L. de Menna "Elettrotecnica"

Luciano De Menna
Elettrotecnica
Vittorio Pironti Editore
Napoli
PSpice e Probe sono marchi registrati della MicroSim Corporation
© Copyright 1998 by Vittorio Pironti Editore, 209/217, via Lago Patria Giugliano in Campania - Napoli, Italy
Tutti i diritti sono riservati, nessuna parte di questa pubblicazione può essere
ripr odotta con qualsiasi mezzo, memorizzata o trasmessa per mezzo elettronico
senza il permesso dell’editore.
Prefazione
È questa la seconda edizione di un testo che raccoglie le lezioni del corso di
Elettrotecnica da me tenuto nei primi mesi del 1993 per il Consorzio Nettuno, nell'ambito di un Diploma teleimpartito in Ingegneria Informatica ed Automatica.
Questo "peccato di origine" ne ha condizionato, nel bene e nel male, la sua stesura.
Volendo conservare lo stretto legame tra testo e lezioni videoregistrate, si è stati, infat ti, in qualche modo condizionati da scelte a suo tempo fatte in merito ai contenuti ed
alla sequenza di esposizione degli argomenti. D'altra parte lo stretto coordinamento ci
è sembrato un vantaggio non indifferente che convenisse conservare. La stessa impostazione grafica del libr o lo riflette: mentre nella colonna di sinistra si sviluppa il testo,
nella colonna di destra scorrono le immagini, con l'indicazione della lezione, utilizzate
nel corso video. Spesso le immagini sono soltanto un rimando visivo alla lezione; altre
volte esse fanno parte integrante del discorso sviluppato nel testo. Questa continua
connessione tra i due “testi”, quello scritto e quello per immagini, costituisce un aspetto innovativo a nostro avviso significativo dal punto di vista didattico.
Alcuni argomenti, non trattati nel corso video per motivi di tempo, sono stati aggiunti nel testo ed opportunamente segnalati anche dal punto di vista grafico.
Per altri, di maggior peso, si è preferito una scelta diversa. Il corso del Consorzio
Nettuno fu concepito inizialmente, infatti, per essere impartito al secondo semestre del
primo anno, a valle di un solo corso di Fisica. In tali condizioni la scelta di limitare il
programma al solo modello circuitale era obbligata. Del resto, sempre più spesso, esigenze di varia natura portano a scelte simili anche nei corsi di laurea tradizionali. C'è
il rischio però, così facendo, di non riuscire a far cogliere quella stretta connessione tra
II
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
il modello dei campi e quello dei circuiti che è uno dei punti formativi di un corso di
Elettrotecnica.
Per questo motivo si è pensato di integrare il testo con alcune appendici che ne consentono una duplice lettura, come diffusamente spiegato nell'introduzione.
Questa seconda edizione non è molto diversa dalla precedente; sono stati corretti alcuni errori tipografici e si è cer cato in qualche punto di migliorare l’esposizione degli
argomenti, in particolare nel capitolo sulla trasformata di Laplace. Inoltre si è deciso
di non accludere il software didattico al testo, essenzialmente perché, essendosi esso,
nel frattempo, ampliato notevolmente, si è preferito allegarlo ad una nuova pubblicazione specifica, di prossima edizione, che ne illustrasse il funzionamento in modo più
dettagliato, dal titolo “Laboratorio Virtuale di Elettrotecnica”.
Lo spirito complessivo che ci ha animato è stato quello di produrre un testo essenzialmente didattico; così in diversi punti sono proposti al lettore semplici esercizi che
hanno lo scopo di chiarire aspetti trattati nella teoria, o di introdurre problematiche
nuove. Nei paragrafi successivi le soluzioni di alcuni dei problemi pr oposti vengono
brevemente discusse; per altri si rimanda al testo di esercizi consigliato.
Ogni libro non è mai il frutto del lavoro di una persona sola: oltre a chi materialmente lo scrive, in esso c’è il contributo di quanti hanno interagito con l’autore ed hanno
contribuito a creare l’ambiente culturale in cui egli si è formato. Da questo punto di
vista sono lieto di dover riconoscere il mio debito nei confronti del mio maestro,
Ferdinando Gasparini, e dei colleghi Oreste Greco e Scipione Bobbio. Giovanni
Miano ha contribuito in modo importante a definire la impostazione di alcune parti del
libro e Luigi Verolino ne ha impietosamente cercato gli errori nella prima edizione.
Napoli 17 settembre 1998
Introduzione
Tradizionalmente il corso di Elettrotecnica per gli allievi elettrici ed elettronici fa parte di quel gruppo di corsi
che fanno da ponte tra le materie formative in senso
lato del primo biennio e quelle, altrettanto formative,
ma in maniera più specifica ed applicativa, del successivo triennio del corso di studi in Ingegneria. In questo
senso tale corso avr ebbe lo specifico compito di partire dall’approfondimento dei principi base trattati in
corsi come Fisica, Analisi, Geometria ecc.., e portare
l’allievo alla padronanza delle metodologie e tecniche
che da questi princìpi producono applicazioni, fino alle
soglie dello studio delle stesse applicazioni concrete.
L’Elettrotecnica in particolare ha il compito di
approfondir e il modello del campo elettromagnetico
lentamente variabile, o stazionario, ed il modello circuitale. Sempre più spesso, però, in questi ultimi anni,
il corso di Elettrotecnica trova una collocazione, nel
curriculum complessivo degli studi, che non consente
tale impostazione tradizionale. Talvolta, per esempio,
come accade in alcuni Diplomi, il corso viene impartito a valle di un solo corso di Fisica; in tal caso, evidentemente, la trattazione del modello del campo elettromagnetico lentamente variabile, modello che è alla base
e giustifica quello circuitale, deve necessariamente essere rimandata ad altro corso.
2
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Gli elementi di base di una teoria dei circuiti elettrici,
invece, possono essere forniti in maniera assiomatica,
prescindendo, in qualche modo, dalla loro fondamento
elettromagnetico: si danno per assunti alcuni assiomi
fondamentali e da questi si derivano tutte le proprietà
del sistema così costruito. Questo approccio è anzi da
alcuni autori preferito, in quanto presenta il vantaggio
di una maggiore sistematicità e organicità. La connessione, però, con i fenomeni fisici che quel modello
descrive viene ad allentarsi ed è questo, dal punto di
vista didattico e formativo, a nostro avviso, un difetto
grave delle impostazioni assiomatiche; tali teorie, invece, sono utilissime in una fase successiva di sistematizzazione della materia.
A noi sembra di grande importanza didattica non
rinunciare, in un corso di Elettrotecnica, a fornire quegli elementi di connessione con il vasto campo di fenomeni che vengono detti elettromagnetici, così compiutamente descritto dal modello introdotto, nella seconda metà dell’ottocento, dallo scienziato inglese James
Clerk Maxwell e racchiuso nel suo famoso sistema di
equazioni.
Per questo motivo si è pensato di realizzare un testo
che consenta due possibili letture: il corpo centrale
della trattazione è costituito dagli elementi di base della
teoria dei circuiti, con brevi richiami di nozioni elementari di elettromagnetismo, là dove strettamente
necessari. Alcune appendici poi - opportunamente
richiamate nel testo - consentono, a chi abbia acquisito
in un corso di Fisica le basi necessarie, di approfondire
le connessioni tra teoria elettromagnetica e modello circuitale.
Tratteremo dunque del modello circuitale, un modello
ed una teoria che danno conto del funzionamento di
sistemi apparentemente molto diversi tra di loro: dal
tradizionale circuito elettrico, ai dispositivi integrati
che sono alla base della moderna elettronica; dai com-
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
ponenti microscopici che hanno consentito l’incredibile sviluppo dei “computers” dei nostri giorni, agli
impianti di grandi dimensioni che consentono la distribuzione dell’energia elettrica in modo capillare. Infine
varrà la pena di ricordare che concetti e schemi caratteristici del modello circuitale trovano la loro applicazione anche in campi in cui sembrerebbe più difficile
adattarli: nella teoria dei cosiddetti circuiti a microonde, o in sistemi, come le antenne, in cui la propagazione delle onde - teoricamente assente là dove si rende
necessaria l’ipotesi del “lentamente variabile” - è un
fattore dominante.
Cominciamo quindi con alcuni richiami elementari di
elettromagnetismo - forse sarebbe più indicato dire
“elettrologia” - indispensabili per introdurre i due attori principali della teoria dei circuiti: differenza di
potenziale ed intensità della corrente elettrica.
Chi ritiene opportuna una introduzione più articolata
ed approfondita, può leggere la prima delle menzionate appendici integrative e riprendere poi dal capitolo I.
Cariche elettriche e forze elettriche
I corpi materiali possono presentare proprietà particolari che danno luogo alle cosiddette interazioni elettriche e magnetiche. Elemento chiave di tali interazioni è
la carica elettrica, una proprietà individuata da una
grandezza scalare q che prende il nome, appunto, di
carica elettrica. Per inciso, questa proprietà è quantizzabile, nel senso che esiste una carica minima pari ad e,
tutte le altre essendo multiple di questa.
Le cariche elettriche interagiscono tra di loro esercitando forze le une sulle altre. In particolare esistono
due diverse “qualità” di cariche: cariche dello stesso
tipo si respingono e cariche di tipo opposto si attraggono. Ciò porta a dare a q un segno, negativo o positi-
3
4
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
vo, per distinguere le due possibili alternative. In particolare l’elettrone, uno dei componenti dell’atomo, ha
carica negativa pari a -e, mentre nel nucleo dell’atomo
sono presenti altri elementi, i protoni, che presentano
una carica positiva pari a +e.
Apriamo, a questo punto, una brevissima parentesi sui
sistemi di unità di misura. Non discuteremo questo
tema e tutta la sottile problematica che esso implica,
per ché ci sembra un argomento più adatto ad altro
corso; ci limiteremo a dichiarare che nel seguito faremo
sempr e riferimento al Sistema Internazionale (S.I.), e
ricorderemo di volta in volta le unità di misura delle
grandezze che introdurremo. Daremo per implicito che
per ogni grandezza si possa immaginare di costruire
uno strumento in grado di misurarla.
Nel Sistema Internazionale la carica elettrica si misura
in coulomb (C) e la carica dell’elettrone è, in modulo,
pari a 1,60210 . 10-19 C.
L’interazione elettrica tra i corpi materiali può essere
ricondotta ad una legge elementare che prende il nome
di legge di Coulomb. Questa legge immagina una situazione ideale in cui i corpi materiali portatori delle cariche si riducano a punti geometrici. Introduciamo così il
concetto di carica puntiforme: un corpuscolo che occupa un volume idealmente nullo intorno ad un punto,
ma con massa non nulla, e che è portatore di una carica elettrica q (positiva o negativa). Si tratta certamente
di una idealizzazione, ma non del tutto priva di fondamento fisico, se si pensa che i “volumi occupati” dai
naturali portatori elementari di cariche, protoni ed
elettroni, sono generalmente molto piccoli rispetto alle
dimensioni che caratterizzano il fenomeno particolare
che si vuole studiare; gli esperimenti ci dicono che, per
esempio, la carica di un protone si può immaginare
concentrata in una sfera di 10-13 cm di raggio.
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Orbene, la legge di Coulomb afferma che se due cariche puntiformi di tale tipo, q1 e q2 , fossero poste
(ferme) alla distanza r l’una dall’altra, su ognuna delle
cariche agirebbe una forza; in particolare, quella eser citata dalla carica 1 sulla carica 2 è espressa dalla formula:
q q
F 12 = k 1 2 r12 .
(1)
r2
La forza F12 è dunque diretta lungo la congiungente tra
le due cariche, è proporzionale al prodotto delle stesse,
inversamente proporzionale al quadrato della distanza
che le separa e, come si desume dalla presenza del versore r 12, è diretta nel verso che va dalla posizione occupata dalla carica q1 a quella occupata dalla carica q2 , se
entrambe le cariche hanno lo stesso segno; tale forza è,
dunque, attrattiva se le cariche q1 e q2 hanno segno
opposto, e repulsiva se esse invece hanno lo stesso
segno. Sulla carica q1 agisce una forza eguale ed opposta:
F 12 = - F 21 .
Se le cariche sono libere di muoversi, tali forze produ cono movimento, secondo le ben note leggi della dinamica newtoniana.
Se ci limitassimo a considerare solo cariche ferme ed
aggiungessimo, alla legge di Coulomb, la proprietà che
tali forze di interazione sono sovrapponibili - in presenza, cioè, di più cariche puntiformi, la forza agente su
ognuna di esse è la somma vettoriale delle forze che
ogni altra carica produrrebbe sulla stessa carica, in
assenza delle altre - potremmo derivare, dalla sola legge
di Coulomb, tutte le leggi della interazione elettrica. Le
cose si complicano un poco quando consideriamo cariche in movimento: la legge di Coulomb va leggermen te modificata, o sostituita con altre leggi ad essa equivalenti. Non possiamo, però, in questa sede, approfondir e oltre l’argomento.
5
6
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Tensione e differenza di potenziale
Supponiamo di avere, in una regione dello spazio, una
“distribuzione” di cariche. Non ci occuperemo delle
caratteristiche di tale distribuzione, ma soltanto dell’azione che tali cariche esercitano su altre cariche.
Supponiamo ancora di poter disporre di una carica
puntiforme, e positiva, che goda delle proprietà di non
disturbare la posizione o il movimento delle altre cariche. In qualsiasi punto si venga a trovare la carica in
questione, che d’ora in poi chiameremo carica di prova,
essa risentirà di una forza prodotta dalle altre cariche,
che d’ora in poi chiameremo cariche sorgenti. Se la carica di prova è unitaria, chiameremo campo elettrico E la
forza che essa risente. Per una carica di valore q, per la
legge di Coulomb, la forza sarà F = qE. In r ealtà la
forza percepita dalla carica di prova non dipende soltanto dalla posizione in cui essa si trova, ma anche dalla
velocità con cui essa passa per il punto in questione.
Anche questo è argomento che non ci è dato approfondire in questa breve sintesi.
In ogni caso se immaginiamo di portare la carica di
prova q, da un punto A ad un punto B lungo una linea
, la forza F che agisce sulla carica compirà un lavoro
per unità di carica che potremo calcolare come:
B
F · dl .
q
TA B =
(2)
A
Nella prima immagine della pagina è illustrato il significato dell'integrale: somma di infiniti contributi infinitesimi. A tale lavoro viene dato il nome di tensione
lungo la linea tra i punti A e B, e si misura in volt (V).
Lo strumento che la misura verrà detto voltmetro e
avremo modo di parlarne nel seguito.
Si noti che per poter parlare di tensione tra due punti
bisogna aver specificato una linea tra gli stessi, ed il
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
verso in cui ci si muove sulla linea (da A a B oppure da
B ad A); ciò giustifica anche il simbolo utilizzato.
Supponiamo ora di spostare la carica di prova lungo
un’altra linea, , tra gli stessi punti A e B, come mostra to in figura. Anche in questo caso verrà compiuto un
lavoro TA B, che in generale sarà diverso dal preceden te.
In determinate situazioni accade invece che tale lavoro
sia indipendente dal percorso e dipende esclusivamente dai due punti estremi. Sarebbe facile far veder e, utilizzando la legge di Coulomb, che una tale situazione si
verifica se le cariche sorgenti sono tutte ferme e la carica di prova si immagina mossa lentissimamente, un
processo che in fisica viene definito adiabatico. Si osservi che in questo caso il lavor o compiuto dalla forza F
quando la carica di prova è mossa lungo un percorso
chiuso - per esempio l’unione di e , quest’ultimo
orientato nel verso opposto - è identicamente nullo.
Supponiamo di essere in queste condizioni e di calcolare il lavoro che il campo compie quando la carica di
prova si muove da un punto qualsiasi nello spazio ad
un punto O fisso. Per ogni punto A prescelto avremo
un valor e di tale lavoro, indipendentemente dal percorso compiuto per andare da A a O. Abbiamo in pratica costruito una funzione V(A) dei punti dello spazio
che chiameremo potenziale del punto A rispetto ad O.
In particolar e è evidente che la funzione V in O è nulla.
Si dice che il punto O è stato scelto come punto di riferimento dei potenziali. Se ora, per esempio, immaginiamo di calcolare la tensione tra A e B (vedi immagini
a lato), otteniamo:
TA B = TA O - TB O = V(A) - V(B)
perché il lavoro da A a B, nelle nostre ipotesi, è lo stesso sia che si vada lungo AB sia che si vada lungo , nel
verso segnato in figura, e lungo , nel verso opposto.
Nel caso in cui, dunque, il lavoro è indipendente dal
7
8
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
percorso esso può essere messo sotto la forma di una
differenza di potenziale (d.d.p. nel seguito) tra i due
punti in esame. Si noti che tale lavoro è positivo, e
quindi le sorgenti compiono effettivamente lavoro sulla
carica di prova, se il potenziale di A, V(A), è maggiore
di quello di B, V(B).
Intensità della corrente elettrica
Come si è detto, i portatori di cariche elettriche possono essere in movimento. Supponiamo di avere in una
regione dello spazio un gran numero di tali portatori,
tutti di egual carica q e tutti con la stessa velocità v. Le
cariche siano tanto numerose, ed i loro portatori occupino un volume tanto piccolo - è la solita idealizzazione della carica puntiforme - da poter descrivere la loro
distribuzione attraverso una funzione densità n: se dV
è un volumetto elementare, i portatori contenuti in tale
volume sono, per definizione, dN= ndV.
Consideriamo ora una superficie piana S attraverso la
quale, nel loro moto, le cariche si trovano a passare.
Vogliamo calcolare la quantità di carica che nel tempo
dt attraversa detta superficie nel verso che va da sinistra
a destra. Costruiamo un cilindro con base sulla superficie S e lunghezza, nella direzione parallela a v, pari a
vdt. Per costruzione tutte le particelle che, all’istante t,
si trovano nel cilindro considerato, nel tempo dt, percorrendo lo spazio vdt, si troveranno a passare attraverso la super ficie S, mentre tutti i portatori al di fuori
del volume considerato, o “mancheranno” la superficie
S, oppure percorreranno una distanza insufficiente ad
incontrarla. Se ne deduce che il numero di portatori
che attraverseranno la superficie S nel tempo dt è pari
al numero di portatori contenuti nel cilindro di volume
S vdt cos , cioè nS vdt cos , dove è l’angolo fra la
direzione di v e quella della normale ad S.
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
9
Dato che ogni portatore è dotato di carica q, la carica
totale che attraversa la superficie S nel tempo dt è:
dQ = nqS vdt cos ,
e nell’unità di tempo:
dQ
I=
= nqS v cos .
dt
A tale grandezza viene dato il nome di intensità di cor rente elettrica.
Naturalmente la definizione di intensità di corrente
elettrica che abbiamo illustrato in un caso semplice,
può essere estesa al caso in cui i portatori siano dotati
di carica diversa, non abbiamo tutti la stessa velocità, e
la loro densità vari da punto a punto. Si noti che il concetto di intensità di corrente richiede, oltre ad una
distribuzione di cariche in movimento, la scelta di una
superficie attraverso cui si intende valutare il flusso di
cariche e quella di un verso, l’orientazione della normale su S. Nel seguito parleremo spesso di intensità di
corrente senza specificare la superficie attraverso la
quale intendiamo calcolarla, mentre specificheremo
sempr e il verso; ciò accade perché, nei casi in questione, la superficie è implicitamente definita. È il caso in
cui il moto dei portatori è obbligato a svilupparsi lungo
un percorso determinato, il “conduttore” appunto.
Vale la pena di sottolineare, ancora una volta, che sia il
concetto di tensione che quello di corrente presuppongono la scelta di un verso: la tensione da un punto A ad
un punto B e la corrente in un verso lungo il percorso
stabilito.
Ricordiamo infine che l’unità di misura dell’intensità di
corrente elettrica nel Sistema Internazionale è l’ampere
(A), pari ad un coulomb al secondo, e che lo strumento che la misura viene detto amperometro.
Lezione II
10
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
La legge di Ohm ed il “bipolo” resistore
I corpi materiali si comportano in maniera differente
quando ad essi viene applicata una differenza di potenziale. Come sappiamo, tra i costituenti elementari della
materia vi sono portatori di cariche elettriche: elettroni
e ioni. Tali portatori possono essere più o meno legati
alla struttura del corpo materiale e quindi più o meno
liberi di muoversi. Sotto l’azione della differenza di
potenziale i portatori liberi (ma non completamente
liberi, come vedremo), si muovono e danno luogo ad
una corrente elettrica.
Da questo punto di vista, e con una classificazione per
il momento solo grossolana, potremmo inserire ogni
materiale in una scala che vede ad un estremo l’isolan te perfetto - un materiale in cui i portatori di cariche o
sono completamente assenti, o, se presenti, sono del
tutto impediti nel loro moto - ed all’altr o estremo il
conduttore perfetto in cui i portatori di cariche, presenti in gran numero, sono completamente liberi di muoversi. Il vuoto perfetto, per esempio, fin tanto che rimane tale, è certamente un perfetto isolante, mentre un
corpo metallico, rame per esempio, portato a bassissima temperatura può essere considerato una buona
esemplificazione di un conduttore per fetto. Nei materiali metallici, o conduttori di prima specie, in particolare, i portatori di carica responsabili della corrente sono
gli elettroni periferici degli atomi o molecole che costituiscono, con il loro reticolo, la struttura del materiale
stesso. Tali elettroni, debolmente legati ai rispettivi
atomi, for mano in effetti una sorta di nube elettronica
che, sotto l’azione di una forza prodotta dall’applicazione di una differenza di potenziale, si mette in moto
e produce una corrente.
Per un gran numero di tali conduttori, e per un campo
di variabilità dei parametri in gioco discretamente
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
ampio, sussiste una relazione di proporzionalità tra la
d.d.p. applicata e la corrente prodotta: a tale relazione
di proporzionalità viene dato il nome di legge di Ohm.
Cerchiamo di approfondire il contenuto della legge di
Ohm facendo riferimento ad una configurazione ideale semplice. Supponiamo di avere un corpo materiale e
di individuare sulla superficie che lo racchiude due
punti ai quali immaginiamo di applicare la d.d.p. V.
Supponiamo inoltre di essere in grado di portare ad
uno dei due punti e di prelevare dall’altro, una qualsiasi corrente I; non domandiamoci, per il momento,
“chi” applica la d.d.p. né “come” portiamo e preleviamo la cor rente nei due punti. Una volta fissati i punti di
accesso della corrente, il moto delle cariche all’interno
del corpo si svilupperà in una ben precisa maniera che
non è necessario, però, in questa fase, specificare in
maggior dettaglio. Se, in queste condizioni, immaginiamo di applicare agli stessi punti, diverse differenze di
potenziale, e misuriamo la corrente che ne deriva, verificheremo che:
V = R I.
(3)
Alla costante di proporzionalità R, che nel Sistema
Internazionale si misura in ohm , viene dato il nome di
resistenza del corpo in esame, quando alimentato nella
maniera indicata. Questa precisazione è necessaria perché il valore della costante R, in generale, cambia se
cambiano i due punti di applicazione della d.d.p., così
come cambia ancora, se, invece di due punti ideali pensiamo a due superfici attraverso le quali la corrente
viene portata e prelevata; in questo caso R dipende
anche dalla forma ed estensione di tali superfici (gli
elettrodi). Per questo motivo ci siamo resi indipendenti dalla forma degli elettr odi supponendoli, in una
situazione ideale, addirittura puntiformi.
Naturalmente la stessa legge di proporzionalità può
11
12
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
essere espr essa nella forma:
I = G V,
(4)
dove G = 1/R prende il nome di conduttanza ed è misurata in Siemens (S).
È interessante approfondire l’analisi del contenuto
della legge di Ohm allo scopo di cercare di distinguere
in essa la parte che dipende dalla geometria del corpo
da quella che invece dipende strettamente dalla natura
del materiale. Per semplicità espositiva assumiamo una
geometria molto semplice: un cilindro abbastanza
lungo rispetto alla sua dimensione trasversale, in modo
da poter ritenere che la maniera in cui viene applicata
la d.d.p. non possa influenzare in modo significativo la
distribuzione del moto delle cariche all’interno del
cilindr o. In tali ipotesi una indagine sperimentale
mostra che
R = L
(5)
S
dove prende il nome di resistività del materiale - il
suo inverso quello di conducibilità - e dipende solo
dalla sua natura e dalle condizioni fisiche in cui si trova
ad operare, L è la lunghezza ed S la misura della sezione trasversale del cilindro. Nella immagine a lato sono
riportati valori indicativi della resistività di alcuni materiali alla temperatura ambiente. Come si vede rame ed
argento hanno una bassa resistività. Il rame costituisce
il miglior compromesso - bassa resistività e basso costo
- e per questo motivo è di gran lunga il materiale più
usato nelle applicazioni elettriche, tanto che nel linguaggio comune rame è diventato sinonimo di conduttor e elettrico.
Luciano De Menna
13
Corso di Elettrotecnica
Il modello di Drude
Il fatto che alcuni materiali - che vengono appunto detti ohmici - sottostanno
alla legge di Ohm, ha un significato molto sottile che cercheremo di esaminare
sia pure solo qualitativamente. Dalla definizione di intensità di corrente risulta
evidente che la stessa è proporzionale alla velocità media dei portatori di carica. D’altra parte la differenza di potenziale, in quanto integrale del campo,
deve essere pr oporzionale alla forza esercitata sui portatori stessi; il campo
infatti è la for za per unità di carica. La legge di Ohm, dunque, afferma che la
velocità è pr oporzionale alla forza, in apparente contraddizione con le leggi
della dinamica che vogliono quest’ultima proporzionale all’accelerazione:
F = ma.
In effetti la contraddizione è solo apparente in quanto la legge di Newton
immagina il corpo, soggetto a forze, completamente libero di muoversi.
Evidentemente i portatori di carica in un conduttore ohmico non sono completamente liberi di muoversi! Il reticolo che costituisce il corpo materiale in
cui i portatori sono costretti a muoversi offre un qualche ostacolo al moto delle
cariche. La legge di Ohm, in effetti, ci consente di determinare quale tipo di
ostacolo. Supponiamo infatti che l’effetto complessivo delle cariche ferme,
costituenti il reticolo, sia equivalente ad un attrito e quindi proporzionale alla
velocità; la forza complessiva che agisce sulle cariche sarà allora F - k v, dato
che l’attrito si oppone all’azione del campo elettrico.
Se si raggiunge una condizione stazionaria, la velocità delle cariche sarà costante, e la loro accelerazione, quindi, nulla. Avremo dunque:
F - k v = m a = 0,
e quindi F = kv, come prescritto dalla legge di Ohm. Questo modello della
conduzione nei conduttori ohmici, che va sotto il nome di modello di Drude,
e che abbiamo esposto solo in maniera qualitativa, può, in realta, essere
approfondito anche ad un livello quantitativo con buoni risultati. A noi interessava farne cenno soprattutto per sottolineare il fatto che la validità della
legge di Ohm richiede il verificarsi di una condizione abbastanza particolare.
Non stupisce quindi che tale legge non sia soddisfatta da tutti i materiali, e che
14
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
gli stessi materiali ohmici siano tali solo in determinate condizioni; per esempio al variare della temperatura del corpo in esame la resistività del materiale
non si mantiene costante, come vedremo meglio nel seguito. Non meno importante, dal punto di vista applicativo, è il caso di quei materiali che non sottostanno alla legge di Ohm e che quindi presentano una dipendenza non lineare
tra tensione e corrente. La moderna elettronica è tutta basata sul comportamento di tali materiali.
Capitolo I
I bipoli
Al fine di una futura estensione dei concetti esposti,
introduciamo una opportuna terminologia: chiameremo bipolo resistore il sistema descritto nel capitolo precedente. Le sue proprietà possono essere così riassunte:
Un bipolo resistore è una “scatola” chiusa che comuni ca con l’esterno, dal punto di vista elettromagnetico, solo
attraverso due suoi punti ben definiti (morsetti del bipo lo). Esso gode delle seguenti proprietà:
- la corrente che entra in un morsetto è uguale a quel la che esce dall’altro;
- la tensione tra i due morsetti del bipolo è indipen dente dal cammino prescelto per calcolarla e quindi
può essere espressa come differenza di potenziale;
- la tensione tra i morsetti è proporzionale alla'inten sità di corrente che li attraversa; la costante di propor zionalità R prende il nome di resistenza del bipolo;
Come vedremo in seguito, per estendere il concetto di
bipolo, basterà che la seconda proprietà sia verificata
per ogni linea che non entri nella “scatola” che racchiude il bipolo in questione, e che tale linea non sia
“comunque lunga”. La relazione V = RI si dice caratte -
16
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
ristica del bipolo. Vogliamo osservare che nello scrivere la legge di Ohm abbiamo implicitamente fatto delle
scelte sui versi positivi della corrente e della tensione.
Con riferimento alla figura I.1, se V è l’integrale di linea
del campo tra i punti A e B, nel verso che va da A a B,
ed I è la corrente nello stesso verso scelto per calcolare
la tensione, cioè da A a B, allora la legge di Ohm assume la forma espressa dalla relazione (3) del capitolo
precedente, con R dato dalla (5), e quindi positivo per
definizione.
Fig.I.1
Ma erano possibili anche scelte diverse. Si supponga di
non conoscere a priori quale dei due morsetti A e B sia
quello effettivamente a potenziale maggiore, ma di
volere comunque indicare con un simbolo, per esempio V*, per distinguerlo dal precedente, la differenza di
potenziale; non si potrà, evidentemente, che scegliere
arbitrariamente uno dei punti - B per esempio - e definire V* la differ enza di potenziale tra B e A.
Supponiamo invece di mantenere invariata la scelta per
la corrente, e cioè definiamo I la corrente che entra da
A ed esce da B. Per quanto detto in precedenza si avrà:
V* = - RI
(I.1)
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
dato che V* = - V, evidentemente; la caratteristica del
bipolo appare in queste condizioni alquanto diversa!
Occorre dunque precisare che un resistore ha una
caratteristica del tipo V=RI, con R positivo, se i versi
positivi scelti per la tensione e la corrente sono tali che
la corrente è positiva quando entra nello stesso morsetto
che, se a potenziale maggiore dell’altro, determina una V
positiva. Questo tipo di scelta viene detta dell’utilizza tore per ragioni che saranno chiare in seguito. Prima
spendiamo qualche parola sui simboli grafici.
Indicheremo un resistore con i simboli mostrati in figura. Il segno + accanto ad un morsetto individua la scelta del verso positivo per le V, mentre la freccia indica
quello delle correnti. Nella stessa figura sono anche
indicate le quattro alternative possibili.
È facile convincersi che l’alternativa a) coincide con la
c) (basta r uotare di 180° il disegno), mentre quella d)
coincide con la b). Le alternative a) e c) le abbiamo già
dette dell’utilizzatore, diremo invece del generatore
quelle b) e d). Vediamo perché questa terminologia.
La legge di Joule
Come è noto, la tensione tra due punti può anche essere vista come il lavoro compiuto per portare una carica
unitaria da un punto all’altro. Basta rifarsi alla definizione di tensione e ricordare che F = q E. Se nell’unità
di tempo vengono portate I cariche da un punto all’altro, tra i quali esiste la differenza di potenziale V, si
compirà, dunque, un lavoro per unità di tempo VI, cioè
il resistore sarà interessato da una potenza VI. Con le
posizioni fatte, è chiaro a questo punto che il prodotto
VI, cioè la potenza ai morsetti del resistore, risulterà
positivo solo se è stata scelta una convenzione dell’utilizzatore per la coppia tensione-corrente. Per l’altra
17
18
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
convenzione tale prodotto, sempre nel caso del resistore, risulterà negativo. Consideriamo infatti la convenzione a: per definizione V è positivo se il punto indicato con il segno + è a potenziale maggiore dell’altro. Ma
in tali condizioni il campo E farà muovere le cariche
positive nel verso che va dal punto contrassegnato con
il + all’altro, e quindi I risulterà positiva. D’altra parte,
come è noto, l’energia associata alla potenza VI interessante un resistore, viene “dissipata”, o meglio trasformata in un altro tipo di energia: calore. Infatti per
un tempo dt si ha:
dW = P dt = VIdt = RI2 dt,
che è, appunto, la ben nota legge di Joule. Appare quindi naturale parlare di energia e potenza “assorbita” ed
“utilizzata” dal bipolo resistore e definire convenzione
dell’utilizzatore quella convenzione che fa sì che tale
potenza risulti positiva. Se, dunque, su di un resistore
si è fatta la convenzione dell’utilizzator e, la potenza
assorbita risulterà sempre positiva. È vero anche l’opposto: se si fa per un resistore la convenzione del generatore, la potenza, che converrà a questo punto chiamare potenza generata, risulterà sempre negativa.
La caratteristica di un bipolo, almeno di quelli che
intendiamo introdurre in questa prima fase, può essere
utilmente rappresentata nel piano (I,V). Per un bipolo
resistore, tale rappresentazione è, evidentemente, una
retta passante per l'origine degli assi. Si noti la diversa
rappresentazione a seconda della convenzione scelta.
Nel caso di una convenzione dell'utilizzatore, l'inclinazione della r etta, rispetto all'asse delle correnti, è tale
che tg = R.
Supponiamo ora di avere a disposizione più bipoli ed
immaginiamo di collegarli tra di loro. Per far ciò
abbiamo bisogno di elementi di connessione tra i morsetti, che negli schemi grafici rappresenteremo con dei
Luciano De Menna
19
Corso di Elettrotecnica
tratti di linea che uniscono le scatole rappresentative
dei bipoli. Si suppone che tali elementi di connessione
non abbiano alcuna influenza sul sistema. Essi si limitano a portare la corrente senza introdurre alcuna
d.d.p. aggiuntiva. Nella pratica essi saranno realizzati
con conduttori ad elevata conducibilità, tipicamente in
rame.
Dati due soli bipoli, sono possibili soltanto due tipi di
collegamento e sono mostrati nelle immagini a lato. Il
primo collegamento prende il nome di collegamento in
parallelo ed il secondo di collegamento in serie. Se nel
primo caso consideriamo un nuovo bipolo i cui morsetti siano non quelli A, B del primo bipolo, né quelli
C, D del secondo, bensì quelli indicati con E ed F, pos siamo domandarci quale sarà la caratteristica di questo
nuovo bipolo; o, con linguaggio specifico, quale è la
caratteristica del bipolo equivalente che si ottiene collegando due bipoli in parallelo.
Evidentemente l’elemento caratterizzante un collegamento in parallelo di due resistori aventi resistenza R1
ed R 2, sta nel fatto che i due bipoli sono, per costruzione, soggetti alla stessa tensione V. Si potrà dunque scrivere, avendo fatto la convenzione dell’utilizzatore:
V = R1 I1 = R2 I2 .
D’altra parte la corrente I deve essere la somma delle
correnti I 1 ed I2, per cui si ha:
I1 + I2 = V + V = V 1 + 1 .
R1 R2
R1 R2
(I.2)
Il bipolo equivalente avrà dunque una caratteristica
individuata dal parametro R eq :
Req = R1 R2 .
R1 + R2
(I.3)
È interessante notare che la corrente in uno dei rami
20
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
del partitore di corrente - è questo il nome che viene
dato spesso alla disposizione in parallelo di due bipoli
- si ottiene facilmente, quando sia nota la corrente totale entrante nel parallelo, con la formula:
I1 = V = I R2 .
R1
R1 + R2
(I.4)
È la così detta formula del partitore di corrente.
Ragionamenti analoghi portano all’individuazione della
caratteristica del bipolo equivalente ad una serie di due
resistori. Questa volta l’elemento caratterizzante il collegamento è dato dal fatto che i due resistori sono attraversati dalla stessa corrente. Si avrà dunque:
I = V1 = V2
R1 R2
(I.5) .
D’altra parte, per definizione, si ha che V=V1+V 2 e
quindi:
V = R1 I + R2 I = I R1 + R2 = ReqI.
(I.6)
Ne segue che il bipolo equivalente è ancora un resistore con resistenza pari ad Req = R1 + R2 . In maniera analoga a quanto detto per la disposizione in parallelo è
molto semplice ricavare la formula del partitore di ten sione:
V1 = R1 I = V R1 ,
(I.12)
R1 + R2
che fornisce la tensione ad uno dei bipoli in serie, quando sia nota la tensione totale sulla serie delle due resistenze.
Come già notato, i collegamenti serie e parallelo sono
gli unici possibili quando si dispone di due soli bipoli.
