Eserciziario ITIS seconda parte

Compiti di Matematica
per le Vacanze Estive
Scopo di questo eserciziario è quello di permetterti un ripasso di alcuni argomenti che
hai sicuramente studiato nei tre anni delle scuole medie e che sono considerati elementi
indispensabili per proseguire i tuoi studi di Matematica. Con i tuoi quaderni e i libri che hai
utilizzato in questi anni, puoi rivedere i concetti, le proprietà e le regole delle operazioni che di
volta in volta ti vengono richiesti per affrontare la soluzione degli esercizi. Puoi anche ripassare
le regole fondamentali guardando le video-lezioni segnalate al fondo di questi esercizi, a
cui potrai accedere andando sul sito http://videolezioni.matematicamente.it/ .
Ti consigliamo inoltre di utilizzare un quaderno, da tenere sempre perfettamente in
ordine, dove passare in bella copia gli esercizi svolti e annotare quelli che non sei riuscito a
completare o di cui non hai trovato il risultato esatto. Nelle prime settimane di lezione verrà
svolta una correzione di gran parte degli esercizi proposti e quindi potrai risolvere i dubbi che ti
sono venuti durante il ripasso. Questa è una buona premessa per iniziare bene l’anno scolastico
e per una buona riuscita dei tuoi studi.
Buon lavoro!
Gli insegnanti di Matematica dell’I.I.S.”J.C.MAXWELL”
I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
RECUPERO
LE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONI
IN N
1
COMPLETA
Semplifica la seguente espressione:
{[10 ⭈ (2 ⫹ 2)] ⬊ [16 ⫺ (3 ⭈ 2)]} ⫹ 3 ⭈ (4 ⫺ 2).
{[10 ⭈ (2 ⫹ 2)] ⬊ [16 ⫺ (3 ⭈ 2)]} ⫹ 3 ⭈ (4 ⫺ 2) ⫽
⫽ {[10 ⭈ (…)] ⬊ [16 ⫺ (…)]} ⫹ 3 ⭈ (…) ⫽
Esegui le operazioni nelle parentesi tonde.
⫽ {[…] ⬊ […]} ⫹ 6 ⫽
Esegui le operazioni nelle parentesi quadre.
⫽ {… ⬊ …} ⫹ 6 ⫽
Esegui le operazioni nelle parentesi graffe
⫽…⫹6⫽…
2
e scrivi il risultato
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione:
{[(24 ⫺ 6 ⭈ 3) ⫹ 5 ⭈ 3] ⬊ (9 ⭈ 2 ⫺ 15) ⫺ 3 ⫹ 10} ⬊ 2.
{[(24 ⫺ 6 ⭈ 3) ⫹ 5 ⭈ 3] ⬊ (9 ⭈ 2 ⫺ 15) ⫺ 3 ⫹ 10} ⬊ 2 ⫽
⫽ {[(24 ⫺ …) ⫹ 15] ⬊ (18 ⫺ …) ⫺ 3 ⫹ 10} ⬊ 2 ⫽
⫽ {[… ⫹ 15] ⬊ … ⫺ 3 ⫹ 10} ⬊ 2 ⫽
⫽ {… ⬊ … ⫺ 3 ⫹ 10} ⬊ 2 ⫽
⫽ {… ⫺ 3 ⫹ 10} ⬊ 2 ⫽
⫽…⬊2⫽
Semplifica le seguenti espressioni.
3
[4 ⭈ (7 ⫺ 3) ⫹ 5 ⭈ (6 ⫺ 2)] ⫺ 3 ⭈ 10
[6]
7
[(12 ⬊ 3) ⭈ 4 ⫺ 2 ⭈ (3 ⫹ 1)] ⫺ 4 ⫹ 3
[7]
4
[(2 ⭈ 4 ⫹ 7) ⫹ (2 ⫹ 8 ⬊ 2) ⭈ 5] ⫺ (6 ⫹ 2) ⭈ 5
[5]
8
12 ⬊ (3 ⭈ 4) ⫹ (2 ⫹ 3) ⭈ 5 ⫺ [6 ⭈ (7 ⫹ 1 ⫺ 5)]
[8]
5
(12 ⫹ 8 ⫺ 5) ⬊ 5 ⫺ (6 ⫹ 4 ⫺ 9 ⫹ 1)
[1]
9
{[(13 ⫹ 8 ⫺ 6) ⬊ 3] ⫺ (7 ⫹ 3 ⫺ 8 ⫹ 1)} ⭈ 2
[4]
6
{[2 ⭈ (4 ⫹ 8)] ⬊ [16 ⫺ 4 ⭈ 2]} ⫹ 3 ⭈ (5 ⫺ 2)
[12]
10 [5 ⭈ (5 ⭈ 4 ⫺ 4 ⭈ 4) ⫺9] ⫺ {4 ⭈ (32 ⬊ 8 ⫹ 4) ⬊ [(6 ⭈ 4) ⬊ 12] ⫺ 4 ⭈ 4}
11 [3 ⭈ (6 ⫹ 2)] ⫹ [(13 ⫹ 7 ⫹ 10) ⬊ 2] ⫺ 12 ⫺ [2 ⭈ (10 ⫹ 2)] ⫺ 3
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[0]
1
I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
RECUPERO
DALLE PAROLE ALLE ESPRESSIONI IN N
1
COMPLETA
Traduci in espressione la frase: «Aggiungi b al doppio di a e poi sottrai il triplo di b».
Calcola il valore dell’espressione per a ⫽ 4 e b ⫽ 2.
«doppio di a»: 2 ⭈ a «triplo di b»: … b
2a … b … b
2⭈…⫹…⫺3⭈…⫽
8 ⫹ … ⫺ 6 ⫽ 4.
2
Traduci le parti della frase.
Scrivi l’espressione.
Sostituisci i valori di a e b.
Esegui i calcoli.
PROVA TU
Traduci in espressione la frase: «Sottrai b al triplo di a e poi aggiungi il quadrato di b».
Calcola il valore dell’espressione per a ⫽ 2 e b ⫽ 3.
triplo di a : …
quadrato di b : …
…a…b⫹…
3 ⭈ … ⫺ 3 ⫹ … ⫽ … ⫺ 3 ⫹ … ⫽ 12.
Traduci in espressioni le seguenti frasi e calcola quanto valgono per i valori di a e b indicati a fianco.
3
«Al triplo di a aggiungi il doppio della differenza tra b e a.»
a ⫽ 4,
b ⫽ 7.
[18]
4
«Al quintuplo di a sottrai la somma tra il doppio di b e a.»
a ⫽ 3,
b ⫽ 2.
[8]
5
«Moltiplica il doppio di a per la somma di a e b e poi sottrai il triplo di b.»
a ⫽ 3,
b ⫽ 2.
[24]
6
«Dividi la somma di a e b per il doppio di a.»
a ⫽ 1,
b ⫽ 5.
[3]
7
«Moltiplica la somma di a e b per il doppio di a e poi aggiungi il triplo di b.»
a ⫽ 2,
b ⫽ 1.
[15]
8
«Dividi il doppio di a per la differenza tra a e b.»
a ⫽ 3,
b ⫽ 1.
[3]
9
«Moltiplica la differenza tra a e b per il doppio della loro somma.»
a ⫽ 4,
b ⫽ 3.
[14]
10 «Sottrai il doppio di b dal prodotto del quadruplo di a con b.»
a ⫽ 3,
b ⫽ 5.
[50]
11 «Dividi la somma di a e del doppio di b per la differenza tra a e b.»
a ⫽ 4,
b ⫽ 2.
[4]
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2
I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
ESERCIZI IN PIÙ
LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN N
COMPLETA le seguenti uguaglianze.
.......
1
70 5. ;
(2 3) 2 (2 2 ). . . . . ;
(2 . . . . . ) 2 . . . . . 2 7.
