Teoria dei Giochi
Dr. Giuseppe Rose
Università degli Studi della Calabria
Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata
a.a 2011/2012
Handout 5
1
L’Equilibrio di Nash con strategie miste
Fino ad ora abbiamo focalizzato la nostra attenzione sul concetto di Nash equilibrium in strategie pure, ovvero abbiamo escluso la possibilità che i giocatori
giochino delle strategie miste. In realtà, come abbiamo visto è possibile avere
delle strategie miste. Un tipico gioco con strategie miste è indicato da:
G = ( Si ; E[ i ])ni=1
(1)
dove Si rappresenta l’insieme di tutte le possibili distribuzioni di probabilità sull’insieme delle strategie pure del giocatore i ( ni=1 Si = ); ed E[ i ]
rappresenta il payo¤ atteso. Una strategia i 2 Si è una strategia mista e cioè
una particolare distribuzione di probabilità sulle strategie pure dell’individuo i.
De…nizione 1 Un pro…lo di strategie
= ( i;
Nash in strategie miste del gioco G se per ogni i :
E [ i(
i;
i )]
E [ i( i;
i )]
i)
8
2
i2
è un equilibrio di
S i:
Possiamo dare anche una de…nizione alternativa. Si de…nisca per ogni
i 2
l’insieme delle migliori risposte (best response) rispetto alla strategia
i nel modo seguente:
iS i
i(
gie
i)
=
i
2
Si jE[ i ( i ;
i )]
E[ i ( 0i ;
i )]
8
0
i
2
Si
De…nizione 2 Un equilibrio di Nash in strategie miste è un pro…lo di strate= ( i ; i ) tale che i 2 i ( i ) per ogni giocatore i:
Si noti che se
è un equilibrio di nash e (si ) > 0 allora si non può essere
una strategia dominata in senso stretto. D’ora in poi ci riferiremo all’equilibrio
1
di Nash in strategie miste indicandolo come MNE (ovvero mix strategy Nash
equilibrium).
Esempio:
A1
B1
C1
Giocatore 1
Giocatore
A2
B2
4, 3
-1, -1
-1, -1 -2, -2
0, 0
-1, -1
2
C2
0, 0
-1, -1
5, 2
Nel gioco indicato sopra abbiamo due equilibri di nash in strategie pure:
(A1; A2) e (C1; C2). E’ importante ricordare che ogni strategia pura è una
strategia mista degenerata. Esiste un MNE in questo gioco? Cerchiamo di
capire.
Si consideri la seguente strategia mista del giocatore 2:
= (p2 ; q2 ; 1
2
p2
q2 ):
Data tale strategia mista del giocatore 2, cosa farà il giocatore 1? E’necessario calcolare quali sono i suoi payo¤ attesi data tale strategia 2 :
Se il giocatore 1 sceglie A1 avremo:
E[
1 (A1;
2 )]
= 4p2 1q2 + 0
=
q2 + 4p2 :
Se sceglie B1:
E[
1 (B1;
2 )]
=
=
1p2 2q2
1 q2 :
1(1
p2
q2 )
Se sceglie C1 :
E[
1 (C1;
2 )]
= 0 q2 + 5(1 p2
=
6q2 5p2 + 5:
q2 )
Supponiamo adesso che la strategia del giocatore 2 sia
Possiamo adesso calcolare i payo¤s attesi per il giocatore 1:
E[
1 (A1;
2 )]
= 4
E[
1 (B1;
2 )]
=
E[
1 (C1;
2 )]
=
2
5
20
=
9
9
1
5
20
5 +5=
:
9
9
2
= (5=9; 0; 4=9):
Quello che si può vedere facilmente è che, data questa particolare strategia
mista del giocatore 2, il giocatore 1 non giocherebbe mai la strategia B1; mentre
egli risulta indi¤erente tra la strategia A1 e la strategia C1 poichè queste gli
garantiscono lo stesso payo¤ atteso. Poichè il giocatore 1 è indi¤erente tra
le due strategie A1 e C1; e non giocherà mai la strategia B1; egli può
giocare una strategia mista che prevede una distribuzione positiva di
probabilità sulle strategie A1 e C1 e che attribuisce una probabilità
zero alla strategia B1: Tale strategia mista garantisce lo stesso payo¤