Immaginiamo ora di poter disporre di più bipoli resistori e di collegarli fra di loro in una maniera qualsiasi
attraverso i loro morsetti, come nell'esempio mostrato
Luciano De Menna
21
Corso di Elettrotecnica
nelle immagini riportate a lato. Il sistema così ottenuto
prende il nome di rete di bipoli e verrà studiato in dettaglio nel seguito. Per ora vogliamo soltanto porci il
problema di determinare il bipolo equivalente della rete
vista da due sue morsetti. Se immaginiamo infatti di
scegliere due morsetti A e B della rete e assumiamo che
tali morsetti siano gli unici punti di comunicazione
della rete con l'esterno, la rete stessa ci apparirà come
un unico bipolo. La caratteristica di un tale bipolo si
può generalmente determinare, una volta nota quella
dei bipoli componenti, con un procedimento di “riduzione successiva”. Con riferimento all'esempio mostrato, infatti, è evidente che i resistori R4 ed R5 , essendo
attraversati dalla stessa corrente, sono tra di loro in
serie. Ad essi potrà quindi essere sostituito un unico
bipolo equivalente di valore Re1 , secondo quanto illustrato in precedenza. Nella rete così ridotta, i bipoli R2
ed Re1 sono ora in parallelo e potranno quindi essere
sostituiti da un unico bipolo equivalente Re2 . A questo
punto R3 ed Re2 sono in serie e quindi equivalenti ad un
bipolo di resistenza Re3 . Infine i bipoli R1 ed Re3
appaiono ora in parallelo e quindi la resistenza vista dai
morsetti A e B è pari a Re4 che - riepilogando - può
essere scritta come:
R4 + R5 R3
+ R2 R1
Re4 = R3 + R4 + R5
.
R4 + R5 R3
R1 + R2 +
R3 + R4 + R5
(I.8)
Questo procedimento di riduzione successiva della rete
è generalmente molto semplice e conduce alla immediata determinazione della caratteristica del bipolo
equivalente.
Val la pena però di sottolineare che la resistenza equi valente di una rete di r esistori, vista da una coppia di
suoi morsetti, dipende dai morsetti prescelti. Nella
22
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
stessa rete precedente, infatti, scegliendo un'altra coppia di morsetti si ottiene un risultato diverso, come illustrato dalla sequenza di immagini a fondo pagina che
ripercorre il procedimento descritto per la nuova scelta della coppia di morsetti.
Non bisogna però pensare che tutte le reti, per ogni
coppia di morsetti, siano riconducibili ad un unico
bipolo equivalente, utilizzando esclusivamente le formule della serie e del parallelo di due resistori. Un
esempio è mostrato nella figura a sinistra; si tratta di
una tipica rete a ponte spesso utilizzata in dispositivi di
misura per le sue specifiche caratteristiche. La riduzione di una tale rete, per la coppia di morsetti indicata,
sarà possibile utilizzando una trasformazione particolare che introdurremo in seguito.
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Esercizi
Siamo ora in grado di poter proporre qualche semplice
esercizio. Cogliamo l'occasione per sottolineare che la
parte esercitativa in questo corso è determinante.
Come spesso accade in molti campi, non si può affermar e di aver realmente assimilato una teoria, in tutte le
sue implicazioni, se non si è provato ad applicarla; e
spesso l'applicazione riserva inattese sorprese!
Alcuni problemi verranno proposti nel testo e la loro
soluzione sarà illustrata più avanti. Per altri problemi,
invece, si rimanda al testo di esercizi proposto: S.
Bobbio, L. De Menna, G. Miano, L. Verolino, Esercizi
di Elettrotecnica, vol. I, II, III e IV, ed. CUEN, Napoli,
1998.
Nel caso presente nelle figure vengono proposte tre reti
per le quali calcolare la resistenza equivalente ai morsetti indicati. Per la rete di cui al n.1 si chiede di calcolare anche il valore di R1 che rende R AB = R0. Si noti
che la rete contrassegnata con il numero 3) è la successione di infinite celle tutte identiche tra di loro; la risoluzione di questo problema richiede un pizzico di intuizione.
Altri bipoli
Come abbiamo visto, nel piano (I,V) la caratteristica
V=RI di un resistore è una retta che passa per l’origine,
con inclinazione tg = R. Al variare di R, quindi, la
retta sarà più o meno inclinata sull’asse delle I.
Si noti che il fatto che la potenza assorbita da un resistore è in ogni caso positiva si riflette nel fatto che la
caratteristica dello stesso si trova sempre nel primo e
nel ter zo quadrante del piano (I,V). Ciò accade, naturalmente, se la convenzione scelta è quella dell’utilizzatore. Si pongono in evidenza immediatamente due casi
speciali: il caso in cui l’angolo è nullo e quello in cui
23
24
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
esso è pari a 90°. Nel primo caso si ha R = 0, ed il bipolo, per qualsiasi valor e della corrente che lo attraversa,
presenta sempre una differenza di potenziale nulla ai
suoi morsetti. Un tale bipolo prende il nome di bipolo
corto circuito e può essere in teoria realizzato con un
ideale conduttore perfetto. In un tale conduttore infatti, caratterizzato da una resistività nulla ( = ), per
qualsiasi valore della cor rente si ha sempre una d.d.p.
ai morsetti nulla. Naturalmente un buon conduttore
reale può al più approssimare tale comportamento, e
l’approssimazione sarà tanto migliore quanto più
“corto” sarà il tratto di conduttore: da ciò il nome
“corto circuito”.
L’altro caso corrisponde a quello in cui = 0 ( = ).
In tale evenienza si ha, al contrario, che per qualsiasi
d.d.p. V ai morsetti la corrente che attraversa il bipolo
è sempre nulla. Un tale bipolo si potrebbe realizzare
frapponendo tra i morsetti un perfetto “non conduttore”, cioè un materiale isolante. Esso prende il nome di
bipolo circuito aperto o a vuoto. Le denominazioni di
corto circuito, circuito aperto o circuito a vuoto sono in
parte autoesplicative ed in parte saranno meglio chiarite in seguito.
Immaginiamo ora un bipolo del tutto diverso che sia
definito da questa condizione: pur avendo fatto su di
esso la convenzione dell'utilizzatore, la potenza risulta,
in alcune condizioni, negativa. Un tale bipolo non può
certamente essere un resistore. Cerchiamo di capire
quale è l’aspetto caratteristico che lo distingue da un
resistore. Nel resistore, come abbiamo visto, il moto
delle cariche positive va sempre dal punto a potenziale
maggiore a quello a potenziale minore, secondo il
campo che possiamo immaginare agire al suo interno.
È questo che fa sì che la potenza assorbita - convenzione dell’utilizzatore dunque - sia sempre positiva. Nel
bipolo che stiamo immaginando deve accadere l’opposto: le cariche devono andare dal punto a potenziale
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
minore a quello a potenziale maggiore, apparentemente contro il campo. Ne consegue che un tale bipolo, se
esiste, deve essere sede di fenomeni diversi da quelli fin
qui analizzati e - questo è importante - deve mettere in
gioco anche fenomeni di natura diversa da quelli che
producono il campo. Ipotizziamo per ora l’esistenza di
tale bipolo; vedremo in seguito quali possono essere le
sue pratiche realizzazioni, anche se lo studio approfondito di tali bipoli, che d’ora in poi chiameremo genera tori, travalica i limiti di un corso di Elettrotecnica.
Esaminiamo quali forme può assumere la caratteristica
di un bipolo generatore. Se abbiamo scelto la convenzione dell'utilizzatore essa dovrà almeno in parte svolgersi nel secondo e nel quarto quadrante: solo in tali
quadranti, infatti, il prodotto VI è negativo. Se invece
scegliamo la convenzione del generatore, la caratteristi ca dovrà, almeno in parte, svilupparsi, per le stesse
ragioni, nel primo o nel terzo quadrante. Il caso più
semplice, ma ideale, che possiamo immaginare è quello
in cui un tale bipolo presenta sempre la stessa d.d.p. ai
suoi morsetti, indipendentemente dalla corrente che lo
interessa, o che il bipolo eroga. Un tale generatore
prende il nome di generatore ideale di tensione o anche
di forza elettromotrice (f.e.m.).
Conveniamo di assumere la convenzione del generatore; in tale ipotesi il bipolo in esame funziona effettivamente come generatore (VI>0) solo per il tratto della
sua caratteristica che si trova nel primo quadrante. Nel
tratto che interessa il secondo quadrante, esso ha VI<0
e quindi si comporta come uno strano resistore o utilizzatore. Un elemento che certamente distingue tale
bipolo da un resistore normale sta nel fatto che, mentre
in un resistore normale la caratteristica passa sempre
per l’origine del piano (I,V) (questa proprietà viene
detta inerzia del bipolo), nel bipolo generatore ideale
anche per I = 0 si ha una tensione ai morsetti diversa da
zero. Il simbolo generalmente utilizzato per tale generatore è rappresentato in figura. In realtà tale simbolo
25
26
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
individua una più generale classe di generatori di f.e.m.
che sono in grado
di fornire una
d.d.p. ai loro morsetti variabile nel
tempo e che introdurremo nel seguito. Per il generatore di tensione
Fig.I.2
costante si usa
spesso il simbolo più specifico mostrato in Fig.I.2 dove
il tratto più lungo individua il morsetto positivo.
Un caso del tutto analogo, ma opposto, è quello del
bipolo che per qualsiasi valore della tensione ai morsetti er oga sempre la stessa corrente I. È naturale chiamare un tale bipolo generatore ideale di corrente. Il simbolo riser vato per un tale generatore e la sua caratteristica sono mostrati in figura. Si noti il segno + accanto
ad uno dei morsetti o la freccia accanto al simbolo; per
il generatore di tensione esso sta ad indicare che la tensione E è la differenza di potenziale tra il morsetto contrassegnato con il segno + e l'altro, mentre per il generatore di corrente la freccia indica il verso della corrente I for nita dal generatore stesso. I due generatori fin
qui mostrati fanno parte di una più ampia classe di
bipoli che per ovvie ragioni si dicono attivi. Essi sono
anche generatori indipendenti in quanto la tensione o
la corrente, nei due casi, da essi erogata ai morsetti non
dipende da alcuna caratteristica del sistema in cui vengono inseriti. Introdurremo in seguito generatori che
non godono di tale proprietà
Proviamo ora a prendere in considerazione anche per i
bipoli generatori i due tipi di collegamento, serie e
parallelo, che abbiamo esaminato nel caso dei bipoli
resistori. Nella immagine a lato sono mostrati quattro
diversi casi ottenuti combinando generatori ideali di
corrente e di tensione. Per quanto riguarda i casi a) e b)
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
è facile convincersi che il bipolo equivalente è ancora
un generatore ideale, rispettivamente di tensione pari
ad E1 + E2 , e di corrente pari a I1 + I 2.
I casi c) e d) sono leggermente meno evidenti: per
comprendere la natura del bipolo equivalente rappresentato nel caso c), per esempio, basta considerare che,
per il modo in cui il collegamento è realizzato, il generatore di tensione impone la sua tensione ai morsetti
del bipolo equivalente; se ne conclude che tale bipolo,
che è in grado di erogare qualsiasi corrente mantenendo costante la sua tensione ai morsetti, è ancora un
generatore ideale di tensione. Analogamente nel caso
d) avremo un generatore equivalente ideale di corrente.
Di proposito abbiamo lasciato da parte i due casi rappresentati nella successiva immagine. Tali collegamenti
danno luogo ad una contraddizione non eliminabile.
Infatti, consideriamo per esempio il caso b): i due generatori vorrebbero entrambi imporre la loro tensione ai
morsetti del generatore equivalente. D’altra parte tale
tensione non può che essere unica. In sintesi si può dire
che questo è un caso in cui entrano in contraddizione
due “idealità”: quella dei generatori - appunto ideali -,
che pr esentano, in quanto tali, sempre la stessa tensione ai loro morsetti, e quella dei conduttori di collegamento che, essendo anche essi ideali, non possono produrre una caduta di tensione. È un caso di contrasto
non raro quando in un modello vengono introdotti elementi “ideali”. Il caso a) si analizza in maniera analoga.
Allo scopo di approfondire meglio il problema, osserviamo che un generatore ideale di tensione o di corrente è per definizione in grado di fornire ai suoi morsetti
una potenza infinita; la potenza fornita è infatti pari al
prodotto della tensione per la corrente erogata e, quindi, nei due casi considerati può essere infinita se una
27
28
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
delle due grandezze può andare all’infinito - la corrente per il generatore di tensione e la tensione per il generatore di corrente. Si può facilmente immaginare che
nessun generatore “reale” potrà mai essere in grado di
erogare una potenza infinita. La caratteristica di un
generatore reale dovrà dunque essere sostanzialmente
diversa da quella di un generatore ideale; all’aumentare della corrente er ogata, la tensione ai morsetti non
potrà rimanere costante, come, per esempio, nella
caratteristica mostrata in figura.
In una tale caratteristica possiamo individuare un valore della “tensione a vuoto” E0, presente ai morsetti del
generatore quando esso non eroga corrente, - ossia la
tensione che dovrebbe esser e mantenuta dal generatore per qualsiasi valore di corrente, qualora fosse un
generatore ideale di tensione - e la corrente di corto circuito Icc, cioè la corrente che il generatore fornisce
quando è chiuso, appunto, in corto circuito.
Facciamo vedere che è possibile costruire, con gli elementi che abbiamo a disposizione, un bipolo che, pur
essendo ancora ideale, approssima il compor tamento
del generatore reale, almeno in un tratto della sua
caratteristica. Consideriamo, infatti, i possibili collegamenti serie-parallelo che si possono realizzare utilizzando un bipolo generatore ideale ed un bipolo resistore. È l’ultimo caso che ci resta da esaminare; nelle
figure sono rappresentati le due configurazioni significative. Nella stesse figure sono rappresentate anche le
relative caratteristiche dei bipoli equivalenti; nel caso
del generatore ideale di tensione con in serie una resistenza, infatti, la tensione V ai morsetti del bipolo equivalente sarà pari alla tensione E0 del generatore diminuita della tensione RI che “cade” sulla resistenza R:
V= E 0 - RI,
(I.9)
che è appunto la caratteristica descritta nel diagramma
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
in figura. Come si vede, dunque, il bipolo equivalente
in questione è ancora un bipolo attivo, ma la potenza
che esso è in grado di fornire non può più essere illimitata. È ancora dunque un bipolo “ideale” - nessun
generatore reale avrà mai una caratteristica rappresentabile rigorosamente con una retta - ma il suo comportamento è indubbiamente più vicino a quello di un
generatore r eale: potremmo chiamare un tale bipolo
generatore reale idealizzato. Nella figura in cui è rappresentata la caratteristica di un possibile generatore
reale, è indicata anche la retta che ne approssimerebbe,
almeno nel primo tratto, il comportamento con un
generatore reale idealizzato.
Per il caso del generatore di cor rente con un resistore
in parallelo si possono fare analoghe considerazioni.
Fin qui abbiamo descritto bipoli la cui caratteristica
può essere individuata da una relazione tra V ed I del
tipo V=aI+b. Tali bipoli prendono il nome di bipoli
normali. Se b=0, se cioè il bipolo è anche inerte, si parla
di bipolo lineare. Abbiamo già visto invece che se la
caratteristica - avendo fatto la convenzione dell'utilizzatore - giace tutta nel primo e terzo quadrante, si parla
di bipoli passivi, mentre se essa ha tratti nei quadranti
adiacenti, per esempio primo e secondo, si dice che il
bipolo è attivo. Questa definizione di passività ed attività del bipolo - che è adeguata in regime stazionario,
altrimenti detto anche regime di corrente continua
(c.c.) - dovrà essere opportunamente modificata quando introdurremo i bipoli in regime dinamico.
È possibile però concepire anche bipoli la cui caratteristica sia “non normale”, e quindi anche non lineare.
Un esempio classico è quello del bipolo diodo nella sua
forma reale ed idealizzata mostrate in figura. Ma si possono presentare anche altre tipologie di caratteristiche,
come quelle del bipolo diodo tunnel o del diodo a gas
mostrate anche esse, qualitativamente, in figura. Tali
29
30
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
bipoli sono tutti passivi, nel senso precisato precedentemente. Si osservi che mentre per il diodo tunnel la
caratteristica I=I(V) è una funzione ad un sol valore,
quella V=V(I) è, in alcuni tratti, a più valori. Per il
diodo a gas accade l’opposto. Per questa proprietà si
dice che il diodo tunnel è controllato in tensione ed il
diodo a gas, invece, è controllato in corrente.
Affrontiamo, infine, il caso della serie di un bipolo
generatore reale idealizzato e di un resistore. Se assumiamo le convenzioni indicate in figura, possiamo
immaginare di riportar e entrambe le caratteristiche dei
due bipoli sullo stesso piano (I,V). Questa rappresentazione consente una soluzione grafica del problema
della determinazione della corrente e della tensione
comune ai due bipoli. Infatti, dovendo il punto caratterizzato dalle coordinate I e V - soluzioni del nostro
problema - necessariamente appartenere sia alla caratteristica del generatore che a quella del resistore, esso
non potrà che essere il punto di intersezione tra le due
caratteristiche. Tale punto prende il nome di punto di
lavoro e la retta che rappresenta la caratteristica del
bipolo passivo R, è detta retta di carico per il bipolo attivo ai cui morsetti tale carico è appunto collegato. Si noti
che questo tipo di soluzione grafica è applicabile anche
quando uno dei bipoli non è lineare, o anche quando
entrambi non sono lineari, a condizione però che il
punto di intersezione tra le due caratteristiche sia
unico. In presenza di intersezioni multiple occorrerà
avere un criterio, che esula dall'attuale modello, per
determinare quale dei diversi punti possibili sia quello
di lavoro effettivo.
Come è noto i bipoli non lineari sono di estrema importanza nelle pratiche applicazioni. Naturalmente la loro
non linearità introduce notevoli difficoltà nella soluzione di problemi in cui essi sono coinvolti. Un artificio
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
che può essere utilizzato è quello di approssimare la
loro caratteristica con una opportuna “spezzata”. Si
parla di linearizzazione a tratti. D’altra parte tale artificio, se risolve alcuni aspetti del problema, introduce a
volte altr e difficoltà connesse con la presenza di punti
di discontinuità nella caratteristica. Lo studio delle reti
non lineari rappresenta un affascinante campo in cui
molto c'è ancora da chiarire. Naturalmente la piena
complessità e varietà di queste reti si manifesta soltanto quando si introduce la variabile temporale; ma questo è un discorso che affronteremo nel seguito.
Esercizi
Nel primo degli esercizi proposti si richiede di determinare il valore di R per il quale la potenza dissipata
nel carico - il bipolo R, appunto - sia massima.
Evidentemente, al variare di R, la corrente erogata dal
generatore di tensione varia e con essa varierà anche la
potenza dissipata in R. Per R=0 tale potenza è nulla
per ché è nulla la tensione sul bipolo (bipolo corto cir cuito); analogamente per R= , la potenza è ancora
nulla per ché è nulla la corrente che circola nel bipolo
(bipolo circuito aperto). Esisterà necessariamente
quindi un valore di R per il quale la potenza dissipata
assume un valore massimo. Si chiede di determinare
tale valore. Per inciso, quando la condizione di massimo trasferimento di potenza è verificata, si dice che il
carico ed il generatore sono adattati in potenza.
Nel secondo problema proposto si chiede di determinar e quale dovrebbe essere la suddivisione della corrente totale I entrante nel parallelo dei due resistori,
per ché la potenza dissipata nel sistema nel suo complesso sia minima. Commenteremo più avanti il risultato.
31
32
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Nelle altre immagini sono illustrate le soluzioni di problemi proposti nelle pagine precedenti. I primi due non
richiedono particolari commenti: il valor e di R1 che
rende la resistenza equivalente del bipolo uguale a
quella di carico R0, è dato in figura.
Per quanto riguarda il terzo esercizio, osserviamo che
la chiave per la sua soluzione sta nella osservazione che,
se la rete si ripete identicamente a se stessa all'infinito,
in qualsiasi punto della catena di celle identiche si
immagini di valutare la resistenza equivalente, si dovrà
ritrovare lo stesso risultato. Questa considerazione giustifica lo schema equivalente mostrato in figura che
porta ad una equazione di secondo grado la cui incognita è la risposta cercata. Inutile dire che, delle due
soluzioni possibili, quella negativa va scar tata perché
fisicamente inconsistente: nei limiti dei bipoli finora
introdotti la resistenza non può essere negativa!
Capitolo II
Le reti elettriche
Fino ad ora abbiamo immaginato di disporre di due
soli bipoli da collegare attraverso i loro morsetti; supponiamo ora, invece, di disporre di l bipoli e di collegarli tra di loro in una maniera qualsiasi. Quello che si
ottiene è un circuito elettrico o anche rete elettrica (il
secondo termine è a volte riservato ai circuiti di grande
estensione).
In generale sono note le caratteristiche dei singoli bipoli, quindi i legami tra tensioni ai morsetti e correnti cir colanti - naturalmente una volta scelta una convenzione per i versi positivi di tensioni e correnti - mentre
invece non è noto il particolare valore di corrente o di
tensione che effettivamente si stabilisce nella rete così
fatta in ogni bipolo. Determinare tali valori significa
“risolvere la rete”. Le leggi da noi introdotte ci consentono di risolvere tale problema.
Per studiare in maniera sistematica i metodi di soluzione delle r eti elettriche conviene premettere qualche
definizione. In primo luogo chiameremo lato o ramo
di una rete l’insieme di quei bipoli che nella rete stessa
compaiono fra di loro collegati in serie. Come abbiamo
visto per i resistori, e vedremo in seguito per altri tipi
di bipoli, ad essi si potrebbe sostituire un unico bipolo
34
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
equivalente. Chiameremo ancora nodo di una rete un
punto in cui convergono più di due lati della rete stessa. Infine ogni insieme di lati della rete che forma un
anello chiuso prenderà il nome di maglia della rete.
Orbene, in base alle definizioni ora date ed a quella di
bipolo, è facile vedere che per ogni rete è possibile scrivere un certo numero di equazioni che legano tensioni
tra i nodi e correnti nei lati fra loro.
La prima legge di Kirchhoff
La prima legge di Kirchhoff o legge di Kirchhoff per le
correnti (LKC) afferma: in ogni nodo la somma alge brica delle correnti entranti (o uscenti) nel nodo è iden ticamente nulla. Il termine “algebrica” sta a indicare
che ogni corrente va presa con il suo segno se il verso
positivo scelto sul ramo corrispondente è effettivamente entrante nel nodo (o uscente se si è scelto di effettuare la somma delle correnti uscenti dal nodo!), o con
il segno opposto nel caso contrario. In simboli:
I 1 + I2 + I 2 +.......+ Ik = 0
(II.1)
Val la pena di osservare che la validità di tale legge è
strettamente legata alla definizione di bipolo, e precisamente al fatto che ogni bipolo è supposto interagire
con l’esterno esclusivamente attraverso i suoi morsetti.
In più, la conservazione della carica è presupposta.
Infatti la somma algebrica delle correnti entranti nel
nodo rappresenta, per definizione di intensità della
corrente elettrica, la quantità di carica che nell'unità di
tempo viene globalmente portata nel nodo. In regime
stazionario, quando cioè le correnti non variano nel
tempo, tale contributo, per unità di tempo, resta evidentemente costante. In queste condizioni se esso non
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
fosse nullo, a condizione di attendere un tempo sufficientemente lungo, si potrebbe portare nel nodo in
questione una carica grande quanto si vuole. Ciò è evidentemente impossibile, non fosse altro per il fatto che
i portatori di carica sono dotati di massa non nulla e,
quindi, con la carica, crescerebbe indefinitivamente
anche la massa del nodo. In un regime dinamico, con
correnti che variano nel tempo, occorrerà fare un
discorso più articolato. Osserviamo infine che se n
sono i nodi presenti in una rete, le LKC ci forniscono n
relazioni lineari tra le varie correnti di lato della rete
stessa. Dimostreremo in seguito che di queste n equazioni una, scelta a caso, può essere ottenuta come combinazione lineare delle altre n-1, che risultano invece
indipendenti.
La seconda legge di Kirchhoff
Consideriamo ora una maglia di una rete e supponiamo
di percorrerla - di andare cioè da un lato al successivo
- in uno dei due possibili versi. La scelta di un verso su
di una maglia equivale, in termini specifici, alla sua
“orientazione”. Proviamo a sommare algebricamente le
tensioni su ogni lato della maglia così come le incontriamo seguendo l’orientazione prescelta. Anche qui
“algebricamente” sta a indicare che ogni tensione verrà
presa con il pr oprio segno o con il segno opposto a
seconda che il verso prescelto per essa sul singolo lato
coincida o non con quello di orientazione della maglia.
Dato che la tensione su ogni ramo è per definizione
l’integrale di linea del campo E lungo una linea che
collega i due morsetti del bipolo inserito nel ramo, ed
in virtù della scelta di sommare “algebricamente” tali
tensioni lungo la maglia, tale somma verrà a coincidere
con l'integrale di E lungo una linea chiusa. In regime
stazionario tale cir cuitazione deve essere nulla e tale
sarà dunque la somma delle tensioni lungo la maglia.
35
36
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
V12 +V 23 + V34 +V 45 +...........+V k1 = 0
(II.2)
Ne discende dunque la seguente seconda legge di
Kirchhoff o legge di Kirchhoff per le tensioni (LKT):
in una maglia la somma delle tensioni di lato, prese con
il proprio segno o con il segno opposto a seconda che il
loro verso coincida o non con un verso di orientazione
della maglia in precedenza scelto, è identicamente nulla.
Possiamo verificare la validità della legge precedentemente enunciata ragionando anche in un altro modo: in
regime stazionario ogni tensione è in realtà una differenza di potenziale e potrà essere messa sotto la forma
Vr - Vs , dove con Vr e Vs si sono indicati i potenziali nei
nodi, rispettivamente, r ed s. La somma di cui sopra
avrà dunque l’aspetto seguente:
V1 - V2 + V2 -V3 + V3 - V4 + ........ + Vk - V1 ,
ed è, evidentemente, identicamente nulla perché ogni
potenziale di nodo compare due volte e con segno
opposto. Osserviamo quindi che la validità della LKT
può essere anche fatta discendere dalla semplice definizione di bipolo, in particolare dal fatto che per un
bipolo si può, per definizione parlare di una tensione ai
suoi morsetti indipendente dal percorso, cioè di una
differenza di potenziale. Osserviamo infine che la LKT
impone legami lineari tra le tensioni di lato.
Per una rete di l lati non è in generale possibile dire,
senza specificare meglio la rete, quante sono le maglie
chiuse che in essa si possono formare. E ciò è evidente
se si pensa che alcuni nodi possono non essere collegati tra di loro direttamente. Anche in questo caso vedremo però che solo un sottoinsieme di tutte le equazioni
che si possono scriver e alle maglie è in realtà costituito
da equazioni linearmente indipendenti: per la preci-
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
sione un numero di l -(n - 1) equazioni. Vedremo in
seguito come le equazioni scritte in base alla LKC ed
alla LKT ci consentono di risolvere una qualsiasi rete,
nel senso specificato in precedenza.
Il grafo di una rete e le equazioni indipendenti
Per studiare una rete possiamo per il momento prescindere dalla natura dei vari bipoli che ne costituiscono i diversi rami, e focalizzare la nostra attenzione sulla
struttura della rete stessa, cioè sul modo in cui i bipoli
sono collegati tra loro. Una tale struttura, che per la
rete in esame è mostrata nelle immagini a lato, prende
il nome di grafo della rete.
In un grafo possiamo individuare rami e nodi, i punti
cioè in cui convergono più di due rami. Se poi orientiamo ogni ramo del grafo, scegliendo uno dei due versi
possibili su ogni ramo, diremo che il grafo è orientato.
Chiamer emo albero di una rete un insieme di rami che
unisce fra di loro tutti i nodi della rete senza formare
maglie chiuse. Ovviamente esistono in generale più
alberi per una rete avente un determinato grafo. Il
complemento di un dato albero a tutta la rete, cioè l’insieme dei rami che restano esclusi dall’albero, prende il
nome di coalbero della rete. Nelle immagini sono indi cati con tratto più grosso due possibili alberi per la rete
che stiamo esaminando.
Sfruttando queste definizioni è possibile ricavare in
maniera molto semplice alcune proprietà generali di un
grafo. Per un grafo orientato, infatti, possiamo scrivere
n equazioni ai nodi, se n sono i nodi, che derivano dall’applicazione della LKC ad ogni singolo nodo.
Supponiamo di scrivere tali equazioni nella forma che
esse assumono quando si sceglie di imporre l’annullamento della somma delle correnti entranti; naturalmente è possibile anche la scelta opposta, ma, per il
37
38
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
ragionamento che vogliamo sviluppare, è essenziale che
si convenga di fare la stessa scelta per ogni nodo. In
queste condizioni nel sistema di equazioni così ottenuto ogni cor rente comparirà una volta con il segno
“meno” in una equazione ed una volta con il segno
“più” in un’altra equazione, dato che ogni ramo collega due nodi ed uno stesso orientamento risulterà
entrante per l’uno e uscente per l’altro. Se, a questo
punto, sommiamo tutti i primi membri delle equazioni
del sistema abbiamo una espressione algebrica che, per
costruzione, è identicamente nulla. La stessa cosa accade per la somma dei secondi membri. Il fatto che dal
nostro sistema di equazioni, sommando membro a
membro tutte le equazioni, si ottiene una identità, ci
dice che in realtà almeno una delle equazioni presa a
caso potrebbe essere ottenuta con una opportuna combinazione lineare delle altre n-1. Le n equazioni, dunque, non sono tra di loro indipendenti, il che significa,
in termini fisici, che l’informazione contenuta in una
delle equazioni è già contenuta nelle altre: essa è in
realtà ridondante.
Siamo por tati a dire, dunque, che la LKC consente, per
una rete con n nodi, di scrivere al più n-1 equazioni
indipendenti tra di loro. È possibile affermare anche
che almeno n -1 sono indipendenti. Infatti immaginiamo di scegliere un albero della rete che abbia la caratteristica di non avere più di due rami che confluiscono
in ogni singolo nodo, così come è mostrato, per esempio, nelle immagini; esso sarà costituito per definizione
da n -1 rami.
Supponiamo di numerare i nodi del grafo in ordine
progressivo così come essi vengono incontrati percorrendo l’albero prescelto. Per ognuno dei primi n -1
nodi scriviamo le equazioni che esprimono la LKC.
Numeriamo anche i rami, magari con numeri romani
per non creare confusione, così come vengono incon-
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
trati percorrendo l’alber o della rete. Si avrà dunque che
il ramo I dell’albero congiungerà i nodi 1 e 2, il ramo II
i nodi 2 e 3 e così via. Nella figura sono mostrati anche,
con tratto più sottile, i rami del coalbero. Orbene dalla
equazione che esprime la LKC al primo nodo possiamo
ricavare l’incognita iI in funzione delle correnti in altri
rami non appartenenti all’alber o, cioè del coalbero.
Nella equazione relativa al secondo nodo compariranno le cor renti i I ed iII, ma utilizzando la prima equazione si potrà ottenere una equazione in cui iII comparirà
in funzione di tutte correnti del coalbero. L’operazione
può essere evidentemente ripetuta per tutte le n-1 correnti dei rami dell’albero. A questo punto abbiamo
ottenuto un sistema di equazioni, derivato dal precedente, nel quale in ogni equazione compare in esclusiva una corrente di un ramo dell’albero. Pertanto tale
sistema deve essere necessariamente costituito da equazioni tutte indipendenti tra loro.
Abbiamo, dunque mostrato che la LKC consente di
scrivere n -1 equazioni indipendenti per le correnti
della r ete. Dimostreremo ora che le LKT consentono
invece di scrivere l - (n - 1) equazioni indipendenti tra
le tensioni di lato (l è il numero complessivo di rami del
grafo). Infatti osserviamo in p rim o luogo che i rami
d el coalbero sono pari ad l -(n - 1) per definizione.
Costruiamo, poi, un sistema di l - (n - 1) maglie chiuse
aggiungendo, di volta in volta, ai rami dell'albero uno
ramo, ed uno solo, del coalbero. Che questa operazione porti alla costruzione di maglie chiuse discende in
maniera evidente dalla definizione di albero. Esso,
infatti, congiunge tutti i nodi della rete. L’aggiunta di
un altro ramo, che collega due nodi a caso, dovrà
necessariamente chiudere una maglia - eventualmente
con qualche appendice che converremo di non prendere in considerazione. Orbene le equazioni che si
39
40
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
ottengono dalla LKT per tali maglie sono necessariamente indipendenti, in quanto in ognuna di esse comparirà una incognita in esclusiva: quella del particolare
ramo del coalbero che ha contribuito a formare la
maglia.
In conclusione, dunque, la LKT ci consente di scrivere
un numero di l - (n - 1) relazioni lineari tra le tensioni
sui rami della rete. Nel complesso, dunque, attraverso
l’applicazione della LKC e della LKT si possono scrivere l relazioni lineari indipendenti tra le l correnti di
lato e le l tensioni di lato. D’altra parte le caratteristiche
dei bipoli ci for niscono ancora l relazioni - questa volta
non necessariamente lineari - tra le tensioni e le correnti, per cui nel complesso avremo 2l equazioni in 2l
incognite. Se la rete è costituita da generatori indipendenti e da bipoli con caratteristiche lineari, allora le 2l
equazioni sono anch’esse tutte lineari. In tal caso,
essendo esse anche indipendenti, come abbiamo
mostrato, forniscono certamente una ed una sola soluzione del problema: la conoscenza di tutte le tensioni
sui rami e di tutte le correnti nei rami. Il problema di
come si arrivi a trovare tale soluzione è a questo punto
di puro carattere matematico risolvibile con diversi
metodi: dal semplice metodo di sostituzione, molto
conveniente quando il numero di equazioni è ridotto,
al più complesso, ma ancora di semplice applicazione,
metodo detto di Cramer che utilizza concetti studiati
nella teoria dei sistemi di equazioni algebriche lineari.
Se invece le caratteristiche dei bipoli non sono tutte
lineari, allora il problema di trovare una soluzione
diventa più delicato; può accadere, per esempio, che
esista più di una soluzione, se sono presenti bipoli con
caratteristiche a più valori. In generale la presenza di
bipoli non lineari rende difficile una trattazione generale ed ogni caso va studiato nei suoi aspetti particolari.
Luciano De Menna
41
Corso di Elettrotecnica
Equazioni nelle incognite correnti
Limitiamoci per ora ai bipoli lineari e osserviamo che,
in generale, non è necessario trattare l’intero sistema di
2l equazioni di cui si parlava in precedenza; una semplice sostituzione delle relazioni caratteristiche dei
bipoli nelle equazioni ottenute applicando la LKC e la
LKT, ci conduce immediatamente ad un sistema di l
equazioni in l incognite, siano esse le correnti nei rami
o le tensioni sui rami. La scelta delle incognite in questo caso è del tutto equivalente.
Un esempio a questo punto chiarirà più di molte parole: pr endiamo in considerazione una rete par ticolare e
mostriamo tutte le fasi della sua “risoluzione”, riducendo il commento al minimo necessario.
Nelle immagini a lato sono rappresentati il circuito, il
suo grafo orientato (formato da 10 lati), i nodi ( sei nel
caso par ticolare), un possibile albero, il relativo coalbe ro e le cinque maglie che da esso possono essere generate.
Infine, le equazioni ai nodi (si è scelto di non utilizzare
l’equazione al nodo F):
nodo A)
I + I1 + I 4 = 0,
nodo B)
I1 + I2 + I 3 = 0,
nodo C)
I2 + I5 - I 8 = 0,
nodo D)
I 3 - I4 + I 7 + I 8 = 0,
nodo E)
I 5 + I6 + I 0 = 0,
e le equazioni alle maglie:
(II.3)
42
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
maglia I)
R1I1 - R3I 3 - R4I 4 = 0,
maglia II)
R2I2 - R3I 3 + R8I8 = 0,
maglia III)
R5I5 - R6I 6 - R7I 7 + R8I8 = 0,
maglia IV)
R4I4 + R7I7 - RI - E 0 = 0,
maglia V)
R6I6 + V0 = 0.
(II.4)
Notiamo subito che l’equazione alla maglia V si limita
a fornirci il valore della tensione V 0 ai capi del generator e di corrente una volta nota la corrente I6 ; essa
aumenta di uno il numero di equazioni ma contemporaneamente aggiunge una nuova incognita, V0 . Infatti,
se non si è interessati a conoscere il valore di tale tensione, la maglia V può essere completamente ignorata,
come se il circuito fosse effettivamente costituito da 9
lati e non da 10; ciò naturalmente dipende dalla presenza in un ramo di un solo generatore ideale di corrente. Il circuito in esame, infatti, potrebbe anche essere ridisegnato alla maniera mostrata nella immagine a
lato.