2
3 4 4 3 (. ..... ) 1;
(1 6). . . . . 5 0;
(15 . .......) 2 ⬊ 15 15 5.
3
....... 3
(73) 4 ⬊ 7.
4
34 ⬊3. . . . . 34;
. ...... 3 63;
......
77;
(18 ⬊ 3)3 183 ⬊ . . . . . ;
(3 . . . . . ) 4 3 24.
.......
(2452)2 2. . . . . 4. 5. . . . . .
Applicando le proprietà delle potenze, calcola il valore delle seguenti espressioni.
5
[(86 164) 643] ⬊ (29 45) ⬊ (87 44)
[16]
6
(94 67) ⬊ 545 (36 183) ⬊ (94 33)
[28]
7
(125 244) ⬊ (723 84) 63 93 ⬊ 542
[108]
8
[272 ⬊ (22 20)5]10 ⬊ 94 (23 3)4 ⬊ (273 ⬊ 94 2)3
[14]
9
(204 203) ⬊ 203 {242 ⬊ 32 (5 24)2 ⬊ [(74)2 ⬊ 76 9]2} (50 22 1)3 52
[27]
10 {649 ⬊ [(43 8 27)2 ⬊ 83]} ⬊ (45 24)2 22
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3
I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
RECUPERO
ESPRESSIONI E PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN N
1
COMPLETA
Semplifica la seguente espressione:
2
2
4
2
2
4
(23) ⬊ (22) ⭈ [(23) ⬊ (26)2] 5.
(23) ⬊ (22) ⭈ [(23) ⬊ (26)2] 5 ⫽
6
…
…
⫽ 2 ⬊ 2 ⭈ [2 ⬊ 2…] ⫽
…
⫽ 2 ⬊ [2…] ⫽
⫽…⬊1⫽…
2
Applica la proprietà della potenza di potenza.
Applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base.
Sviluppa le potenze ed esegui la moltiplicazione.
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione:
6
4
2
2
6
4
2
2
[(2 ⬊ 24) ⫺ 3] ⭈ [(6 ⭈ 63) ⬊ (6 ⭈ 63)] ⬊ (2 ⫺ 1).
[(2 ⬊ 24) ⫺ 3] ⭈ [(6 ⭈ 63) ⬊ (6 ⭈ 63)] ⬊ (2 ⫺ 1) ⫽
…
…
⫽ [2 ⫺ 3] ⭈ [6 ⬊ 6…] ⬊ (4 ⫺ 1) ⫽
…
⫽ [… ⫺ 3] ⭈ 6 ⬊ 3 ⫽
⫽…⭈…⬊3⫽ …
Semplifica le seguenti espressioni.
3
2
2
3
(33) ⬊ (33) ⭈ [(36) ⬊ (33)4]
4
{[(23) ⭈ (22)3] ⬊ (23)3} ⬊ (2 ⭈ 2)2
5
{[(34) ⬊ (35)4] ⭈ (34)2} ⬊ [3 ⭈ (32)3]
6
6 ⭈ 4 ⬊ (3 ⭈ 82) ⬊ 84
7
[2 ⭈6 ⬊ (3 ⭈ 42)] ⬊ 64
8
[(6 ⭈ 2 ⬊ 43)] ⭈ [(23) ⬊ (22)3] ⬊ 33
9
[(5 ⬊ 54) ⭈ (5 ⬊ 52)] ⬊ 512 ⫹ 15
4
[27]
3
[2]
5
6
6
6
2
6
3
[81]
2
3
[16]
3
8
4
[3]
2
[8]
7
0
3
2
[6]
3
10 (4 ⫺ 43) ⭈ 4 ⫹ 4 ⬊ 4 ⫺ (5 ⬊ 52)
5
2
6
2
[3]
2
11 [(3 ⬊ 34) ⭈ 32] ⭈ [(4 ⬊ 44) ⭈ 4] ⬊ (3 ⭈ 42)3
5
3
3
3
3
12 (2 ⬊ 42) ⬊ 2 ⭈ [(6 ⬊ 32) ⭈ 25] ⬊ (22) ⭈ 20
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4
I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
RECUPERO
IL MASSIMO COMUNE DIVISORE
E IL MINIMO COMUNE MULTIPLO
1
COMPLETA
Determina il M.C.D. e il m.c.m. di 9, 36, 96.
9 3
3 3
1
36
18
9
3
1
2
…
…
3
96
48
24
12
6
3
1
2
2
…
…
…
3
Scomponi in fattori primi.
9 ⫽ 3…
…
…
36 ⫽ 2 ⭈ 3 M.C.D.(9, 36, 96) ⫽ …
…
…
…
96 ⫽ 2 ⭈ 3 m.c.m.(9, 36, 96) ⫽ 2 ⭈ 3 ⫽ …
2
PROVA TU
Determina il M.C.D. e il m.c.m. fra 18, 24, 112.
18 2
9 3
3 …
1
24
12
6
3
1
2
2
…
…
112
56
28
14
7
1
2
2
…
…
7
18 ⫽ 2…⭈ 3…
24 ⫽ 2… ⭈ 3
112 ⫽ 2 ⭈ 7
M.C.D. (18, 24, 112) ⫽ …
m.c.m.(18,24,112) ⫽ 2… ⭈ 3… ⭈ …
Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti numeri naturali.
3
5; 35; 21.
[M.C.D.: 1; m.c.m.: 3 ⭈ 5 ⭈ 7 ⫽ 105]
4
40; 24; 8.
[M.C.D.: 2 ⫽ 8; m.c.m.: 2 ⭈ 3 ⭈ 5 ⫽ 120]
5
18; 36; 45.
[M.C.D.: 9; m.c.m.: 180]
6
15; 21; 25.
[M.C.D.: 1; m.c.m.: 525]
7
9; 15; 63.
[M.C.D.: 3; m.c.m.: 315]
8
16; 24; 36.
[M.C.D.: 4; m.c.m.: 144]
9
8; 24; 48.
[M.C.D.: 8; m.c.m.: 48]
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3
3
5
I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
RECUPERO
LE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONI
IN Z
1
COMPLETA
Semplifica la seguente espressione:
(3 ⭈ 5) ⫺ {3 ⫺ [8 ⫺ (4 ⫹ 2) ⫺ 7] ⭈ (13 ⫺ 7) ⫹ (⫺ 13 ⫹ 2)}.
(3 ⭈ 5) ⫺ {3 ⫺ [8 ⫺ (4 ⫹ 2) ⫺ 7] ⭈ (13 ⫺ 7) ⫹ (⫺ 13 ⫹ 2)} ⫽
⫽ … ⫺ {3 ⫺ [8 ⫺ … ⫺ 7] ⭈ (…) ⫹ (⫺ 11)} ⫽
Esegui le operazioni nelle parentesi tonde.
⫽ … ⫺ {3 ⫺ [⫺ 5](…) ⫺ 11} ⫽
Esegui le operazioni nelle parentesi quadre.
⫽ … ⫺ {3 ⫺ (⫺ …) ⫺ 11} ⫽
Moltiplica il numero in parentesi quadra con quello
in parentesi tonda.
⫽ … ⫺ {3 ⫹ … ⫺ 11} ⫽
⫽ … ⫺ {…} ⫽ ⫺ 7.
2
Applica la regola dei segni.
Esegui le operazioni nella parentesi graffa e scrivi il risultato.
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione:
[7 ⫺ (⫺ 12 ⫹ 7 ⫺ 6 ⫹ 8) ⫺ (⫺ 3 ⫹ 7 ⫹ 4)] ⭈ (⫺ 14 ⫹ 6) ⬊ (⫺ 4).