atteso data la strategia 2 = (5=9; 0; 4=9). Ogni strategia che attribuisce
una probabilità positiva alle due strategie A1 e una probabilità pari
a zero alla strategia B1 è una best response alla strategia 2 :
Mettiamoci adesso nei panni del giocatore due. Consideriamo adesso la
seguente strategia mista del giocatore 1: 1 = (p1 ; q1 ; 1 p1 q1 ): Possiamo
calcolare i payo¤s attesi per il giocatore 2:
E[
2 ( 1 ; A2)]
= 3p1
q1
p1 2q1
1 q1
(1
Se sceglie B1:
E[
2 ( 1 ; B2)]
=
=
p1
q1 )
Se sceglie C1 :
E[
2 ( 1 ; C2)]
=
q1 + 2(1 p1
= 2 3q1 2p1 :
Suente strategia mista per il giocatore 1:
payo¤s attesi del giocatore 2 data 1 :
E[
2 ( 1 ; A2)]
=
E[
2 ( 1 ; B2)]
=
E[
2 ( 1 ; C2)]
=
1
q1 )
= (2=5; 0; 3=5): Calcoliamo i
6
5
1
6
:
5
Data questa particolare strategia del giocatore 1, possiamo vedere che al
giocatore 2 non conviene mai giocare B2 ed in più egli è indi¤erente tra C2
ed A2: Ogni strategia mista che prevede una attribuzione di probabilità pari a zero per la strategia B2 e una distribuzione di probabilità
positiva per le strategie A2 e C2 è una best response alla strategia
1 = (2=5; 0; 3=5): A questo punto, è la strategia 1 = (2=5; 0; 3=5) una best
response alla strategia 2 = (5=9; 0; 4=9)? Abbiamo detto di si, poichè tale
strategia 1 attribuisce probabilità positive solo alla strategia A1 e C1: E’ la
strategia 2 = (5=9; 0; 4=9) una best response alla strategia 1 = (2=5; 0; 3=5)?
3
Abbiamo detto di si, poiché tale strategia attribuisce probabilità positive solo
alle strategie A2 e C2: Abbiamo stabilito che le due strategie 1 e 2 sono best
response l’una dell’altra. Questo signi…ca che le due strategie costituiscono un
MNE:
2
2
1
2
1( 2)
2 ( 1 ):
Infatti, le due strategie sono best response l’una dell’altra. Da tali distribuzioni di probabilità nessuno dei due giocatori ha incentivo a muoversi.
Quindi possiamo concludere che il seguente pro…lo di strategie miste rappresenta un MNE:
=(
1;
2)
= ([2=5; 0; 3=5]; [5=9; 0; 4=9]):
A questo punto è ovvio chiedersi come abbiamo trovato le le due distribuzioni
di probabilità che abbiamo usato. Cerchiamo di capire.
Ritorniamo un attimo ai payo¤s del giocatore 1 data la generica strategia
mista del giocatore 2 2 = (p2 ; q2 ; 1 p2 q2 ):
E[
E[
E[
1 (A1;
1 (B1;
1 (C1;
2 )]
2 )]
=
2 )]
=
q2 + 4p2
=
6q2
1
q2
5p2 + 5:
In questa situazione se io trovo che ho una strategia pura che mi genera
sempre un payo¤ più grande rispetto a quello generato da altre strategie pure,
io giocherò sempre la strategia pura che mi genera un payo¤ più alto. A¢ nchè la
mia strategia dominante preveda che io decida di randomizzare tra due strategie
pure è necessario che il payo¤ che si ricava dall’attuazione di una delle strategie
pure su cui sto randomizzando non sia sempre più alto rispetto al payo¤ generato
dall’altra strategia pura dato 2 :
Detto ciò, possiamo dare questa ulteriore de…nizione di MNE:
De…nizione 3 Un pro…lo di strategie
= ( i ; i ) è un equilibrio di Nash
in strategie miste se e solo se:
8i se i (si ) > 0 =)
E[ i (si ; i )] E[ i (s0i ;
i )]:
Partendo da tale considerazioni, consideriamo il seguente gioco:
Giocatore 1
A1
B1
4
Giocatore 2
p2
1 p2
A2
B2
2, 10
5, 4
6, 1
2, 3
In questo gioco non ci sono strategie pure che generano equilibri di Nash.