Il sistema di equazioni formato dalle II.3 e II.4 (escluso l’ultima) costituisce il sistema di 9 equazioni in 9
incognite che ci consente di risolvere la rete.
Per essere ancora più espliciti, sviluppiamo fino al
risultato numerico un caso più semplice (minor numero di equazioni). Le immagini che seguono descrivono
il circuito (con i valori assegnati), il procedimento ed i
risultati in maniera esauriente.
Luciano De Menna
43
Corso di Elettrotecnica
Esercizi
A lato sono proposti alcuni circuiti da risolvere scrivendo le equazioni che esprimono la validità delle leggi
di Kir chhoff ai nodi ed alle maglie. Le soluzioni saranno discusse in seguito. Infine forniamo la soluzione di
problemi proposti in precedenza.
La condizione di massimo trasferimento di potenza,
per il problema già posto in un precedente paragrafo,
si determina agevolmente una volta espressa la potenza
dissipata nel resistore in funzione della sua resistenza:
P=R
E2
.
R + R0 2
(II.5)
44
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Derivando, infatti, rispetto ad R tale espressione si
ottiene facilmente la condizione di stazionarietà:
R = R0 .
(II.6)
Che si tratti poi di un massimo è di facile verifica.
Si noti che, nelle condizioni di massimo trasferimento
di potenza, metà della potenza viene dissipata nella
resistenza di carico e l'altra metà nella resistenza inter na del generatore. È questo lo scotto che bisogna pagare per ottenere l'adattamento in potenza tra generatore
e carico: un rendimento, inteso come rapporto tra la
potenza utilizzata e quella generata, di appena 0,5.
Il successivo problema chiedeva di calcolare la ripartizione delle correnti in un parallelo di due resistori
imponendo che la potenza dissipata nel circuito sia
minima, con il vincolo che la somma delle due correnti si mantenga fissata ad un assegnato valore I. In altri
termini si utilizza la LKC ai nodi ma non si utilizza la
LKT alle maglie. Vediamo il risultato per poi commentarlo. La potenza dissipata nel circuito è:
2
2
2
2
P = R1 I1 + R2 I2 = R1 I1 + R2 I - I1 .
(II.7)
Si è naturalmente fatto uso della condizione I1 +I2 = I.
Derivando rispetto ad I1, per determinare la condizione di stazionarietà, si ottiene:
2R1 I1 - 2R2 I - I1 = 0,
o anche
I1 = R2 I,
R1 + R2
che è la stessa relazione che si sarebbe ottenuta applicando la LKT all'unica maglia presente. In definitiva la
configurazione di equilibrio per le correnti che si stabilisce nel circuito è quella che assicura la minima dissipazione di potenza, e questo è un risultato molto significativo dal punta di vista fisico.
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Metodo dei potenziali ai nodi
Esiste un modo per ridurre ulteriormente il numero
delle incognite. Esso consiste nello sceglier e, come
incognite del problema, invece delle tensioni sui lati o
delle correnti nei rami, i potenziali relativi ai nodi della
rete. A tale scopo, possiamo porre ogni tensione di lato
nella forma Vr-Vs , dove Vr e Vs sono, evidentemente, i
potenziali dei nodi r ed s rispetto ad un riferimento
che, come è noto, è arbitrario. Se in particolare scegliamo come riferimento per i potenziali quello assunto da
uno dei nodi, che per comodità poniamo a potenziale
zero, ci ritroveremo con n -1 incognite Vi , potenziali
assunti dai restanti nodi della rete. Il nodo con potenziale nullo viene detto nodo di riferimento o nodo a
terra - terminologia che ricorda il fatto che in un circuito in generale è conveniente collegare un punto
dello stesso ad un corpo il cui potenziale sia eguale a
quello dell’operatore e possa ritenersi stabile, e ciò sia
per ragioni di sicurezza degli operatori, sia per evitare
che gli effetti ester ni al circuito stesso possano rendere
fluttuanti, entro certi limiti, i potenziali dei nodi.
Entrambi questi fenomeni, per essere compresi a
pieno, richiedono l’analisi della struttura dei campi
coinvolti.
Il sistema di n - 1 equazione nelle n - 1 incognite (i
potenziali ai nodi) che ci occorre per risolvere la rete, si
può facilmente ottenere scrivendo le equazioni dettate
dalla LKC ad n - 1 nodi esprimendo però, attraverso le
relazioni caratteristiche, le correnti nei singoli rami
mediante le differenze di potenziale Vi - Vj.
Osser viamo che per le incognite Vi non occorre scrivere le equazioni che esprimono la LKT; esse infatti, per
definizione, le soddisfano, trattandosi, appunto, di
potenziali.
L’automatica riduzione delle equazioni rende pertanto
45
46
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
conveniente la scelta dei potenziali ai nodi come incognite. Naturalmente la conoscenza dei potenziali in
ogni nodo equivale ad aver risolto la rete. Infatti, la differenza dei due potenziali relativi ad un determinato
ramo fornisce la tensione sul lato, e da questa, mediante la caratteristica del lato, si può risalire alla corrente
che lo interessa. Per chiarir e meglio il metodo, proviamo a scrivere le relative equazioni per il circuito già
precedentemente analizzato, avendo scelto come
potenziale di riferimento quello del nodo D (VD = 0)
In primo luogo le caratteristiche dei singoli rami:
ramo 1)
VA - VB = R1 I1 ,
ramo 2)
VC - VB = R2 I2 ,
ramo 3)
VD - VB = - VB = R3 I3 ,
ramo 4)
VA - VD = VA = R4 I4 ,
ramo 5)
VC - VE = R5 I5 ,
ramo 6)
VF - VE = R6 I6 ,
ramo 7)
VD - VF = - VF = R7 I7 ,
ramo 8)
VD - VC = - VC = R8 I8 ,
ramo di E0 )
VA - VF - E0 = RI.
Quindi, ricavandole dalle equazioni precedenti, le correnti in funzione delle differenze di potenziale:
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
I1 = VA - VB ,
R1
V
I2 = C - VB ,
R2
V
B ,
I3 =
R3
I4 = VA ,
R4
V
I5 = C - VE ,
R5
V
I6 = F - VE ,
R6
V
F ,
I7 =
R7
I8 = - VC ,
R8
V
I = A - VF - E0 .
R
Ed infine, le equazioni ai nodi scritte in termini delle
differenze di potenziale:
nodo A) VA - VF - E0 + VA - VB + VA = 0,
R
R1
R4
nodo B) VA - VB + VC - VB + - VB = 0,
R1
R2
R3
nodo C) VC - VB + VC - VE - - VC = 0,
R2
R5
R8
nodo D) - VB - VA + - VF + - VC = 0,
R3 R4
R7
R8
nodo E) VC - VE + VF - VE + I0 = 0.
R5
R6
Il sistema così ottenuto, di 5 equazioni nelle 5 incognite “potenziali dei nodi rispetto al nodo D”, consente di
risolvere la rete. Si noti che, mentre abbiamo scelto di
non scriver e l'equazione per il nodo F, come potenzia-
47
48
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
le di riferimento è stato scelto quello del nodo D; le due
scelte sono infatti indipendenti. Un po’ di pratica metterà in condizione di scrivere queste equazioni direttamente senza passare per l’espressione esplicita delle
correnti di ramo in funzione dei potenziali di nodo.
Metodo delle correnti di maglia (o di Maxwell)
Come abbiamo visto la caratteristica che rende le incognite potenziali ai nodi così convenienti, sta nel fatto
che tali incognite soddisfano automaticamente la LKT
alle maglie; occorre quindi solo imporre che soddisfino
la LKC. È possibile fare una scelta analoga per le correnti. Si tratta di scegliere un sistema di correnti (l - (n
- 1) in particolar e) che soddisfi automaticamente la
LKC ai nodi e che richieda quindi soltanto la scrittura
della LKT alle maglie. Per costruire un tale sistema
consideriamo un insieme di maglie indipendenti della
rete in esame: un sistema di maglie chiuse, cioè, le cui
equazioni ottenute attraverso l’applicazione della LKT
siano indipendenti tra di loro. Abbiamo già visto che
attraverso la scelta di un albero è facile individuare un
sistema di tale tipo. Associamo ora ad ogni maglia una
corrente di maglia ed esprimiamo la corrente in ogni
lato come la somma o differenza di correnti di maglia di cui il lato in questione rappresenta la parte in comune - a seconda dei versi scelti per le correnti di maglia.
Un semplice esempio, ancora una volta, sarà chiarificatore.
Nelle immagini sono mostrate, per la rete già considerata, le maglie indipendenti scelte e le relative correnti
di maglia: per esempio, con questo formalismo, la corrente nel ramo 3 sarà espressa come differenza tra la
corrente di maglia I II e la corrente di maglia II (il segno
meno è dovuto alla scelta fatta per i versi delle correnti di maglia); la corrente nel ramo 1, invece, coinciderà
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
con la cor rente di maglia II. Tutte le correnti nei rami
saranno esprimibili in tale modo. Infatti, se il nostro
insieme di maglie è stato costruito aggiungendo ai rami
dell’albero di volta in volta un ramo del coalbero, in
ogni maglia esisterà almeno un ramo in esclusiva, quello appunto del coalbero; per un tale ramo, corrente di
ramo e corrente di maglia dovranno necessariamente
coincidere - al più possono essere opposte se si è scelto
un verso per la corrente di maglia che non coincide nel
ramo con quello scelto per il ramo stesso. La corrente
in ogni altro ramo, essendo tale ramo necessariamente
in comune con un’altra maglia, si potrà porre come
somma o dif ferenza di cor renti di maglia.
Abbiamo in pratica dimostrato l’assunto perché abbiamo trovato l - (n - 1) incognite - una per ogni maglia attraverso le quali è possibile esprimere tutte le l correnti di ramo. Orbene tali incognite correnti di maglia
godono, per costruzione, della proprietà di soddisfare
la LKC ai nodi. Infatti in ogni nodo una corrente di
maglia entra ed esce e quindi le LKC ai nodi, scritte in
ter mini di correnti di maglia, si riconducono a pure
identità. Per tali incognite occorrerà scrivere esclusivamente la LKT alle maglie. Le immagini possono aiutare a comprendere quanto detto: si guardi quella in cui,
a scopo esplicativo, le maglie sono state fisicamente
separate ed in ognuna di esse è segnato il verso della
corrente di maglia in ogni ramo.
Descriviamo a questo punto in dettaglio tutti i passi del
procedimento. In primo luogo, le correnti nei rami in
funzione delle correnti di maglia:
49
50
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
I1 = II ,
I2 = - III ,
I3 = III - II ,
I4 = IIII - II ,
I5 = IIV ,
I6 = - IIV - IV ,
I7 = - IIV + IIII ,
I8 = IIV - III ,
I = - IIII ,
I0 = IV .
Successivamente, le equazioni alle maglie in termini
delle correnti di maglia:
I) R1 II - R3 III - II - R4 IIII - II = 0,
II) R2 III - R3 III - II - R8 IIV - III = 0,
III) R4 IIII - II - R7 - IIV + IIII - RI - E0 = 0,
IV) R5 IIV+R6 IIV +IV - R7 -IIV +III +R8 IIV -III = 0,
V) - R6 IIV + IV + V0 = 0.
Anche in questo caso la pratica metterà in condizione
di scrivere direttamente tali equazioni senza passare
attraverso l’espressione esplicita delle cor renti di ramo
in funzione di quelle di maglia; in ogni caso il metodo
che abbiamo seguito nell’esempio, e cioè di scrivere
prima le equazioni della LKT in termini delle correnti
di ramo e poi sostituire ad ognuna di esse la sua espressione in termini di cor renti di maglia, è sempre applicabile. Si osservi che, nel caso illustrato, la quinta equazione introduce una nuova incognita; la tensione ai
morsetti del generatore. Infatti la corrente di maglia IV
coincide con la corrente erogata dal generatore di corrente ed è quindi nota. Da questo punto di vista il cir-
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
cuito avrebbe potuto essere riguardato come un circuito a quattro maglie indipendenti, segnalando soltanto i nodi di ingresso e di uscita della corrente del generatore con delle opportune frecce. La quinta maglia,
però, anche se non esplicitamente disegnata, fa sentire
la sua pr esenza: infatti essendo il ramo 10, per il nostro
sistema di maglie indipendenti, il ramo di chiusura
della quinta maglia, la corrente I0, che coincide con I10,
circolerà in tale ramo. Una scelta diversa di maglie indipendenti avrebbe portato ad un altro percorso per la
corrente del generatore, e quindi a diverse equazioni,
così come è illustrato nelle immagini a lato. Queste
considerazioni giustificano l'apparente stranezza della
seguente af fermazione:
In presenza di generatori di corrente in una rete per la
quale si intende applicare il metodo delle correnti di
maglia, si può scegliere ad arbitrio il percorso della cor rente del generatore tra il nodo di ingresso e quello di
uscita.
È chiaro ora che l'arbitrarietà riguarda, in effetti, la
scelta del sistema di maglie indipendenti.
Abbiamo, dunque, visto come sia possibile scrivere in
diversi modi un sistema di equazioni che consenta di
risolvere una rete. In seguito vedremo ancora altri
metodi, più formali, che consentono addirittura di render e automatica tale scrittura; il che è molto conveniente in modo particolare per la realizzazione di codici numerici per la soluzione delle reti.
Esercizi
Ancora un pò di spazio agli esercizi. Per la reti mostrate nelle immagini, già pr oposte in precedenza, diamo
come risultato, per una verifica, il valore della corrente
nel ramo 3, I3=2,14A, e di quella nel ramo 7, I7 =1,2A,
51
Capitolo III
Il teorema di Tellegen
Continuando l’esame generale di una rete dal punto di
vista del suo grafo, vogliamo illustrare ora una notevole proprietà caratteristica delle reti di bipoli: la proprietà descritta dal teorema che va sotto il nome di
Teorema di Tellegen. Consideriamo due reti che abbiano lo stesso grafo, cioè due reti in cui bipoli diversi
sono collegati alla stessa maniera tra di loro.
Consideriamo per la prima rete un sistema di tensioni
Vk sui rami che soddisfi la LKT e per la seconda rete
un sistema di correnti I*k che soddisfi la LKC. Con Vk
intendiamo la tensione positiva nel nodo in cui entra la
corrente I * k positiva - convenzione dell’utilizzatore per
ogni ramo della rete! Per ogni ramo del grafo consideriamo il prodotto Vk I* k e sommiamo tali prodotti per
tutti i rami della rete:
Vk I*k
(III.1)
k
Il teorema di Tellegen afferma che tale sommatoria è
identicamente nulla.
C’è qualche difficoltà ad esprimere, in generale, questa
sommatoria in termini dei nodi r ed s perché non sappiamo a priori quali rami, tra due nodi (r,s), effettiva-
54
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
mente sono presenti nella r ete; in un grafo, infatti, non
tutti i nodi sono direttamente collegati tra loro.
Possiamo, però, facilmente superare l’ostacolo aggiungendo al grafo i rami di collegamento che mancano tra
i nodi, assumendo però che nelle due reti par ticolari
considerate tali rami aggiunti siano in realtà dei “bipoli a vuoto”. È chiaro che una tale modifica non cambia
in nulla la rete, né modifica la sommatoria di cui sopra,
in quanto per tali rami sarà I* rs=0. A questo punto la
sommatoria può essere estesa a tutti i valori possibili di
r e di s, e si ottiene:
Vk I*k = 1
Vrs I*rs
(III.2)
2
r,s
k
Il fattore un mezzo è necessario, altrimenti ogni ramo è
preso due volte in considerazione; per esempio il ramo
tra i nodi 1 e 2 sarà incluso per r=1 ed s=2 nonché per
s=1 ed r=2!
Se le Vrs soddisfano la LKT sarà possibile metterle
sotto la forma di differenza di potenziale V rs = Vr - Vs
ottenendo:
Vrs I*rs =
r,s
VrI*rs r,s
Vs I*rs
(III.3)
r,s
D’altra parte nella prima sommatoria Vr può essere
portato fuori della sommatoria su s (Vr è per definizione fisso quando s corre!) mentre nella seconda sommatoria si può fare una cosa analoga per Vs se prima si
scambiano le sommatorie su r e su s. Si ha, in conclusione:
Vrs I*rs =
r,s
I*rs -
Vr
r
s
I*rs
Vs
s
(III.4)
r
In entrambe le sommatorie compaiono termini del tipo
*
*
sI rs per un fissato r o
rI rs per un fissato s. Tali termini, per un fissato nodo, esprimono la somma delle
Luciano De Menna
55
Corso di Elettrotecnica
correnti uscenti dal nodo o delle correnti entranti nel
nodo. Si osservi che quanto affermato è vero solo se si
è avuto la cura di usare sempre la stessa convenzione su
ogni bipolo: convenzione dell’utilizzatore, come nel
nostr o caso, o convenzione del generatore, indifferentemente. Le sommatorie del tipo s I* rs sono, dunque,
nulle in base alla LKC. Se ne deduce:
k
Vk I*k = 1
V I* = 0
2 r,s rs rs
(III.5)
È importante sottolineare che non si sono dovute fare
speciali ipotesi sulla natura dei bipoli o del grafo. La
proprietà descritta dalla (III.5) è molto generale e
discende soltanto dal fatto che sono soddisfatte la LKT
e la LKC per le due reti. La proprietà è quindi valida
anche se sono presenti bipoli non lineari. Naturalmente
essa è ancora valida per il caso particolare in cui le due
reti coincidono: in tal caso i prodotti Vk Ik sono le
potenze assorbite dai singoli bipoli ed il Teorema di
Tellegen si riduce all’affermazione che in una rete la
somma di tutte le potenze assorbite dai rami della rete
è nulla. Si badi bene, assorbite; e ciò in base alle scelte
che abbiamo inizialmente fatte sul verso di Ik ed Vk . Se
in qualche ramo sono presenti generatori, la loro
potenza assorbita risulterà negativa e quindi si può
anche dire che il Teorema di Tellegen afferma che in
una rete la potenza fornita dai generatori presenti è pari
alla potenza assorbita dai bipoli passivi della rete stessa.
Con buona pace, dunque, del principio di conservazione dell’energia, che altrimenti sarebbe violato!
Ma nella for ma (III.5) il teorema di Tellegen stabilisce
qualcosa in più. In questa forma esso prende anche il
nome di teorema delle potenze virtuali, e ci sarà molto
utile in regime sinusoidale per introdurre il concetto di
potenza reattiva.
56
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Le proprietà di non-amplificazione
Un’altra proprietà delle reti di bipoli che discende dal
mero fatto che per tali reti valgono la LKT e la LKC, è
il così detto principio di non amplificazione delle tensio ni : se in una rete di bipoli esiste un solo lato attivo, allo ra il potenziale dei due nodi a cui il lato si appoggia sono
l’uno il massimo e l’altro il minimo tra tutti i potenziali
dei nodi della rete. La dimostrazione è immediata se ci
si convince prima della seguente affermazione: se per
un nodo r di una rete tutti i prodotti Vrs Irs delle tensioni e correnti di tutti i lati che convergono nel nodo stesso - con le convenzioni implicite nell’ordine dei pedici
- sono maggiori od eguali a zero, il potenziale di tale
nodo non può essere né quello massimo né quello minimo della r ete. Infatti dato che s I rs=0 per la LKC,
alcune delle Irs - per r fissato - saranno positive ed altre
negative. Ciò comporta che, nella ipotesi che tutti i prodotti V rsI rs siano maggiori di zero - sempre per un fissato r -, anche tra le Vrs ve ne saranno alcune positive
ed altr e negative; ciò equivale a dire che il potenziale
del nodo r non è né il minimo né il massimo della rete.
Ritornando ora al nostro teor ema iniziale si vede chiaramente che nel caso sia presente un solo lato attivo
nella rete, i suoi nodi sono gli unici per i quali non si
può affermar e che Vsr Irs > 0 per ogni s, perché nel
ramo in questione è presente un generatore. Per i nodi
interni, a cui fanno capo solo bipoli passivi, questa proprietà è invece certamente verificata. D’altra parte in
ogni rete deve pur esserci un nodo a potenziale minimo
ed uno a potenziale massimo; se ne conclude che tali
potenziali sono assunti dai due nodi dell’unico lato attivo. Qualcuno avrà forse riconosciuto in questa affermazione il riflesso di quella proprietà di cui gode la
funzione potenziale di un campo conservativo: essa,
infatti, non può avere né massimi né minimi nei punti
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
interni del suo dominio di definizione. Massimi e minimi sono assunti sui punti della frontiera.
Lasciamo al lettor e l’enunciato e la dimostrazione del
teorema duale che prende il nome di principio di non
amplificazione delle correnti.
Va osservato, però, che i due teoremi di non amplificazione valgono soltanto in regime stazionario; vedremo
in seguito dove la dimostrazione illustrata cade in difetto in regime dinamico.
Sovrapposizione degli effetti
Fin qui si è parlato soltanto di proprietà delle reti di
bipoli che non dipendono dalla natura dei bipoli stessi,
ma solo dal fatto che tali reti sono sottoposte ai dettami della LKC e della LKT. Vogliamo ora invece occupar ci di proprietà delle reti di bipoli che dipendono
dalla natura dei bipoli stessi. In primo luogo la sovrap ponibilità degli effetti . È questa una proprietà del tutto
generale dei sistemi lineari; sistemi, cioè, in cui l’effetto
è linearmente dipendente dalla causa. Essa si può esprimere affermando che una particolare combinazione
lineare di cause produce la stessa combinazione lineare
degli effetti che ognuna delle cause produrrebbe se si
tr ovasse ad agire da sola. Si potrebbe utilizzare la precedente affermazione quale definizione di sistema
lineare, tanto i due fatti sono intimamente legati. In
particolare consideriamo una rete con più generatori;
se individuiamo nei singoli generatori le cause e nelle
correnti e nelle tensioni sui rami gli effetti, siamo portati ad affermare che le correnti o le tensioni sui lati di
una rete in cui agiscono più generatori possono essere
calcolate come somma delle tensioni e correnti indotte
sugli stessi rami dai generatori quando essi agiscono
singolarmente. È necessario qualche commento su quest’ultima affermazione: per far sí che un generatore agi-
57
58
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
sca da solo occor re evidentemente “eliminare” gli altri.
Cosa significhi “eliminare un generatore” dipende evidentemente dal tipo di generatore: un generatore di
tensione ideale, per esempio, per sua natura si lascia
percorrere da una qualsiasi corrente e produce ai suoi
morsetti sempre la stessa tensione. Per eliminare i suoi
effetti bisogna ridurre la sua tensione a zero ma non
impedire il passaggio della corrente nel ramo occupato
dal generatore. Questo, in realtà, equivale a sostituir e il
bipolo generatore ideale di tensione con un bipolo
corto circuito. Un ragionamento del tutto analogo
porta alla conclusione che i generatori ideali di corrente, invece, debbono essere sostituiti con dei bipoli a
vuoto. Nel linguaggio corrente si parla di cortocircuita re i generatori di tensione ed aprire i generatori di cor rente, il che, preso alla lettera non è corretto; un generatore ideale di tensione, per definizione, non consente
che la sua tensione venga annullata da un corto cir cuito in parallelo. Analogo discorso si può fare per il generatore ideale di corrente. Ciò nonostante l'espressione
sintetica è molto comoda e largamente usata; essa va
intesa nel senso prima specificato di sostituire i bipoli
in questione rispettivamente con bipoli corto circuito
ed a vuoto. A questo punto è perfettamente definito
ogni aspetto della sovrapposizione degli effetti nelle
reti lineari.
Ancora una osservazione di carattere pratico: quando
si applica il principio di sovrapposizione degli effetti
bisogna fare attenzione ad utilizzare, in ognuna delle
reti elementari in cui si scompone la rete con più generatori, sempre la stessa orientazione per ogni ramo.
Altrimenti si rischia di sottrarre quello che andrebbe
sommato o viceversa!
Il principio di sovrapposizione degli effetti è di grande
utilità sia dal punto di vista pratico che dal punto di
vista puramente speculativo. Dal punto di vista pratico
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
esso fornisce, se vogliamo, il più elementar e metodo di
soluzione di una rete. Il principio ci consente infatti di
affermare che la soluzione di una rete comunque complessa, con più generatori, è riconducibile alla soluzione di più reti in ognuna delle quali agisce un solo generatore. Orbene, come abbiamo già sottolineato, una
rete con un solo generatore può essere ricondotta ad
una rete elementare, di una sola maglia, in cui il generatore in questione è chiuso su di un unico bipolo equivalente. Tale bipolo si identifica attraverso successive
riduzioni della rete, mediante sostituzione di rami in
serie o di rami in parallelo con il loro bipolo equivalente. Naturalmente, come abbiamo già sottolineato, non
sempre queste due trasformazioni sono sufficienti;
occor re anche, talvolta, una ulteriore trasformazione
che viene detta stella - poligono e che studieremo in
seguito. In ogni caso quello che più importa è che è
sempre possibile ricondurre la rete passiva, vista dai
due morsetti dell’unico generatore presente, ad un
unico bipolo equivalente. Una volta effettuata questa
operazione è facile calcolare la corrente erogata dal
generatore, se di tensione, o la tensione che compare ai
suoi morsetti, se di corrente; basta applicare la relazione caratteristica del bipolo equivalente trovato. A que sto punto si tratta di determinare le correnti nei vari
rami effettivi della rete, ripercorrendo a ritroso la stra da precedentemente fatta.
Una semplice applicazione renderà subito chiaro il
metodo. Nel circuito, mostrato nelle figure, agiscono
due generatori di tensione. Nelle stesse figure sono
mostrati i due circuiti in cui la rete può essere scomposta cortocircuitando un generatore di tensione alla
volta. La determinazione delle correnti nei vari rami,
nei due casi, è molto agevole, ed i risultati sono sinteticamente riportati. Le cor renti nella r ete di partenza si
ottengono sommando quelle omologhe delle reti com-
59
60
ponenti.
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Generatori equivalenti di tensione e corrente
Il teorema di sovrapposizione degli effetti è anche una
notevole arma speculativa che consente di dimostrare
proprietà particolari delle reti lineari. Esaminiamone
una applicazione estremamente importante. Abbiamo
visto che una rete passiva vista tra due nodi è sempre
riconducibile ad un unico bipolo equivalente. È possibile una riduzione simile anche per una rete che con tenga bipoli attivi, in base a quanto affermato dal teo rema del generatore equivalente di tensione, comunemente detto anche teorema di Thévenin , e dal suo
“duale”, teorema del generatore equivalente di corrente,
o teorema di Norton .
Consideriamo, dunque, una qualsiasi rete attiva e scegliamo su di essa due nodi. Per sottolinearne la generalità, rappresenteremo la rete con una scatola chiusa. I
simboli all’interno della scatola stanno a ricordare che
nella rete sono in generale presenti generatori di tensione, generatori di corrente e bipoli passivi.
I due nodi scelti sono stati “prolungati” fuori della scatola, mediante conduttori perfetti che, com’è noto, non
introducono nessun disturbo, e sono indicati con le lettere A e B.
Se volessimo ricavare sperimentalmente la caratteristica del bipolo equivalente, il legame cioè tra tensione ai
morsetti e corrente che attraversa il bipolo, potremmo
inserir e tra i morsetti A e B un generatore ideale di cor rente I che sia regolabile a piacere, che sia cioè in grado
di erogare una corrente I del valore desiderato.
In figura sono anche mostrati i versi positivi scelti. Si
noti che abbiamo scelto la convenzione del generatore
per il bipolo equivalente della rete e quella dell'utilizzatore per il generatore di cor rente.
Se ripor tiamo nel piano (I,V) per ogni valore di I il corrispondente valore di V, opportunamente misurato,
61
62
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
otterremo graficamente la caratteristica cercata.
Senza effettivamente compiere le misure cer chiamo di
anticipare, in base ad alcune elementari considerazioni,
il tipo di caratteristica che possiamo aspettarci. In effetti, essendo la rete per definizione una rete di bipoli
lineari, non c’è motivo di pensare che la caratteristica
equivalente non sia anche essa lineare. Questo risultato
di per sé evidente, sarà anche ottenuto tra breve per via
più formale.
Nel piano (I,V) dunque, la caratteristica è una retta che
in generale non passa per l’origine degli assi, essendo
presenti anche bipoli attivi. Sarà, pertanto, una retta
del tipo mostrato in figura.
Per individuare una retta occorrono, naturalmente,
due suoi punti. Si propongono a tale scopo, in maniera
molto evidente, i due punti in cui la caratteristica interseca gli assi coordinati. Il primo punto di coordinate
V=E 0 ed I=0 corrisponde alle condizioni in cui il bipolo non è attraversato da corrente; i suoi morsetti sono,
dunque, “chiusi su di un bipolo circuito aperto”.
Appare naturale indicare questa tensione con il termine tensione a vuoto del bipolo. L’altro punto è quello
individuato da V=0 ed I=Icc. In tali condizioni di funzionamento tra i morsetti A e B c’è tensione nulla,
come se il bipolo fosse “chiuso su di un bipolo corto
circuito”. Chiameremo, quindi, Icc la corrente di corto
circuito del bipolo. Data la rete, è generalmente molto
agevole calcolare sia E0 che I cc e quindi la caratteristica
del bipolo equivalente, che sarà rappresentata da una
equazione del tipo:
V = E0 - E0 I.
Icc
(III.6)
Tale è, infatti, l'equazione della retta che passa per i
punti (E 0,0) ed (0,Icc). Se poniamo Ri =E 0/Icc la (III.6)
Luciano De Menna
63
Corso di Elettrotecnica
si può scrivere nel seguente modo:
V = E0 - Ri I.
(III.7)
La (III.7) ci appare come la caratteristica, di cui si è già
parlato, di un bipolo costituito da un generatore di tensione E0 con in serie un bipolo passivo Ri .
Abbiamo dunque dimostrato l’equivalenza, almeno ai
morsetti A e B - faremo qualche ulteriore commento su
questo punto - tra la rete originaria ed una elementare
costituita dalla serie di un generatore di tensione ed un
resistore. Di tale resistore, introdotto in precedenza
come rapporto tra E 0 ed Icc, può darsi una interpretazione molto interessante che è, se vogliamo, il vero contenuto del teorema del generatore equivalente di tensione. Applichiamo, infatti, la sovrapposizione degli
effetti alla r ete originaria - con il generatore di corrente tra i morsetti A e B - scomponendola in due reti componenti. Nella prima abbiamo lasciato tutti i generatori della rete e abbiamo aperto, come prescritto dalla
sovrapposizione, il generatore di corrente esterno; nella
seconda invece abbiamo cortocircuitato tutti i generatori di tensione ed abbiamo aperto quelli di corrente
presenti nella rete, lasciando agire il solo generator e di
corrente esterno da noi applicato. Con locuzione concisa, ma molto espressiva, si dice che nel secondo caso
la rete di partenza è stata resa passiva.
Il teorema di sovrapposizione ci assicura che ogni grandezza elettrica nella rete di partenza può essere ottenuta come somma dei valori assunti dalla stessa grandezza nei due circuiti componenti; abbiamo avuto infatti
l’accortezza di conservare le stesse convenzione dei
segni. Per esempio la tensione V ai morsetti, nella rete
originaria, potrà essere posta come somma di una V" e
di una V', dove V"=E0, perché i morsetti A e B nella
seconda rete sono aperti, e V'= -RiI', avendo indicato
64
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
con R i la resistenza equivalente vista dai morsetti A e B
della rete resa passiva. Quindi:
V = E0 - Ri I' .
(III.8)
D’altra parte la sovrapposizione per le correnti fornisce:
I = I' + I'' = I'
dato che I" è evidentemente nulla, per cui, come avevamo già dedotto in precedenza:
V = E0 - Ri I.
(III.9)
Va notato però che ora sappiamo anche come calcolare
Ri .
Concludendo enunciamo il teorema del generatore equi valente di tensione :
Ogni rete considerata da una coppia di nodi può essere
vista come un bipolo attivo costituito dalla serie di un
generatore ideale di tensione pari alla tensione a vuoto
tra i morsetti in esame della rete, ed un resistore la cui
resistenza è pari a quella vista tra gli stessi morsetti quan do si sia provveduto a rendere passiva la rete di partenza,
“cortocircuitando” i generatori ideali di tensione e
“aprendo” quelli di corrente.
Questo teorema è, come vedremo, di grande utilità sia
pratica che speculativa. È importante sottolineare che il
teorema enunciato assicura l’equivalenza tra i due
bipoli soltanto ai fini di quello che accade a valle dei
morsetti A e B. Ciò sembra del tutto evidente dato che
nel bipolo equivalente si è persa qualsiasi traccia della
complessità della rete di partenza. Si potrebbe però
incor rere nell’errore di pensare che l’equivalenza si
estenda anche ad altre grandezze globali; si potrebbe
per esempio creder e di poter affermare che quando il
bipolo di partenza eroga una corrente I, la potenza dissipata al suo interno sia pari ad RiI2 , che è, appunto, la
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
potenza dissipata nel bipolo equivalente. Ciò non è
assolutamente vero! Per convincersene basta immaginar e che nella rete di partenza vi sia da qualche parte
un resistore R in parallelo ad un generatore ideale di
tensione E. In tale resistore sarà dissipata una potenza
E 2/R. Di tale r esistore R invece non c'è alcuna traccia in
Ri , perché quest’ultima è stata calcolata nella rete resa
passiva, in cui al generatore ideale di tensione è stato
sostituito un cortocircuito. Come è noto il parallelo di
un resistore qualsiasi con un bipolo cortocircuito è
ancora un bipolo corto circuito, indipendentemente
dal resistore ad esso in parallelo! Bisogna dunque fare
attenzione ad interpretare correttamente l’equivalenza
imposta dal teorema del generatore equivalente di tensione!
La caratteristica di cui alle immagini precedenti è però
interpretabile anche in un altro modo. Essa può essere
vista come la caratteristica di un generatore ideale di
corrente che eroga la corrente Icc con in parallelo un
resistore Ri. Si ha, infatti, applicando la LKC ad uno
dei due nodi (vedi figura a lato):
Icc = V + I,
Ri
che, tenendo conto della relazione E 0 = Ri Icc, è equivalente alla III.9. È questo il teorema del generatore equi valente di corrente :
Una qualsiasi rete vista da due morsetti può ritenersi
equivalente ad un generatore di corrente che eroga la
stessa corrente che, nella rete di partenza, circolerebbe tra
i due morsetti scelti, qualora gli stessi siano messi in
corto circuito, con in parallelo un resistore Ri di resisten za pari a quella vista dai due morsetti dopo aver avuto
l’accortezza di rendere passiva la rete, cioè ecc. ecc.
È facile modificare la dimostrazione descritta per il teorema del generatore equivalente di tensione in modo da
65
66
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
ottenere dir ettamente quella del generatore equivalente di corrente.
Reciprocità nelle reti elettriche
Un’altra proprietà generale delle reti è quella descritta
dal cosiddetto principio di reciprocità. Eccone l'enunciato: si consideri una rete passiva qualsiasi e si individuino in essa due rami, diciamo il ramo a ed il ramo b.
Alimentiamo la rete ponendo un generatore di tensione Ea nel ramo a e indichiamo con Ib la corrente, in un
determinato verso, che circola nel ramo b in conseguenza dell’inserimento del generatore Ea nel ramo a.
Viceversa sia I'a la corrente prodotta nel ramo a quando un generatore E' b è inserito nel ramo b della rete
passiva. In conclusione una volta si alimenta la rete dal
lato a ed un’altra volta si alimenta dal lato b individuando le rispettive correnti prodotte nei rami b e a.
Orbene il teorema afferma che: Ea/I b = E'b/I' a. Cioè, in
sintesi, il rapporto tra causa in a ed effetto in b è uguale al rapporto tra causa in b ed effetto in a. Da ciò il
nome di reciprocità.
La dimostrazione è immediata se si applica il teorema
di Tellegen alle due reti mostrate in figura. Nel riquadro c’è, evidentemente, una rete passiva. Il teorema di
Tellegen afferma che:
Vk I'k = 0
ed
V'k Ik = 0
k
k
Cioè, evidenziando il ramo attivo, e tenendo conto che
per ogni ramo della rete passiva è Vk = Rk Ik ed V'k =
Rk I'k :
- EaI'a + RaIaI'a +
Rk Ik I'k = 0,
k a
- E'b Ib + Rb I'b Ib +
Rk I'k Ik = 0.
k b
Inserendo di nuovo i termini relativi ai lati a e b nelle
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
sommatorie:
Rk Ik I'k = 0,
- EaI'a +
k
- E'b Ib +
Rk I'k Ik = 0.
k
Le sommatorie stesse sono ora estese a tutti i rami della
rete. D alla eguaglianza di tali sommatorie deriva
E a/Ib=E' b/I' a, che è quanto volevasi dimostrare.