[7 ⫺ (⫺ 12 ⫹ 7 ⫺ 6 ⫹ 8) ⫺ (⫺ 3 ⫹ 7 ⫹ 4)] ⭈ (⫺ 14 ⫹ 6) ⬊ (⫺ 4) ⫽
⫽ [7 ⫺ (…) ⫺ (…)] ⭈ (…) ⬊ (⫺ 4) ⫽
⫽ […] ⭈ (…) ⬊ (⫺ 4) ⫽
⫽ (…) ⬊ (⫺ 4) ⫽
⫽…
Semplifica le seguenti espressioni.
3
[(⫺ 2) ⭈ (⫺ 3) ⫹ (6 ⫹ 3) ⬊ (⫺ 3) ⫺ 2]
4
[2 ⭈ (⫺ 4) ⫺ 16 ⬊ (⫺ 8) ⫹ 7] ⭈ (⫺ 1) ⫺ 5
[⫺ 6]
5
{[(⫺ 10 ⫹ 4) ⬊ (⫺ 3) ⫺ 3] ⭈ (⫺ 8)} ⬊ (⫺ 6 ⫹ 4)
[⫺ 4]
6
16 ⫹ [(⫺ 8 ⫹ 6) ⭈ 2 ⫹ 16 ⬊ 2] ⭈ (⫺ 2 ⫺ 1)
7
(⫺ 5 ⫹ 1) ⭈ (5 ⫺ 6) ⫹ 2 ⫺ 3 ⭈ [2 ⫺ 9 ⬊ (⫺ 2 ⫺ 1)]
[⫺ 9]
8
(⫺ 18) ⬊ 3 ⫺ 8 ⫹ 12 ⬊ (⫺ 6) ⫺ (7 ⭈ 3 ⫺ 10) ⫹ 8 ⭈ 2
[⫺ 11]
9
(⫺4 ⫺ 1) ⭈ (4 ⫺ 5) ⫹ 2 ⫺ 3 ⭈ [2 ⫺ 8 ⬊ (⫺ 3 ⫺ 1)]
[⫺ 5]
[1]
[4]
10 {[(⫺ 10 ⫹ 6) ⬊ (⫺ 2) ⫺ 2] ⬊ 8} ⬊ 15 ⫹ [(⫺ 4 ⫹ 6) ⭈ 2 ⫹ (15 ⬊ 3)] ⬊ (⫺ 3)
[⫺ 3]
11 3 ⭈ 4 ⫹ {3 ⫺ [2 ⫺ (1 ⫺ 3) ⫹ 7] ⭈ (10 ⫺ 7) ⫺ (⫺ 13 ⫹ 3)}
[⫺ 8]
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6
I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
RECUPERO
LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN Z
1
COMPLETA
Semplifica la seguente espressione:
2
3
2
2
3
2
[(⫺ 3)2] ⬊ {[(⫺ 3)2] ⭈ [(⫺ 3)2] ⬊ [(⫺ 3)4]2}.
[(⫺ 3)2] ⬊ {[(⫺ 3)2] ⭈ [(⫺ 3)2] ⬊ [(⫺ 3)4]2} ⫽
4
…
…
⫽ (⫺3) ⬊ {(⫺3) ⭈ (⫺ 3) ⬊ (⫺ 3)…} ⫽
4
…
⫽ (⫺ 3) ⬊ {(⫺ 3) ⬊ (⫺ 3) } ⫽
4
…
…
⫽ (⫺ 3) ⬊ (⫺ 3) ⫽
Applica la proprietà della potenza di potenza.
Applica la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base.
Applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base due volte.
…
⫽ (⫺ 3) ⫽ ⫹ 9.
2
Calcola la potenza.
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione, applicando le proprietà delle potenze:
2
4
2
4
…
…
[(⫺ 21)3] ⬊ [3 ⭈ (⫺ 3)2] ⬊ (⫺ 7)5.
5
[(⫺ 21)3] ⬊ [3 ⭈ (⫺ 3)2] ⬊ (⫺ 7) ⫽
5
⫽ (⫺ 21) ⬊ 3 ⬊ (⫺ 7) ⫽
…
5
⫽ (…) ⬊ (⫺ 7) ⫽
⫽⫺…
Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.
6
4
3
[(⫺ 12) ⬊ (4)6] ⬊ (⫺ 3)21
4
[(⫺ 16) ⬊ 84] ⬊ (⫺ 2)22
5
[21 ⬊ (⫺ 7)4] ⬊ (⫺ 3)9
6
{[(64) ⬊ (6)4] ⭈ 64}0
7
(4 ⬊ 42) ⫺ (⫺ 3) ⬊ ( ⫺ 1 ⫺ 2)2
8
(⫺ 32) ⬊ [(⫺ 12 ⬊ 4) ⭈ (⫺ 3)4] ⫺ 30
4
6
4
3
2
3
3
3
3
3
2
3
2
2
3
3
2
2
4
[⫺ 1]
3
[3]
2
2
3
14 (4 ⫺ 5) ⫺ [(⫺ 3) ⭈ (⫺ 2) ⬊ 18] ⬊ (4 ⫺ 2) [ ⫺ 3]
16 (2 ⬊ 22) ⭈ (⫺ 5 ⫺ 5 ⭈ 3 ⫹ 13 ⫹ 3) ⫹ (2 ⭈ 32) ⬊ (⫺ 6)2
3
2
[16]
13 (6 ⫹ 2) ⬊ 4 ⫺ (⫺ 2 ⫺ 1) ⬊ (⫺ 3)
15 [(18 ⫺ 7 ⭈ 2) ⬊ 42] ⬊ (⫺ 3 ⫺ 1) ⫺ 1
4
2
3
[8]
3
3
12 [(⫺ 2) ⭈ (⫺ 2) ⬊ (⫺ 2)4] ⫺ (3 ⫺ 3 ⫺ 1) [⫺ 13]
[19]
2
0
[⫺ 2]
11 [(⫺ 4)2] ⭈ [(⫺ 4)2] ⬊ (⫺ 44)2
[1]
3
4
2
[⫺ 27]
2
3
{[2 ⭈ (10 ⫺ 8)2] ⬊ (6 ⫺ 4)3} ⬊ (⫺ 2)
10 {[(⫺ 4)3] ⬊ [(⫺ 4)2]3} ⫺ {[(⫺ 6) ⬊ (⫺ 3)3]} [⫺ 7]
[4]
3
3
9
[⫺ 27]
4
2
17 [(⫺ 4) ⭈ (⫺ 4) ⬊ (⫺ 4)6] ⫺ (2 ⫺ 2 ⫺ 9) ⭈ (4 ⬊ 4 ⫺ 20)
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[⫺ 7]
[⫺ 4]
7
I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
DALLE IMMAGINI ALLE ESPRESSIONI
1
ESERCIZIO GUIDA
Esprimiamo con un’espressione letterale la misura dell’area del rettangolo ABCD.
AFED è un quadrato;
a indica la misura di FB;
b indica la misura di BC.
La misura dell’area del rettangolo ABCD è data
dalla somma di quelle delle due figure:
2
● quadrato AFED, di area b ;
● rettangolo FBCE, di area 2ab .
L’espressione richiesta è: b
ab.
⫹
D
C
E
b
A
F
B
a
Per ognuna delle figure seguenti scrivi l’espressione relativa alla misura di ciò che è indicato.
2
Lunghezza del segmento AB.
7
Lunghezza del segmento CB.
b
u
A
A
3
a
B
Lunghezza del segmento AC.
x
8
B
C
Area del quadrato ABCD.
y
A
C
Lunghezza del segmento AD.
b
c
X
a
X
4
B
C
X
D
C
D
Lunghezza del segmento AC.
X
A
A
B
9
C
Lunghezza del segmento AC.
a
C
X
D
b
A
X
B
Area del rettangolo ABCD.
