da dire che, a dispetto della semplicità graica di questa legge, la complessità
delle interazioni è tale che ogni descrizione di questi sistemi deve necessariamente
essere soggetta ad approssimazioni e sempliicazioni, anche solo per riuscire a
portare a termine i calcoli. È quindi necessario ricorrere a modelli matematici
costituiti essenzialmente da particolari reti elettriche dette reti o circuiti elettrici
equivalenti. In relazione al livello di profondità e di precisione desiderato, il modello
sarà più o meno complesso e maneggevole dal punto di vista computazionale.
D’ altra parte ogni modello descrittivo di sistemi complessi ha un suo ben preciso
ambito di validità, intendendo con ciò che la sua capacità di fornire conclusioni
e risultati validi per un certo insieme di grandezze non ne comporta l’ automatica
aidabilità se applicato ad altre grandezze, per le quali potrebbe anche fornire
Introduzione
Esercizi di macchine elettriche
risultati poco o per niente attendibili. Questo è un aspetto che spesso turba lo
studente, il quale, in cerca di certezze, si aspetta che, individuato il modello, esso
sia applicabile a tutte le situazioni e sempre in grado di dare risultati precisi ino
all’ n-sima cifra decimale. In generale, ma soprattutto nello studio della macchina
asincrona, si è cercato, per quanto possibile, di mettere in chiaro la dipendenza dei
risultati dal modello (circuito equivalente) adottato e quindi dalle approssimazioni
introdotte.
Il testo è suddiviso in quattro capitoli i cui paragrai sono costituiti dai problemi
risolti dedicati a ciascuna delle macchine trattate. Alcuni dei paragrai trattano
aspetti teorici fondamentali la cui conoscenza è ritenuta essenziale.
L’ insieme dei problemi e delle note teoriche consente di delineare un percorso
didattico di base, ma suicientemente completo, che, con non molte integrazioni,
può costituire una guida per l’ apprendimento di questa complessa materia.
Simboli e abbreviazioni
Tutte le variabili sono indicate da lettere maiuscole o minuscole in corsivo,
corredate eventualmente da indici, ad esempio: E, I, i(t), I1 , PR, ω, φ, ecc.
La tensione di alimentazione di un motore o di uscita di un generatore è indicata
dalla lettera V. Per le macchine trifase V, Vn (n= indice numerico) rappresentano
tensioni di linea o concatenate. Per le tensioni di fase si aggiunge l’indice f : Vf, Vnf, ecc.
La lettera E, usata nei circuiti equivalenti delle macchine, rappresenta sempre
forze elettromotrici (fem) o controelettromotrici (fcem) di fase.
L’ indice 1 è in genere riservato per rappresentare grandezze primarie nei
trasformatori o di statore nelle macchine rotanti, es. V1, E1, R1, ecc. l’ indice 2 per
grandezze secondarie o di rotore, es. V2, E2, R2, ecc.
Le grandezze complesse, i fasori e in generale le grandezze vettoriali sono
rappresentate da lettere in grassetto: V, E, I, Z, ecc.; le stesse lettere in stile normale
rappresentano i moduli:
.
Nella scrittura di grandezze complesse in forma cartesiana si usa j per l’ unità
immaginaria:
, in luogo di i, per evitare confusioni con il simbolo
dell’ intensità di corrente. Nella rappresentazione in forma polare il simbolo
indica l’ argomento in gradi del numero complesso: e.g.
o la
fase della grandezza sinusoidale nel caso dei fasori, e.g.
.
Abbreviazioni comuni sono anche: cdt per caduta di tensione, ddp per
diferenza di potenziale, fmm per forza magnetomotrice.
10