Esercizi
Ancora due reti da risolvere. Per la seconda è istruttivo
applicare il metodo dei potenziali ai nodi per calcolare
la differenza di potenziale tra il nodo O ed O'. La formula che si ottiene può essere facilmente generalizzata
e va sotto il nome di formula di Millmann; ci sarà molto
utile per lo studio dei sitemi trifasi squilibrati.
67
68
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Metodi sistematici per la risoluzione delle reti
La scrittura delle equazioni risolventi per una rete di
bipoli attivi e passivi può essere resa automatica e quindi adatta ad essere implementata in un codice per calcolator e; tra le diverse impostazioni possibili, ci limiteremo a descrivere quella basata sul concetto di matrice
delle conduttanze ai nodi, anche perché essa presenta
una stretta analogia con quanto diremo per la descrizione di un sistema a più poli nel prossimo capitolo.
Sia dunque data una qualsiasi rete di n nodi ed l lati;
come abbiamo più volte rilevato, le informazioni contenute in una rete elettrica sono di due tipologie distinte. In primo luogo la rete descrive un particolare modo
di connettere bipoli tra di loro; tale descrizione è contenuta in quello che abbiamo detto grafo della rete. In
secondo luogo deve essere fornita la particolare natura
di ogni bipolo presente nei rami della rete; in altre
par ole debbono essere note le caratteristiche dei bipoli. Queste informazioni contenute nello schema di una
rete possono essere mantenute distinte e trattate separatamente. Cominciamo dal grafo della rete e poniamoci il problema di fornire le informazioni in esso contenute in una maniera diversa.
Costruiamoci una matrice Ac, di n righe ed l colonne, il
cui generico elemento aij sia così definito:
+1 se il lato j esce dal nodo i
aij = -1 se il lato j entra nel nodo i
(III.10)
0 se il lato j non interessa il nodo i
È chiaro che una tale matrice, che prende il nome di
matrice d'incidenza completa della rete, definisce univocamente il grafo orientato della rete stessa. Per dare più
concretezza all'esposizione riportiamo nelle immagini a
lato un esempio di grafo orientato e la relativa matrice
d'incidenza.
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Facendo uso della matrice di incidenza si possono
esprimere le equazioni di Kirchhoff per la rete in forma
matriciale. È facile verificare che il sistema di equazioni simbolicamente espresso dalla relazione (dove I è
naturalmente il vettore colonna delle correnti nei rami):
Ac I = 0,
(III.11)
è il sistema di equazioni che esprime l'applicazione
della prima legge di Kirchhoff agli n nodi della r ete.
Infatti in ognuna delle equazioni della (III.11) - per
esempio quella relativa al nodo r (riga erresima) - la
generica corrente Ik comparirà con il segno positivo,
negativo o non comparirà affatto, a seconda che il ramo
orientato k rispettivamente esca, entri o non interessi
affatto il nodo r. Una semplice applicazione al caso
descritto dal grafo mostrato potrà meglio chiarire
quanto affermato.
Come sappiamo le equazioni di un tale sistema non
sono tutte linearmente indipendenti; basta però eliminar e una delle equazioni per ottenere n-1 equazioni
indipendenti ai nodi. Ciò equivale ad eliminare una
riga della matrice di incidenza completa, per esempio
quella relativa al nodo IV negli schemi mostrati, e considerar e la matrice A di dimensioni (n-1)xl. Tale matrice prende il nome di matrice di incidenza ridotta o semplicemente matrice di incidenza, quando è implicito che
si tratti di quella ridotta. Con questo formalismo le
equazioni indipendenti agli n-1 nodi saranno espresse
dalla r elazione:
A I = 0.
(III.12)
Per quanto riguarda le LKT, abbiamo più volte osservato che esse risultano automaticamente soddisfatte se
si esprimono le tensioni sui lati come differenza di
potenziale nei nodi. Se il lato k, per esempio, insiste tra
il nodo r ed il nodo s, si avrà Vk = Er - E s, dove Er ed Es
69
70
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
sono i potenziali dei nodi r ed s rispetto ad un riferimento preso ad arbitrio. In particolare possiamo scegliere, come riferimento, il potenziale del nodo per il
quale si è scelto di non scrivere la corrispondente equazione. In tal modo le l tensioni di lato Vk saranno esprimibili attraverso gli n-1 potenziali ai nodi E r. Se definiamo, a questo punto, il vettore colonna E dei potenziali degli n-1 nodi, per i quali abbiamo scritto le LKC,
rispetto al restante nodo preso come riferimento, è facile convincersi che le l relazioni, che esprimono le tensioni di lato in funzione dei potenziali ai nodi, hanno la
seguente espressione matriciale:
V = AT E,
(III.13)
dove AT è la matrice, di dimensioni lx(n-1), trasposta di
A. Infatti nella espressione della generica V k, fornita
dalla (III.13), compariranno i potenziali dei due nodi a
cui il lato k afferisce, con il segno positivo o negativo a
seconda dell'orientazione del lato k stesso; se, in particolare il lato k è connesso al nodo di riferimento, nella
sua espressione comparirà soltanto il potenziale dell'altro nodo, essendo il nodo di riferimento a potenziale 0
per costruzione. Anche in questo caso la semplice verifica delle affermazioni fatte per il caso della rete
descritta dal grafo in esame, potrà essere chiarificatoria.
Affrontiamo ora il problema della descrizione della
generica caratteristica di lato. I teoremi del generatore
equivalente di f.e.m. e di corrente ci consentono di
assumere che ogni lato della rete sia riconducibile,
indifferentemente, o ad un generatore ideale di f.e.m.
con una resistenza in serie, o ad un generatore ideale di
corrente con una conduttanza in parallelo, così come
mostrato in Fig.III.1 a e b, rispettivamente.
Luciano De Menna
71
Corso di Elettrotecnica
a)
b)
Fig.III.1
È facile infatti trasformare un ramo del tipo descritto in
Fig.III.1a, con caratteristica
Vk = E0k + Rk Ik ,
(III.14)
in uno equivalente del tipo descritto in Fig.VIII.1b,
con caratteristica
Ik = - I0k + Gk Vk ,
(III.15)
e viceversa.
Applicando, per esempio, al bipolo di Fig.III.1a il teorema di Norton, si ottengono immediatamente la corrente di corto circuito ai morsetti AB e la resistenza
equivalente vista dagli stessi morsetti per la rete resa
passiva.
Per trasformare dunque una caratteristica di lato del
tipo descritto dalla relazione III.14 in una del tipo
descritta dalla relazione III.15, basta porre I0k= E 0k/Rk
ed Gk =1/Rk. Si osservi che allo stesso risultato si poteva
banalmente giungere dividendo l'equazione III.14 per
Rk e risolvendo rispetto ad Ik. Quest'ultima osservazione evidenzia, in realtà, un problema: esistono due casi
limiti in cui la trasfor mazione non è possibile ed i teoremi di equivalenza non consentono di passare da un
ramo con generatore ideale di f.e.m. ad un ramo con
72
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
generatore ideale di corrente. Sono evidentemente i
due casi del generatore ideale di f.e.m. senza r esistenza
in serie e quello del generatore ideale di corrente senza
conduttanza in parallelo. Nel primo caso, infatti, l'applicazione del teorema di Norton ci porterebbe alla
necessità di porre il generatore ideale di f.e.m. in corto
circuito, per calcolare la corrente di corto circuito ai
morsetti AB, il che, come sappiamo, è contraddittorio.
Alla stessa conclusione ci conduce la semplice operazione algebrica di dividere l'equazione III.14 per Rk,
dato che, nel nostro caso, tale resistenza è nulla. Se ne
conclude che non è possibile trasformar e un generatore ideale di f.e.m. in uno di corrente e viceversa, quando essi siano da soli nel ramo in esame. Poiché nel
seguito ci sarà utile poter assumere per il generico lato
k indifferentemente una caratteristica del tipo descritto
dalla III.14 o dalla III.15, mostreremo come tali situazioni limiti siano in realtà non essenziali ed eliminabili.
Ci sarà utile allo scopo fare uso del così detto teorema
di sostituzione. Tale teorema afferma che se in una rete
di bipoli lineare si sostituisce, ad un ramo interessato
dalla tensione V, un generatore ideale di f.e.m. E 0 = V,
nulla cambia nella restante parte della rete.
È facile convincersi della veridicità di tale affermazione
se si considera che la "restante parte della r ete" è in
realtà anche essa rappresentabile come un bipolo lineare - ossia con un legame caratteristico tensione-corrente di tipo lineare e, quindi, anche ad un sol valore: ad
ogni valore della corrente corrisponde un valore, ed
uno solo, della tensione e viceversa . Se quindi la tensione imposta ai morsetti dal generatore è identica a
quella V esistente agli stessi morsetti nella rete originaria, la corrente erogata dal bipolo equivalente alla
restante parte della r ete non può che essere identica a
quella presente nel ramo in esame nella rete di parten-
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
za.
In maniera del tutto simile si può dimostrare la forma
duale del teorema di sostituzione: se in un rete lineare
si sostituisce ad un ramo interessato dalla corrente I un
generatore di corrente che fornisce la stessa corrente,
nulla cambia nella restante parte della rete. Dalle due
forme enunciate del teorema di sostituzione discendono immediatamente le seguenti conseguenze: se due
punti di una rete lineare sono allo stesso potenziale essi
possono essere collegati con un bipolo corto circuito
senza modificar e in alcun modo il funzionamento della
rete stessa. E ancora: se in un ramo di una rete lineare
non circola corrente, tale ramo può essere sostituito
con un bipolo circuito aperto senza modificare in alcun
modo il funzionamento della rete.
Le due conseguenze appaiono subito evidenti se si considera che un generatore di f.e.m. ideale di tensione
nulla equivale ad un bipolo corto circuito e che un
generatore ideale di corrente che eroghi una corrente
nulla equivale ad un bipolo circuito aperto.
Facendo uso di questi risultati si vede facilmente che
un ramo di una rete in cui sia presente un solo generator e ideale di f.e.m. può essere facilmente eliminato
modificando la rete, come è mostrato nelle immagini a
lato.
Infatti, in tale rete modificata, i punti C,D ed F sono
allo stesso potenziale per costruzione; ne consegue che
essi possono essere cortocircuitati, così come è mostrato nella successiva immagine. È evidente, a questo
punto, che la rete così ottenuta è equivalente a quella di
par tenza, perché i tre generatori ideali di egual f.e.m. in
parallelo possono essere sostituiti con un solo generator e.
Analogo è il caso del generatore ideale di corrente
senza una conduttanza in parallelo.
Dalla rete mostrata in alto nella immagine qui a lato si
passa facilmente a quella mostrata in basso nella stessa
73
74
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
immagine, passando attraverso la rete mostrata nell’immagine a sinistra, considerando che essa è identica alla
rete modificata salvo per il fatto che si è usato l'artificio
di scomporre un nodo in due nodi, A e B. Non circolando nel tratto AB alcuna corrente - per convincersene basta applicare la prima legge di Kir chhoff - tale
tratto può essere eliminato ritornando alla rete di partenza.
Avendo eliminato in questo modo tutti i lati singolari di
una rete possiamo a questo punto supporre che nel
generico lato siano presenti o un generatore ideale di
f.e.m. con una resistenza in serie o un generatore di
corrente con una conduttanza in parallelo; per mantenere aperte tutte le possibilità possiamo addirittura
supporre che in ogni ramo siano presenti entrambi i
generatori, così come è mostrato in Fig.III.2a e b, nelle
due configurazioni equivalenti.
a)
b)
Fig.III.2
Se tutte le I0k sono nulle i generatori di corrente sono
stati ricondotti a generatori di f.e.m. e viceversa nel
caso in cui tutte le E0k sono nulle. In conclusione, senza
perdere alcuna generalità, si può assumere che la generica caratteristica di lato sia in una delle due forme
equivalenti:
Vk = E0k + Rk Ik + I0k ,
(III.16)
Luciano De Menna
75
Corso di Elettrotecnica
Ik = - I0k + Gk Vk - E0k .
(III.17)
Possiamo descrivere le caratteristiche di lato in una
forma molto sintetica utilizzando il formalismo matriciale. Sia infatti G la matrice delle conduttanze di lato,
definita come la matrice quadrata e diagonale, di
dimensioni lxl, il cui generico elemento Grk è nullo se
r k ed è pari a Gk se r=k:
G11
0
0
0
0
........ ........ ........ ........ ........
G=
,
0
0
Grr
0
0
........ ........ ........ ........ ........
0
0
0
0
Gll
e siano I0 , E0 , I e V i vettori colonne (o righe) così definiti:
I01
E01
I1
V1
I02
E02
I2
V2
I0 = ..... , E0 = ..... , I = ..... , V = ..... .
I0l-1
E0l-1
Il-1
Vl-1
I0l
E0l
Il
Vl
Con questo formalismo, e facendo riferimento alla formulazione di cui alla (III.17), le caratteristiche di lato
possono essere sinteticamente descritte dalla relazione:
I = - I0 + GV - GE0 ,
(III.18)
dove i pr odotti tra matrici vanno intesi nel senso usuale (righe per colonne).
Sostituendo nella relazione (III.12) l'espressione del
vettore I fornita dalla (III.18), e utilizzando la (III.13)
per esprimere il vettore V in funzione del vettore E, si
ottiene:
YE = AI0 + AGE0 ,
(III.19)
76
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
dove si è posto:
Y = AGAT.
(III.20)
La matrice Y, di dimensioni (n-1)x(n-1), prende il
nome di matrice delle conduttanze ai nodi. Il sistema di
equazioni rappresentato dalla III.19, nelle incognite
potenziali ai nodi, è il sistema risolvente della rete. Nel
capitolo successivo ritoveremo risultati analoghi partendo da un altro punto di vista.
Esercizi
Nei due schemi proposti si richiede di risolvere la rete,
nel primo caso applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, e nel secondo caso applicando il teorema del generatore equivalente ai morsetti A e B. In
quest'ultimo caso, infatti, l'applicazione del teorema
del generatore equivalente - di tensione, per esempio, consente di ridurre la rete ad una con due sole maglie.
La corrente nel ramo 5 si calcola quindi agevolmente e
dalla sua conoscenza è facile risalire ad ogni altra corrente nei rami della rete. Un’altra notevole semplificazione si ottiene applicando lo stesso teorema ai morsetti del lato 2!
Nella immagine successiva è descritta la soluzione di un
problema posto in precedenza. La soluzione si determina con una elementare applicazione del metodo dei
potenziali ai nodi. Si noti che tale soluzione è generalizzabile al caso di n rami in parallelo tra due soli nodi;
in questa forma viene spesso detta "formula di
Millman".
Luciano De Menna
77
Corso di Elettrotecnica
n
Ei Gi
VO'O =
i
.
n
(III.21)
Gi
i
Infine per la verifica della soluzione dell'esercizio proposto nell'ultima immagine, diamo il valore della tensione tra i morsetti A e B, V AB = 192 V.
78
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
I resistori nella loro realizzazione concreta
Nella prima immagine a lato sono mostrati alcuni resistori di dimensioni molto diverse. Si potrebbe pensare
che ciò cor risponda al fatto che essi hanno valori di
resistenza molto diversi tra loro. Per inciso, per poter
indicar e tutta la gamma di possibili valori delle resistenze, oltre all'unità di misura ohm ( ), si utilizzano
multipli e sottomultipli dell'unità fondamentale, come
indicato nel quadro riassuntivo. Così un resistore di
10k (dieci kilohm) è in realtà un resistore di 10 x 103
= 10.000 ohm.
Per resistori di dimensioni abbastanza ridotte, può
risultare difficile riportare sulla loro superficie esterna
il valore della r esistenza da essi offerta. Si è convenuto
quindi di segnalare tali valori mediante un codice a
barre colorate, che risulta per altro anche molto più
visibile ed evidente. Il significato dei vari colori è riportato in tabelle che si possono trovare in qualsiasi
manuale specialistico.
Accanto alle bande che indicano il colore, se ne trova,
in generale, una che indica la precisione con cui il valore della resistenza viene fornito. Questa tolleranza
dipende naturalmente dalle diverse tecniche costruttive ed ha, come è facile immaginar e, una grande influenza sul costo del componente.
Ma tor niamo ai resistori di diverse dimensioni. L'idea
che tali dimensioni dipendano soltanto dalle differenze
dei valori in ohm delle rispettive resistenze, non è esatta. Infatti, nel caso particolare, i tre resistori hanno la
stessa resistenza. Il valore in ohm della resistenza di un
resistore non è quindi l'unico parametro sufficiente a
caratterizzar e il bipolo “fisico” resistore. Vediamo brevemente per quali motivi.
In primo luogo ricordiamo che quando abbiamo introdotto il bipolo resistore, abbiamo sottolineato come la
Luciano De Menna
79
Corso di Elettrotecnica
sua resistenza dipenda, oltre che dalla geometria del
sistema, anche dal materiale di cui il bipolo è costituito.
Nella for mula (5) tale ruolo è svolto dalla resistività .
Abbiamo anche visto che il modello della conduzione
elettrica di Drude dà una giustificazione microscopica
di questa dipendenza lineare tra tensione e corrente.
Proprio il modello di Drude, però, ci ha indotti a
immaginare che la legge di proporzionalità tra "attrito"
resistente e "velocità" dei portatori di cariche, che è
alla base appunto della legge di Ohm, non possa essere
verificata in ogni condizione. È logico quindi supporre
che la resistività di un materiale non sia una costante
indipendente dalle condizioni fisiche del materiale stesso.
Un fattore importante da cui la resistività dipende è la
temperatura del corpo. Nell’immagine a lato sono
riportate qualitativamente in un diagramma alcune
tipiche dipendenze della conducibilità = 1/ in funzione della temperatura, per tre materiali diversi.
Come si vede si riscontrano comportamenti anche
molto diversi: mentre la conducibilità del rame e del
piombo diminuisce al crescere della temperatura, quella della grafite aumenta. E comportamenti anche più
complessi si possono riscontrare se si aumenta il campo
di variazione delle temperature o se si usano materiali
diversi. Ma limitiamoci ai casi classici mostrati in figura e osserviamo che la dipendenza (T) non è in generale sempre lineare. Ciò nonostante se il campo di
variazione delle temperature è limitato, possiamo pensare di approssimare tale dipendenza con una relazione
lineare del tipo:
T =
dove
0
0
1+
0
T - T0
(III.22)
è la resistività alla temperatura T 0 e
0
un
80
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
opportuno coef ficiente che prende il nome di coeffi ciente di temperatura. Un osservator e attento riconoscerà nella (III.22) il semplice sviluppo in serie di
potenze della funzione (T) con punto iniziale T0; il
ter mine 0 0 non è altro che il valore di d /dT valutato in T 0, e ciò giustifica il fatto che tale coefficiente
dipende dalla scelta del punto iniziale. I valori di 0 si
trovano facilmente in opportune tabelle per i diversi
materiali: generalmente per T0 si sceglie la "temperatura ambiente" che si assume pari a 20°C circa. Per il
rame, pr odotto con procedimento elettrolitico, per
esempio, tale coef ficiente vale 0 = 0,0038 (°C)-1 .
Dalle curve osserviamo che 0 può anche essere negativo.
Il fatto che la resistività vari con la temperatura porta
una conseguenza che non si rileva, forse, immediatamente. Come sappiamo, un resistore R attraversato da
una corrente I per un tempo t è sede di una trasformazione ener getica che porta alla pr oduzione di una
certa quantità di calore Q = RI2 t. In conseguenza di
questo fenomeno, la temperatura del bipolo resistore
tende a crescere e quindi la sua resistenza a variare. Ne
consegue dunque una indiretta dipendenza di R da I,
con il che la legge di proporzionalità tra V ed I non
risulta più verificata. In effetti però si raggiunge rapidamente una temperatura di regime, che si può facilmente determinare con un semplice bilancio energetico; la temperature raggiunta sarà quella alla quale la
potenza dissipata per effetto Joule è esattamente eguale alla quantità di calore che nell'unità di tempo il bipolo resistore trasferisce all'ambiente esterno. Una volta
che la temperatura si sia stabilizzata, anche il valore di
R resta costante pur se diverso da quello iniziale.
Ma c'è di più. Se infatti la temperatura di regime che si
dovrebbe raggiungere per il valore della corrente che
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
attraversa il bipolo, e quindi per la potenza che esso è
costr etto a sviluppare, è tr oppo elevata, le caratteristiche del materiale possono cambiare totalmente: al limite, per correnti troppo elevate, il conduttore di cui è
fatto il resistore, può fondersi localmente e la conduzione stessa può esserne compromessa.
È chiaro dunque che di ogni resistore deve essere fornito, oltre al valore della sua resistenza, anche il valore
della corrente limite che esso è in grado di tollerare
senza uscire dai margini di precisione indicati o, conseguenza più grave, senza autodistruggersi.
Naturalmente per consentire ad un resistore di dissipare una maggiore potenza, mantenendo la sua temperatura entro limiti accettabili, il metodo più immediato
che possiamo immaginare è quello di aumentare la sua
superficie di contatto con l'ambiente esterno, di modo
che aumenti la quantità di calore trasmessa nell'unità di
tempo all'ambiente esterno. Ma potremmo immaginare anche altre tecniche: per esempio, una ventilazione
forzata. D'altra parte superfici più grandi comportano
volumi maggiori; ecco quindi uno dei motivi per cui
resistori con lo stesso valore di resistenza possono avere
volumi anche molto differenti. Sono progettati per
diverse potenze!
Un altro fattore che può influenzare le dimensioni di
un bipolo resistore è la tensione di lavoro per cui esso
è costruito. Questo parametro è importante per resistori costr uiti per tensioni elevate. Fino ad ora abbiamo
implicitamente assunto il resistore immerso in un
mezzo isolante - l'aria tipicamente - di modo che il
moto delle cariche fosse obbligato a svilupparsi esclusivamente attraverso il resistore stesso. In effetti qualsia si mezzo isolante si comporta come tale solo se la forza
che agisce sulle cariche in esso presenti, che è proporzionale al campo E, non supera determinati limiti.
81
82
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Oltre tali limiti l'isolante perde le sue caratteristiche, si
sviluppa una scarica al suo interno ed il passaggio di
cariche non è più interdetto. Per l'aria, per esempio,
tale valore, che prende il nome di rigidità dielettrica, si
aggira intorno ai 25 kV/cm, e dipende dalle sue condizioni fisiche. È chiaro dunque che non sarebbe possibile realizzare un bipolo resistore, atto a sopportar e
una tensione di 25kV, che non abbia tra i suoi morsetti
una distanza sufficientemente maggiore di un centimetro. Anche per questo motivo i resistori per elevate tensioni hanno generalmente dimensioni più grandi, indipendentemente dalla potenza, generalmente non elevata, che sono in grado di dissipare.
Dei generatori “reali” abbiamo già fatto cenno in precedenza e del come essi debbano necessariamente
avere una caratteristica del tipo mostrato in figura in
cui con l'aumentare della corrente erogata, la tensione
ai morsetti, come suol dirsi, “si siede”. Avremo dunque
una tensione a vuoto, che sarà la massima possibile, ed
una corrente di cortocircuito, valore che in generale
non è concretamente raggiungibile, a meno che non si
voglia rischiare di distruggere il dispositivo.
Il proporzionamento dei conduttori
Abbiamo sempre immaginato di poter connettere i
nostri generatori al carico mediante conduttori perfetti
che non introducono alcuna caduta di tensione.
Naturalmente ciò non è possibile nella realtà; le connessioni al carico utilizzatore sono r ealizzate con materiali che, per quanto buoni conduttori, presentano sempre una certa resistività.
Con riferimento allo schema riportato a lato, immaginiamo che la distanza tra carico e generatore sia L e che
la sezione del conduttore sia S. Quali conseguenze
dovremo attenderci da queste circostanze?
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
In primo luogo, evidentemente, la tensione sul carico R
non sarà uguale a quella fornita dal generatore ai suoi
morsetti; è facile calcolare tale caduta di tensione,
tenendo conto che la lunghezza complessiva del collegamento è 2L:
V = 2L I .
(III.23)
S
Dalla (III.23) appare chiaro che, se immaginiamo fissata la corrente I assorbita dal carico e la distanza L, la
caduta di tensione può essere ridotta attraverso l'utilizzo di un miglior materiale conduttore (generalmente
più costoso), oppure aumentando la sezione S dei conduttori. È ragionevole dunque un proporzionamento dei
conduttori inteso ad ottimizzare aspetti specifici del l'impianto nel suo complesso. La caduta di tensione,
infatti, non è l'unico elemento che va tenuto in conto:
la corrente I, che attraversa i conduttori di resistività ,
produce una dissipazione di potenza che, per la legge
di Joule, è data da:
P = Rl I2 = 2L I2 .
(III.24)
S
Volendo ridurre tale potenza dissipata, è chiaro che
ancora una volta è possibile agire sulla sezione S in base
a quanto dettato dalla formula (III.24), piuttosto che
dalla formula (III.23). Ma non è tutto: la potenza dissipata nel conduttore viene, come è noto, trasformata in
calore e di conseguenza produce un innalzamento della
temperatura T del conduttore rispetto alla temperatura
ambiente T0 . La temperatura di regime che si raggiun ge è, come sempre, fissata dalla condizione di equilibrio tra la potenza elettrica dissipata e la quantità di
calore che, nell'unità di tempo, viene trasferita all'ambiente esterno. Quest'ultima è proporzionale al salto di
temperatura T - T 0 ed all'area della superficie di contatto tra corpo conduttore ed ambiente esterno.
83
84
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Abbiamo implicitamente fatto l'ipotesi che il meccanismo principale di trasferimento del calore all'ambiente
esterno sia quello della convezione, il che è abbastanza
naturale dato che il conduttore sarà, in ultima analisi,
circondato da un fluido isolante - l'aria, per esempio. In
definitiva, all'equilibrio si avrà:
2
P = 2L I = k 2Lpl T,
(III.25)
S
dove k è un coefficiente di convezione che dipende da
diversi fattori che sarebbe lungo qui elencare, S= r 2 e
p l=2 r sono rispettivamente l'area ed il perimetro della
sezione trasversale del conduttore supposto cilindrico e
di raggio r. È questa la relazione che bisogna prendere
in considerazione qualora sia T= T - T 0 la grandezza
che si vuole tenere sotto controllo. Naturalmente la
(III.25) può essere ulteriormente raffinata se si tiene in
conto che la stessa resistività del materiale dipende
dalla temperatura.
Come si vede il pr oblema del proporzionamento dei
conduttori, almeno in corrente continua, è, in linea di
principio, abbastanza semplice: una volta fissati i valori di V, P e T ammissibili, basta determinare quale
delle tr e relazioni (III.23), (III.24) e (III.25) porta alla
condizione più stringente nel caso specifico. Per
impianti comuni di tipo classico spesso si assume che
tutto ciò porti in definitiva a fissare la densità di corrente I/S ammissibile nel conduttore. In altri casi i valori delle sezioni necessarie sono direttamente riportati in
tabelle che si trovano nei diversi manuali.
Gli strumenti di misura visti come bipoli
Un cenno agli strumenti di misura delle grandezze elettriche. Fino ad ora non ne abbiamo parlato anche perché il loro studio dettagliato esula certamente dai limiti di un corso di base di Elettrotecnica. In effetti quel-
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
lo che ci interessa discuter e non è tanto il principio di
funzionamento di tali strumenti, quanto il ruolo che
essi si trovano a svolgere in quanto elementi di una rete,
quando vengono inseriti in essa per misurare le diverse
grandezze elettriche.
Cominciamo dal voltmetro che è, ovviamente, uno strumento in grado di misurare la d.d.p. tra due punti. Un
tale dispositivo dovrà disporre di due sonde - o morsetti - che dovranno essere posti in contatto elettrico con
i punti tra i quali si desidera misurare la differenza di
potenziale. Se si prescinde dalla sua specifica funzione
e si focalizza l'attenzione sul suo inserimento nella rete,
si può vedere un voltmetro come un bipolo; in tal
senso esso sarà caratterizzato da una sua resistenza
interna, se supponiamo si tratti di un voltmetro per la
misura di tensioni continue.
Supponiamo dunque di voler caratterizzare dal punto
di vista elettrico un voltmetro di tal tipo. Considerato
come bipolo, esso presenterà ai suoi morsetti una resistenza interna R i. Una caratteristica fondamentale di
ogni strumento di misura è che esso deve "disturbare"
quanto meno è possibile il sistema in cui esso viene
inserito. Se ciò non fosse, lo strumento non misurerebbe la grandezza voluta nel sistema "indisturbato" dalla
sua pr esenza. Uno sguardo allo schema di principio
mostrato a lato - dove, per inciso, è anche mostrato il
simbolo che utilizzer emo per lo strumento in esame - fa
subito comprendere che un voltmetro ideale, per avere
una tale proprietà, deve presentare ai suoi morsetti una
resistenza infinita; solo in tal caso infatti la corrente
derivata dal voltmetro è nulla e quindi la tensione ai
morsetti del carico risulta indipendente dalla presenza
del voltmetro stesso.
Considerazioni del tutto analoghe possono svolgersi
per l'amperometro, lo strumento che misura l'intensità
85
86
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
della corrente. L'amperometro, naturalmente, dovrà
essere inserito in serie nel ramo di cui si vuole misurare la corrente, così come è indicato schematicamente.
Esso, se ideale, dovrà presentare una resistenza nulla ai
suoi morsetti, altrimenti la tensione ai morsetti del carico, e quindi la corrente da esso assorbita, non risulteranno indipendenti dalla presenza dell'amperometro
stesso.
In regime continuo non è necessario fare appello ad
uno strumento speciale per la misura della potenza: un
voltmetro ed un amperometro sono in linea di principio sufficienti. Come vedremo, in r egime sinusoidale,
occor rerà introdurre un tale dispositivo speciale che
prenderà il nome di wattmetro; come è facile intuire,
esso non potrà essere un semplice bipolo, dovendo presentare quattro morsetti.
Esercizi
Per la r ete mostrata nel primo schema, determinare la
matrice di incidenza e la matrice delle conduttanze di
lato.
Nel secondo problema si richiede di determinare la
tensione tra i morsetti A e B del parallelo di due gene ratori reali idealizzati. La soluzione è banale ma ci servirà in seguito per alcuni commenti sul parallelo dei
generatori.
Infine per la verifica dei due problemi successivi, già
proposti in precedenza, diamo i valori della corrente
nel resistore R3 , I3= 0,5A, e di quella nel resistore R5,
I5= 1,06A, rispettivamente.
52
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
rispettivamente. Si possono ottenere gli stessi risultati
affrontando le stesse reti con il metodo dei potenziali ai
nodi o con quello delle correnti di maglia.
Capitolo IV
L’ n-polo
Abbiamo osservato che una qualsiasi rete, vista da due
nodi, diventa, a tutti gli effetti esterni, un bipolo unico
– e questo è in qualche misura ovvio – e abbiamo anche
mostrato come costruire il bipolo equivalente alla rete
data, sia nel caso che essa sia passiva, sia nel caso in cui
sia attiva. Abbiamo anche osservato, però, che non
tutte le possibili configurazioni sono risolvibili riducendo la rete attraverso successivi accoppiamenti serie
o parallelo di due o più bipoli. A confermarlo abbiamo
portato l'esempio della classica rete a ponte mostrata in
figura. Si immagini, infatti, di voler determinare il bipo lo equivalente alla rete vista dai morsetti A e B. Siamo
subito in difficoltà perché non troviamo nella rete né
rami in serie né rami in parallelo. È facile convincersi
che nessuno dei 5 rami è aggregabile ad un altro per
costruire un primo bipolo equivalente da cui prendere
le mosse. Val la pena di notare che un tal problema
non esisterebbe se si volesse il bipolo equivalente alla
rete vista dai morsetti C, D. In tal caso, infatti, si ha
immediatamente che si tratta del parallelo di tre bipoli:
il bipolo 3, il bipolo che si ottiene dalla serie di 1 e 2 e
88
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
quello che si ottiene dalla serie di 4 e 5.
Ma torniamo ai nodi A e B. La nostra difficoltà è dovuta alla presenza nella rete di strutture del tipo a trian golo o a poligono come 1, 2, 3 e 3, 4, 5 o equivalentemente a stella come 2, 3, 4, che non sono riconducibili
ad un sistema a due morsetti e cioè ad un bipolo. Siamo
portati dunque a prendere in considerazione “sistemi a
più poli”, cioè un complesso di bipoli collegati tra di
loro e visti da n nodi; un sistema che schematizzeremo
d’ora in poi alla maniera rappresentata in figura.
Si pone il problema a questo punto di estendere il concetto di “caratteristica” ad un tale sistema. Ragioniamo
alla maniera seguente: supponiamo di alimentare ogni
polo con n generatori ideali di tensione E r come
mostrato in figura, e supponiamo ancora che la rete sia
costituita da tutti bipoli lineari. In tal caso per calcolare le n correnti nei rami dei generatori potremo usare il
teorema di sovrapposizione e affermar e che la corrente
Ii nel ramo del generatore iesimo è la somma delle varie
correnti Iir che si ottengono nel ramo iesimo quando di
volta in volta lasciamo operare il solo generatore nel
ramo erresimo, così come mostrato in figura.
D’altra parte in ognuna delle reti così ottenute, a causa
della linearità dei bipoli componenti, la corrente Ii
dovrà risultare proporzionale alla tensione E r.
Chiamiamo Gir tale fattore di proporzionalità, che ha
appunto le dimensioni dell’inverso di una resistenza,
cioè di una conduttanza. In conclusione sommando
l’effetto di tutti i generatori presenti avremo:
I1 = G11 E1 +...+ G1r Er +...+ G1n En
...........................................
Is = Gs1 E1 +...+ Gsr Er +...+ Gsn En
...........................................
In = Gn1 E1 +...+ Gnr Er +...+ Gnn En
(IV.1)
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
In altri termini l’n-polo invece di essere individuato da
un solo parametro G come un bipolo, è individuato da
n 2 parametri Grs cioè da una matrice di ordine n di
conduttanze che prende appunto il nome di matrice
delle conduttanze. Come vedremo, in realtà, i parametri
indipendenti da cui realmente dipende la matrice delle
conduttanze non sono n2, bensì in numero molto minore. Per ora osserviamo che tra le Grs ve ne sono alcune
che si distinguono dalle altre: quelle del tipo Grr con
pedici eguali, e cioè gli elementi della diagonale della
matrice. Esse infatti, per costruzione, sono derivate da
schemi circuitali del tipo mostrato nella quarta figura.
Risulta evidente che esse sono delle “reali conduttanze
equivalenti” del bipolo (questa volta è un vero bipolo)
che si ottiene prendendo in considerazione un polo
dell’n-polo e come altro estremo l’insieme di tutti gli
altri n - 1 poli collegati in corto circuito tra di loro.
Natura diversa hanno invece le G rs che rappresentano
semplicemente il rapporto tra la corrente nel ramo r e
la tensione nel ramo s, quando tutti gli altri poli, tranne l’essesimo, sono collegati in corto circuito. Si tratta
certamente di grandezze che hanno le dimensioni di
conduttanze, ma non sono conduttanze mostrate dalla
rete a particolari coppie di morsetti. Per questa ragione
si distinguono le due grandezze con nomi diversi: con duttanze proprie o autoconduttanze, le prime e condut tanze mutue, le seconde.
Vediamo ora di quali proprietà godono gli elementi di
una matrice di conduttanze. Osserviamo in primo
luogo che avendo fatto la convenzione dell’utilizzatore
a tutti i poli, dovrà necessariamente essere, per la passività della rete, G rr 0, in quanto effettive conduttanze
di bipoli equivalenti. Le Grs invece non sono necessariamente positive; anzi è possibile dimostrare facilmente che deve risultare:
89
90
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
G rs 0.
(IV.2)
Infatti perché si abbia Grs > 0 dovrebbe essere I r > 0
con E s >0; ma in tal caso all’interno della rete, alimentata dalla sola Es tra il nodo s ed il nodo O, comune a
tutti gli altri poli, dovrebbe esister e un nodo a potenziale minore di quello di O, (solo in tal caso infatti la Ir
> 0 sarebbe compatibile con la supposta passività del
particolare ramo dove la Ir si trova a circolare); ma ciò
è impossibile per il principio di non amplificazione
delle tensioni.
Ma c’è di più. Se proviamo ad applicare il teorema di
reciprocità alle due reti che hanno portato all’individuazione di Grs e G sr troviamo immediatamente il
seguente risultato:
Grs = Gsr .
(IV.3)
La matrice G è necessariamente simmetrica. Questo
significa che degli n 2 parametri che la compongono,
solo n 2-(n 2-n)/2 sono indipendenti.