C
=
6
X
y
b
=
a
=
5
B
X
A
a =
B
A
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B
8
I NUMERI RAZIONALI
LE ESPRESSIONI CONTENENTI
SOMME ALGEBRICHE
1
COMPLETA
Semplifica la seguente espressione:
1ᎏ ⫺ 3ᎏ ⫹
1
1ᎏ ⫹ 1
⫺3⫹ 2⫹ ᎏ
ᎏ
2 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ⫺ ᎏ
ᎏᎏ .
3
2
3
2
3
冤 冢
冣
冥 冢
冣
1ᎏ ⫺ 3ᎏ ⫹
1
1ᎏ ⫹ 1
⫺3⫹ 2⫹ ᎏ
ᎏ
2 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ⫺ ᎏ
ᎏᎏ ⫽
3
2
3
2
3
2⫺…⫹…
1
⫺3⫹…
⫽ ⫺ 3 ⫹ 2 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽
6
3
6
…
1
…
⫽ ⫺ 3 ⫹ 2 ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ⫺ ᎏᎏ ⫽
6
3
6
…
ᎏ⫺ 1
1ᎏ
⫽⫺3⫹ 2⫹ᎏ
ᎏᎏ ⫹ ᎏ ⫽
6
3
6
12 ⫹ … ⫺ …
1ᎏ
⫽ ⫺ 3 ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏ ⫽
6
6
…
ᎏ ⫹ 1ᎏ
⫽⫺3⫹ᎏ
ᎏ ⫽
6
6
⫺ 18 ⫹ … ⫹ 1
⫽ ᎏᎏ ⫽
6
…
ᎏ
⫽⫺ᎏ ⫽
6
1
⫽ ⫺ ᎏᎏ.
3
冤 冢
冣 冥 冢
冤
冥 冢
冤 冢 冣 冥 冢 冣
冤
冥
冤
冥
冣
冣
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Esegui le operazioni tra frazioni
nelle parentesi tonde.
Togli le parentesi tonde cambiando
eventualmente i segni.
Esegui le operazioni tra frazioni
nella parentesi quadra.
Esegui le operazioni tra frazioni.
9
I NUMERI RAZIONALI
2
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione:
冢ᎏ21ᎏ ⫺ ᎏ34ᎏ冣 ⫹ 冢ᎏ21ᎏ ⫹ ᎏ31ᎏ冣 ⫺ 冤冢⫺ ᎏ11ᎏ2 ⫹ ᎏ45ᎏ冣 ⫺ 冢ᎏ21ᎏ ⫹ ᎏ61ᎏ冣冥.
冢ᎏ21ᎏ ⫺ ᎏ34ᎏ冣 ⫹ 冢ᎏ21ᎏ ⫹ ᎏ31ᎏ冣 ⫺ 冤冢⫺ ᎏ11ᎏ2 ⫹ ᎏ45ᎏ冣 ⫺ 冢ᎏ21ᎏ ⫹ ᎏ61ᎏ冣冥 ⫽
3⫺…
3⫹…
⫺1⫹…
3⫹…
⫽ 冢ᎏᎏ冣 ⫹ 冢ᎏᎏ冣 ⫺ 冤冢ᎏᎏ冣 ⫺ 冢ᎏᎏ冣冥 ⫽
6
6
12
6
⫺…
…
…
4
⫽ 冢ᎏᎏ冣 ⫹ 冢⫹ ᎏᎏ冣 ⫺ 冤冢ᎏᎏ冣 ⫺ 冢ᎏᎏ冣冥 ⫽
6
6
12
6
…
4
…
…
⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ 冤ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ冥 ⫽
6
6
12
6
…
…
…⫺8
⫽ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ 冤ᎏᎏ冥 ⫽
6
6
12
…
…
⫽ ⫺ 冤ᎏᎏ冥 ⫽ ⫺ ᎏᎏ .
12
2
Semplifica le seguenti espressioni.
3
4
5
6
7
8
9
10
11
冢3 ⫹ ᎏ23ᎏ冣 ⫺ 冢ᎏ32ᎏ ⫺ ᎏ49ᎏ冣
1ᎏ ⫹
5
3ᎏ ⫺ 1
7
1 ⫺ ᎏᎏ冣 ⫹ 冢ᎏ
ᎏᎏ冣冥 ⫺ ᎏᎏ
ᎏ
2 冤冢
6
2
4
3
1
7 ⫺ 3
4ᎏ ⫹ 1ᎏ
1
冢ᎏ12ᎏ ⫺ ᎏ1ᎏ0 冣 ⫹ 冢⫺ ᎏ5 ᎏ20 ᎏ4ᎏ冣 ⫺ ᎏ2ᎏ
冢⫺ ᎏ34ᎏ ⫹ 6冣 ⫺ 冢ᎏ29ᎏ ⫺ ᎏ58ᎏ冣 ⫺ ᎏ14ᎏ
冤2 ⫹ 冢⫺ 1 ⫹ ᎏ12ᎏ冣 ⫹ 冢⫺ 1 ⫺ ᎏ34ᎏ冣冥 ⫹ 1
冤2 ⫹ 冢ᎏ12ᎏ ⫺ 1冣 ⫺ 冢⫺ ᎏ14ᎏ ⫹ 2冣冥 ⫺ 1
7
冦⫺ 冤⫺ ᎏ34ᎏ⫹ 冢⫺ ᎏ56ᎏ ⫺ ᎏ18ᎏ冣冥 ⫺ ᎏ12ᎏ冧
1
4
3
2
1
7
冢ᎏ4ᎏ ⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⫺ 冢ᎏ2ᎏ ⫹ 1冣 ⫺ ᎏ2ᎏ0 ⫹ 冢ᎏ5ᎏ ⫹ ᎏ5ᎏ冣
冢⫺ 2 ⫹ ᎏ21ᎏ冣 ⫹ 冤⫺ 2 ⫹ 冢ᎏ43ᎏ ⫺ ᎏ81ᎏ冣 ⫹ 冢5 ⫹ ᎏ27ᎏ冣冥
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冤ᎏ417ᎏ8 冥
冤⫺ ᎏ15ᎏ2 冥
冤⫺ ᎏ45ᎏ冥
冤ᎏ89ᎏ冥
冤ᎏ34ᎏ冥
冤⫺ ᎏ54ᎏ冥
冤ᎏ89ᎏ冥
3
冤⫺ ᎏ5ᎏ冥
冤ᎏ48ᎏ5 冥
10
I NUMERI RAZIONALI
LE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONI
1
COMPLETA
Semplifica la seguente espressione:
ᎏ ⫹ 6ᎏ ⬊
18
ᎏ
⫺ ᎏᎏ
5
10
冤ᎏ31
冢
冣冥 ⬊ 冤冢ᎏ11ᎏ4 ⫺ ᎏ76ᎏ ⫹ 1冣 ⭈ 冢ᎏ14ᎏ5 ⫺ ᎏ34ᎏ ⫹ ᎏ52ᎏ冣冥.
冤ᎏ31ᎏ ⫹ ᎏ56ᎏ ⬊ 冢⫺ ᎏ11ᎏ08 冣冥 ⬊ 冤冢ᎏ11ᎏ4 ⫺ ᎏ76ᎏ ⫹ 1冣 ⭈ 冢ᎏ14ᎏ5 ⫺ ᎏ34ᎏ ⫹ ᎏ52ᎏ冣冥 ⫽
1ᎏ ⫹ 6ᎏ ⭈
…
1 ⫺ … ⫹ 14
4⫺…⫹6
⫽ 冤ᎏ
ᎏ 冢⫺ ᎏᎏ冣冥 ⬊ 冤冢ᎏᎏ冣 ⭈ 冢ᎏᎏ冣冥 ⫽ Esegui le operazioni nelle parentesi tonde e
3
5
…
14
15
semplifica in croce la prima moltiplicazione.