Consideriamo i seguenti pro…li di strategie miste:
1
= (p1 ; 1
p1 )
2
= (p2 ; 1
p2 ):
Il giocatore 1 sarà indi¤erente tra le strategie A1 e B1 solo se queste generano
lo stesso payo¤. Egli randomizza sulle strategie solo se queste danno lo stesso
payo¤, ovvero egli randomizza solo se:
E[
1 (A1;
5
2 )] = E[ 1 (B1;
3p2 = 2 + 4p2
3
:
p2 =
7
2 )]
A¢ nchè il giocatore 1 sia indi¤erente (e quindi randomizzi) tra le strategie
A1 e B1 è necessario che il giocatore 2 giochi la strategia A2 con probabilità
3/7 e la strategia B2 con probabilità (1-(3/7))=4/7.
Allo stesso modo per il giocatore 2, a¢ nché egli randomizzi tra A2 e B2 è
necessario che i payo¤ attesi da tali strategie siano uguali, ovvero:
E[ 2 ( 1 ; A2)] = E[ 2 ( 1 ; B2)]
10 + (1 p1 ) = 4p1 + 3(1 p1 )
1
:
p1 =
4
A¢ nché il giocatore 2 sia indi¤erente tra la strategia A2 e la strategia B2
è necessario che il giocatore 2 giochi la strategia A1 con probabilità 1/4 e la
strategia B2 con probabilità 3/4. Se il giocatore 2 sta attribuendo esattamente
le probabilità richieste dal giocatore 1, il giocatore 1 può randomizzare e cioè
attribuire probabilità positive alle due strategie. Allo stesso modo se il giocatore
1 sta attribuendo alle sue strategie una probabilità pari a quella richiesta dal
giocatore 2, il giocatore 2 può randomizzare e cioè attribuire probabilità positive
alle sue strategie. Se entrambi i giocatori randomizzano come richiesto dall’altro
giocatore, le due randomizzazioni danno origine ad un equilibrio nel quale le
randomizzazioni sono best response l’una dell’altra:
= ([1=4; 3=4]; [3=7; 4=7]):
Cosa succede nel nostro gioco se una delle due probabilità aumenta o diminuisce
leggermente? Il MNE si rompe, poichè ad uno dei due giocatori non conviene
più randomizzare.
Ritorniamo al nostro esempio di partenza:
5
Giocatore 1
Giocatore
A2
B2
4, 3
-1, -1
-1, -1 -2, -2
0, 0
-1, -1
A1
B1
C1
2
C2
0, 0
-1, -1
5, 2
La prima cosa che possiamo vedere è che le strategie B2 e B1 sono strettamente dominate. Assumendo RAT2 posso considerare il seguente gioco piu
piccolo:
Giocatore 1
A1
C1
Giocatore 2
A2
C2
4, 3
0, 0
0, 0
5, 2
Che è un gioco con 2 equilibri di nash in strategie pure. Esiste un equilibrio
MNE?
Vediamo. Il giocatore 1 ottiene un payo¤ atteso dalla strategia A1 che è pari
a:
E[
1 (A1;
2 )]
= 4p2
Allo stesso tempo egli ottiene un payo¤ atteso dalla strategia C1 che è pari
a:
E[
1 (C1;
2 )]
= 5(1
p2 ):
Egli sarà indi¤erente tra le due strategie solo se E[ 1 (A1; 2 )] = E[ 1 (C1; 2 )];
ovvero solo se p2 = 5=9: Dato il pro…lo di strategie 2 = (5=9; 0; 4=9) il giocatore
1 è indi¤erente tra le sue due strategie perchè egli ottiene lo stesso risultato.