Se infine proviamo ad applicare la LKC al nodo O troviamo che la somma delle Ir deve essere nulla. Cioè:
s
Gs1 E1 +..+
Gsr Er+..+
s
s
Gsn En = 0. (IV.4)
Il che, essendo le Es qualsiasi, comporta che:
Gsr = 0,
(IV.5)
s
per qualsiasi r, o anche:
Grr = -
Gsr .
(IV.6)
s r
Una volta note le mutue conduttanze, dunque, le autoconduttanze possono essere ottenute in base alla IV.6.
Luciano De Menna
91
Corso di Elettrotecnica
Ne deriva che altri n parametri sono dipendenti. In
conclusione i parametri indipendenti nella matrice G
sono:
2
nn-1
n2 - n - n - n =
.
2
2
(IV.7)
Per assegnare, dunque, una matrice di conduttanza
non si possono scegliere n2 numeri qualsiasi, anzi il
modo più immediato per farlo è quello di assegnare
n(n-1)/2 grandezze, negative naturalmente, che rappresentano le n(n-1)/2 mutue conduttanze dell’n-polo!
Delle infinite reti che possono dare luogo ad un n-polo
se ne distinguono immediatamente due di tipo particolare: la rete a poligono completo e quella a stella. La
prima si ottiene collegando ogni coppia di poli r ed s
con un bipolo di resitenza Rrs. La r ete così ottenuta
prende il nome di rete a poligono completo con n verti ci. È facile verificare che il numero di lati di una tale
rete è pari ad n(n-1)/2; le combinazioni, cioè, di n
oggetti a due a due senza ripetizione. In un n-polo a
poligono, completo o non, non vi sono nodi interni.
L’altro schema caratteristico è quello a stella, costituito
da l lati ognuno collegato tra uno degli n poli ed un
nodo interno comune, come mostrato nella stessa figura. Un n-polo a stella, dunque, ha un solo nodo interno.
Poniamoci ora il problema di stabilire in quali condizioni due n-poli – dello stesso numero di poli – possono considerarsi equivalenti. Come logica estensione
dell’equivalenza dei bipoli, potremo dire che essi possono ritenersi equivalenti quando, sottoposti alla stessa
ennupla di tensioni, assorbono la stessa ennupla di correnti. È evidente che ciò comporterà anche la uguaglianza delle due matrici delle conduttanze. In particolare cerchiamo le concrete condizioni di equivalenza
92
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
tra un n-polo a poligono ed uno a stella.
Consideriamo in primo luogo un n-polo a stella e cerchiamo la relazione che lega la generica corrente Ii nel
ramo iesimo alla ennupla di potenziali Vr ai poli (simboli e convenzioni sono illustrati in Fig. IV.1).
Fig.IV.1
Si avrà:
Ii = Vi - V0 .
Ri
(IV.8)
Una relazione analoga si potrà scrivere per uno qualsiasi dei rami, quindi per il ramo erresimo:
Ir = Vr - V0 .
Rr
(IV.9)
D’altra parte dalla LKC applicata al nodo O si ottiene:
Vr - V0 =
Rr
r
Vr - V
1 =0.
0
Rr
R
r
r
Ir =
r
=
r
E quindi:
(IV.10)
Luciano De Menna
93
Corso di Elettrotecnica
V0 =
Vr
Rr
1
Rr
r
r
= 1
G0
r
Vr .
Rr
(IV.11)
dove si è posto:
G0 =
r
1 .
Rr
(IV.12)
Ritornando ora alla espressione IV.8 della I i , si ottiene:
Ii = Vi - 1
Ri Ri G0
r
Vr ,
Rr
(IV.13)
o anche, estraendo dal segno di sommatoria il termine
iesimo, in modo da separare la parte di Ii che dipende
esclusivamente da Vi da quella che dipende da tutti gli
altri valori di V r:
Vr . (IV.14)
Ii = Vi 1 - 1 - 1
Ri R2 G0 Ri G0 r i Rr
i
Consideriamo ora l’altro caso: il poligono di n(n-1)/2
lati come schematicamente mostrato in figura.
Fig.IV.2
In questo caso si avrà:
94
Luciano De Menna
Ii =
r i
Vi - Vr = V
i
Rri
r i
1 Rri
Corso di Elettrotecnica
r i
Vr . (IV.15)
Rri
Confrontando le due espressioni, (IV.14) e (IV.15),
delle I i così determinate, si verifica immediatamente
che esse sono identiche per qualsiasi ennupla di Vr se e
solo se:
R ri = R r Ri G0 .
(IV.16)
In tal caso infatti la (IV.15) diventa:
Vr
=
RRG
r i
r i r i 0
Vr =
1 - 1
= Vi
Ri G0 r i Rr Ri G0 r i Rr
(IV.17)
V
V
V
i
1
i
1
r
=
=
Ri G0 r Rr R2 G0 Ri G0 r i Rr
i
V
V
Vr .
i
i
1
=
Ri R2 G0 Ri G0 r i Rr
i
Ii = Vi
1
RrRi G0
L’equivalenza è dunque assicurata se risultano verificate le n(n-1)/2 relazioni di cui alla IV.16:
Se dunque si ha un n-polo a stella, è sempre possibile
costruire un n-polo a poligono completo le cui n(n-1)/2
resistenze di lato Rri siano date appunto dalle n(n-1)/2
relazioni trovate, e che quindi risulta equivalente alla
stella di partenza.
Il caso opposto, invece, in cui siano note le n(n-1)/2
resistenze di lato in un poligono completo, e si voglia
conoscer e le n resistenze di lato di un eventuale poligono a stella equivalente, è risolvibile solo nel caso in
cui il numer o delle equazioni, n(n-1)/2, è pari al numero di incognite n, cioè solo nel caso n=3! Per n>3 il
numero delle equazioni è superiore al numero delle
incognite ed il problema, quindi, non ammette soluzione!
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Abbiamo dunque mostrato che, mentre è sempre pos sibile ricondurre una stella ad un poligono, la trasformazione opposta è possibile solo nel caso n=3 e cioè,
come si dice, dal “triangolo alla stella a tre rami”.
Una importante osservazione è la seguente: mediante
successive trasformazioni delle stelle relative ai nodi
interni di un n-polo, è possibile far via via scomparire
tali nodi interni. Ne consegue che un qualsiasi n-polo è
riconducibile ad un n-polo a poligono. Si abbia dunque
un tale n-polo a poligono (completo o non, questo non
ha importanza), e si voglia calcolare gli elementi della
matrice delle conduttanze. Per quanto detto in precedenza basterà calcolare le n(n-1)/2 grandezze Grs con
r s! È facile verificare che risulta:
Grs = - 1
(IV.18)
Rrs
se R rs è la resistenza tra i nodi r e s dell’n-polo!
Per calcolar e Grs , infatti, bisogna collegare tutti i nodi,
tranne il nodo s, al morsetto O del generatore, come
mostrato in figura. Ma così facendo ogni bipolo che si
trovi su di un lato non collegato ad s viene ad essere
cortocircuitato e quindi in esso non potrà circolare corrente. Ne consegue che la corrente I r dovrà riversarsi
tutta nell’unico ramo che partendo da r sia collegato
anche ad s, il ramo con resistenza Rrs. Si ha quindi Es
= - Rrs I r (il meno deriva dalla convenzione che, in tali
condizioni, è del generatore), da cui Grs = - 1/Rrs
Il pr ocedimento per cui, data la rete, se ne determina la
matrice delle conduttanze viene detto di analisi dell'npolo. Ne abbiamo mostrato una possibile soluzione che
passa attraverso la sostituzione dell’n-polo di partenza
con uno equivalente a poligono.
Il processo inverso, prende il nome di sintesi dell’npolo: data cioè una matrice quadrata n che soddisfi alle
condizioni di cui in precedenza, che giustamente ora
95
96
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
possono prendere il nome di condizioni di fisica realiz zabilità, determinare un n-polo che presenti appunto
quella data come matrice delle conduttanze.
Rileggendo con una prospettiva diversa quanto sviluppato precedentemente, si può dire che almeno una
soluzione al problema della sintesi l’abbiamo già data.
Se infatti, sono Grs i valori fuori diagonale della matrice assegnata, l’n-polo costituito da un poligono completo i cui rami abbiano resistenza Rrs = - 1/Grs ha
appunto la desiderata matrice delle conduttanze!
Riprendiamo in considerazione, ora, il problema del
circuito a “ponte” da cui siamo partiti per introdurre
gli n-poli. È chiaro che il pr oblema di trovare il bipolo
equivalente tra A e B si risolve rapidamente se, per
esempio, si trasforma il triangolo costituito dai rami 3,4
e 5. Il circuito si riduce a quello mostrato in figura e la
resistenza tra A e B si calcola ora agevolmente. Come si
è detto il circuito in esame viene denominato “ponte di
Wheatstone” e trova una applicazione molto interessante nel campo delle misure. Senza soffermarci sull'argomento, si noti che qualora le resistenze nei rami
1,2,4,5 soddisfino la relazione:
R1 R4 = R2 R5 ,
(IV.19)
allora la corrente nel ramo 3 è identicamente nulla. Si
dice in tal caso che il ponte è in equilibrio. Se il valore
di uno dei resistori nei quattro lati del ponte non è
noto, ed un altro è variabile, è possibile determinare il
valore della resistenza incognita dalla relazione IV.19,
una volta raggiunta la condizione di corrente nulla nel
ramo 3, modificando la resistenza del resistore variabile. Naturalmente occorre che nel ramo 3 sia presente
uno strumento in grado di rilevare l'annullamento della
corrente.
Ritornando alla trasformazione stella-poligono, notiamo che dalle (IV.16) si ottengono facilmente le resi-
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
stenze del poligono equivalente una volta siano note
quelle della stella di partenza. Per il caso n=3 è facile
determinare le relazioni inverse che forniscono le resistenze della stella se sono note quelle del triangolo:
Ri = Rir Ris .
(IV.20)
R0
Dove si è posto:
R0 = R12 + R23 + R31
Esercizi
Nella r ete in figura, che abbiamo già risolto con diversi metodi, possiamo ora provare ad utilizzare le trasformazioni poligono-stella. Applicando, infatti, il principio di sovrapposizione degli effetti, ci troviamo a dover
risolvere due reti con un solo generatore; una volta
quello di tensione ed un'altra quello di corrente. La
determinazione della resistenza equivalente del bipolo
connesso ai morsetti dei generatori nei due casi è ostacolata da strutture a ponte del tipo di quelle studiate.
Utilizzando le formule della trasformazione triangolostella il problema trova una semplice soluzione.
Infine per la stessa rete riportiamo la matrice di incidenza e la matrice delle conduttanze di lato.
L’N-bipolo o N-porte
Una rete passiva con un certo numero di poli può
anche essere considerata da un’altro punto di vista.
Assumiamo che il numero di poli n sia pari e poniamo
N = n/2. Se scegliamo N coppie di poli e conveniamo
di collegare sempre tale n-polo al “resto del mondo”
avendo cura che la corrente che entra in un polo di
ogni singola coppia sia uguale a quella che esce dall’al tr o, la struttura così ottenuta godrà evidentemente di
97
98
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
speciali proprietà. Vogliamo evidenziare tali proprietà
del sistema descritto che d’ora in poi chiameremo Nbipolo. Un generico N-bipolo sarà rappresentato come
in figura e sarà caratterizzato da N porte costituite dalle
N coppie di morsetti associati. Si parlerà infatti anche
di un sistema ad N porte.
La teoria generale dell’N-bipolo lineare ricalca quella
dello n-polo. Anche per l’N-bipolo, alimentato con N
generatori di tensione, si può applicare alle N porte come al solito assumeremo la convenzione dell’utilizzator e per ogni porta - il principio di sovrapposizione ed
ottenere un sistema del tipo:
I1 = G11 E1 + ...+ G1r Er +...+ G1NEN
...........................................
Is = Gs1 E1 + ...+ Gsr Er +...+ GsNEN (IV.21)
...........................................
IN = GN1E1 + ...+ GNrEr +...+ GNNEN
Le G rs sono gli elementi di una matrice NxN che prende il nome di matrice delle conduttanze e che nel seguito indicheremo con il simbolo G.
Non inganni la apparente somiglianza tra i sistemi di
equazioni dell’n-polo e dell’N-bipolo. Le singole Grs
hanno evidentemente significati diversi. Si avrà infatti:
Grs = Ir
Es
Ei =0 per ogni i
ES 0
(IV.22)
In altri termini quando tutte le porte salvo la essesima
sono cortocircuitate. In particolare per s=r si avrà una
conduttanza propria vista dalla porta r quando tutte le
altre sono in corto. Ne consegue, come per il caso dell’n-polo, che G rr 0. Non sarà invece vero che le conduttanze mutue debbano necessariamente risultare
negative. Si guardi, infatti, allo schema da cui la G rs
generica viene dedotta, rappresentato in figura. Questa
Luciano De Menna
99
Corso di Elettrotecnica
volta la cor rente Ir va da un nodo interno della r ete ad
un altro nodo anch’esso interno. Nulla ci assicura quindi che essa sia negativa (per E s positiva)! D’altra parte
il teorema di non amplificazione delle tensioni, o se si
vuole quello di non amplificazione delle correnti, for nisce qualche informazione sulle Grs . Dato che infatti
Is , tenendo
nel cir cuito di figura è certamente Ir
conto del fatto che Grr è definito positivo, si avrà:
Grr =
Ir
Er
Ei =0
Er 0
Is
Er
Ei =0
Er 0
= Gsr
(IV.23)
Una proprietà del tutto analoga, invece, sia nell’ n-polo
che nell’ N-bipolo, è quella che discende dalla reciprocità. Si ha, infatti, che:
G rs = Gsr ,
(IV.24)
e quindi solo (N2 -N)/2 + N = N(N+1)/2 elementi della
matrice delle conduttanze sono linearmente indipendenti. Si osservi che tale numero non diminuisce ulterior mente come nel caso dell’n-polo, perché questa
volta la legge di Kirchhoff ai nodi non fornisce ulterio ri vincoli, dato che essa è identicamente soddisfatta per
costr uzione: da ogni porta una stessa corrente entra da
un morsetto ed esce dall’altro.
Le condizioni (IV.23), (IV.24), e quella che impone che
le G rr siano tutte positive, sono le condizioni di fisica
realizzabilità per l'N-bipolo
Si può descrivere l’N-bipolo attraverso una matrice
delle resistenze invece che di conduttanze. Basta risolvere il sistema di equazioni (IV.21) rispetto alle Es , ottenendo:
100
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
E1 = R11 I1 +...+ R1r Ir +...+ R1NIN;
...........................................
Es = Rs1 I1 +...+ Rsr Ir +...+ RsNIN;
(IV.25)
...........................................
EN = RN1I1 +...+ RNrIr +...+ RNNIN.
dove si avrà, evidentemente:
Ars ,
det(G)
e det(G) è il determinante della matrice delle conduttanze ed Asr è il minore aggiunto del termine di posto
s,r. In altri termini la matrice delle G è la inversa della
matrice delle R. Vale la pena sottolineare che, di conseguenza, Rsr 1/G sr .
Il caso N = 2 è particolarmente interessante tanto da
meritare un nome speciale: doppio bipolo. I parametri
indipendenti saranno tre: R11 , R22 ed R12=R21 nella
matrice delle resistenze, e G 11 , G22 ed G 12=G21 in
quella delle conduttanze. Nei due casi avremo le equazioni:
V1 = R11 I1 + R12 I2 ,
(IV.26)
V2 = R21 I1 + R22 I2 ,
Rrs =
per la matrice R, e:
I1 = G11 V1 + G12 V2 ,
I2 = G21 V1 + G22 V2 ,
(IV.27)
per la matrice G. Utilizzando il formalismo matriciale
le (IV.26) ed (IV.27) pr endono la forma :
V = R I,
(IV.28)
I = G V,
dove V ed I sono rispettivamente i vettori colonna (o
riga) delle tensioni e delle correnti ed R e G le matrici
Luciano De Menna
101
Corso di Elettrotecnica
dei parametri R e G.
È evidente che per “sintetizzare” un doppio bipolo si
avrà bisogno di almeno tre bipoli resistori; infatti tre
sono i parametri indipendenti che determinano la
matrice delle R o delle G di un doppio-bipolo. D’altra
par te tre bipoli resistori possono essere collegati in due
fondamentali modi diversi: a stella (o a T, in questo
caso) o a triangolo (o anche a p greco, , per la caratteristica forma dello schema elettrico).
È facile ricavare i parametri R e G nei due casi del doppio bipolo a T ed a . Nel primo caso si ha che:
R11 = Ra + Rb ;
R22 = Rc + Rb ;
R12 = Rb ;
(IV.29)
e:
1
;
R
R
b
c
Ra +
Rb + Rc
1
=
;
Rc + Rb Ra
Rb + Ra
Rb
=.
Ra Rb + Rc + Rb Rc
G11 =
G22
G12
(IV.30)
Mentre nel secondo caso si ha:
R'a R'b + R'c
;
R'a + R'b + R'c
R'c R'b + R'a
=
;
R'a + R'b + R'c
R'aR'c
=
;
R'a + R'b + R'c
R'11 =
R'22
R'12
e:
(IV.31)
102
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
G'11 = R'a + R'b ;
R'aR'b
R'
G'22 = c + R'b ;
R'cR'b
G'12 = - 1 .
R'b
(IV.32)
Le relazioni scritte quindi consentono in ogni caso di
determinare le resistenze Ra, R b e Rc, R' a, R'b e R' c del
doppio bipolo a T o a
che realizza una qualsiasi
matrice delle R o delle G che soddisfino le condizioni
di fisica realizzabilità. Se ne conclude che un qualsiasi
insieme di parametri R o G può essere sintetizzato da
un doppio bipolo a T o a , e quindi anche che un
qualsiasi doppio bipolo può essere ricondotto ad un
doppio bipolo a T o a .
In verità gli schemi utilizzati consentono di risolvere
solo metà dei problemi possibili. Abbiamo osservato
infatti che la R 12 e la G12 possono essere sia positive
che negative. Le relazioni trovate, invece, consentirebbero di “sintetizzare” solo matrici delle R con Rm 0 e
delle G con Gm<0. Il problema si risolve brillantemente aggiungendo le due possibilità ulteriori, illustrate
nelle immagini a lato, con i morsetti secondari invertiti.
Per la stella si avrà infatti:
R12 = - Rb ,
(IV.33)
Rb
G12 =
.
Ra Rb + Rc + Rb Rc
Mentre per il triangolo si avrà:
R'aR'c
R'12 = ;
R'a + R'b + R'c
G'12 = 1 .
R'b
(IV.34)
Supponiamo, ora, di chiudere la porta secondaria su di
un carico R, come mostrato, e poniamoci il problema di
Luciano De Menna
103
Corso di Elettrotecnica
determinare il valore della resistenza vista dalla porta
primaria. Le equazioni sono:
V1 = R11 I1 + RmI2 ,
V2 = RmI1 + R22 I2 ,
(IV.35)
V2 = - RI2 .
Ricavando I2 dalla seconda, in cui V2 è stato eliminato
in base alla ter za, si ottiene:
I2 = - RmI1 ,
R + R22
e sostituendo nella prima si ha:
2
Re = V1 = R11 - Rm .
I1
R + R22
(IV.36)
Come si vede, utilizzando un doppio bipolo come tramite, è possibile variar e a piacimento la resistenza equi valente vista, per esempio, da un generatore collegato a
monte. Questo uso del doppio bipolo come mezzo per
variare caratteristiche di un carico ed adattarle a quelle
del generatore è molto comune. L'adattamento non si
ottiene però senza pagare uno scotto: la potenza che
viene necessariamente dissipata nel doppio bipolo
adattatore. Proviamo a calcolarla: essa è evidentemente
pari a V1 I1 + V2 I2 . Utilizzando i parametri R per esprimer e le tensioni in funzione delle correnti, si ottiene:
P = R11 I21 + 2 Rm I1 I2 + R22 I22 .
(IV.37)
Una espressione più significativa della potenza assorbita si ottiene ricavando I1 dalla prima delle (IV.26) e
sostituendola nella (IV.27), tenendo conto della
(IV.25). Dopo alcuni passaggi si ottiene:
P=
V21
I2
+ 2 .
R11
G22
(IV.38)
104
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Nella (IV.38) la potenza assorbita è espressa come
somma della potenza assorbita dalla porta primaria
quando la secondaria è a vuoto e la potenza assorbita
dalla por ta secondaria con la primaria in corto circuito.
Facciamo ora un brevissimo cenno ad altre possibili
rappresentazioni dell’N-bipolo ed, in particolare, del
doppio bipolo. Invece di esprimere le tensioni alle
porte in funzione delle correnti, o viceversa, è possibile esprimere, per esempio, la V1 e la I 2 in funzione della
V2 e della I 1 . Si ottiene:
V1 = h11 I1 + h12 V2 ,
(IV.39)
I2 = h21 I1 + h22 V2 .
I parametri h così definiti prendono il nome di para metri ibridi; si noti, infatti, che essi non hanno tutti le
stesse dimensioni. Mentre h 11 ha le dimensioni di una
resistenza ed h22 ha quelle di una conduttanza, h 12 ed
h 21 hanno le dimensioni di numeri puri. Per definizione sarà infatti:
h12 = V1
V2
; h21 = I2
I1
I1=0
.
V2=0
Si noti infine che per i parametri h la reciprocità è
espressa dalla relazione h 21 = - h 12.
La rappresentazione ibrida analoga, in cui V2 e I 1 sono
espressi in funzione di V1 ed I2 , viene detta dei para metri g e di essa diamo solo la definizione:
I1 = g11 V1 + g12 I2 ,
(IV.40)
V2 = g21 V1 + g22 I2 .
Un cenno infine alla descrizione del doppio bipolo con
la cosiddetta matrice di trasmissione che mette in relazione le grandezze ad una porta con quelle all’altra:
Luciano De Menna
105
Corso di Elettrotecnica
V1 = t11 V2 + t12 I2 ,
I1 = t21 V2 + t22 I2 .
(IV.41)
Si noti la scelta della convenzione del generatore alla
porta secondaria; il motivo di tale scelta sarà immediatamente chiaro.
Le rappresentazione con la matrice di trasmissione sottolinea il fatto che il doppio bipolo può essere visto
come un sistema di trasferimento ingresso-uscita (o
segnale-risposta o causa-effetto). Questo modo di concepire le cose sarà molto utile quando tratteremo il
doppio bipolo in regime dinamico qualsiasi.
Utilizzando la matrice di trasmissione T è possibile
esprimere in modo molto sintetico la caratteristica di
due doppi bipoli in cascata, o in serie; si ha infatti:
U' = T' U
ed
U" = T" U'.
Evidentemente i vettori U, U' ed U" sono i vettori di
ingresso e di uscita, nei diversi casi, distinti dagli apici.
Combinando le due relazione si ottiene:
U" = T'T" U,
e la matrice equivalente è il prodotto delle due matrici
di trasmissione dei doppi bipoli in cascata.
Val la pena di osservare che non tutti i doppi bipoli
permettono tutte le diverse rappresentazioni possibili.
Lo strano doppio bipolo mostrato nel primo schema
della seconda immagine a lato ha una rappresentazione
mediante i parametri G, mentre non consente una reppresentazione con i parametri R. Per il secondo schema
accade l'inverso: mentre il doppio bipolo ha una matrice R, non ha invece una matrice G. Per rendersi conto
del perché ciò accada basta provare a calcolare i relativi parametri secondo le classiche definizioni. Su questo
argomento ritorneremo nel seguito.
106
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
A titolo di esempio proviamo a calcolare le matrici R e
G per il doppio bipolo riportato a lato. Per determinare la R11 bisogna determinare il rapporto tra tensione e
corrente primaria quando la porta secondaria è aperta;
in tali condizioni i resistori R2 e R5 sono in serie e la
loro serie è in parallelo con R4 . A questo parallelo va
aggiunto in serie il r esistore R1 . Il calcolo di R22 è del
tutto simile. Per calcolare R12 bisogna invece assumere,
per esempio, la porta primaria aperta e calcolare il rapporto tra la tensione primaria e la corrente secondaria.
Ma in tali condizioni la corrente I2 si ripartisce evidentemente nei due rami in parallelo costituiti dal resistore R5 e dalla serie di R 2 e R4. Quest'ultima corrente, circolando nel resistore R4 darà luogo alla caduta di tensione che poi si rileva anche ai morsetti primari. Nel
resistore R1 , infatti, non circola alcuna corrente.
Infine i parametri G. Per calcolare G11 occor re cortocircuitare la por ta secondaria. In tali condizioni la resistenza vista alla por ta primaria - la conduttanza G11
sarà proprio l'inverso di tale resistenza - è data dalla
serie del parallelo tra R3 e R5 con il resistore R2; il bipolo equivalente così determinato è a sua volta in parallelo con R 4 ed infine in serie con R1 . Il calcolo di Gm può
condursi alla maniera seguente. In primo luogo bisogna
cortocircuitare una delle due porte; si osservi che se si
sceglie di cortocircuitar e la porta secondaria - il che
equivale a scegliere di calcolare G 21 piuttosto che G12
- lo schema elettrico che ne deriva è lo stesso utilizzato
per calcolare G11. In queste condizioni, dunque G11 V1
è la corrente che entra alla porta primaria. È agevole a
questo punto ripartire tale corrente nei diversi rami in
parallelo fino a trovare il contributo circolante in R 3 . Il
rapporto tra questa corrente e la tensione V1 è la conduttanza cercata. Attenti al segno di G m!
Luciano De Menna
107
Corso di Elettrotecnica
Esercizi
Per la rete proposta in precedenza e mostrata nella
immagine a lato, diamo, per una verifica dei risultati, il
valore della corrente nel resistore R7 , I 7 = 1,2 A.
Correnti e tensioni negli altri rami della rete si deducono facilmente dalla conoscenza di questa grandezza.
Per il secondo esercizio la formula di Milmann fornisce
immediatamente la soluzione:
VAB =
E1 R1 + E2 R2
.
1 R1 + 1 R2
(IV.43)
Si noti il ruolo giocato dalle due resistenze in serie ai
generatori ideali di tensione: sono loro che rendono
possibile un collegamento che altrimenti, come abbiamo visto, non sarebbe possibile. Se infatti R 1 ed R 2
vanno a zero, la for mula perde di significato. Le cadute di tensione sulle due resistenze, dovute alla corrente
circolante nella maglia, rendono eguali, e quindi compatibili, le due tensioni ai morsetti A e B. Si osservi che
nel circuito in esame vi è dissipazione di potenza anche
quando i morsetti A e B non sono chiusi su di un carico; il generatore equivalente, dunque, dissipa anche
quando è a vuoto. Tenendo conto di alcune osservazioni fatte in precedenza questo non può stupire.
Infine qualche problema sui doppi bipoli. Nel primo
caso si richiede di calcolare le matrici R, G, ibride e di
trasmissione, per il doppio bipolo mostrato.
Nel successivo due problema vengono proposte due
matrici 2x2 e si chiede di stabilire quale di esse può
essere la matrice R per un doppio bipolo. Una volta
determinata la matrice fisicamente realizzabile, si chiede di sintetizzarla con un circuito, per esempio a T.
108
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
I generatori dipendenti o pilotati e gli amplificatori operazionali
Abbiamo più volte ricordato che i generatori fin ora introdotti, di tensione e
di corrente, vengono detti ideali
per il fatto che essi forniscono ai
loro morsetti una tensione o una
corrente che non risente in alcun
modo del “carico” a cui essi vengono connessi. Per questo motivo essi
vengono anche detti generatori
indipendenti. Abbiamo anche sottolineato che in un generatore
“reale” è impossibile che ciò accada. In un generatore di tensione reale la
d.d.p. ai morsetti dipenderà dalla corrente erogata secondo una legge V=V(I)
del tipo di quella mostrata qualitativamente in
figura. Potremmo affermar e, da questo punto di
vista, che il generatore reale è un generatore dipen dente. Questa osservazione fornisce lo spunto per
l'introduzione di una nuova classe di generatori
nei quali la tensione ai morsetti, se si tratta di
generatori di tensione, per esempio, è sì dipendente, ma non dalla corrente che essi stessi erogano, bensì da un'altra corrente circolante in altro
ramo della rete. Chiameremo tali generatori gene ratori pilotati ed useremo per essi i simboli
mostrati, a seconda che si tratti di generatori di tensione o di corrente. In effetti non è necessario che la tensione di un generatore sia pilotata da una corrente: la grandezza che “pilota”, secondo una ben determinata legge, può anche
essere un'altra tensione che insiste su di un altro ramo della rete. In conclusione siamo portati a definire quattro diversi tipi di generatori pilotati:
Generatore di tensione pilotato in corrente (GTPC)
Vr=V r(I s)
Luciano De Menna
109
Corso di Elettrotecnica
Generatore di corrente pilotato in tensione (GCPT)
Generatore di corrente pilotato in corrente (GCPC)
Generatore di tensione pilotato in tensione (GTPT)
Ir=Ir(Vs)
Ir=Ir(Is)
Vr=Vr(Vs)
Naturalmente se le relazioni che caratterizzano tali dipendenze sono di tipo
lineare si parlerà di generatori lineari e si avrà:
Generatore di tensione pilotato in corrente (GTPC)
Generatore di cor rente pilotato in tensione (GCPT)
Generatore di corrente pilotato in corrente (GCPC)
Generatore di tensione pilotato in tensione (GTPT)
Fig. IV.3
Vr=RmIs
I r=GmVs
Ir= Is
Vr= Vs
110
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
dove Rm è detta transresistenza, Gm transconduttanza, rapporto di trasferimento di corrente, e rapporto di trasferimento di tensione.
Abbiamo tardato fino a questo punto ad introdurre i generatori pilotati perché, a ben guardare, essi non sono dei semplici bipoli bensì dei doppi bipoli:
per essere definiti essi hanno bisogno di un'altra coppia di morsetti che sia
interessata dalla grandezza “pilotante”, secondo gli schemi di seguito riportati, per il caso lineare.
È inter essante domandarsi quali rappresentazioni, fra le diverse introdotte per
i doppi bipoli, i singoli generatori pilotati ammettono. Per esempio il GTPC
ammette solo una rappresentazione mediante una matrice delle resistenze:
V=
0
Rm
0
0
I.
Si noti che la condizione R12 = R21 non è verificata: si tratta infatti di doppi
bipoli che contengono dei generatori, e quindi possono essere non reciproci.
I generatori pilotati sono estremamente utili per costruire circuiti equivalenti
di dispositivi più complessi, come, per esempio, i transistori. Anzi si può affermare che l’esigenza di introdurre tali doppi bipoli nasce proprio dal bisogno
di rappresentare opportunamente il comportamento dei transistori nei loro
diversi modi di funzionamento.
Non rientrando tali dispositivi tra gli argomenti del nostro corso, avremo
poche opportunità di utilizzare i generatori pilotati; ciò nonostante ci è sembrato utile introdurli per inserirli nel quadro generale che stiamo costruendo.
Oltre tutto, i generatori pilotati non sono soltanto degli elementi ideali; è possibile, utilizzando dei dispositivi che prendono il nome di amplificatori opera zionali, realizzare delle concrete ottime approssimazioni di tali generatori.
Anche degli amlificatoiri operazionali si può
iu
Vi
introdurre un modello
idealizzato che è rappresentato in Fig.IV.4.
i+
Vu
Fig.IV.4
Luciano De Menna
111
Corso di Elettrotecnica
La caratteristica di questo dispositivo è descrita dalle seguenti relazioni:
i- = Ii+ = I+
vu = f vi
Esat
vu = Esat v = Av
i
i
-Esat
vi
- <vi <
(IV.42)
vi -
Nel piano (vi ,vu ) la rappresentazione grafica di tale caratteristica è mostrata in
Fig.IV.5.
Le costanti I- e I+ sono
generalmente molto piccole
(da pochi decimi di mA a
pochi decimi di nA, - tanto
che in una idealizzazione
ancora più spinta possono
essere assunte nulle) ed il
parametro A, generalmente
molto grande (i valori tipici
vanno da 100.000 a
200.000, t anto che nella
stessa logica precedente può
essere assunto infinitamente
grande) prende il nome di
guadagno di tensione in
anello aperto.
Il dispositivo reale di cui quello fin qui descritto è una idealizzazione in effetti non ha quattro morsetti ma almeno cinque, in quanto esso ha bisogno di
essere alimentato in modo opportuno per funzionare correttamente, secondo
lo schema riportato in Fig. IV.6.
Il componente circuitale di cui alla Fig.IV.4 è quindi l’idealizzazione di quanto contenuto nel riquadro di Fig.IV.6. Esso è pertanto un elemento attivo per
112
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
la presenza dei generatori.
E
i-
+
iu
+
Vi
i+
Vu
E
+
Fig.IV.6
Se si accetta l’idealizzazione spinta di cui in precedenza (I- = I+ = 0 e A = ),
le relazioni di cui alle (IV.42) diventano:
i- = 0
i+ = 0
vu = Esatsgn vi
- Esat < vu < Esat
per vi 0
per vi = 0
(IV.43)
Nella regione di linearità (v i = 0) quindi, l’amplificatore operazionale avrebbe
le seguenti leggi caratteristiche:
i- = 0
i+ = 0
vi = 0
vu = qualsiasi valore
iu = qualsiasi valore
(IV.44)
Luciano De Menna
113
Corso di Elettrotecnica
Queste considerazioni giustificano l’introduzione di due nuovi bipoli ideali
che prendono il nome di nullatore e noratore rispettivamente, i cui simboli
sono riportati in Fig.IV.7.
Il nullatore ha v=0 ed i = 0 per ogni
i
condizione di funzionamento: in altri
ter mini la sua caratteristica nel piano
(i,v) si riduce ad un punto e precisav
v
mente l’origine degli assi. Mentr e il
noratore non è descritto da nessuna
relazione, nel senso che sia i che v ai
suoi morsetti sono qualsiasi: Nel
Fig.IV.7
Fig.IV.8
piano (i,v) la sua caratteristica viene a
coincidere con l’intero piano.
Utilizzando questi due nuovi bipoli un amplificatore operazionale ideale, nella
sua regione di linearità, può essere rappresentato secondo lo schema di
Fig.IV.9.
iu
iVi
Vu
i+
Fig.IV.9
Utilizzando i componenti ideali introdotti, come già detto, è possibile costruire schemi equivalenti di altri componenti. A titolo di esempio si considerino i
due schemi riportati nelle figure IV.10, IV.11 e IV.12. Il primo rappresnta un
generatore ideale di tensione ed il secondo, un doppio bipolo lineare resistivo
ma non reciproco. Infatti, nel primo la corrente primaria è sempre nulla per
definizione e quindi non c'è caduta di tensione sulla resistenza in serie al generatore ideale; di conseguenza la tensione secondaria è indipendente dalla cor-
114
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
rente erogata.
Fig.IV.10
Nel secondo caso le relazioni tra tensioni e correnti sono quelle che si avrebbero in un doppio bipolo resistivo; si noti che anche in questo caso puo’ non
essere verificata la condizione R 12=R21 e quindi il doppio bipolo puo’ non
essere reciproco.
Fig.IV.11
Per il cir cuito di Fig.IV.12, invece, l’equazione alla maglia della porta di ingresso dell’amplificatore operazionale ci for nisce la relazione:
v1 + R i2 + vi = 0,
(IV.44)
Luciano De Menna
115
Corso di Elettrotecnica
che, tenendo conto della caratteristica dell’amplificatore operazionale, diventa:
v
i2 = - 1 v1 + vi = - 1 v1 + u = - 1 v1 ,
(IV.45)
R
R
A
R
che per A che tende all’infinito descrive la caratteristica di un generatore ideale di corrente pilotato in tensione di transconduttanza Gm = - 1/R.
i1
i2
Vi
V1
R
V2
i2
Fig.IV.12
116
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Esercizi
Per verifica riportiamo i valori dei parametri Rm, Gm,
h 12, g12 e t12 per il doppio bipolo proposto in precedenza.
R R
G11 R5 R4
Rm = 3 4 ,
Gm = ,
R0
R0 R3 + R5
h12 =
R5 R4
,
R2 + R4 + R6 R3 + R5 + R3 R5
g12 = -
R1 + R4
t12 = - R1 +
R5
R4
+
,
R2 + R5 + R6 + R1 R4 R1 + R4
R4 R2 + Re+ R6
R0
R2 + Re+R6 R3 +R5
,
R5 R4
dove:
Re =
R5 R3
;
R3 + R5
R0 = R2 + R4 + Re + R6 .