1ᎏ ⫺ …
…
10
Esegui la prima moltiplicazione e semplifica
⫽ 冤ᎏ
ᎏᎏ冥 ⬊ 冤冢ᎏᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏᎏ冣冥 ⫽
3
…
14
15
in croce nella seconda parentesi quadra.
1⫺…
…
⫽ 冤ᎏᎏ冥 ⬊ 冤⫺ ᎏᎏ冥 ⫽
Esegui la sottrazione nella prima parentesi quadra.
3
…
…
ᎏ⬊
…
…
ᎏ⭈ ⫺
7
⫺ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏ ( 7) ⫽ ⫹ ᎏᎏ.
⫽⫺ᎏ
Trasforma la divisione in moltiplicazione.
3 冢 …冣
3
3
2
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione:
3
冦冤冢ᎏ43ᎏ ⫺ ᎏ81ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ18ᎏ3 ⫺ 1冣 ⫹ 4冥 ⬊ 冢⫺ ᎏ25ᎏ冣 ⫹ 4冧 ⭈ ᎏ23ᎏ ⫺ ᎏ16ᎏ.
冦冤冢ᎏ43ᎏ ⫺ ᎏ81ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ18ᎏ3 ⫺ 1冣 ⫹ 4冥 ⬊ 冢⫺ ᎏ25ᎏ冣 ⫹ 4冧 ⭈ ᎏ23ᎏ ⫺ ᎏ16ᎏ3 ⫽
…⫺…
13 ⫺ …
5
3ᎏ ⫺ 13
⫽ 冦冤冢ᎏᎏ冣 ⬊ 冢ᎏᎏ冣 ⫹ 4冥 ⬊ 冢⫺ ᎏᎏ冣 ⫹ 4冧 ⭈ ᎏ
ᎏ ⫽
8
8
2
2
6ᎏ
…
ᎏ⬊ …
ᎏ⫹
5
3ᎏ ⫺ 13
⫽ 冦冤ᎏ
ᎏ
4冥 ⬊ 冢⫺ ᎏᎏ冣 ⫹ 4冧 ⭈ ᎏ
ᎏ ⫽
8
8
2
2
6ᎏ
…
ᎏ ⭈ 8ᎏ ⫹
2
3ᎏ ⫺ 13
⫽ 冦冤ᎏ ᎏ
4冥 ⭈ 冢⫺ ᎏ ᎏ冣 ⫹ 4冧 ⭈ ᎏ
ᎏ ⫽
8 5
…
2
6ᎏ
2
3ᎏ ⫺ 13
⫽ 冦… ⭈ 冢⫺ ᎏᎏ冣 ⫹ 4冧 ⭈ ᎏ
ᎏ ⫽
5
2
6ᎏ
3ᎏ ⫺ 13
⫽ 冦⫺ … ⫹ 4冧 ⭈ ᎏ
ᎏ ⫽
2
6ᎏ
3ᎏ ⫺ 13
⫽…⭈ᎏ
ᎏ ⫽
2
6ᎏ
13
⫽…⫺ᎏ ⫽
6ᎏ
… ⫺ 13
⫽ ᎏᎏ ⫽ …
6
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11
I NUMERI RAZIONALI
Semplifica le seguenti espressioni.
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ᎏ⬊
1
冤ᎏ13ᎏ ⫹ ᎏ65 冢⫺ ᎏ18ᎏ0 冣冥 ⫹ 1
1ᎏ ⫹ 7ᎏ ⫺
4ᎏ ⫺ 2ᎏ ⫹ 4
冤冢ᎏ12 ᎏ6 1冣 ⭈ 冢ᎏ15 ᎏ3 ᎏ5ᎏ冣冥
9ᎏ ⫹ 5
4
冤冢⫺ ᎏ45ᎏ ⫺ ᎏ10 ᎏ3ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ1ᎏ5 冣冥
冦ᎏ23ᎏ ⬊ 冤ᎏ18ᎏ ⬊ 冢ᎏ52ᎏ ⫺ ᎏ94ᎏ冣冥冧
冢⫺ ᎏ23ᎏ ⫺ ᎏ12ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ43ᎏ ⫹ 1冣
3
3ᎏ ⫺
1
1
冤⫺ 冢1 ⫺ ᎏ4ᎏ冣 ⫹ ᎏ5ᎏ ⬊ 冢ᎏ2ᎏ0 冣冥 ⭈ 冢ᎏ7 1冣
7ᎏ ⫺ 3ᎏ ⫹
3
冦ᎏ34ᎏ ⭈ 冤冢ᎏ20 ᎏ5 1冣 ⬊ ᎏ5ᎏ冥冧
3ᎏ ⫹ 1
1
冤冢1 ⫹ ᎏ12ᎏ ⫺ ᎏ23ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ4 ᎏ2ᎏ冣冥 ⬊ 冢⫺ ᎏ3ᎏ冣
冤冢ᎏ81ᎏ ⫹ ᎏ21ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ21ᎏ ⫺ ᎏ43ᎏ冣冥 ⬊ 冤ᎏ94ᎏ ⬊ 冢ᎏ34ᎏ ⫺ 2冣冥
ᎏ⫺
2ᎏ ⫹ 1
2
1ᎏ ⫺
4
冦冤⫺ ᎏ45 2冢⫺ ᎏ3 ᎏ6ᎏ冣冥 ⭈ 冢2 ⫹ ᎏ3ᎏ冣 ⫺ 1冧 ⬊ 冢ᎏ3 2冣 ⫺ ᎏ3ᎏ
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冤ᎏ23ᎏ冥
冤ᎏ11ᎏ0 冥
冤ᎏ18ᎏ冥
冤ᎏ43ᎏ冥
冤⫺ ᎏ12ᎏ冥
1
冤⫺ ᎏ3ᎏ冥
冤ᎏ115ᎏ6 冥
[⫺ 2]
冤ᎏ14ᎏ5 冥
冤⫺ ᎏ31ᎏ冥
12
I NUMERI RAZIONALI
ESPRESSIONI E PROPRIETÀ DELLE POTENZE
1
COMPLETA
Semplifica la seguente espressione:
ᎏ ⫺ 9ᎏ ⫹ 5
4
ᎏ
ᎏᎏ ⬊ ⫺ ᎏᎏ
10
3
15
冣 冢
冤冢ᎏ54
冣冥 ⭈ 冢⫺ ᎏ43ᎏ7 冣 ⫹ ᎏ41ᎏ ⫺ 2.
2
2
冤冢ᎏ54ᎏ ⫺ ᎏ19ᎏ0 ⫹ ᎏ35ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ14ᎏ5 冣冥 ⭈ 冢⫺ ᎏ43ᎏ7 冣 ⫹ ᎏ41ᎏ ⫺ 2 ⫽
24 ⫺ … ⫹ …
4
3
1ᎏ ⫺ 2 ⫽
⫽ 冤冢ᎏᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏᎏ冣冥 ⭈ 冢⫺ ᎏᎏ冣 ⫹ ᎏ
Esegui le operazioni dentro le parentesi tonde.
30
15
47
4
…
15
3
1ᎏ ⫺ 2
⫽
⫽ 冤冢ᎏ ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏᎏ冣冥 ⭈ 冢⫺ ᎏᎏ冣 ⫹ ᎏ
Trasforma la divisione in moltiplicazione.
30
4
47
4
…
3
1ᎏ ⫺ 2
Esegui la moltiplicazione e applica la proprietà
⫽
⫽ 冢ᎏᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏᎏ冣 ⫹ ᎏ
8
47
4
del prodotto di potenze con lo stesso esponente.
…
1
⫽ 冢ᎏᎏ冣 ⫹ ᎏᎏ ⫺ 2 ⫽
Calcola la potenza ed esegui le operazioni.
…
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
…
ᎏ ⫹ 1ᎏ ⫺ 2 ⫽ … ⫹ 16 ⫺ …
103
⫽ᎏ
ᎏ
ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ.