Questo vuol dire che una randomizzazione 1 sul suo set di strategie A1 C1 è
una best response alla strategia 2 = (5=9; 0; 4=9): A questo punto possiamo
fare lo stesso ragionamento per il giocatore 2 e chiederci per quali valori di p1
egli è indi¤erente tra la strategia A2 e la strategia B2:
E[
E[
2 ( 1 ; A2)]
2 ( 1 ; C2)]
= 3p1
= 2(1
p1 ):
Il giocatore 2 sarà indi¤erente rispetto alle sue strategie A2 e C2 solo se
E[ 2 ( 1 ; A2)] = E[ 2 ( 1 ; C2)] ovvero solo se p1 = 2=5: Quindi una generica randomizzazione 2 è una best response alle strategia 1 = (2=5; 0; 3=5):
L’equilibrio di Nash è dato dalle due distribuzioni di probabilità che fanno si
che nessuno dei due individui abbia incentivo a muoversi da tale posizioni e
che queste siano entrambe le migliori risposte l’una dell’altra. Tali distribuzioni
sono:
=(
1;
2)
= ([2=5; 0; 3=5]; [5=9; 0; 4=9]):
6
Il gioco dei matching pennies illustrato gra…camente dal vostro libro (p. 48)
fornisce una chiara illustazione gra…ca del concetto di MNE.
1.1
Considerazioni
Il MNE è soggetto a critiche per due motivi.
1) I giocatori non si a¢ dano alle randomizzazioni.
2) E’un concetto di equilibrio debole: piccoli turbamenti nelle distribuzioni
di probabilità "rompono".
Le giusti…cazioni sono:
1) Le randomizzazioni non devono essere viste come tali ma più propriamente
possono essere interpreyate come le risultanti di diversi "tipi" di giocatori, scelti
a caso, onguno dei quali ha la caratteristica di giocare una sola strategia. Nel
gioco appena visto sono necessari 9 giocatori 2 (5 che giocano A2 e 4 che giocano
C2) e 5 giocatori 1 (2 che giocano A1 e 3 che giocano C2).
2) Il MNE è il limite dei giochi bayesiani dove c’è asimmetria informativa (li
vedremo più avanti).
2
Accenni sull’esistenza dell’equilibrio di Nash
Il presente corso prevede una durata troppo breve per entrare nei dettagli
riguardo alle condizioni che garantiscono l’esistenza dell’equilibrio di Nash in
strategie pure e miste. Qui ci limiteremo a dire che l’equilibrio di Nash esiste
sicuramente in un gioco G = (Si ; i )ni=1 se (le seguenti condizioni sono su¢ cienti e non necessarie, cioè il NE potrebbe esistere anche se esse non sono
veri…cate):
1) Si è un insieme convesso e compatto;
2) i è una funzione strettamente quasi concava in si ;
3) i è una funzione continua in S = (S1; S2 :::Sn ):
Per capire, nel modello di bertrand non è veri…cata la terza condizione ma
l’equilibrio di nash esiste ugualmente.
Un equilibri di Nash in strategie miste esiste sempre per qualsiasi gioco
purchè l’insieme Si sia …nito per ogni i:
3
Esercizi
1)Dopo aver cancellato le stratedgie strettamente dominate (assumendo RAT2 )
disegnare le curve di best response per i due giocatori e trovare gra…camente il
MNE del seguente gioco (già studiato nella dispensa):
Giocatore 1
A1
B1
C1
Giocatore
A2
B2
4, 3
-1, -1
-1, -1 -2, -2
0, 0
-1, -1
7
2
C2
0, 0
-1, -1
5, 2
2) Si consideri il seguente gioco:
Giocatore 1
A1
B1
C1
D1
Giocatore
A2
B2
0, 7 2, 5
5, 2 3, 3
7, 0 2, 5
0, 0 0, -2
2
C2
7, 0
5, 2
0, 7
0, 0
D2
0, 1
0, 1
0, 1
10, -1
a) Si dimostri che D2 è una strategia dominata in senso stretto da una
strategia mista.
b) Si calcoli l’insieme delle strategie che sopravvivono alla cancellazione iterativa per entrambi i giocatori.
8