Per quanto riguarda il secondo problema è evidente
che la seconda matrice non soddisfa la condizione
|R rr| |Rrs|, analoga alla IV.23 per i parametri G.
Volendo sintetizzare con un doppio bipolo a T la prima
matrice, si ha:
Ra = 2
; Rb = 2
; Rc = 1
.
Se avessimo tentato di sintetizzare anche la seconda
matrice avr emmo ottenuto:
Ra = - 1
; Rb = 3
; Rc = 1
;
il che, evidentemente, non è fisicamente realizzabile
con resistori tradizionali. Naturalmente sarebbe possibile sintetizzare anche la seconda matrice se si accettasse di utilizzare generatori pilotati.
Capitolo IV
L’ n-polo
Abbiamo osservato che una qualsiasi rete, vista da due
nodi, diventa, a tutti gli effetti esterni, un bipolo unico
– e questo è in qualche misura ovvio – e abbiamo anche
mostrato come costruire il bipolo equivalente alla rete
data, sia nel caso che essa sia passiva, sia nel caso in cui
sia attiva. Abbiamo anche osservato, però, che non
tutte le possibili configurazioni sono risolvibili riducendo la rete attraverso successivi accoppiamenti serie
o parallelo di due o più bipoli. A confermarlo abbiamo
portato l'esempio della classica rete a ponte mostrata in
figura. Si immagini, infatti, di voler determinare il bipo lo equivalente alla rete vista dai morsetti A e B. Siamo
subito in difficoltà perché non troviamo nella rete né
rami in serie né rami in parallelo. È facile convincersi
che nessuno dei 5 rami è aggregabile ad un altro per
costruire un primo bipolo equivalente da cui prendere
le mosse. Val la pena di notare che un tal problema
non esisterebbe se si volesse il bipolo equivalente alla
rete vista dai morsetti C, D. In tal caso, infatti, si ha
immediatamente che si tratta del parallelo di tre bipoli:
il bipolo 3, il bipolo che si ottiene dalla serie di 1 e 2 e
88
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
quello che si ottiene dalla serie di 4 e 5.
Ma torniamo ai nodi A e B. La nostra difficoltà è dovuta alla presenza nella rete di strutture del tipo a trian golo o a poligono come 1, 2, 3 e 3, 4, 5 o equivalentemente a stella come 2, 3, 4, che non sono riconducibili
ad un sistema a due morsetti e cioè ad un bipolo. Siamo
portati dunque a prendere in considerazione “sistemi a
più poli”, cioè un complesso di bipoli collegati tra di
loro e visti da n nodi; un sistema che schematizzeremo
d’ora in poi alla maniera rappresentata in figura.
Si pone il problema a questo punto di estendere il concetto di “caratteristica” ad un tale sistema. Ragioniamo
alla maniera seguente: supponiamo di alimentare ogni
polo con n generatori ideali di tensione E r come
mostrato in figura, e supponiamo ancora che la rete sia
costituita da tutti bipoli lineari. In tal caso per calcolare le n correnti nei rami dei generatori potremo usare il
teorema di sovrapposizione e affermar e che la corrente
Ii nel ramo del generatore iesimo è la somma delle varie
correnti Iir che si ottengono nel ramo iesimo quando di
volta in volta lasciamo operare il solo generatore nel
ramo erresimo, così come mostrato in figura.
D’altra parte in ognuna delle reti così ottenute, a causa
della linearità dei bipoli componenti, la corrente Ii
dovrà risultare proporzionale alla tensione E r.
Chiamiamo Gir tale fattore di proporzionalità, che ha
appunto le dimensioni dell’inverso di una resistenza,
cioè di una conduttanza. In conclusione sommando
l’effetto di tutti i generatori presenti avremo:
I1 = G11 E1 +...+ G1r Er +...+ G1n En
...........................................
Is = Gs1 E1 +...+ Gsr Er +...+ Gsn En
...........................................
In = Gn1 E1 +...+ Gnr Er +...+ Gnn En
(IV.1)
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
In altri termini l’n-polo invece di essere individuato da
un solo parametro G come un bipolo, è individuato da
n 2 parametri Grs cioè da una matrice di ordine n di
conduttanze che prende appunto il nome di matrice
delle conduttanze. Come vedremo, in realtà, i parametri
indipendenti da cui realmente dipende la matrice delle
conduttanze non sono n2, bensì in numero molto minore. Per ora osserviamo che tra le Grs ve ne sono alcune
che si distinguono dalle altre: quelle del tipo Grr con
pedici eguali, e cioè gli elementi della diagonale della
matrice. Esse infatti, per costruzione, sono derivate da
schemi circuitali del tipo mostrato nella quarta figura.
Risulta evidente che esse sono delle “reali conduttanze
equivalenti” del bipolo (questa volta è un vero bipolo)
che si ottiene prendendo in considerazione un polo
dell’n-polo e come altro estremo l’insieme di tutti gli
altri n - 1 poli collegati in corto circuito tra di loro.
Natura diversa hanno invece le G rs che rappresentano
semplicemente il rapporto tra la corrente nel ramo r e
la tensione nel ramo s, quando tutti gli altri poli, tranne l’essesimo, sono collegati in corto circuito. Si tratta
certamente di grandezze che hanno le dimensioni di
conduttanze, ma non sono conduttanze mostrate dalla
rete a particolari coppie di morsetti. Per questa ragione
si distinguono le due grandezze con nomi diversi: con duttanze proprie o autoconduttanze, le prime e condut tanze mutue, le seconde.
Vediamo ora di quali proprietà godono gli elementi di
una matrice di conduttanze. Osserviamo in primo
luogo che avendo fatto la convenzione dell’utilizzatore
a tutti i poli, dovrà necessariamente essere, per la passività della rete, G rr 0, in quanto effettive conduttanze
di bipoli equivalenti. Le Grs invece non sono necessariamente positive; anzi è possibile dimostrare facilmente che deve risultare:
89
90
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
G rs 0.
(IV.2)
Infatti perché si abbia Grs > 0 dovrebbe essere I r > 0
con E s >0; ma in tal caso all’interno della rete, alimentata dalla sola Es tra il nodo s ed il nodo O, comune a
tutti gli altri poli, dovrebbe esister e un nodo a potenziale minore di quello di O, (solo in tal caso infatti la Ir
> 0 sarebbe compatibile con la supposta passività del
particolare ramo dove la Ir si trova a circolare); ma ciò
è impossibile per il principio di non amplificazione
delle tensioni.
Ma c’è di più. Se proviamo ad applicare il teorema di
reciprocità alle due reti che hanno portato all’individuazione di Grs e G sr troviamo immediatamente il
seguente risultato:
Grs = Gsr .
(IV.3)
La matrice G è necessariamente simmetrica. Questo
significa che degli n 2 parametri che la compongono,
solo n 2-(n 2-n)/2 sono indipendenti.
Se infine proviamo ad applicare la LKC al nodo O troviamo che la somma delle Ir deve essere nulla. Cioè:
s
Gs1 E1 +..+
Gsr Er+..+
s
s
Gsn En = 0. (IV.4)
Il che, essendo le Es qualsiasi, comporta che:
Gsr = 0,
(IV.5)
s
per qualsiasi r, o anche:
Grr = -
Gsr .
(IV.6)
s r
Una volta note le mutue conduttanze, dunque, le autoconduttanze possono essere ottenute in base alla IV.6.
Luciano De Menna
91
Corso di Elettrotecnica
Ne deriva che altri n parametri sono dipendenti. In
conclusione i parametri indipendenti nella matrice G
sono:
2
nn-1
n2 - n - n - n =
.
2
2
(IV.7)
Per assegnare, dunque, una matrice di conduttanza
non si possono scegliere n2 numeri qualsiasi, anzi il
modo più immediato per farlo è quello di assegnare
n(n-1)/2 grandezze, negative naturalmente, che rappresentano le n(n-1)/2 mutue conduttanze dell’n-polo!
Delle infinite reti che possono dare luogo ad un n-polo
se ne distinguono immediatamente due di tipo particolare: la rete a poligono completo e quella a stella. La
prima si ottiene collegando ogni coppia di poli r ed s
con un bipolo di resitenza Rrs. La r ete così ottenuta
prende il nome di rete a poligono completo con n verti ci. È facile verificare che il numero di lati di una tale
rete è pari ad n(n-1)/2; le combinazioni, cioè, di n
oggetti a due a due senza ripetizione. In un n-polo a
poligono, completo o non, non vi sono nodi interni.
L’altro schema caratteristico è quello a stella, costituito
da l lati ognuno collegato tra uno degli n poli ed un
nodo interno comune, come mostrato nella stessa figura. Un n-polo a stella, dunque, ha un solo nodo interno.
Poniamoci ora il problema di stabilire in quali condizioni due n-poli – dello stesso numero di poli – possono considerarsi equivalenti. Come logica estensione
dell’equivalenza dei bipoli, potremo dire che essi possono ritenersi equivalenti quando, sottoposti alla stessa
ennupla di tensioni, assorbono la stessa ennupla di correnti. È evidente che ciò comporterà anche la uguaglianza delle due matrici delle conduttanze. In particolare cerchiamo le concrete condizioni di equivalenza
92
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
tra un n-polo a poligono ed uno a stella.
Consideriamo in primo luogo un n-polo a stella e cerchiamo la relazione che lega la generica corrente Ii nel
ramo iesimo alla ennupla di potenziali Vr ai poli (simboli e convenzioni sono illustrati in Fig. IV.1).
Fig.IV.1
Si avrà:
Ii = Vi - V0 .
Ri
(IV.8)
Una relazione analoga si potrà scrivere per uno qualsiasi dei rami, quindi per il ramo erresimo:
Ir = Vr - V0 .
Rr
(IV.9)
D’altra parte dalla LKC applicata al nodo O si ottiene:
Vr - V0 =
Rr
r
Vr - V
1 =0.
0
Rr
R
r
r
Ir =
r
=
r
E quindi:
(IV.10)
Luciano De Menna
93
Corso di Elettrotecnica
V0 =
Vr
Rr
1
Rr
r
r
= 1
G0
r
Vr .
Rr
(IV.11)
dove si è posto:
G0 =
r
1 .
Rr
(IV.12)
Ritornando ora alla espressione IV.8 della I i , si ottiene:
Ii = Vi - 1
Ri Ri G0
r
Vr ,
Rr
(IV.13)
o anche, estraendo dal segno di sommatoria il termine
iesimo, in modo da separare la parte di Ii che dipende
esclusivamente da Vi da quella che dipende da tutti gli
altri valori di V r:
Vr . (IV.14)
Ii = Vi 1 - 1 - 1
Ri R2 G0 Ri G0 r i Rr
i
Consideriamo ora l’altro caso: il poligono di n(n-1)/2
lati come schematicamente mostrato in figura.
Fig.IV.2
In questo caso si avrà:
94
Luciano De Menna
Ii =
r i
Vi - Vr = V
i
Rri
r i
1 Rri
Corso di Elettrotecnica
r i
Vr . (IV.15)
Rri
Confrontando le due espressioni, (IV.14) e (IV.15),
delle I i così determinate, si verifica immediatamente
che esse sono identiche per qualsiasi ennupla di Vr se e
solo se:
R ri = R r Ri G0 .
(IV.16)
In tal caso infatti la (IV.15) diventa:
Vr
=
RRG
r i
r i r i 0
Vr =
1 - 1
= Vi
Ri G0 r i Rr Ri G0 r i Rr
(IV.17)
V
V
V
i
1
i
1
r
=
=
Ri G0 r Rr R2 G0 Ri G0 r i Rr
i
V
V
Vr .
i
i
1
=
Ri R2 G0 Ri G0 r i Rr
i
Ii = Vi
1
RrRi G0
L’equivalenza è dunque assicurata se risultano verificate le n(n-1)/2 relazioni di cui alla IV.16:
Se dunque si ha un n-polo a stella, è sempre possibile
costruire un n-polo a poligono completo le cui n(n-1)/2
resistenze di lato Rri siano date appunto dalle n(n-1)/2
relazioni trovate, e che quindi risulta equivalente alla
stella di partenza.
Il caso opposto, invece, in cui siano note le n(n-1)/2
resistenze di lato in un poligono completo, e si voglia
conoscer e le n resistenze di lato di un eventuale poligono a stella equivalente, è risolvibile solo nel caso in
cui il numer o delle equazioni, n(n-1)/2, è pari al numero di incognite n, cioè solo nel caso n=3! Per n>3 il
numero delle equazioni è superiore al numero delle
incognite ed il problema, quindi, non ammette soluzione!
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Abbiamo dunque mostrato che, mentre è sempre pos sibile ricondurre una stella ad un poligono, la trasformazione opposta è possibile solo nel caso n=3 e cioè,
come si dice, dal “triangolo alla stella a tre rami”.
Una importante osservazione è la seguente: mediante
successive trasformazioni delle stelle relative ai nodi
interni di un n-polo, è possibile far via via scomparire
tali nodi interni. Ne consegue che un qualsiasi n-polo è
riconducibile ad un n-polo a poligono. Si abbia dunque
un tale n-polo a poligono (completo o non, questo non
ha importanza), e si voglia calcolare gli elementi della
matrice delle conduttanze. Per quanto detto in precedenza basterà calcolare le n(n-1)/2 grandezze Grs con
r s! È facile verificare che risulta:
Grs = - 1
(IV.18)
Rrs
se R rs è la resistenza tra i nodi r e s dell’n-polo!
Per calcolar e Grs , infatti, bisogna collegare tutti i nodi,
tranne il nodo s, al morsetto O del generatore, come
mostrato in figura. Ma così facendo ogni bipolo che si
trovi su di un lato non collegato ad s viene ad essere
cortocircuitato e quindi in esso non potrà circolare corrente. Ne consegue che la corrente I r dovrà riversarsi
tutta nell’unico ramo che partendo da r sia collegato
anche ad s, il ramo con resistenza Rrs. Si ha quindi Es
= - Rrs I r (il meno deriva dalla convenzione che, in tali
condizioni, è del generatore), da cui Grs = - 1/Rrs
Il pr ocedimento per cui, data la rete, se ne determina la
matrice delle conduttanze viene detto di analisi dell'npolo. Ne abbiamo mostrato una possibile soluzione che
passa attraverso la sostituzione dell’n-polo di partenza
con uno equivalente a poligono.
Il processo inverso, prende il nome di sintesi dell’npolo: data cioè una matrice quadrata n che soddisfi alle
condizioni di cui in precedenza, che giustamente ora
95
96
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
possono prendere il nome di condizioni di fisica realiz zabilità, determinare un n-polo che presenti appunto
quella data come matrice delle conduttanze.
Rileggendo con una prospettiva diversa quanto sviluppato precedentemente, si può dire che almeno una
soluzione al problema della sintesi l’abbiamo già data.
Se infatti, sono Grs i valori fuori diagonale della matrice assegnata, l’n-polo costituito da un poligono completo i cui rami abbiano resistenza Rrs = - 1/Grs ha
appunto la desiderata matrice delle conduttanze!
Riprendiamo in considerazione, ora, il problema del
circuito a “ponte” da cui siamo partiti per introdurre
gli n-poli. È chiaro che il pr oblema di trovare il bipolo
equivalente tra A e B si risolve rapidamente se, per
esempio, si trasforma il triangolo costituito dai rami 3,4
e 5. Il circuito si riduce a quello mostrato in figura e la
resistenza tra A e B si calcola ora agevolmente. Come si
è detto il circuito in esame viene denominato “ponte di
Wheatstone” e trova una applicazione molto interessante nel campo delle misure. Senza soffermarci sull'argomento, si noti che qualora le resistenze nei rami
1,2,4,5 soddisfino la relazione:
R1 R4 = R2 R5 ,
(IV.19)
allora la corrente nel ramo 3 è identicamente nulla. Si
dice in tal caso che il ponte è in equilibrio. Se il valore
di uno dei resistori nei quattro lati del ponte non è
noto, ed un altro è variabile, è possibile determinare il
valore della resistenza incognita dalla relazione IV.19,
una volta raggiunta la condizione di corrente nulla nel
ramo 3, modificando la resistenza del resistore variabile. Naturalmente occorre che nel ramo 3 sia presente
uno strumento in grado di rilevare l'annullamento della
corrente.
Ritornando alla trasformazione stella-poligono, notiamo che dalle (IV.16) si ottengono facilmente le resi-
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
stenze del poligono equivalente una volta siano note
quelle della stella di partenza. Per il caso n=3 è facile
determinare le relazioni inverse che forniscono le resistenze della stella se sono note quelle del triangolo:
Ri = Rir Ris .
(IV.20)
R0
Dove si è posto:
R0 = R12 + R23 + R31
Esercizi
Nella r ete in figura, che abbiamo già risolto con diversi metodi, possiamo ora provare ad utilizzare le trasformazioni poligono-stella. Applicando, infatti, il principio di sovrapposizione degli effetti, ci troviamo a dover
risolvere due reti con un solo generatore; una volta
quello di tensione ed un'altra quello di corrente. La
determinazione della resistenza equivalente del bipolo
connesso ai morsetti dei generatori nei due casi è ostacolata da strutture a ponte del tipo di quelle studiate.
Utilizzando le formule della trasformazione triangolostella il problema trova una semplice soluzione.
Infine per la stessa rete riportiamo la matrice di incidenza e la matrice delle conduttanze di lato.
L’N-bipolo o N-porte
Una rete passiva con un certo numero di poli può
anche essere considerata da un’altro punto di vista.
Assumiamo che il numero di poli n sia pari e poniamo
N = n/2. Se scegliamo N coppie di poli e conveniamo
di collegare sempre tale n-polo al “resto del mondo”
avendo cura che la corrente che entra in un polo di
ogni singola coppia sia uguale a quella che esce dall’al tr o, la struttura così ottenuta godrà evidentemente di
97
98
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
speciali proprietà. Vogliamo evidenziare tali proprietà
del sistema descritto che d’ora in poi chiameremo Nbipolo. Un generico N-bipolo sarà rappresentato come
in figura e sarà caratterizzato da N porte costituite dalle
N coppie di morsetti associati. Si parlerà infatti anche
di un sistema ad N porte.
La teoria generale dell’N-bipolo lineare ricalca quella
dello n-polo. Anche per l’N-bipolo, alimentato con N
generatori di tensione, si può applicare alle N porte come al solito assumeremo la convenzione dell’utilizzator e per ogni porta - il principio di sovrapposizione ed
ottenere un sistema del tipo:
I1 = G11 E1 + ...+ G1r Er +...+ G1NEN
...........................................
Is = Gs1 E1 + ...+ Gsr Er +...+ GsNEN (IV.21)
...........................................
IN = GN1E1 + ...+ GNrEr +...+ GNNEN
Le G rs sono gli elementi di una matrice NxN che prende il nome di matrice delle conduttanze e che nel seguito indicheremo con il simbolo G.
Non inganni la apparente somiglianza tra i sistemi di
equazioni dell’n-polo e dell’N-bipolo. Le singole Grs
hanno evidentemente significati diversi. Si avrà infatti:
Grs = Ir
Es
Ei =0 per ogni i
ES 0
(IV.22)
In altri termini quando tutte le porte salvo la essesima
sono cortocircuitate. In particolare per s=r si avrà una
conduttanza propria vista dalla porta r quando tutte le
altre sono in corto. Ne consegue, come per il caso dell’n-polo, che G rr 0. Non sarà invece vero che le conduttanze mutue debbano necessariamente risultare
negative. Si guardi, infatti, allo schema da cui la G rs
generica viene dedotta, rappresentato in figura. Questa
Luciano De Menna
99
Corso di Elettrotecnica
volta la cor rente Ir va da un nodo interno della r ete ad
un altro nodo anch’esso interno. Nulla ci assicura quindi che essa sia negativa (per E s positiva)! D’altra parte
il teorema di non amplificazione delle tensioni, o se si
vuole quello di non amplificazione delle correnti, for nisce qualche informazione sulle Grs . Dato che infatti
Is , tenendo
nel cir cuito di figura è certamente Ir
conto del fatto che Grr è definito positivo, si avrà:
Grr =
Ir
Er
Ei =0
Er 0
Is
Er
Ei =0
Er 0
= Gsr
(IV.23)
Una proprietà del tutto analoga, invece, sia nell’ n-polo
che nell’ N-bipolo, è quella che discende dalla reciprocità. Si ha, infatti, che:
G rs = Gsr ,
(IV.24)
e quindi solo (N2 -N)/2 + N = N(N+1)/2 elementi della
matrice delle conduttanze sono linearmente indipendenti. Si osservi che tale numero non diminuisce ulterior mente come nel caso dell’n-polo, perché questa
volta la legge di Kirchhoff ai nodi non fornisce ulterio ri vincoli, dato che essa è identicamente soddisfatta per
costr uzione: da ogni porta una stessa corrente entra da
un morsetto ed esce dall’altro.
Le condizioni (IV.23), (IV.24), e quella che impone che
le G rr siano tutte positive, sono le condizioni di fisica
realizzabilità per l'N-bipolo
Si può descrivere l’N-bipolo attraverso una matrice
delle resistenze invece che di conduttanze. Basta risolvere il sistema di equazioni (IV.21) rispetto alle Es , ottenendo:
100
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
E1 = R11 I1 +...+ R1r Ir +...+ R1NIN;
...........................................
Es = Rs1 I1 +...+ Rsr Ir +...+ RsNIN;
(IV.25)
...........................................
EN = RN1I1 +...+ RNrIr +...+ RNNIN.
dove si avrà, evidentemente:
Ars ,
det(G)
e det(G) è il determinante della matrice delle conduttanze ed Asr è il minore aggiunto del termine di posto
s,r. In altri termini la matrice delle G è la inversa della
matrice delle R. Vale la pena sottolineare che, di conseguenza, Rsr 1/G sr .
Il caso N = 2 è particolarmente interessante tanto da
meritare un nome speciale: doppio bipolo. I parametri
indipendenti saranno tre: R11 , R22 ed R12=R21 nella
matrice delle resistenze, e G 11 , G22 ed G 12=G21 in
quella delle conduttanze. Nei due casi avremo le equazioni:
V1 = R11 I1 + R12 I2 ,
(IV.26)
V2 = R21 I1 + R22 I2 ,
Rrs =
per la matrice R, e:
I1 = G11 V1 + G12 V2 ,
I2 = G21 V1 + G22 V2 ,
(IV.27)
per la matrice G. Utilizzando il formalismo matriciale
le (IV.26) ed (IV.27) pr endono la forma :
V = R I,
(IV.28)
I = G V,
dove V ed I sono rispettivamente i vettori colonna (o
riga) delle tensioni e delle correnti ed R e G le matrici
Luciano De Menna
101
Corso di Elettrotecnica
dei parametri R e G.
È evidente che per “sintetizzare” un doppio bipolo si
avrà bisogno di almeno tre bipoli resistori; infatti tre
sono i parametri indipendenti che determinano la
matrice delle R o delle G di un doppio-bipolo. D’altra
par te tre bipoli resistori possono essere collegati in due
fondamentali modi diversi: a stella (o a T, in questo
caso) o a triangolo (o anche a p greco, , per la caratteristica forma dello schema elettrico).
È facile ricavare i parametri R e G nei due casi del doppio bipolo a T ed a . Nel primo caso si ha che:
R11 = Ra + Rb ;
R22 = Rc + Rb ;
R12 = Rb ;
(IV.29)
e:
1
;
R
R
b
c
Ra +
Rb + Rc
1
=
;
Rc + Rb Ra
Rb + Ra
Rb
=.
Ra Rb + Rc + Rb Rc
G11 =
G22
G12
(IV.30)
Mentre nel secondo caso si ha:
R'a R'b + R'c
;
R'a + R'b + R'c
R'c R'b + R'a
=
;
R'a + R'b + R'c
R'aR'c
=
;
R'a + R'b + R'c
R'11 =
R'22
R'12
e:
(IV.31)
102
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
G'11 = R'a + R'b ;
R'aR'b
R'
G'22 = c + R'b ;
R'cR'b
G'12 = - 1 .
R'b
(IV.32)
Le relazioni scritte quindi consentono in ogni caso di
determinare le resistenze Ra, R b e Rc, R' a, R'b e R' c del
doppio bipolo a T o a
che realizza una qualsiasi
matrice delle R o delle G che soddisfino le condizioni
di fisica realizzabilità. Se ne conclude che un qualsiasi
insieme di parametri R o G può essere sintetizzato da
un doppio bipolo a T o a , e quindi anche che un
qualsiasi doppio bipolo può essere ricondotto ad un
doppio bipolo a T o a .
In verità gli schemi utilizzati consentono di risolvere
solo metà dei problemi possibili. Abbiamo osservato
infatti che la R 12 e la G12 possono essere sia positive
che negative. Le relazioni trovate, invece, consentirebbero di “sintetizzare” solo matrici delle R con Rm 0 e
delle G con Gm<0. Il problema si risolve brillantemente aggiungendo le due possibilità ulteriori, illustrate
nelle immagini a lato, con i morsetti secondari invertiti.
Per la stella si avrà infatti:
R12 = - Rb ,
(IV.33)
Rb
G12 =
.
Ra Rb + Rc + Rb Rc
Mentre per il triangolo si avrà:
R'aR'c
R'12 = ;
R'a + R'b + R'c
G'12 = 1 .
R'b
(IV.34)
Supponiamo, ora, di chiudere la porta secondaria su di
un carico R, come mostrato, e poniamoci il problema di
Luciano De Menna
103
Corso di Elettrotecnica
determinare il valore della resistenza vista dalla porta
primaria. Le equazioni sono:
V1 = R11 I1 + RmI2 ,
V2 = RmI1 + R22 I2 ,
(IV.35)
V2 = - RI2 .
Ricavando I2 dalla seconda, in cui V2 è stato eliminato
in base alla ter za, si ottiene:
I2 = - RmI1 ,
R + R22
e sostituendo nella prima si ha:
2
Re = V1 = R11 - Rm .
I1
R + R22
(IV.36)
Come si vede, utilizzando un doppio bipolo come tramite, è possibile variar e a piacimento la resistenza equi valente vista, per esempio, da un generatore collegato a
monte. Questo uso del doppio bipolo come mezzo per
variare caratteristiche di un carico ed adattarle a quelle
del generatore è molto comune. L'adattamento non si
ottiene però senza pagare uno scotto: la potenza che
viene necessariamente dissipata nel doppio bipolo
adattatore. Proviamo a calcolarla: essa è evidentemente
pari a V1 I1 + V2 I2 . Utilizzando i parametri R per esprimer e le tensioni in funzione delle correnti, si ottiene:
P = R11 I21 + 2 Rm I1 I2 + R22 I22 .
(IV.37)
Una espressione più significativa della potenza assorbita si ottiene ricavando I1 dalla prima delle (IV.26) e
sostituendola nella (IV.27), tenendo conto della
(IV.25). Dopo alcuni passaggi si ottiene:
P=
V21
I2
+ 2 .
R11
G22
(IV.38)
104
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Nella (IV.38) la potenza assorbita è espressa come
somma della potenza assorbita dalla porta primaria
quando la secondaria è a vuoto e la potenza assorbita
dalla por ta secondaria con la primaria in corto circuito.
Facciamo ora un brevissimo cenno ad altre possibili
rappresentazioni dell’N-bipolo ed, in particolare, del
doppio bipolo. Invece di esprimere le tensioni alle
porte in funzione delle correnti, o viceversa, è possibile esprimere, per esempio, la V1 e la I 2 in funzione della
V2 e della I 1 . Si ottiene:
V1 = h11 I1 + h12 V2 ,
(IV.39)
I2 = h21 I1 + h22 V2 .
I parametri h così definiti prendono il nome di para metri ibridi; si noti, infatti, che essi non hanno tutti le
stesse dimensioni. Mentre h 11 ha le dimensioni di una
resistenza ed h22 ha quelle di una conduttanza, h 12 ed
h 21 hanno le dimensioni di numeri puri. Per definizione sarà infatti:
h12 = V1
V2
; h21 = I2
I1
I1=0
.
V2=0
Si noti infine che per i parametri h la reciprocità è
espressa dalla relazione h 21 = - h 12.
La rappresentazione ibrida analoga, in cui V2 e I 1 sono
espressi in funzione di V1 ed I2 , viene detta dei para metri g e di essa diamo solo la definizione:
I1 = g11 V1 + g12 I2 ,
(IV.40)
V2 = g21 V1 + g22 I2 .
Un cenno infine alla descrizione del doppio bipolo con
la cosiddetta matrice di trasmissione che mette in relazione le grandezze ad una porta con quelle all’altra:
Luciano De Menna
105
Corso di Elettrotecnica
V1 = t11 V2 + t12 I2 ,
I1 = t21 V2 + t22 I2 .
(IV.41)
Si noti la scelta della convenzione del generatore alla
porta secondaria; il motivo di tale scelta sarà immediatamente chiaro.
Le rappresentazione con la matrice di trasmissione sottolinea il fatto che il doppio bipolo può essere visto
come un sistema di trasferimento ingresso-uscita (o
segnale-risposta o causa-effetto). Questo modo di concepire le cose sarà molto utile quando tratteremo il
doppio bipolo in regime dinamico qualsiasi.
Utilizzando la matrice di trasmissione T è possibile
esprimere in modo molto sintetico la caratteristica di
due doppi bipoli in cascata, o in serie; si ha infatti:
U' = T' U
ed
U" = T" U'.
Evidentemente i vettori U, U' ed U" sono i vettori di
ingresso e di uscita, nei diversi casi, distinti dagli apici.
Combinando le due relazione si ottiene:
U" = T'T" U,
e la matrice equivalente è il prodotto delle due matrici
di trasmissione dei doppi bipoli in cascata.
Val la pena di osservare che non tutti i doppi bipoli
permettono tutte le diverse rappresentazioni possibili.
Lo strano doppio bipolo mostrato nel primo schema
della seconda immagine a lato ha una rappresentazione
mediante i parametri G, mentre non consente una reppresentazione con i parametri R. Per il secondo schema
accade l'inverso: mentre il doppio bipolo ha una matrice R, non ha invece una matrice G. Per rendersi conto
del perché ciò accada basta provare a calcolare i relativi parametri secondo le classiche definizioni. Su questo
argomento ritorneremo nel seguito.
106
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
A titolo di esempio proviamo a calcolare le matrici R e
G per il doppio bipolo riportato a lato. Per determinare la R11 bisogna determinare il rapporto tra tensione e
corrente primaria quando la porta secondaria è aperta;
in tali condizioni i resistori R2 e R5 sono in serie e la
loro serie è in parallelo con R4 . A questo parallelo va
aggiunto in serie il r esistore R1 . Il calcolo di R22 è del
tutto simile. Per calcolare R12 bisogna invece assumere,
per esempio, la porta primaria aperta e calcolare il rapporto tra la tensione primaria e la corrente secondaria.
Ma in tali condizioni la corrente I2 si ripartisce evidentemente nei due rami in parallelo costituiti dal resistore R5 e dalla serie di R 2 e R4. Quest'ultima corrente, circolando nel resistore R4 darà luogo alla caduta di tensione che poi si rileva anche ai morsetti primari. Nel
resistore R1 , infatti, non circola alcuna corrente.
Infine i parametri G. Per calcolare G11 occor re cortocircuitare la por ta secondaria. In tali condizioni la resistenza vista alla por ta primaria - la conduttanza G11
sarà proprio l'inverso di tale resistenza - è data dalla
serie del parallelo tra R3 e R5 con il resistore R2; il bipolo equivalente così determinato è a sua volta in parallelo con R 4 ed infine in serie con R1 . Il calcolo di Gm può
condursi alla maniera seguente. In primo luogo bisogna
cortocircuitare una delle due porte; si osservi che se si
sceglie di cortocircuitar e la porta secondaria - il che
equivale a scegliere di calcolare G 21 piuttosto che G12
- lo schema elettrico che ne deriva è lo stesso utilizzato
per calcolare G11. In queste condizioni, dunque G11 V1
è la corrente che entra alla porta primaria. È agevole a
questo punto ripartire tale corrente nei diversi rami in
parallelo fino a trovare il contributo circolante in R 3 . Il
rapporto tra questa corrente e la tensione V1 è la conduttanza cercata. Attenti al segno di G m!
Luciano De Menna
107
Corso di Elettrotecnica
Esercizi
Per la rete proposta in precedenza e mostrata nella
immagine a lato, diamo, per una verifica dei risultati, il
valore della corrente nel resistore R7 , I 7 = 1,2 A.
Correnti e tensioni negli altri rami della rete si deducono facilmente dalla conoscenza di questa grandezza.
Per il secondo esercizio la formula di Milmann fornisce
immediatamente la soluzione:
VAB =
E1 R1 + E2 R2
.
1 R1 + 1 R2
(IV.43)
Si noti il ruolo giocato dalle due resistenze in serie ai
generatori ideali di tensione: sono loro che rendono
possibile un collegamento che altrimenti, come abbiamo visto, non sarebbe possibile. Se infatti R 1 ed R 2
vanno a zero, la for mula perde di significato. Le cadute di tensione sulle due resistenze, dovute alla corrente
circolante nella maglia, rendono eguali, e quindi compatibili, le due tensioni ai morsetti A e B. Si osservi che
nel circuito in esame vi è dissipazione di potenza anche
quando i morsetti A e B non sono chiusi su di un carico; il generatore equivalente, dunque, dissipa anche
quando è a vuoto. Tenendo conto di alcune osservazioni fatte in precedenza questo non può stupire.
Infine qualche problema sui doppi bipoli. Nel primo
caso si richiede di calcolare le matrici R, G, ibride e di
trasmissione, per il doppio bipolo mostrato.
Nel successivo due problema vengono proposte due
matrici 2x2 e si chiede di stabilire quale di esse può
essere la matrice R per un doppio bipolo. Una volta
determinata la matrice fisicamente realizzabile, si chiede di sintetizzarla con un circuito, per esempio a T.
108
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
I generatori dipendenti o pilotati e gli amplificatori operazionali
Abbiamo più volte ricordato che i generatori fin ora introdotti, di tensione e
di corrente, vengono detti ideali
per il fatto che essi forniscono ai
loro morsetti una tensione o una
corrente che non risente in alcun
modo del “carico” a cui essi vengono connessi. Per questo motivo essi
vengono anche detti generatori
indipendenti. Abbiamo anche sottolineato che in un generatore
“reale” è impossibile che ciò accada. In un generatore di tensione reale la
d.d.p. ai morsetti dipenderà dalla corrente erogata secondo una legge V=V(I)
del tipo di quella mostrata qualitativamente in
figura. Potremmo affermar e, da questo punto di
vista, che il generatore reale è un generatore dipen dente. Questa osservazione fornisce lo spunto per
l'introduzione di una nuova classe di generatori
nei quali la tensione ai morsetti, se si tratta di
generatori di tensione, per esempio, è sì dipendente, ma non dalla corrente che essi stessi erogano, bensì da un'altra corrente circolante in altro
ramo della rete. Chiameremo tali generatori gene ratori pilotati ed useremo per essi i simboli
mostrati, a seconda che si tratti di generatori di tensione o di corrente. In effetti non è necessario che la tensione di un generatore sia pilotata da una corrente: la grandezza che “pilota”, secondo una ben determinata legge, può anche
essere un'altra tensione che insiste su di un altro ramo della rete. In conclusione siamo portati a definire quattro diversi tipi di generatori pilotati:
Generatore di tensione pilotato in corrente (GTPC)
Vr=V r(I s)
Luciano De Menna
109
Corso di Elettrotecnica
Generatore di corrente pilotato in tensione (GCPT)
Generatore di corrente pilotato in corrente (GCPC)
Generatore di tensione pilotato in tensione (GTPT)
Ir=Ir(Vs)
Ir=Ir(Is)
Vr=Vr(Vs)
Naturalmente se le relazioni che caratterizzano tali dipendenze sono di tipo
lineare si parlerà di generatori lineari e si avrà:
Generatore di tensione pilotato in corrente (GTPC)
Generatore di cor rente pilotato in tensione (GCPT)
Generatore di corrente pilotato in corrente (GCPC)
Generatore di tensione pilotato in tensione (GTPT)
Fig. IV.3
Vr=RmIs
I r=GmVs
Ir= Is
Vr= Vs
110
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
dove Rm è detta transresistenza, Gm transconduttanza, rapporto di trasferimento di corrente, e rapporto di trasferimento di tensione.
Abbiamo tardato fino a questo punto ad introdurre i generatori pilotati perché, a ben guardare, essi non sono dei semplici bipoli bensì dei doppi bipoli:
per essere definiti essi hanno bisogno di un'altra coppia di morsetti che sia
interessata dalla grandezza “pilotante”, secondo gli schemi di seguito riportati, per il caso lineare.