64
4
64
64
2
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione:
冤冢
冣冢
冣冥 冢 冣 冤冢 冣 冢 冣 冥 ⫹ ᎏ49ᎏ.
2
1
5 ⫹ ᎏᎏ ⬊ 9 ⫺ ᎏᎏ
3
2
2
5 2
3 4 3
⭈ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ
2
2
2
2
冤冢5 ⫹ ᎏ32ᎏ冣 ⬊ 冢9 ⫺ ᎏ21ᎏ冣冥 ⭈ 冢ᎏ25ᎏ冣 ⫺ 冤冢ᎏ23ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ23ᎏ冣 冥 ⫹ ᎏ49ᎏ ⫽
…⫹2
…⫺ 1
5
3
9ᎏ
⫽ 冤冢ᎏᎏ冣 ⬊ 冢ᎏᎏ冣冥 ⭈ 冢ᎏᎏ冣 ⫺ 冢ᎏᎏ冣 ⫹ ᎏ ⫽
3
2
2
2
4
… …
5
9ᎏ 9ᎏ
⫽ 冤ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ冥 ⭈ 冢ᎏᎏ冣 ⫺ ᎏ ⫹ ᎏ ⫽
3
2
2
4
4
… 2
5
⫽ 冤ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ冥 ⭈ 冢ᎏᎏ冣 ⫽
3 17
2
…
5
⫽ 冤ᎏᎏ冥 ⭈ 冢ᎏᎏ冣 ⫽
3
2
… 5
⫽ 冢ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ冣 ⫽
3 2
…
⫽ 冢ᎏᎏ冣 ⫽ …
3
2
2
2
2
2
2
…
2
2
2
4
2
2
2
2
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13
I NUMERI RAZIONALI
Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.
3
4
5
6
7
8
9
10
11
冤冢ᎏ32ᎏ冣 冥 ⬊ 冦冤冢ᎏ32ᎏ冣 冥 ⬊ 冢⫺ 1 ⫹ ᎏ13ᎏ冣 冧
冤冢ᎏ53ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ53ᎏ冣 冥 ⬊ 冤冢1 ⫹ ᎏ23ᎏ冣 冥 ⫺ 1
ᎏ⫺ 1
3
冤冢⫺ ᎏ12ᎏ ⫹ ᎏ34 ᎏ3ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ 1 ⫹ ᎏ4ᎏ冣 冥
冦冤ᎏ15ᎏ ⬊ 冢1 ⫺ ᎏ35ᎏ冣 ⫺ ᎏ12ᎏ冥 ⬊ 冢ᎏ34ᎏ冣 冧
冤冢1 ⫺ ᎏ16ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ56ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ11ᎏ32 ⫺ ᎏ14ᎏ冣 冥
1
1
1
冤冢⫺ ᎏ2ᎏ ⫺ ᎏ4ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ 1 ⫹ ᎏ2ᎏ冣 冥 ⫺ 2
3ᎏ ⫺ 5ᎏ ⫹ 1
1
冤冢ᎏ15ᎏ ⫺ ᎏ12ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ8 ᎏ4 ᎏ2ᎏ冣 冥 ⬊ 冢1 ⫺ ᎏ5ᎏ冣
4
4
3
3
1
冢ᎏ32ᎏ冣 ⬊ 冤冢ᎏ3ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ3ᎏ冣冥 ⫹ 冢⫺ ᎏ4ᎏ冣 ⬊ 冤冢⫺ ᎏ4ᎏ冣 冥 ⬊ 冢⫺ 1 ⫹ ᎏ4ᎏ冣
ᎏ⫺
3
1
冤冢ᎏ54 2冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ5ᎏ冣 冥 ⬊ 冤( ⫺ 2) ⬊ 冢⫺ ᎏ2ᎏ冣 冥 ⫹ 1
3 2
1⫹
5
2 1
2 2
4
2 6
2
2
2
3
3
2
3
3
3
4
3
⫺4
冤ᎏ196ᎏ冥
冤ᎏ19ᎏ冥
3
3
2
2
2
[2]
⫺4
3 2
⫺4
[1]
冤ᎏ235ᎏ6 冥
1
冤ᎏ4ᎏ冥
冤ᎏ126ᎏ5 冥
冤⫺ ᎏ21ᎏ冥
3 ⫺3
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[⫺ 1]
14
I NUMERI RAZIONALI
ESPRESSIONI CON
POTENZE
A ESPONENTE NEGATIVO
Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3 ⫺1
冦冤3 ⭈ 冢ᎏ3ᎏ冣 冥
3
3
3
⫺6
冧 冤冢ᎏ2ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ2ᎏ冣 冥
1
1
⫺ (⫺ 3) ⬊ 3 ⫹ 3 ⭈ 冢⫺ ᎏᎏ冣 ⫹ 冢⫺ ᎏᎏ冣
3
3
3
4
3
冤冢⫺ ᎏ4ᎏ冣 冥 ⭈ 冢ᎏ3ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ4ᎏ冣 ⫹ 冤冢⫺ ᎏ34ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ43ᎏ冣 冥 ⭈ 冢ᎏ34ᎏ冣
2
4
⫺
⭈ 32 ⭈
2
⫺
⫺
⫺2 ⫺2
5
2
1
⫺3
3
5
2
2
5
⫺2
⫺3
1
{[(3 ⭈ 3)⫺ ⬊ (3 ⭈ 33)⫺1] ⭈ (3⫺ ⭈ 33) ⬊ 32}⫺ ⭈ 3⫺6
2 2
1 ⫺2
1 3
⫺ ᎏᎏ ⬊ ⫺ ᎏᎏ ⬊ 162
⬊ (⫺ 4)5
4
4
7 ⫺2 ⫺2 7 ⫺3
7 5
49
⫺ ᎏᎏ
⭈ ᎏᎏ ⬊ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ⫺ ᎏᎏ
3
3
3
9
冦冤冢 冣 冢 冣 冥 冧
冤冢 冣 冥 冢 冣 冢 冣 冢
4
冤⫺ ᎏ14ᎏ冥
冣
⫺2
[0]
3
[4]
3 4
3 2 8 2
⫺ ᎏᎏ ⬊ ⫹ ᎏᎏ
ᎏᎏ
2
2
7
⫺1
⫺2
⫺3
3
0
4
1
4
(⫺ 3)⫺2 ⫹ ⫺ ᎏᎏ
⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ⫺ ᎏᎏ
2
3
3
3
93 ⭈ 26
2 3 2 2 ⫺3 724
2
ᎏᎏ⫺
ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ
⭈ ᎏᎏ
⭈ ᎏ4 ᎏ
4
8
18
3
9
9
27 ⭈ 95
冦冤 冢 冣 冥 冧 冦冤冢 冣 冢 冣 冥冢 冣 冧
冦冤
冢 冣 冥冢 冣 冢 冣 冢
冤冢
冣 冢 冣冥 冢
冣
2
⬊ 23
⫺1
⭈
冣 冧
⫺2 ⫺1
2 3
4
2
ᎏᎏ ⬊ 2 ⫺ ᎏᎏ 1 ⫹ ᎏᎏ
3
3
7
5ᎏ
7
11 2 ⫺ ᎏ ⫺ ᎏᎏᎏᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ
⫺2
1
3
2
2
1
2
6
6
ᎏ⫹
ᎏ⭈ ᎏ⬊
ᎏᎏ ⬊ ᎏ ᎏ
ᎏᎏ ⫹ 1
⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏ
3
4 2
3
9 3
冢
冢 冣 冢 冣冢 冣
冣 冤
冢 冣
冥
12
9 3
2 3
4 3
⫺ ᎏᎏ ⭈ 1 ⫹ ᎏᎏ ⬊ 1 ⫹ ᎏᎏ
7
5
5
ᎏᎏᎏᎏᎏ
⫺2
3
3
1
1
2
1 2
3⫺3 ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ⫹ ᎏᎏ ⭈ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ⫺ ᎏᎏ
3
2
5
5
13
1 2
4 2
1 2 ⫺1
4 2
2 ⫹ ᎏᎏ ⭈ 3 ⫺ ᎏᎏ ⫺ 1 ⫺ ᎏᎏ
⬊ ⫺ 1 ⫹ ᎏᎏ
2
3
5
5
ᎏᎏᎏᎏᎏᎏ
1 ⫺2
1 2
3 ⫺2
3 2 5
1ᎏ
ᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 1 ⫺ ᎏᎏ ⬊ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ
2
3
4
8
5
2
冢 冣 冢 冣 冢 冣
冢 冣 冢 冣 冢 冣 冢 冣
冤冢
冣 冢 冣冢
冢 冣 冢 冣冢
冣冥 冢
冣 冢 冣
冤⫺ ᎏ19ᎏ冥
冤⫺ ᎏ215ᎏ6 冥
[27]
{[4 ⬊ (⫺ 2)⫺ ⬊ (⫺ 8)]2} ⬊ [(⫺ 16)⫺1]⫺4
1
23 ⬊ ᎏᎏ
2
[8]
冤ᎏ34ᎏ69 冥
冤⫺ ᎏ11ᎏ12 冥
1
⫺
ᎏ
冤 4ᎏ冥
[1]
15
冤⫺ ᎏ2ᎏ冥
冣
Copyright © 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der]
Questo file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi
冤ᎏ31ᎏ冥
15
Animali da soma
(da L’uomo che sapeva contare, di Malba Tahan, ed Salani, 1966, pagg. 10-13)
Del singolare episodio di trentacinque cammelli da dividere fra tre fratelli arabi. In che modo
Beremiz Samir, l'Uomo Che Contava, riuscì a fare una suddivisione che sembrava impossibile e che
invece lasciò del tutto soddisfatti i litiganti. L'inatteso guadagno che ci venne da questa operazione.
Avevamo viaggiato senza fermarci per qualche ora, quando ci capitò un episodio degno di venir
raccontato, in cui il mio compagno Beremiz utilizzò le sue doti di esperto conoscitore dell'algebra.
Vicino a una vecchia locanda semiabbandonata scorgemmo tre uomini che discutevano
animatamente presso un branco di cammelli. Tra urla e insulti costoro litigavano
gesticolando con violenza e noi potevamo udire le loro grida astiose.
«Non è così! »
«Questo è un furto! »
«Non sono d'accordo! »
L'abile Beremiz domandò perché mai stessero litigando.
«Siamo fratelli» spiegò il più vecchio, «e abbiamo ricevuto in eredità questi trentacinque cammelli.
Secondo l'espresso desiderio di nostro padre, la metà di essi mi appartiene, un terzo spetta a mio
fratello Hamed e la nona parte a Harim, il più giovane. Però non sappiamo come fare la divisione, e
qualsiasi suggerimento fatto da uno di noi viene respinto dagli altri. Nessuna delle soluzioni finora
escogitate si è rivelata accettabile. Come è possibile fare questa divisione se la metà di 35 è 17 e 1/2,
e se né un terzo né un nono di 35 sono numeri interi?»
« Ma è semplicissimo» disse l'Uomo Che Contava. « Mi impegno a fare la suddivisione equamente,
ma permettetemi prima di aggiungere all'eredità questo splendido animale che ci ha portato qui nel
momento più opportuno ».
A questo punto intervenni. «Non posso permettere una simile follia. Come potremo continuare il
viaggio se non avremo più il nostro cammello? » '
«Non ti preoccupare, amico di Baghdad » mi sussurrò Beremiz, «so esattamente ciò che sto
facendo. Dammi il tuo cammello e vedrai il risultato alla fine».
Tale era la sicurezza della sua voce che gli consegnai senza la minima esitazione il mio bellissimo
Jamal, che fu quindi aggiunto al gruppo dei cammelli che bisognava dividere fra i tre fratelli.
«Amici miei» disse, «ora farò una giusta ed esatta divisione dei cammelli che, come vedete, sono
adesso 36 »; e rivolgendosi al più anziano dei fratelli: «Avresti dovuto» disse, «ricevere la metà di 35,
cioè 17 e 1/2. Avrai invece la metà di 36, che fa 18. Non hai proprio di che lamentarti, dal momento
che ci guadagni».
Rivolto al secondo così continuò: «A te, Hamed, spetterebbe un terzo di 35, cioè 11 e qualcosa.
Ti toccherà invece un terzo di 36, ovverosia 12. Non hai motivo di protestare, poiché anche tu ci
guadagni da questa ripartizione »;
Infine così parlò all'ultimo dei tre: «Giovane Harim Namir, secondo le ultime volontà di tuo padre
dovresti ricevere un nono di 35, ovvero sia tre cammelli e una parte di cammello. Ti darò invece un
nono di 36, il che fa quattro. In tal modo hai conseguito un bel vantaggio e dovresti essermene grato».
E concluse con grande sicurezza: «Con questa vantaggiosa suddivisione, da cui tutti han tratto
beneficio, 18 cammelli vanno al maggiore, 12 al secondo e 4 al più giovane, per un totale di 18+
12+4=34 cammelli. Dei 36 cammelli ne avanzano quindi due. Uno appartiene, come sapete, al mio
16
amico di Baghdad. L'altro mi spetta di diritto dal momento che ho risolto con soddisfazione di tutti il
complicato problema dell'eredità »;
«Straniero, sei veramente molto intelligente» esclamò il maggiore dei fratelli, «e noi accettiamo la
tua soluzione sicuri della sua giustizia ed equità »,
L'abile Beremiz, l'Uomo Che Contava, s'impossessò di uno dei più begli animali del branco e,
porgendomi le redini del mio cammello, disse: «Adesso, caro amico, puoi continuare il viaggio
comodamente da solo sul tuo cammello. lo viaggerò sul mio».
E riprendemmo la strada per Baghdad.
17
Scheda di lavoro: Animali da soma
Riflettiamo
insieme
A. COMPRENSIONE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Chi sono i protagonisti del brano?
Dove si svolge il racconto?
Qual è la motivazione che spinge Beremiz a risolvere il problema?
Quale soluzione troverà Beremiz? Individua i dati.
La soluzione data da Beremiz fa guadagnare tutti, perché?
Fai un riassunto del brano in 20 righe.
B. AUTORE
1. Fai una breve ricerca sull’autore del libro da cui è stato tratto questo racconto
2. Lo stile della narrazione è:
vivace, immediato, in prima persona
vivace, immediato, in terza persona
formale, difficile
C. VALUTAZIONI
1. Che messaggio hai tratto dalla lettura del racconto?
2. Dai un giudizio sull’interesse che ha suscitato in te questo brano (un voto da 1 a 10 )
18
D ASPETTI MATEMATICI
1. Riflettiamo sul problema di Beremiz:
a. La parte dei 35 cammelli che spetta al primo figlio è
35
1
 17 
2
2
b. La parte dei 35 cammelli che spetta al secondo figlio è
35
2
 11 
3
3
c. La parte dei 35 cammelli che spetta al terzo figlio è
35
8
 3
9
9
d. La somma è pertanto
e. Quanto avanza?
33 
...
...
f. Ripeti il ragionamento il cammello di Beremiz e quindi con 36 cammelli
g. Tutti ci guadagnano è così …Qual è l’errore commesso dal padre?
Costruire la frazione significa dividere un segmento in ……………….. parti uguali e prendere ………….
parti
2. Rispondi alle domande: a) 7/5 è un numero?
3.