È inter essante domandarsi quali rappresentazioni, fra le diverse introdotte per
i doppi bipoli, i singoli generatori pilotati ammettono. Per esempio il GTPC
ammette solo una rappresentazione mediante una matrice delle resistenze:
V=
0
Rm
0
0
I.
Si noti che la condizione R12 = R21 non è verificata: si tratta infatti di doppi
bipoli che contengono dei generatori, e quindi possono essere non reciproci.
I generatori pilotati sono estremamente utili per costruire circuiti equivalenti
di dispositivi più complessi, come, per esempio, i transistori. Anzi si può affermare che l’esigenza di introdurre tali doppi bipoli nasce proprio dal bisogno
di rappresentare opportunamente il comportamento dei transistori nei loro
diversi modi di funzionamento.
Non rientrando tali dispositivi tra gli argomenti del nostro corso, avremo
poche opportunità di utilizzare i generatori pilotati; ciò nonostante ci è sembrato utile introdurli per inserirli nel quadro generale che stiamo costruendo.
Oltre tutto, i generatori pilotati non sono soltanto degli elementi ideali; è possibile, utilizzando dei dispositivi che prendono il nome di amplificatori opera zionali, realizzare delle concrete ottime approssimazioni di tali generatori.
Anche degli amlificatoiri operazionali si può
iu
Vi
introdurre un modello
idealizzato che è rappresentato in Fig.IV.4.
i+
Vu
Fig.IV.4
Luciano De Menna
111
Corso di Elettrotecnica
La caratteristica di questo dispositivo è descrita dalle seguenti relazioni:
i- = Ii+ = I+
vu = f vi
Esat
vu = Esat v = Av
i
i
-Esat
vi
- <vi <
(IV.42)
vi -
Nel piano (vi ,vu ) la rappresentazione grafica di tale caratteristica è mostrata in
Fig.IV.5.
Le costanti I- e I+ sono
generalmente molto piccole
(da pochi decimi di mA a
pochi decimi di nA, - tanto
che in una idealizzazione
ancora più spinta possono
essere assunte nulle) ed il
parametro A, generalmente
molto grande (i valori tipici
vanno da 100.000 a
200.000, t anto che nella
stessa logica precedente può
essere assunto infinitamente
grande) prende il nome di
guadagno di tensione in
anello aperto.
Il dispositivo reale di cui quello fin qui descritto è una idealizzazione in effetti non ha quattro morsetti ma almeno cinque, in quanto esso ha bisogno di
essere alimentato in modo opportuno per funzionare correttamente, secondo
lo schema riportato in Fig. IV.6.
Il componente circuitale di cui alla Fig.IV.4 è quindi l’idealizzazione di quanto contenuto nel riquadro di Fig.IV.6. Esso è pertanto un elemento attivo per
112
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
la presenza dei generatori.
E
i-
+
iu
+
Vi
i+
Vu
E
+
Fig.IV.6
Se si accetta l’idealizzazione spinta di cui in precedenza (I- = I+ = 0 e A = ),
le relazioni di cui alle (IV.42) diventano:
i- = 0
i+ = 0
vu = Esatsgn vi
- Esat < vu < Esat
per vi 0
per vi = 0
(IV.43)
Nella regione di linearità (v i = 0) quindi, l’amplificatore operazionale avrebbe
le seguenti leggi caratteristiche:
i- = 0
i+ = 0
vi = 0
vu = qualsiasi valore
iu = qualsiasi valore
(IV.44)
Luciano De Menna
113
Corso di Elettrotecnica
Queste considerazioni giustificano l’introduzione di due nuovi bipoli ideali
che prendono il nome di nullatore e noratore rispettivamente, i cui simboli
sono riportati in Fig.IV.7.
Il nullatore ha v=0 ed i = 0 per ogni
i
condizione di funzionamento: in altri
ter mini la sua caratteristica nel piano
(i,v) si riduce ad un punto e precisav
v
mente l’origine degli assi. Mentr e il
noratore non è descritto da nessuna
relazione, nel senso che sia i che v ai
suoi morsetti sono qualsiasi: Nel
Fig.IV.7
Fig.IV.8
piano (i,v) la sua caratteristica viene a
coincidere con l’intero piano.
Utilizzando questi due nuovi bipoli un amplificatore operazionale ideale, nella
sua regione di linearità, può essere rappresentato secondo lo schema di
Fig.IV.9.
iu
iVi
Vu
i+
Fig.IV.9
Utilizzando i componenti ideali introdotti, come già detto, è possibile costruire schemi equivalenti di altri componenti. A titolo di esempio si considerino i
due schemi riportati nelle figure IV.10, IV.11 e IV.12. Il primo rappresnta un
generatore ideale di tensione ed il secondo, un doppio bipolo lineare resistivo
ma non reciproco. Infatti, nel primo la corrente primaria è sempre nulla per
definizione e quindi non c'è caduta di tensione sulla resistenza in serie al generatore ideale; di conseguenza la tensione secondaria è indipendente dalla cor-
114
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
rente erogata.
Fig.IV.10
Nel secondo caso le relazioni tra tensioni e correnti sono quelle che si avrebbero in un doppio bipolo resistivo; si noti che anche in questo caso puo’ non
essere verificata la condizione R 12=R21 e quindi il doppio bipolo puo’ non
essere reciproco.
Fig.IV.11
Per il cir cuito di Fig.IV.12, invece, l’equazione alla maglia della porta di ingresso dell’amplificatore operazionale ci for nisce la relazione:
v1 + R i2 + vi = 0,
(IV.44)
Luciano De Menna
115
Corso di Elettrotecnica
che, tenendo conto della caratteristica dell’amplificatore operazionale, diventa:
v
i2 = - 1 v1 + vi = - 1 v1 + u = - 1 v1 ,
(IV.45)
R
R
A
R
che per A che tende all’infinito descrive la caratteristica di un generatore ideale di corrente pilotato in tensione di transconduttanza Gm = - 1/R.
i1
i2
Vi
V1
R
V2
i2
Fig.IV.12
116
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Esercizi
Per verifica riportiamo i valori dei parametri Rm, Gm,
h 12, g12 e t12 per il doppio bipolo proposto in precedenza.
R R
G11 R5 R4
Rm = 3 4 ,
Gm = ,
R0
R0 R3 + R5
h12 =
R5 R4
,
R2 + R4 + R6 R3 + R5 + R3 R5
g12 = -
R1 + R4
t12 = - R1 +
R5
R4
+
,
R2 + R5 + R6 + R1 R4 R1 + R4
R4 R2 + Re+ R6
R0
R2 + Re+R6 R3 +R5
,
R5 R4
dove:
Re =
R5 R3
;
R3 + R5
R0 = R2 + R4 + Re + R6 .
Per quanto riguarda il secondo problema è evidente
che la seconda matrice non soddisfa la condizione
|R rr| |Rrs|, analoga alla IV.23 per i parametri G.
Volendo sintetizzare con un doppio bipolo a T la prima
matrice, si ha:
Ra = 2
; Rb = 2
; Rc = 1
.
Se avessimo tentato di sintetizzare anche la seconda
matrice avr emmo ottenuto:
Ra = - 1
; Rb = 3
; Rc = 1
;
il che, evidentemente, non è fisicamente realizzabile
con resistori tradizionali. Naturalmente sarebbe possibile sintetizzare anche la seconda matrice se si accettasse di utilizzare generatori pilotati.
Capitolo V
I bipoli in regime dinamico: bipoli passivi
Nell’esposizione della teoria dei circuiti, che abbiamo
fin qui presentato, il tempo è entrato in maniera veramente marginale. Dovendo trattare di correnti, quindi
di moto di cariche, non si può certo dire che il tempo
non sia stato per nulla preso in considerazione; ma l’aver limitato tutto al caso di correnti stazionarie ha fatto
sì che il tempo non sia entrato direttamente in gioco.
In questo capitolo cercheremo di estendere la gran
parte dei concetti che abbiamo sviluppato per il regime
stazionario al caso in cui le grandezze in gioco non sono
più costanti nel tempo.
La prima domanda da porsi è se sia possibile anche in
regime non stazionario parlare di bipoli. A rigore la
risposta è negativa. Infatti in un regime non stazionario
non è più possibile parlare di differenza di potenziale,
né è lecito assumere che la corrente entrante in un morsetto di un resistore sia eguale a quella uscente dall'altro: due affermazioni che, come sappiamo, sono alla
base della definizione di bipolo. Quando il campo elettrico (e magnetico) varia nel tempo, il suo integrale di
linea tra due punti dipende dalla linea che si percorre
118
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
per andare da un punto all'altro; così come la quantità
di carica elettrica che entra in una superficie chiusa non
è necessariamente eguale, istante per istante, alla quantità di carica che ne esce. Ciò comporta, naturalmente,
che la quantità di carica contenuta nella superficie stessa si modifichi nel tempo: cresca in un determinato
intervallo di tempo per poi diminuire in un intervallo
successivo.
Per for tuna questi fenomeni sono tanto più rilevanti
quanto più grande è la rapidità di variazione nel tempo
delle grandezze elettriche. Così accade che, se le variazioni sono sufficientemente lente, l'errore che si commette nel trascurare tali fenomeni è sufficientemente
piccolo. È questo un enunciato puramente qualitativo
che può lasciare largamente insoddisfatti. Si rimanda
coloro che fossero inter essati ad una trattazione più
approfondita del problema alla seconda appendice
integrativa. Si consiglia però di affrontare tale appendice soltanto dopo aver completato la lettura del presente capitolo.
Anche in regime dinamico, dunque, parleremo di differenza di potenziale ai morsetti di un resistore e di un
unico valore, in ogni istante, della corrente che lo attraversa; il legame tra queste due grandezze sarà fornito
dalla caratteristica del bipolo che scriveremo (convenzione dell'utilizzatore):
vt =Rit,
(V.1)
dove l'uso delle lettere minuscole v ed i serve appunto
a ricordar e, per convenzione, che si tratta di grandezze
variabili nel tempo.
In r egime dinamico il bipolo resistore non è l'unico
bipolo lineare e passivo che possiamo introdurre; si
può pensare, per esempio, ad una relazione di proporzionalità non più tra corrente e tensione, bensì tra corrente e derivata della tensione o tra tensione e derivata
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
della cor rente. Essendo l'operatore derivata un operator e lineare, tali caratteristiche saranno anche esse
lineari. Siamo cosí portati ad introdurre due nuove tipi
di bipoli. Il condensatore, in cui tensione e corrente
sono legate dalla relazione:
dv t
it =C
,
(V.2)
dt
e l'induttor e in cui la relazione caratteristica è descritta
da:
di t
vt =L
.
(V.3)
dt
Le r elative costanti di proporzionalità pr endono il
nome, rispettivamente, di capacità del condensatore e
di induttanza, o coefficiente di autoinduzione, dell'induttore. Nel Sistema Internazionale la capacità si misura in farad e l'induttanza in henry e sono entrambe definite positive, se si assume una convenzione dell'utilizzatore sul bipolo.
Si osservi che le caratteristiche dei due nuovi bipoli
lineari introdotti non possono essere descritte, come
accadeva per il resistore, in un piano (i,v). È questo soltanto il riflesso di differenze ben più significative che
vogliamo ora cercare di porre in evidenza.
Nella immagine a lato sono rappresentati gli andamenti di tensione e corrente in un condensatore per un caso
par ticolare: si noti che, essendo la corrente proporzionale alla derivata della tensione, essa è nulla dove la
tensione ha un massimo o un minimo. D’altra parte v,
per definizione, è il lavoro svolto per portare una carica unitaria attraverso il salto di potenziale pari appunto a v. Per "i" cariche al secondo la potenza, istante per
istante, sarà:
2
p = v(t) i(t) = C v dv = 1 C dv .
(V.4)
dt 2
dt
Avendo assunto una convenzione dell'utilizzatore, tale
119
120
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
potenza è una potenza assorbita dal bipolo. Nella successiva immagine è riportato anche l'andamento nel
tempo di tale potenza; come si vede essa è, per alcuni
intervalli di tempo, negativa. Ma una potenza assorbita
negativa corrisponde ad una potenza generata positiva;
questo vuol dire che il condensatore in alcuni intervalli di tempo è in grado di fornire potenza ai suoi morsetti piuttosto che assorbirla. Il comportamento è dunque radicalmente differente da quello del bipolo resistore che invece è solo in grado di assorbire potenza.
Per approfondire ancora l'argomento proviamo a calcolare l'energia fornita al bipolo in un intervallo di
tempo (t0, t0 +T). Si avrà:
t 0 +T
t 0 +T
dv2
dt =
dt
v(t) i(t) dt =1 C
2
w(t) =
t0
t0
(V.5)
2
v t 0 +T
=1C
2
dv2 = 1 C v2 t0 + T - v2 t0 .
2
2
v t0
Se per esempio scegliamo t 0 nell’istante in cui v=0, possiamo affermare che l’energia assorbita fino all’istante t,
dipende soltanto dal valore della tensione ai capi del
condensatore allo stesso istante t ed è, per la precisione, pari a Cv2 /2.
Una conseguenza immediata di tale affermazione è che,
se il condensatore fino all'istante iniziale t0 ha assorbito una energia nulla (v=0), l'energia che verrà assorbita
in un successivo inter vallo (t0,t) sarà sempre positiva
(Cv2/2). In altri termini un condensatore è in grado di
fornire energia ai suoi morsetti, durante un certo intervallo, di tempo soltanto se tale energia è stata assorbita
in un intervallo precedente. Si dice che l'energia è stata
Luciano De Menna
121
Corso di Elettrotecnica
in precedenza immagazzinata dal condensatore e per
questo motivo essa può successivamente essere restituita; nel seguito faremo una dettagliata verifica di tale
affermazione in un caso particolarmente emblematico,
e tr overemo che l'energia che un condensatore può fornire durante la sua scarica è esattamente eguale a quella che ha immagazzinato durante la sua carica. Per ora
limitiamoci a questa osser vazione e notiamo che, non
essendo il condensatore in grado di produrre energia
elettrica, ma soltanto di immagazzinarla, esso va considerato a tutti gli effetti un bipolo passivo; il suo comportamento, però, ci consiglia di modificare la definizione fin qui usata di passività di un bipolo. Diremo
che un bipolo è passivo se l'energia da esso assorbita convenzione dell'utilizzatore, quindi - dall'origine dei
tempi (- ) fino ad un qualsiasi istante t è non negativa:
t
vidt
0.
(V.6)
-
Ragionamenti analoghi per l’induttore ci portano a
concludere che anche in questo caso c’è una energia
immagazzinata, ma questa volta dipendente dalla corrente, e data dalla seguente espressione:
w = 1 L i2 .
2
(V.7)
Il fatto che sia l’induttore che il condensatore abbiano
in generale una energia immagazzinata, ha come conse guenza che essi sono bipoli che, in un certo senso, posseggono una "memoria". In ogni istante il valore di
energia da essi posseduto dipende dalla loro storia pas sata e condizionerà la loro storia futura. È dunque una
memoria a tutti gli effetti e vedremo quanto ciò condizionerà il loro comportamento dinamico.
Pur se con le loro specificità, i bipoli induttore e con densatore, se inseriti in una rete insieme ad altri bipoli,
122
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
devono anche loro sottostare alle leggi di Kirchhof f: la
LKC e la LKT, istante per istante. La conseguenza
immediata di questa constatazione è che tutte le proprietà delle reti che abbiamo potuto dimostrare valide
in regime stazionario basandoci sulle sole leggi di
Kirchhof f, restano valide, istante per istante, anche in
regime dinamico. Proviamo a ricordarle.
In primo luogo si possono scrivere per una rete in regime dinamico n-1 equazioni ai nodi ed l-(n-1) equazioni
alle maglie, oppure n-1 equazioni nelle incognite
potenziali ai nodi, o ancora l-(n-1) equazioni nelle incognite correnti di maglia. Le equazioni conterranno in
alcuni termini delle derivate temporali, e quindi saranno equazioni differenziali ordinarie: ci porremo tra
breve il problema della loro soluzione.
E ancora: si potrà considerare valido il teorema di
Tellegen istante per istante! Dal teorema di Tellegen si
potrà derivare un teorema di reciprocità anch'esso valido istante per istante. Si intuisce anche che tutti i teoremi di equivalenza tra bipoli sarebbero facilmente
estendibili se sapessimo come trattare in maniera adeguata le caratteristiche dinamiche dell'induttore e del
condensatore
Non è invece più valido il teorema di non amplificazione delle tensioni e quindi delle correnti. Il motivo è
facilmente intuibile: come si è visto, in regime dinamico esistono bipoli in grado di immagazzinare e poi
restituire energia; partendo da questa considerazione si
può provare ad individuare, nella dimostrazione che
abbiamo dato di tali teoremi, quale è l’ipotesi che viene
meno quando le grandezze variano nel tempo.
Possiamo dunque costruire una rete di bipoli non più
solo resistivi, e scrivere per tale rete delle relazioni tra
tensioni e correnti dettate dalle leggi di Kirchhoff.
Resta da vedere come da queste equazioni si giunge alla
Luciano De Menna
123
Corso di Elettrotecnica
determinazione delle grandezze elettriche, tensione e
corrente, nel loro andamento temporale. Tratteremo
questo aspetto partendo da casi particolari estremamente semplici fino a giungere ai casi più complessi.
Cominciamo con osservare che non pone alcun problema una rete costituita o da soli induttori o da soli condensatori. È infatti molto facile ricavare regole di equi valenza per i quattro casi indicati negli schemi riportati nelle immagini a lato. Si ha infatti per la serie di due
induttori:
v1 = L1 di1 , v2 = L2 di2 , v = v1 + v2 , i = i1 = i2 ,
dt
dt
di
1
v = v1 + v2 = L1
+ L2 di2 = L1 + L2 di ;
dt
dt
dt
e quindi due induttori in serie sono equivalenti ad un
unico induttore la cui induttanza sia pari alla somma
delle loro induttanze:
L = L1 + L2 ;
(V.8)
Per i condensatori in serie si ha invece:
i1 = C1 dv1 , i2 = C2 dv2 , v = v1 + v2 , i = i1 = i2 ,
dt
dt
dv = dv1 + dv2 = i1 + i2 = i 1 + 1 ;
dt
dt
dt
C1 C2
C1 C2
e quindi la capacità equivalente di due condensatori in
serie si ottiene dalla:
C = C1 C2 .
C1 + C2
(V.9)
Analogamente per gli induttori in parallelo si ha:
v1 = L1 di1 , v2 = L2 di2 , v = v1 = v2 , i = i1 + i2 ,
dt
dt
di = di1 + di2 = v1 + v2 = v 1 + 1 ;
dt dt
dt
L1 L2
L1 L2
e quindi la loro induttanza equivalente è:
124
Luciano De Menna
L = L1 L2 .
L1 + L2
Corso di Elettrotecnica
(V.10)
Ed infine, per il caso dei due condensatori in parallelo
si ottiene:
i1 = C1 dv1 , i2 = C2 dv2 , v = v1 = v2 , i = i1 + i2 ,
dt
dt
dv
1
i = i1 + i2 = C1
+ C2 dv2 = C1 + C2 dv ;
dt
dt
dt
e quindi:
C = C1 + C2 .
(V.11)
I circuiti RC ed RL
Se nella rete sono presenti anche resistori, le cose si
complicano. Consideriamo il caso della serie di un condensatore e di un resistore. Se fossimo in regime stazionario, per la presenza del condensatore che non
consente il passaggio di una corrente stazionaria, la
soluzione sarebbe banale: i=0. Se invece le grandezze
variano nel tempo, diventa necessario precisare quando
il fenomeno ha inizio.
Come abbiamo visto, infatti, i nuovi bipoli introdotti
sono in grado di immagazzinare ener gia; è evidente,
quindi, che il comportamento dell'intero cir cuito sarà
necessariamente condizionato dal livello di energia
posseduto all'istante iniziale. In un caso concreto l' i stante iniziale è chiaramente definito dalla procedura
che si mette in opera per collegare il bipolo. Per esempio, dopo aver collegato il morsetto B, collego il morsetto A nell’istante ecc. ecc. Com'è noto, per effettuare
concr etamente tali collegamenti si utilizzano dispositivi
che chiamiamo interruttori. Conviene a questo punto
introdurre una opportuna idealizzazione di tali disposi-
Luciano De Menna
125
Corso di Elettrotecnica
tivi e, precisamente, un bipolo che abbia la caratteristica di essere del tutto simile ad un circuito aperto prima
di un determinato istante t0 , che viene detto istante di
chiusura dell’interruttore, e viceversa si comporti come
un bipolo corto circuito per tutti gli istanti t
t 0.
Ovviamente, dove è possibile, conviene porre t 0 = 0,
coincidente con l’arbitraria origine dei tempi!
Il bipolo così definito è un interruttore in chiusura; in
maniera del tutto analoga si potrà definire un interrut tore in apertura.
Completiamo, dunque, il circuito precedentemente
preso in considerazione inserendo appunto un bipolo
interruttore ideale - è questo il nome che gli riserveremo anche se spesso il termine ideale verrà sottinteso. I
relativi simboli sono quelli mostrati nelle figure, dove le
frecce indicano chiaramente se si tratta di interruttore
in chiusura o in apertura.
Notiamo che nella rete - molto semplice in verità - non
esistono generatori. Questo non vuol dire che la cor rente in essa sia necessariamente nulla, perché, come
abbiamo visto, in generale c'è dell’energia immagazzinata nel condensatore C all'istante iniziale. Fissiamo il
livello di tale energia assegnando il valore V0 che la ten sione sul condensatore ha all’istante t=0. È questo il
solo parametro che occorre dare in quanto tutta la storia passata del condensatore è racchiusa nella sua energia immagazzinata all’istante considerato; energia che
dipende in maniera univoca dal valore della tensione ai
suoi capi: w=Cv 2 /2.
Scriviamo ora l’equazione che esprime la LKT all’unica maglia presente:
vR + vC = 0,
(V.12)
cioè:
R i + vC = 0,
(V.13)
126
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
dove:
i=C
dvC
,
dt
(V.14)
e quindi:
RC dvC + vC = 0.
dt
(V.15)
In modo naturale siamo pervenuti ad una equazione in
cui compare come incognita la tensione vC sul condensatore. Se ne può ricavare una equivalente in cui l'incognita sia la corrente i; basta derivare una volta la (V.13)
e tenere conto della (V.14). Si ottiene:
R di + i = 0.
(V.16)
dt C
Le equazioni (V.15) e (V.16) sono equivalenti, anche se,
come vedremo subito, l’equazione (V.15) è nella forma
più conveniente, in presenza di un condensatore.
L’equazione (V.15) è una equazione differenziale or dinaria, omogenea, lineare, del primo ordine, a coefficienti costanti nella incognita vC(t). È una equazione
differenziale, perché l'incognita compare con le sue
derivate; ordinaria, perché tali derivate sono appunto
ordinarie e non parziali; omogenea, perché non vi compare un termine indipendente dalla incognita a secondo membro; del primo ordine, perché questo è il massimo ordine di derivazione presente; a coefficienti
costanti, infine, perché i coefficienti dei vari ter mini
non sono funzioni del tempo.
Il caso più generale è quello di una equazione di ordine n del tipo:
dn y
dn-1y
dy
+
a
+ ...... + a1
+ a0 y = 0,
(V.17)
n-1
n
n-1
dx
dx
dx
dove abbiamo scelto di indicare con la lettera x la variabile indipendente e con la y la funzione incognita.
Un classico capitolo dell'Analisi Matematica ci fornisce
Luciano De Menna
127
Corso di Elettrotecnica
una metodologia del tutto generale per la sua soluzione; proviamo a ricordare, sinteticamente, le basi su cui
tale metodologia si fonda.
Cominciamo con l'equazione di primo ordine:
dy
+ a0 y = 0,
dx
(V.18)
e osserviamo che se y 1(x) è una soluzione dell'equazione, allora anche y2(x)=ky1 (x), dove k è una costante
arbitraria, è soluzione della stessa equazione: una semplice conseguenza della linearità che è facile verificar e
sostituendo la nuova soluzione nell'equazione. Questo
vuol dir e che non esiste una unica soluzione, bensì una
famiglia di soluzioni che differiscono per una costante
moltiplicativa. Vedr emo subito che tale famiglia comprende anche tutte le soluzioni possibili.
Possiamo immaginare di rappresentare tutte le soluzioni dell'equazione (V.18) nel piano (x,y) ottenendo cosí
una famiglia di curve. È facile rendersi conto che tali
cur ve non possono intersecarsi; infatti, se due curve
avessero un punto in comune, in quel punto esse
dovrebbero avere in comune anche la derivata prima,
come si deduce immediatamente dalla (V.18) in cui il
valore della funzione in un punto è messo in relazione
univoca con quello della sua derivata nello stesso
punto. Derivando poi l'equazione (V.18) si vede immediatamente che un tale ragionamento è estendibile alle
derivate di ordine superiore: se è nota la derivata prima
in un punto è nota anche la derivata seconda nello stesso punto. Si noti che tutto ciò è possibile in quanto il
coefficiente a 0 è costante!
In definitiva si conclude che se due soluzioni avessero
un punto in comune, nella rappresentazione nel piano
(x,y), esse dovrebbero avere anche tutte le derivate in
comune in quel punto, e quindi dovrebbero essere
128
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
coincidenti.
Le osservazioni fatte portano a due ulteriori conclusioni. In primo luogo, per individuare una sola soluzione
all'interno della famiglia di soluzioni, basta fissare il
valore che essa assume in un punto, diciamo x0 . In
secondo luogo, poiché se è noto il valore in x 0 sono noti
i valori di tutte le derivate nello stesso punto, è possibile esprimere la soluzione cercata sotto forma di uno
sviluppo in serie di potenze di punto iniziale x0:
yx =
0
y(n) x0
n!
x - x0 n .
(V.19)
Nella V.19, per snellire le formule, si è usato il simbolo
y(n) (x) per indicare la derivata ennesima della funzione
y(x). D'altra parte, dall'equazione V.18 si ha:
y(1) x0 = - a0 y x0 ,
(V.20)
y(2) x0 = - a0 y(1) x0 = a20 y x0 ,
e, in generale:
y(n) x0 = - a0 n y x0 .
(V.21)
In conclusione si ottiene:
y x = y x0
0
- a0 (n)
x - x0 n .
n!
(V.22)
Un osser vatore attento avrà riconosciuto che lo sviluppo di cui alla (V.22) è quello dell' esponenziale
y x0 e- a0 x - x 0 .
Abbiamo dunque determinato la soluzione dell'equazione (V.18), attraverso un suo sviluppo in serie; proviamo a ritr ovare lo stesso risultato guardando le cose
da un altro punto di vista. Il nuovo punto di vista ci
sarà molto utile quando vorremo generalizzare il procedimento al caso di equazioni di ordine superiore.
Supponiamo che qualcuno ci abbia suggerito che la
soluzione debba essere del tipo ke x , senza però darci
Luciano De Menna
129
Corso di Elettrotecnica
il valore di . L'ipotesi non è poi tanto strana: la forma
della V.18 ci dice che la sua soluzione deve essere tale
da aver e una derivata che coincida, a meno di una
costante moltiplicativa, con la soluzione stessa; è immediato pensare alla funzione esponenziale!
Volendo determinare
basta sostituire la soluzione
ipotizzata nell'equazione ed ottenere:
ke x + a0 = 0,
(V.23)
cioè = - a0 .
Per determinare il valore di k basterà fissare il valore
della funzione in un punto.
L'equazione + a 0 = 0, prende il nome di equazione
caratteristica della equazione di partenza.
Proviamo ad applicare questa tecnica all'equazione
(V.15) del nostro circuito. In primo luogo l’equazione
caratteristica:
+ 1 = 0,
(V.24)
RC
la cui soluzione è
= - 1/RC. L’integrale generale sarà:
vC t = k e- t RC.
(V.25)
La soluzione dipende da una costante arbitraria; il che
è naturale perché non abbiamo ancora imposto la condizione che il condensatore all'istante iniziale abbia la
tensione V 0 . Imponendo tale condizione si ottiene:
vC t = 0 = k = V0 ,
e quindi la soluzione è:
vC t = V0 e- t RC.
(V.26)
La costante di tempo T = RC, che caratterizza il decadimento della tensione sul condensatore, ha una interessante interpretazione geometrica. Se si considera infatti la tangente alla curva che rappresenta l'andamento di
tale tensione nel punto t = 0, e la si prolunga fino ad
intersecare l'asse dei tempi, si verifica facilmente che
130
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
tale intersezione individua un intervallo di tempo pari
a T. Si noti che, a causa dell'andamento esponenziale, il
valore finale è raggiunto, a rigore, solo dopo un tempo
infinito. In pratica, però, dopo un tempo pari ad alcune volte la costante di tempo, il valore della tensione è
già molto vicino a quello finale; per t= 3T, per esempio,
si ha che:
vc(3T) = V 0 e-3 = 0,05V0 .
Ricordando che i= C dvC/dt si ha anche:
i t = - V0 e- t RC.
R
(V.27)
Se avessimo provato a risolvere la (V.16) invece della
(V.15) avremmo ottenuto, con un procedimento del
tutto simile:
i t = k' e- t RC.
(V.28)
Per individuare completamente la soluzione, abbiamo
bisogno di determinare la nuova costante k'. In analogia a quanto fatto in precedenza k' potrebbe essere
determinata conoscendo il valore della corrente iniziale i(0). Ma apparentemente tale valore non ci è noto!
Confrontando la (V.27) e la (V.28) possiamo dedurre
che deve essere i(0) = k' = - V0 /R. Infatti alla stessa conclusione si arriva se si considera che la LKT, applicata
all'unica maglia della rete, deve essere verificata in
qualsiasi istante, e quindi anche all’istante t=0, cioè:
vC t=0 + vR t=0 = 0,
e quindi:
vC t=0 = V0 = - vR t=0 = - R i t=0 ,
da cui si deduce, appunto, il valore anticipato di i(t=0).
Questo procedimento può essere generalizzato: ogni
volta che occorre conoscere il valore iniziale di una
grandezza che non sia esplicitamente noto, basta appli-
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
care le LK all’istante 0 e ricavare dai valori esplicitamente noti quelli noti solo in maniera implicita.
Siamo ora in grado di effettuare la verifica che avevamo
promesso. La (V.27) ci dice che la rete è sede di una
corrente che, partendo dal valore - V0/R, va a 0 con
legge esponenziale. Dato che la corrente i attraversa
una resistenza R, essa produrrà una dissipazione di
energia che possiamo calcolare:
2
Ri2 dt =
0
V2
= RC 0
2 R
0
0
R V0 e- 2t/RCdt =
R
e- d = 1 CV20 .
2
Cioè l’energia dissipata nel resistore da t=0, inizio del
fenomeno, a t= , è pari a CV 02 /2, a conferma del fatto
che tale energia era effettivamente immagazzinata nel
condensatore all’istante t=0. Ricapitolando, ed introducendo per l’occasione un linguaggio più idoneo, possiamo dire che all’atto della chiusura di un interruttore
in un circuito costituito dalla serie di un resistore e di
un condensatore inizialmente carico alla tensione V0, si
stabilisce una corrente che decade esponenzialmente
con una costante di tempo T=RC. Il fenomeno è transi torio nel senso che per t che tende ad la corrente va
a zero. Anche la tensione V sul condensatore va a zero
con la stessa legge, riducendo di pari passo anche l’energia immagazzinata nel condensatore! La terminologia intr odotta verrà nel seguito applicata a casi sempre
più generali.
Esaminiamo ora un caso simile al precedente in cui al
posto del condensatore sia presente un induttore L; la
storia è la stessa, cambiano solo i protagonisti.
Ci limiteremo ad elencare un cer to numero di passaggi
che dovrebbero essere di per sè chiari!
In primo luogo l'equazione all'unica maglia presente:
131
132
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
vR + vL = 0
(V.29)
con v L = Ldi/dt ed vR = Ri si ha:
Ri + Ldi = 0,
dt
(V.30)
di + R i = 0.
dt L
In conclusione si ha che:
(V.31)
e quindi:
i = k e- Rt/L.
Se i(0) = I0 , se cioè l’induttore aveva una energia
magnetica Wm = L I 0 2/2 immagazzinata all’istante t=0,
o anche, mutuando il linguaggio introdotto per il condensatore, se l’induttore era inizialmente carico alla cor rente I0 , si ha:
i = I0 e- Rt/L.
(V.32)
In termini di vL , tensione sull’induttore, si ha:
vL = L di = -RI0 e- Rt/L,
dt
che poteva anche essere ricavata risolvendo l’equazione
che si ottiene derivando una volta la (V.30):
R vL + dvL = 0.
L
dt
Anche in questo caso la condizione iniziale sulla vL si
può ottenere dalla scrittura della LKT all’istante t=0.
Prima di passare a casi più complessi, in cui nella rete
siano presenti sia bipoli induttori che condensatori, è
opportuno sottolineare che tali bipoli non sono soltanto delle pure astrazioni ma hanno, come era facile
immaginare, delle concrete r ealizzazioni. Un sistema a
due morsetti come quello mostrato nella pagina successiva, per esempio, ha una caratteristica che, in un
largo campo dei parametri, può essere assimilata a
quella di un bipolo condensatore. Il sistema è costitui-
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
to da due piastre piane (di area S), realizzate in un
materiale buon conduttore, separate da uno strato di
materiale isolante di spessore d. La corrente viene portata alle due piastre attraverso due conduttori, che supporremo molto sottili, che giocano il ruolo dei morsetti del bipolo. La costante di proporzionalità tra corrente e derivata della tensione, che abbiamo chiamato
capacità del condensatore, in questo caso specifico, è
data da:
C= S ,
d
dove è la così detta costante dielettrica caratteristica
del mezzo interposto tra le piastre, che prendono anche
il nome di armature del condensatore. Naturalmente
per giustificare queste affermazioni, e per comprenderne anche i limiti di validità, bisognerebbe valicare quei
confini che fin dall'inizio ci siamo proposti. Ci limitiamo ad osservare che se teniamo conto della definizione
di intensità della corrente elettrica - quantità di carica
trasportata nell'unità di tempo -, ed integriamo la caratteristica del condensatore, di cui alla (V.2), a partire da
un istante in cui il condensatore è scarico (v=0), otte niamo:
t
Q=
t
i dt = C
0
0
dvC dt = C V.
dt
Poiché nelle nostre ipotesi il mezzo interposto è un isolante perfetto, la carica portata dalla corrente entrante
nel morsetto superiore, per esempio, non può che fermarsi sulla corrispondente armatura del condensatore;
un ragionamento analogo porta a concludere che sull'altra ar matura si dovrà ritrovare una carica eguale in
modulo ma di segno opposto. La capacità C è dunque
anche il rapporto tra carica depositata sulle armature
del condensatore e differenza di potenziale tra le armature stesse. Ricordiamo infine che nel Sistema
133
134
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Internazionale la capacità si misura in farad.
In maniera del tutto analoga un sistema costituito da N
spire di un filo conduttore avvolte su di un supporto
cilindrico, in modo tale che l'avvolgimento nel suo
complesso abbia lunghezza l e sezione S, presenta ai
suoi morsetti, entro buoni limiti di approssimazione,
una caratteristica del tipo illustrato nella (V.3).
L'induttanza, o coefficiente di autoinduzione, in questo caso è data da:
SN2
L=
,
l
dove è la cosí detta permeabilità magnetica del materiale di cui è costituito il supporto. L'induttanza, nel
Sistema Internazionale, si misura in henry. Anche qui
non possiamo spingerci oltre nell'analisi, ma rimandiamo alla appendice A2 per un approfondimento.
Esercizi
Per cominciare a sviluppar e un certa pratica anche con
le reti contenenti i nuovi bipoli, proviamo a scrivere l'equazione risolvente della rete con resistore ed induttore in serie, scegliendo, però, questa volta come incognita la tensione sull'induttore e non la corrente nello
stesso; determiniamo anche l'opportuna condizione
iniziale.
Il circuito RLC serie
A questo punto possiamo provare a mettere insieme i
due nuovi bipoli in un circuito RLC serie come a lato
mostrato.
L'equazione all'unica maglia presente fornisce:
vR + vC + vL = 0.
(V.33)
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Cioè:
R i + vC + L di = 0,
(V.34)
dt
dove i = C dvC/dt .
Per eliminare vC dalle due equazioni precedenti si può
derivare la prima. Si ottiene:
2
R di + dvC + L d i = 0,
(V.35)
dt
dt
dt2
e tenendo conto della caratteristica del condensatore:
2
R di + i + L d i = 0.
dt C
dt2
Riordinando, infine, si ha:
d2 i + R di + i = 0.
(V.36)
dt2 L dt LC
Se invece, nella (V.34), si sostituisce alla corrente i la
sua espressione in funzione della tensione sul condensatore si ottiene l'equivalente equazione in cui compare come incognita la tensione vC invece della corrente i:
d2 vc + R dvc + vc = 0.
(V.37)
L dt
LC
dt2
La (V.36) e la (V.37) sono equazioni differenziali ordinarie, lineari, omogenee, di secondo ordine a coefficienti costanti. Ragionamenti del tutto analoghi a quelli esposti per il caso dell'equazione di primo ordine ci
porterebbero a costruire una soluzione sotto forma di
sviluppo in serie di potenze. Più semplicemente possiamo generalizzar e il metodo dell'equazione caratteristica. Per una equazione di secondo ordine:
d2 y
dy
+ a1
+ a0 y = 0,
(V.38)
dx
dx2
supponendo che la soluzione sia di tipo esponenziale,
e x , e sostituendo tale espressione nell'equazione, si
ottiene una equazione caratteristica nella forma:
2+a
+ a0 = 0.
(V.39)
1
135
136
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Esistono dunque due valori di che rendono l'esponenziale e x soluzione della nostra equazione, e tali
valori sono le radici dell'equazione caratteristica (V.39).
Per la linearità dell'equazione, e fatta eccezione per il
caso in cui le radici della (V.39) sono coincidenti - caso
che esamineremo più avanti -, possiamo affermare che
una famiglia di soluzioni dell'equazione V.38 è data da:
y = k1 e 1x + k2 e 2x ,
(V.40)
dove 1 ed 2 sono le radici della (V.39) e k 1 e k2 due
costanti arbitrarie; per convincersene basta sostituire
tale espressione nell'equazione e verificare che essa è
soddisfatta per qualsiasi valore delle costanti. D'altra
parte, come per il caso dell'equazione di primo ordine,
la struttura stessa dell'equazione (V.38) ci dice che, se
sono noti in un punto il valore della funzione incognita e quello della sua derivata prima, sono noti anche i
valori assunti nello stesso punto da tutte le derivate, di
ogni ordine, della funzione stessa; il valor e della derivata seconda è, infatti, direttamente valutabile dall'equazione, mentre quello delle derivate di ordine superiore si ottiene facilmente derivando di volta in volta
l'equazione stessa. Ma la conoscenza delle derivate di
ogni ordine in un punto implica, salvo condizioni
molto particolari che in questo contesto possiamo
escludere, la conoscenza della funzione. D'altra parte la
famiglia di soluzioni descritta dalla (V.40), dipendendo
da due costanti arbitrarie, è in grado di fornirci una
soluzione che si adatti, appunto, a valori assegnati della
funzione e della sua derivata in un punto: basta determinare gli opportuni valori delle costanti. Di conseguenza tale famiglia di soluzioni costituisce anche la
totalità delle soluzioni della (V.38), e ne rappresenta
quindi l'integrale generale.
Resta ora da esaminare i vari casi che la natura dell'equazione caratteristica può presentare.
Luciano De Menna
137
Corso di Elettrotecnica
Le soluzioni dell'equazione (V.40) sono:
- a1 ± a21 - 4a0
.
(V.41)
1,2=
2
A seconda del valore del discriminate, = (a 1)2 -4a0 , le
radici possono essere reali e distinte, r eali e coincidenti ed immaginarie coniugate; quest'ultima affermazione
è legata al fatto, che nel nostro caso, i coefficienti della
(V.40) sono, per ipotesi, reali. Qualche problema può
sorgere nel caso di radici coincidenti in quanto apparentemente la tecnica utilizzata non sembra portarci
alla conoscenza di due soluzioni distinte, necessarie per
costr uire l'integrale generale della (V.38). Faremo vedere, invece, che anche nel caso di radici coincidenti è
possibile costruire un'altra soluzione dell'equazione in
esame utilizzando un semplice ed intuitivo processo al
limite.
Partiamo dal caso in cui le radici siano distinte e
poniamo, per comodità, 1 =
ed 2 =
+
Osser viamo che, in virtù della linearità dell'equazione,
una qualsiasi combinazione lineare di soluzioni è anco ra una soluzione; tale sarà dunque anche la particolare
combinazione lineare descritta dalla espressione
seguente:
+
x-e x
yx =e
.
(V.41)
Facendo tendere
a zero, e quindi 2 ad 1 , per
ritrovare la condizione di radici coincidenti, si vede
chiaramente che tale nuova soluzione tende alla derivata di e x rispetto ad
la (V.41), infatti, altro non è che
il rapporto incrementale della funzione e x interpretata come funzione di e non di x:
y x = lim e
0
+
x
-e
x
= de
d
x
= xe x . (V.42)
Abbiamo in pratica dimostrato che, nel caso di radici
138
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
reali e coincidenti, due soluzioni distinte sono:
y1 x = e x ed y2 x = xe x .
(V.43)
Torniamo ora all'equazione del circuito RLC che ha
originato questa digressione; l’equazione caratteristica
è:
2+R
+ 1 = 0.
(V.44)
L
LC
con radici:
1,2
=
-R ±
L
R
L
2
- 4
LC
2
,
(V.45)
che naturalmente sono reali e distinte, reali e coincidenti o immaginarie coniugate a seconda che
=
(R/L)2 - 4/LC è maggiore di zero, nullo o negativo,
rispettivamente. Conviene porre:
1 ,
T = 2L
ed
0=
R
LC
si ha allora:
= 4 1 - 20 T2 ,
T2
e quindi le diverse condizioni su possono scriversi in
ter mini di 0T.
Analizziamo i diversi casi uno per uno:
1)
0T
< 1;
caso aperiodico.
In questo caso le radici 1 ed 2 dell’equazione caratteristica sono reali e distinte:
1
1,
ed
1=2=T1
T2
con
T
T
T1 =
; T2 =
.
2
1 - 1 - 0T
1 + 1 - 0T 2
La soluzione sarà, dunque, del tipo:
Luciano De Menna
139
Corso di Elettrotecnica
vc t = k1 e-
t T1
+ k2 e-
t T2 ,
(V.46)
dove, evidentemente, k1 e k2 sono da determinarsi uti lizzando le condizioni iniziali. Infatti, essendo presenti
nel circuito due elementi a memoria, per determinarne
univocamente l'evoluzione occorrerà conoscer e il loro
livello energetico all'istante iniziale; in altri termini
occorrerà conoscere il valore della tensione sul condensatore, diciamo V0 , e quello della cor rente nell'induttore, diciamo I 0, all'istante iniziale. La prima condizione ci fornisce facilmente:
vc 0 = k1 + k2 = V0 .
(V.47)
Come abbiamo visto, per determinare una unica soluzione dalla famiglia di soluzioni descritta dalla (V.46), è
necessario conoscere anche il valore della sua derivata
nell'istante iniziale, mentre apparentemente la seconda
condizione ci fornisce solo il valore della corrente nello
stesso istante. È facile però, da quest'ultimo, determinare il valore cercato. Dalla caratteristica del condensator e si ha infatti:
i 0 = C dvc
= - k1 - k2 = I0 .
(V.48)
dt t = 0
T1 T2
A questo punto, dalla V.47 e dalla V.48, le costanti k 1 e
k 2 possono essere calcolate:
k1 = V0 T1 + T1 T2 I0 ;
T1 - T2 T1 - T2 C
(V.49)
V
T
T
T
I
0
2
1
2
0
k2 = .
T1 - T2 T1 - T2 C
Nelle immagini a lato sono rappresentati alcuni andamenti tipici per il caso in questione; essi corrispondono
a valori diversi delle costanti R, L e C, e quindi a valori diversi delle due costanti di tempo T 1 e T 2 , ed a valori diversi delle condizioni iniziali.
Risolvendo l'equazione (V.36) invece della (V.37) si
sarebbe potuto ottenere l'andamento della corrente i.
140
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Naturalmente, avendo l'equazione gli stessi coefficienti, l'equazione caratteristica coincide con la precedente.
È questo un fatto generale: in un circuito lineare tutte
le grandezze evolvono con le stesse costanti di tempo.
Variano, naturalmente, le espressioni delle costanti k1 e
k2 .
La corrente i può anche essere ottenuta direttamente
dalla espressione della tensione vc sfruttando la caratteristica del condensatore. Si ottiene:
i t = C dvc = C - k1 e- t T1 - k2 e- t T2 . (V.50)
dt
T1
T2
2)
0T
= 1;
caso critico.
In tal caso R = 2 L/C e le radici sono r eali e coincidenti. Un tale valore di R prende il nome di resistenza
critica, per gli assegnati valori di L e C, in quanto separa due regimi che, come vedremo, sono sostanzialmente differenti. L’integrale generale, per quanto detto in
precedenza, è:
vc(t) = k1 e- t T + k2 t e- t T.
(V.51)
In modo simile al precedente si ricavano le seguenti
espressioni:
k1 = V0 ; k2 = I0 + V0 .
(V.52)
C T
Nelle immagini a lato sono rappresentati alcuni casi
tipici per diversi valori dei parametri.
Naturalmente anche in questo caso l'andamento della
corrente può essere ottenuto o risolvendo l'equazione
(V.36) e imponendo le condizioni iniziali - che daranno
luogo ad altre espressioni per le costanti - oppure direttamente derivando la tensione sul condensatore, come
è mostrato nella prima immagine della pagina seguente.
Luciano De Menna
3)
0T
141
Corso di Elettrotecnica
> 1;
caso oscillatorio.
In questo caso, essendo il discriminante dell'equazione
caratteristica negativo, le soluzioni di tale equazione
sono complesse. Esse sono anche coniugate in quanto i
coefficienti dell'equazione sono reali. Avremo dunque:
ed 2 = R - j .
1= R+j
La soluzione generale è, dunque, una combinazione
lineare con due costanti arbitrarie delle funzioni:
y1 = e
R
+j
t
ed y2 = e
R
-j
t
.
D’altra parte, invece di tali funzioni è possibile prende re in considerazione le funzioni:
y1 + y2
ej t + e- j t
=e R
= e Rcos t;
2
2
(V.53)
j t
y1 - y2
- e- j t
R e
R
=e
= e sen t.
2j
2j
Esse infatti, essendo combinazioni lineari di soluzioni,
sono ancora soluzioni della nostra equazione. Si ottiene quindi:
vc t = e
R
k1 cos t + k2 cos t ;
(V.55)
che può anche scriversi:
vc t = K e
R
sen
t+
;
(V.56)
dove le costanti K e giocano lo stesso ruolo che in
precedenza giocavano le costanti k 1 e k 2.
In termini delle grandezze definite in precedenza, risulta:
1 ;
= 0 1- 1 ;
(V.57)
R=2 2
T
T
0
Con qualche passaggio si ricavano facilmente anche le
costanti K e
Si ha infatti, per le condizioni iniziali:
142
Luciano De Menna
vc(0) = V0 = K sen
i(0) = I0 = C K
Corso di Elettrotecnica
,
sen
R
+
cos
,
(V.58)
e quindi:
= arctg
K=
CV0
;
I0 - RCV0
V0
(V.59)
.
CV0
sen arctg
I0 - RCV0
Nella immagine a lato è mostrato un tipico andamento
di tale soluzione: si tratta di una oscillazione smorzata
secondo la costante di tempo T. Nella figura, per evidenziar e l'andamento smorzato, sono tracciati anche
gli andamenti dei due esponenziali Ke- t T e - Ke- t T .
La presenza di oscillazioni rende particolarmente evidente la differenza tra i due regimi: quello in cui la resistenza è maggiore di quella critica, caratterizzato da
andamenti esponenziali decrescenti, e quello in cui la
resistenza è inferiore a quella critica, in cui tensioni e
correnti nel circuito possono oscillare. Ciò spiega
anche il nome resistenza critica dato a quel particolare
valore di R che separa i due regimi.
Nella ipotesi R=0 il fattore di smorzamento è nullo e la
soluzione ha quindi la forma di una oscillazione permanente della tensione e della corrente:
vc(t) = K sen 0 t + ,
(V.60)
i(t) = C 0 K cos 0 t + .
Si noti che cor rente e tensione non raggiungono i
rispettivi massimi contemporaneamente: esse sono sfa sate tra di loro di un angolo di /2. In particolare il
massimo della corrente viene assunto prima di quello
della tensione; si dice in tal caso che la corrente antici -
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
pa di /2 la tensione. Se avessimo calcolato e tracciato
anche la tensione sull'induttore - che è proporzionale
alla derivata della corrente - avremmo trovato che la
corrente ritarda di /2 rispetto alla tensione sull'induttore. Di questo argomento parleremo più diffusamente
in seguito.
Per comprendere da cosa abbia origine un tale fenomeno oscillatorio permanente, proviamo a calcolare le
ener gie WL ed WC, immagazzinate in ogni istante
rispettivamente nell'induttore e nel condensatore. Si
ha:
2
WC(t) = 1 C v2c (t) = 1 C K sen 0 t +
,
2
2
(V.61)
2
2
WL(t) = 1 L i (t) = 1 L C 0 K cos 0 t +
.
2
2
Tenendo conto dell'espressione di 0 , l'energia immagazzinata nell'induttore può anche essere scritta:
2
2
WL(t) = 1 L i (t) = 1 C K cos 0 t +
.
2
2
A questo punto, per la ben nota proprietà delle funzioni seno e coseno, la somma, istante per istante, della
ener gia immagazzinata nel condensatore e di quella
immagazzinata nell'induttore risulta essere pari ad una
costante:
2
WC(t) + WL(t) = 1 CK .
(V.62)
2
Come ben si vede dal grafico riportato in figura, quando l'energia W L cresce la WC decr esce in modo che la
loro somma resti sempre costante. Se si tiene conto,
poi, della espressione di K for nita dalle (V.58) nel caso
in cui R = 0 (e cioè R=0):
vc(0) = V0 = K sen ,
(V.63)
i(0) = I0 = C K 0 cos ,
si trova facilmente:
143
144
Luciano De Menna
2
K =
2
I0
2
2
0
Corso di Elettrotecnica
2
2
2
+ V0 = L I0 + V0 .
C
(V.64)
C
Dalla (V.62) si ricava quindi:
2
2
WC(t) + WL(t) = 1 CV0 + 1 LI0 ;
(V.65)
2
2
e cioè la somma delle due energie è sempre pari all'energia inizialmente immagazzinata nel condensatore e
nell'induttore all'istante t = 0. Se ne conclude che l’oscillazione permanente è proprio dovuta allo scambio
di ener gia senza perdite, per la mancanza di una qualsiasi forma di dissipazione, tra condensatore ed induttor e.
Nel caso in cui sia presente una causa dissipativa, una
resistenza R, l'energia totale non può mantenersi
costante. È interessante verificare, con una semplice
integrazione, come è mostrato graficamente nella
immagine a lato, che la quantità di cui gradualmente,
istante per istante, diminuisce l'energia totale presente
nel circuito è proprio pari all'energia che viene dissipata nel r esistore; quest'ultima si calcola facilmente integrando la potenza istantanea dissipata, pari ad R i2 .
Esercizi
Si provi a ricavare le espressioni delle costanti di integrazione per la soluzione dell'equazione (V.36), nei tre
casi, smorzato, critico e subcritico, quando le condizioni iniziali siano I 0 e V0 . Si verifichi la congruità con i
risultati già trovati.
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
I bipoli in regime dinamico: bipoli attivi.
I circuiti in regime dinamico che abbiamo fino ad ora
studiato contenevano esclusivamente bipoli passivi. La
dinamica che tali circuiti mostrano è dovuta alla presenza di una certa ener gia inizialmente immagazzinata
nei componenti con memoria.
Vogliamo ora introdurre, anche in regime dinamico, i
bipoli attivi, cominciando da un generatore di tensione
costante E 0, che inseriamo nel circuito RC serie già studiato nel paragrafo precedente.
Applicando la LKT alla unica maglia presente si ottiene:
R i + vc = E0 ,
che, facendo uso della caratteristica del condensatore,
diventa:
R C dvc + vc = E0 .
dt
Infine, riordinando:
dvc + vc = E0 .
(V.66)
dt R C R C
L'equazione (V.66) è ancora una equazione differenziale, ordinaria, a coefficienti costanti, ma a differenza
delle precedenti, non è più omogenea per la presenza
di un termine assegnato, o noto, a secondo membro. Ci
viene in aiuto a questo punto, ancora una volta, la teoria delle equazioni dif ferenziali ordinarie a coefficienti
costanti che ci assicura che l'integrale generale dell’equazione può porsi nella forma:
vc t = vc0 t + vcp t ,
(V.67)
dove v c0(t) è la soluzione, già trovata, dell’equazione
che si ottiene annullando il termine noto - l'equazione
omogenea associata a quella data - e vcp (t) è una solu-
145
146
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
zione particolare dell’equazione di partenza o equazione completa. È facile convincersi della veridicità di
questa affermazione se si osserva che la (V.67) è certamente soluzione della nostra equazione, per definizione. Inoltre essa dipende dal giusto numero di costanti
arbitrarie - nel nostro caso una sola perché l'equazione
è del primo ordine - richiesto per poter descrivere tutte
le soluzioni dell'equazione e, quindi, l'integrale generale; le costanti infatti sono contenute nell'integrale generale della omogenea associata v c0 (t):
vc0 t = k1 e- t RC.
(V.68)
La vco è dunque già nota; bisogna determinare una
soluzione particolar e vcp(t). La scelta più semplice è
evidentemente quella di supporre che vcp (t) in realtà
non dipenda dal tempo e sia una costante; in tal caso,
annullando la derivata, l’equazione (V.66) diventa:
vcp E0
=
,
RC RC
e quindi vcp(t) = E 0. L'integrale generale è, dunque:
vc t = k1 e- t RC + E0 .
(V.69)
A questo punto bisogna imporre la condizione iniziale
vc(0) = V0, ottenendo cosí il valore di k 1 = V0 - E 0 .
In conclusione la soluzione cercata è:
vc t = V0 - E0 e- t RC + E0 ,
(V.70)
vc t = E0 1 - e- t RC + V0 e- t RC .
(V.71)
o anche:
Le due forme (V.70) e (V.71) della soluzione, pur essendo del tutto equivalenti, denotano, come vedremo
meglio in seguito, un diverso punto di vista.
Supponiamo per un momento che sia V0 = 0; in tal caso
la (V.71) afferma che la tensione, partendo dal valore
vc(0) = 0 raggiunge gradualmente, con legge esponen-
Luciano De Menna
147
Corso di Elettrotecnica
ziale di costante di tempo T=RC, un valore pari ad E 0.
Tale valore è in realtà assunto solo dopo un tempo infinito. D’altra parte data la notevole rapidità di decadimento dell’esponenziale, già dopo un intervallo di
tempo pari a qualche costante di tempo, il valore di
vc(t) è molto prossimo al suo valore finale. P er
t=3T=3RC, per esempio, si ha:
vc 3T E0 1 - 1
0.95 E0 .
20
È il fenomeno della carica del condensatore!
Uno sguardo alla (V.71) ci dice anche che, se il con densatore è inizialmente carico, alla evoluzione precedentemente descritta si sovrappone un fenomeno di
scarica, sempre con legge esponenziale, che porta
all'annullamento della carica inizialmente presente sul
condensatore; il valore finale, o di regime, che si raggiunge, è sempre lo stesso, ma l’evoluzione può cambiar e anche notevolmente. Si pensi, per esempio, al
caso par ticolare V0 = E0 ; la (V.71) afferma che non si ha
nessuna dinamica; il valor e di vc è già pari a E 0 e a tale
valore rimane fermo. A conferma della particolarità di
tale “dinamica” si calcoli la corrente i:
i t = C dvc = E0 - V0 e- t RC.
dt
R
(V.72)
Per V0 = E 0, i(t) =0. Non c’è alcuna corrente nel circuito! Questi risultati ci inducono ad una descrizione
del fenomeno che, anche se poco formale, ha il pregio
di farne comprendere la sua reale natura. Il generatore
"vuole imporre" la sua tensione E0 sul condensatore;
quest’ultimo, d’altra parte, ha la sua V 0 "da rispettare".
Ne consegue un conflitto tra le due esigenze. Il condensatore, però, è destinato a soccombere in quanto ha
a sua disposizione soltanto una energia limitata (C
V0/2), mentre il generatore ideale E0 può mettere in
gioco quanta energia desidera. L’unico caso in cui
148
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
ovviamente il conflitto non si crea è quello in cui c’è
convergenza tra la "volontà" del generatore e le "esigenze storiche" del condensatore, e cioè quando
E 0=V 0 . Questa modo di vedere le cose ci consente di
introdurre un linguaggio specialistico adeguato ed efficace. La soluzione v co(t) viene detta evoluzione libera
del circuito, a partir e naturalmente da determinate
condizioni iniziali imposte dalla storia precedente. È,
per così dire, la tendenza naturale del circuito, che
dipende dalla sua natura, appunto, - i parametri R e C
ed il modo in cui sono collegati - e dalla sua storia, congelata nell’energia inizialmente presente in esso, e quindi in V 0.
Il generatore E 0 viene invece detto forzamento e rappresenta un fattore che dall’esterno cerca di imporre
determinate condizioni di funzionamento a regime. In
questo senso, mentre la vco viene detta risposta in evo luzione libera, la vc della (V.71) pr ende anche il nome di
risposta in evoluzione forzata o più semplicemente
risposta forzata. A questo punto dovrebbe essere chiara
la differenza di punto di vista implicita nelle due formulazioni (V.70) e (V.71): mentre nella seconda sono
evidenziate la risposta in evoluzione libera e quella che
dipende dalla presenza del forzamento, nella prima è
messa in evidenza la soluzione di regime E 0 - quella che
verrà comunque raggiunta, anche se dopo un tempo
infinitamente lungo - e quella parte della soluzione che,
invece, tende ad annullarsi. A quest' ultima parte
potremmo dare il nome di termine transitorio, anche se
tale nome è spesso usato per indicare genericamente
tutto il fenomeno, descritto dalle V.70 e V.71, nel suo
complesso.
Il circuito RL serie alimentato con un generatore ideale di tensione costante si risolve agevolmente con ragionamenti analoghi. L'equazione alla maglia è:
Luciano De Menna
149
Corso di Elettrotecnica
di + R i = E0 ,
dt L
L
(V.73)
e la soluzione:
E0 1 - e- Rt L + I e- Rt L.
(V.74)
0
R
La corrente, dunque, tende al suo valore di regime E/R
che è indipendente da L. Come il condensatore è equi valente ad un bipolo a vuoto in corrente continua, perché non consente il passaggio di una corrente che non
sia variabile, così l’induttor e si comporta come un
bipolo corto circuito, nelle stesse condizioni. Un facile
calcolo mostrerebbe che, nel caso del circuito in evoluzione libera, l’energia totale dissipata nel resistore è
proprio pari a quella inizialmente immagazzinata nell'induttore.
Passiamo ora ad esaminare il caso del circuito RLC
serie in presenza di un forzamento costante.
L'equazione nella incognita v c è:
2
d vc
2
dv
v
E
+R c+ c = 0 .
L dt LC LC
(V.75)
dt
Anche in questo caso essendo l'integrale generale della
omogenea associata già noto, occorrerà determinare
soltanto la soluzione particolare. Essendo il forzamento costante, è possibile utilizzare la stessa tecnica usata
per l'equazione del primo ordine: si assume che la soluzione particolare sia una costante e si ricava immediatamente che v cp = E 0. Si noti che in questo modo si è
automaticamente scelto come soluzione particolare
quella di regime; infatti, essendo il for zamento costante, il regime verrà raggiunto quando tensioni e correnti
nel circuito non varieranno più nel tempo.
Utilizzeremo questa tecnica in seguito anche quando il
forzamento non è più costante nel tempo; naturalmente la soluzione di regime non potrà essere costante ma
dovrà ricalcare l'andamento del forzamento.
150
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Come nel caso dell'evoluzione libera avremo i tre casi
possibili:
1) 0T < 1; caso aperiodico, o smorzato, o sopracritico:
vc t = k1 e2)
0T
t T1
+ k2 e-
t T2
+ E0 .
= 1; caso critico:
vc(t) = k1 e- t T + k2 t e- t T + E0 .
3)
0T
(V.76)
(V.77)
> 1; caso oscillatorio, o subcritico:
vc t = K e
R
sen
t+
+ E0 .
(V.78)
Evidentemente, le costanti k1 , k2 , K e sono da determinarsi utilizzando le condizioni iniziali.
Nelle immagini a lato della pagina precedente sono
riportati andamenti tipici per i tre casi. Si noti come la
tensione ai morsetti del condensatore può, in alcuni
istanti, essere maggiore della tensione dell'unico generatore presente; nulla di strano, dato che il teorema di
non amplificazione delle tensioni limita la sua validità
al regime stazionario.
Esercizi
L'equazione nella incognita i per il circuito RLC serie
si ottiene facilmente se si deriva una volta l'equazione
alla maglia:
vc t + vR t + vL t = 0.
(V.79)
Si ottiene:
dvc + dvR + dvL = 0.
dt
dt
dt
Utilizzando poi le caratteristiche dei bipolo si ha:
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
d2 i + R di + i = 0.
(V.80)
dt2 L dt LC
La soluzione sarà del tipo - supponiamo di essere nel
caso aperiodico:
i t = k1 e- t T1 + k2 e- t T2 .
Sviluppiamo in dettaglio anche il calcolo delle costanti
di integrazione. Una condizione iniziale è posta diretta mente sulla corrente, per cui si ottiene facilmente:
i 0 = k1 + k2 = I0 .
L'altra condizione è invece posta sulla tensione ai morsetti del condensatore, mentre occorrerebbe conoscere
il valore della derivata della corrente all'istante iniziale.
Per risolver e il problema si procede nel modo descritto: si par ticolarizza l'equazione (V.79), che esprime la
validità delle leggi di Kirchhoff, all'istante t =0:
vc 0 + R i 0 + L di
= 0.
(V.81)
dt t = 0
Nella equazione (V.81) l'unico termine incognito è
quello contenente la derivata della corrente valutata
all'istante iniziale. Si ottiene dunque:
di
= - V0 + R I0 .
dt t = 0
L
Derivando poi l'espressione della soluzione tr ovata per
la i(t), si ottiene facilmente la seconda equazione che
consente la determinazione delle costanti di integrazione:
di
= - k1 - k2 = - V0 + R I0 .
dt t = 0
T1 T2
L
Come ulteriore esercizio, si provi a calcolare l'espressione delle costanti di integrazione, nei tre regimi possibili, per il circuito RLC serie con forzamento in tensione costante, sia nel caso che l'incognita sia la tensione v c sia in quello in cui l'incognita sia la corrente i.
151
152
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
Generatori ideali non costanti
Fino a questo punto abbiamo preso in considerazione
esclusivamente generatori di tensione e di corrente
costanti. Essendo ora il nostro modello in grado di
descrivere anche regimi dinamici, possiamo prendere
in considerazione anche generatori di tensione e di corrente variabili nel tempo. Si tratterà sempre di generatori ideali nel senso che si assume che l'andamento nel
tempo della grandezza erogata - nel seguito parleremo
di forma d'onda della tensione o della corrente - non
dipenda in alcun modo dalle condizioni in cui il generatore lavora. In altri termini la forma d'onda della tensione di un generatore ideale di tensione non dipende
dal carico a cui tale generatore è collegato, e analogamente per il generatore di corrente. In fondo era proprio questo l'aspetto ideale anche nei generatori in
regime continuo!
In un primo momento limiteremo la nostra attenzione
ai generatori in grado di fornire forme d'onda periodiche, ed in particolare sinusoidali. I motivi per questa
scelta sono diversi e proveremo ad illustrarne alcuni
brevemente più avanti. Per ora ricordiamo qualche
definizione che ci sarà necessaria nel seguito.
Una variazione temporale che si ripeta identicamente
dopo un certo intervallo di tempo T viene detta perio dica; l'intervallo T viene detto periodo della grandezza
periodica.
Nel periodo T la funzione periodica a(t) assumerà un
massimo che indicheremo con il simbolo AM.
Definir emo ancora, per a(t), il valore medio in un perio do:
T
Am = 1
T
a t dt.
0
(V.82)
Luciano De Menna
153
Corso di Elettrotecnica
In generale il valor medio di una funzione periodica
non è nullo: l'area sottesa dalla funzione nella sua parte
positiva non è eguale alla corrispondente area della sua
parte negativa. La condizione di valor medio nullo
individua una particolare classe di funzioni periodiche
per le quali potrà essere utile definire il valor medio in
mezzo semiperiodo:
T2
Am/2 = 2
T
a t dt.
(V.83)
0
Più interessante è in questi casi il valore efficace definito come la radice quadrata del valore quadratico
medio:
T
A=
1
T
a2 t dt .
(V.84)
0
Particolari funzioni periodiche a valor medio nullo
sono le ben note funzioni sinusoidali e cosinusoidali:
a t = AM sen t + = AM cos t + - 2 .
È facile verificare che il valore efficace di una grandezza sinusoidale è pari al suo valor massimo diviso la radice di 2 e che il suo valor medio in un semiperiodo è pari
al valor massimo moltiplicato per 2/ . L'argomento
della funzione sinusoidale viene detto fase istantanea
della funzione stessa mentre prende il nome di fase
iniziale.
Per le funzione periodiche si può dimostrare una
importante proprietà che prende il nome di sviluppo
in serie di Fourier. Tale proprietà consente di porre una
qualsiasi funzione periodica a(t) come somma di infiniti termini del tipo A nsin(n t) ed Bncos(n t), con n
intero ed = 2 /T = frequenza angolare, o spesso, per
brevità, solo frequenza. In realtà si preferisce conservare al termine frequenza il significato di inverso del
154
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
periodo per cui f=1/T= /2 ; da cui il nome di frequenza angolare per .
Se si pone infatti, per una generica funzione periodica
a(t):
a t = A0 +
An sen n t + Bn cos n t , (V.85)
1
si prova facilmente che:
T
A0 = 1
T
a t dt .
(V.86)
0
Il coefficiente A0 è, dunque, il valore medio della grandezza periodica. Analogamente si dimostra che:
T
An = 2
T
Bn = 2
T
a t sin n t dt;
0
T
(V.87)
a t cos n t dt.
0
Nella dimostrazione basta far uso delle seguenti proprietà delle funzioni seno e coseno (con n m):
T
T
sin n t cos n t dt =
sin n t cos m t dt=
0
0
T
=
T
sin n t sin m t dt =
0
0
T
1
T
T
sin n t 2 dt = 1
0
cos n t cos m t dt = 0;
T
0
cos n t 2 dt = 1 .
2
In altri termini si fa uso del fatto che le funzioni sinusoidali hanno valor medio nullo, valore quadratico
medio pari ad 1/2, e sono, come si dice, ortogonali tra
di loro, intendendo con questo il fatto che il valor
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
medio del prodotto di due funzioni sinusoidali di frequenza, m /2 ed n /2 , con m n, è nullo.
Nell'immagine a lato sono rappresentate le prime tre
componenti - che prendono il nome di armoniche della
funzione sviluppata - di una funzione ad andamento
"rettangolare"; nella seconda immagine le tre armoni che sono sommate e confrontate con la funzione originaria. Come si vede, anche se lo sviluppo di Fourier
prevede un numero di ar moniche infinito, spesso, utilizzando solo poche armoniche si ottiene una approssimazione soddisfacente della funzione sviluppata.
Le funzioni sinusoidali godono, dunque, della notevole proprietà di poter rappresentare un grandissimo
numero di funzioni diverse; non sono le sole in realtà,
ma cer tamente le più comunemente usate.
Infatti se siamo in regime lineare, se cioè è valido il
principio di sovrapposizione degli effetti, una volta
noto il comportamento di un sistema quando in esso
tutte le grandezze variano con legge sinusoidale, è possibile ricavare il comportamento del sistema, utilizzando appunto la sovrapposizione degli effetti, in condizioni di variabilità temporale diverse.
È questo uno dei motivi che, come avevamo anticipato,
ci spinge a focalizzare la nostra attenzione sui generatori ideali di tipo sinusoidale. Un altro motivo, altrettanto importante, è, potremmo dire, di carattere essenzialmente pratico. Infatti sarebbe facile far vedere, utilizzando la legge di Faraday-Neumann, che il modo più
naturale, in linea di principio, per costruire un generatore di f.e.m. è quello di far ruotare una spira conduttrice in un campo magnetico. Se il campo è uniforme, e
la velocità angolare di rotazione della spira è costante,
la forza elettromotrice che ne scaturisce è di forma
d'onda sinusoidale. Naturalmente, le cose sono molto
più complesse di quanto una descrizione così sintetica
possa far immaginare; ma, al fondo, è questo uno dei
155
156
Luciano De Menna
Corso di Elettrotecnica
principali motivi per cui la produzione, e poi la trasmissione e la distribuzione, della energia elettrica si
realizza in regime sinusoidale. È ragionevole, quindi,
anche per questo motivo, dedicare a tali regimi un'attenzione particolare.
Limitiamoci, dunque, a queste considerazioni di principio e interessiamoci invece di come l’introduzione dei
generatori variabili nel tempo, modifica il modello
delle reti elettriche. Ancora una volta, chi desiderasse
un approfondimento dell'argomento può leggere l'appendice A3.
Consideriamo, per esempio, il circuito RL serie che
abbiamo già preso in considerazione, e supponiamo
che esso sia alimentato da un generatore di tensione
sinusoidale e(t)= EM sen ( t + ) - si noti il simbolo per
il generatore ideale di tensione sinusoidale. È necessario assumere una fase iniziale
0 in quanto l’origine
dei tempi è già stata fissata quando si è assunto che l'inter ruttore viene chiuso a t=0.
Scriviamo l’equazione che esprime la LKT all'unica
maglia presente. Si ha:
vL + vR = e t .
(V.88)
Tenendo conto delle caratteristiche dei bipoli presenti
si ottiene:
di + R i = e t = 1 EMsen t + .
(V.89)
dt L
L L
La soluzione dell’omogenea associata sarà ancora del
tipo k1 e-R t/L, ma non possiamo più supporre che la
soluzione particolare sia costante, in quanto il forzamento non è costante. Possiamo, però, utilizzare lo
stesso modo di ragionare che ci ha portato a trovare la
soluzione particolare quando il generatore di tensione
era costante. In fondo nel caso del forzamento costante abbiamo cercato una soluzione particolar e che avesse le stesse caratteristiche del forzamento, e cioè
Luciano De Menna
157
Corso di Elettrotecnica
costante. Nel caso del forzamento sinusoidale possiamo cercare una soluzione particolare che sia dello stesso tipo, cioè sinusoidale.
Posto dunque i(t)=IM sen( t - ), si ha:
di = IMsen t - + 2 ,
dt
e quindi, sostituendo nella (V.89):
IM sen t - + 2 + R sen t =
L
(V.90)
= 1 E sen t + .
L M
Ricordando ora che se:
AMsen t +
+ BMsen t +
= CMsen t + ,
si ha:
C2M = A2M + B2M + 2AMBMcos
-
,
e:
= arctg
AMsen + BMsen
,
AMcos + BMcos
si ottiene in definitiva:
IM =
R2
EM
,
+ L2
(V.91)
e:
L .
(V.92)
R
Come si vede, anche per un caso così elementare, i calcoli possono essere laboriosi. Fortunatamente c'è come
evitarli. Prima di esaminare questo aspetto concludiamo il discorso sulla soluzione completa dell'equazione
(V.89). Essa è del tipo:
i t =ke- Rt L + IMsen t - .
(V.93)
= arctg
A questo punto si determina il valore della costante di
integrazione imponendo la condizione iniziale:
158
Luciano De Menna
i 0 = k - IMsen
Corso di Elettrotecnica
= I0 .
(V.94)
La soluzione (V.93) è ancora una volta somma di un
ter mine che tende a zero ed un termine che, invece, si
ripete periodicamente senza mai scomparire: la soluzione a regime permanente. A questo punto ci appare
logico interpretare anche il regime stazionario, da cui
abbiamo preso le mosse, come un regime permanente
in cui i generatori, stazionari appunto, abbiano preso il
sopravvento, e si sia persa traccia di un termine transitorio ormai estintosi nel tempo.
Resta il fatto che il calcolo della soluzione permanente
in regime sinusoidale è più complicato sul piano operativo. Nel seguito mostreremo come sia possibile
costruire una metodologia che ci consenta di trattare il
regime sinusoidale alla stessa maniera in cui abbiamo
trattato il regime continuo. Sarà cosí possibile estendere le proprietà ed i teoremi delle reti già studiati anche
al nuovo regime.
Esercizi
Per il circuito nell'immagine a lato si scriva l'equazione
risolvente nella corrente iL. Occorrerà scrivere le equazioni che esprimono la validità delle leggi di Kirchhoff
alla rete e, quindi, con qualche elaborazione, giungere
ad una unica equazione nella incognita iL.