Scegliendo come unità grafica un
b) 3/5 è un numero?
segmento, rappresenta le frazioni seguenti
3/8; 1/3; 2/5; ; 5/4; 6/3
4. Scrivi quattro frazioni equivalenti a ciascuna delle seguenti, calcola il numero decimale
corrispondente (fermandoti in ogni caso ai centesimi) e rappresentale sulla retta
numerica:3/5; 4/9; 4/14; 2/5
Un mezzo
Tre quarti
Due terzi
5. Scrivi le frazioni che corrispondono ai punti indicati dalle frecce nella seguente retta
numerica:
6. Dividendo opportunamente il segmento unitario, individua sulla retta numerica i punti
corrispondenti ai seguenti valori numerici:0,25; 0,5; 1,6; 1,2;
7. Trova un numero compreso a) fra 1 e 2.
3 1 1 1 3 7
;
;
; ;
4 4 2 10 5 5
b) fra 0 e 0,1.
Capacità matematiche di base
per affrontare la chimica
Scegli la risposta che ritieni corretta .
10. La notazione scientifica di 37300 è?
3,73 x 10
3,73 x 10
4
-4
0,373 x 10
-6
3,73 x 3,73
Per ogni frase scegli l'opzione corretta.
Considera la figura e controlla le affermazioni.
L'asse delle ascisse è l'asse orizzontale.
○ Vero
○ Falso
Il punto d'intersezione degli assi è detto origine e ha come coordinate (0, 0).
○ Vero
○ Falso
L'unità di misura dell'asse delle ordinate corrisponde al lato di un quadretto.
○ Vero
○ Falso
Nell'asse delle ascisse i numeri positivi sono a sinistra dell'origine.
○ Vero
○ Falso
Abbina ai vertici del rettangolo le loro coordinate.
A,B , C , D .
(-4; +2) (-4; +3) (-4; -3) (-4; -2) (+4; +3) (+4; -2) (+3; +4)
A…………………B…………………C……………………D…………………
Scegli la risposta che ritieni corretta .
Nella figura è indicato il percorso che deve compiere il topo per raggiungere il
formaggio.
Quale gruppo di caselle percorrerà?
(C;7) (G;7) (G;5) (M;2) (M;3)
(C;7) (G;7) (G;5) (M;5) (M;3)
(C;7) (G;7) (G;5) (M;3)
(C;7) (G;7) (G;4) (M;5) (M;3)
Considera la tabella e scegli le forme normali corrette fra quelle proposte.
Riportale sulla tabella.
4 500 000; 140 000; 330 000 000
450 000; 140 000; 3 300 000 000
450 000; 140 000; 330 000 000
4 500 000; 1 400 000; 330 000 000
Scegli la risposta che ritieni corretta.
Considera le tabelle e stabilisci quali regioni italiane hanno un numero di abitanti
7
dell'ordine di grandezza 10 ?
Lombardia, Piemonte, Lazio
Lombardia, Lazio
Lombardia, Lazio, Campania, Sicilia
Lombardia
Abbina a ciascun numero il suo equivalente.
5
10 =
6
= 10
1.000 =
9
10 =
10² 10.000.000 1.000.000.000 100.000 1.000.000 10.000 10³
Scegli la risposta che ritieni corretta .
Completa la tabella e scegli le forme standard corrette fra quelle proposte.
9
7
10
8
7
10
9
7
9
8
8
10
1,5 · 10 ; 3,7 · 10 ; 5,4 · 10
1,5 · 10 ; 3,7 · 10 ; 5,4 · 10
1,5 · 10 ; 3,7 · 10 ; 5,4 · 10
1,5 · 10 ; 3,7 · 10 ; 5,4 · 10
Scrivi come si calcola la x in ogni proporzione e s cegli le risposte che
ritieni corrette. Attenzione: le risposte corrette sono più di una.
In quali proporzioni il termine incognito x è stato calcolato correttamente?
15:2 = x:4
x = 30
_______________________
8:3 = x:6
x = 16
_______________________
16:x = 32:4
x= 4
_______________________
10:5 = x:10
x = 20
_______________________
Equivalenze
Multipli e sottomultipli
T
tera
G
giga
M
mega
K
kilo
1000000000000
1000000000
1000000
1000
1012
109
106
103
Tm
Gm
Mm
Km
0,
h
da
etto deca
100
hm
0
UNITA’
m
d
c
DI
deci centi milli
MISURA
10
0,1
dam
m
0
3
3
3
3
0,01
2
2
µ
micro
n
nano
P
pico
0,001
0,000001
0,000000001
0,000000000001
10-3
10-6
10-9
10-12
mm
µm
nm
pm
1,
1
3
3
0
0
0
0
0
Nella tabella si trovano i multipli e i sottomultipli delle unità di misura (del Sistema Internazionale). Nella casella posta sotto ciascun multiplo o sottomultiplo è
possibile leggere quanto vale rispetto all’unità di misura fondamentale (es. K, kilo, è 1000 volte, cioè 10 3 volte, più grande dell’unità di misura fondamentale).
Questi multipli e sottomultipli si possono utilizzare con tutte le unità di misura (es metri - m, grammi – g, …). Nella tabella è stato usato il metro come esempio.
Per fare un’equivalenza è possibile utilizzare la tabella nel modo seguente.
Per es:
3 m = ….. Km
Si scrive 3 nella colonna dei metri, quindi si aggiungono tanti zeri finché non si arriva nella colonna del multiplo richiesto nel risultato (K, in questo caso Km).
Si legge il numero ottenuto, aggiungendo la virgola dopo lo zero che si trova nella colonna del multiplo desiderato (Km)
321,3 mm = ………………..nm
Si scrive 321,3 in modo che l’unità (1) rimanga nella colonna dei mm (millimetri), quindi si aggiungono tanti zeri finché non si arriva alla colonna del multiplo
desiderato (n, nm in questo caso) e si sposta la virgola fino a quella colonna.
Stampa la tabella della pagina precedente, possibilmente su un cartoncino, e portala a scuola a
settembre.
Risolvi le seguenti equivalenze (se necessario utilizza la tabella):
kg 1,35
= g __________
g 0,18
= kg __________
kg 2000
= t
km 228,3 = cm
___________
__________
hg 1215 = g ___________
dg 666 = g ___________
q 12,7 = t ___________
m 123 = hm ___________
dm 35,25
= mm ___________
cm 74441 = km ___________
mm 0,3
= m ___________
hm 3,33 = cm ___________
m 259 = dam __________
km 0,68 = m __________
cm 0,333 = dm
m 5,44 = cm __________
__________
cm 33,5 = pm ___________
l 229,1 = Tl ___________
VIDEO LEZIONI SU INTERNET
Andando al sito http://videolezioni.matematicamente.it/ potrai accedere ad alcune video lezioni di
matematica ( alcune sono libere, altre a pagamento ma noi faremo riferimento solo a quelle libere).
A partire dal riquadro in blu sul lato sinistro clicca nell’ordine
1) Secondaria 1° grado  classe prima: aritmetica  e puoi consultare le lezioni su
•
•
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I numeri naturali
Espressioni
Potenze
Divisibilità e scomposizione in fattori primi
Minimo comune multiplo
Somma di frazioni
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Ripasso generale delle operazioni con le frazioni
Dalle frazioni ai numeri decimali
Come trasformare i numeri decimali in frazioni
3) Secondaria 1° grado  classe terza: algebra  e puoi consultare le lezioni su
• I numeri naturali, ripasso
•
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Somma di numeri relativi
Somma algebrica di numeri relativi
Prodotto di numeri relativi
Somma di frazioni
Prodotto di frazioni
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Enti fondamentali della geometria
Semirette e segmenti
Primi elementi sugli angoli
Come si misurano gli angoli
Angoli consecutivi e adiacenti
5) Secondaria 1° grado  classe seconda: geometria  e puoi consultare le lezioni su
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Cerchio e circonferenza: prime definizioni
Teorema di Pitagora
Rettangolo
Quadrato
6) Secondaria 1° grado  classe terza: geometria  e puoi consultare le lezioni su
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Parallelepipedo
Prisma retto