La rappresentazione in frequenza

Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Segnali a potenza media finita e conversione A/D
Lezione 2: rappresentazione in
frequenza
Rappresentazione in frequenza
Generalità
Spettro di potenza e autocorrelazione
Proprietà dello spettro di potenza
Larghezza di banda
Spettri mutui
Medie temporali
2
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1
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Rappresentazione in frequenza
generalità
Introduzione
La potenza media riassume le caratteristiche
energetiche del segnale, quindi in ultima analisi
porta informazione sulla distribuzione delle sue
ampiezze
Essa tuttavia non esaurisce le informazioni che
servono per studiare un sistema di
telecomunicazioni
Infatti, esistono segnali che hanno la stessa
potenza media ma caratteristiche (anche
macroscopiche) molto differenti!
4
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2
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Introduzione
Le differenze più evidenti riguardano la velocità di
variazione temporale del segnale
In questo esempio, ci sono evidenti differenze in
questo senso tra x(t) e y(t), anche a parità di
potenza media
X(t)
y(t)
t
t
5
Introduzione
Si può verificare sperimentalmente che la velocità
di variazione nel tempo del segnale ha un enorme
impatto sulla qualità delle telecomunicazioni
I canali di comunicazione convogliano i segnali con
un’affidabilità fortemente dipendente dalla velocità
di variazione temporale
Da questo parametro dipendono l’attenuazione e la
distorsione imposte dal canale fisico sul segnale
che viene posto al suo ingresso
6
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3
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Introduzione
Intuitivamente, associamo la velocità di variazione
temporale alla larghezza di banda del segnale, e
diciamo che “y(t) ha banda più larga di x(t)”
Tuttavia questa affermazione va fondata dal punto
di vista matematico
È dunque necessario trovare modo di quantificare
questa informazione; per questo ricorriamo
all’analisi (o rappresentazione) in frequenza
7
Rappresentazione in frequenza
Nel caso di segnali a energia finita, la funzione
principale su cui si basa la rappresentazione in
frequenza è la trasformata di Fourier:
X(f ) =
∞
∫ x (t ) e
− j 2π ft
dt
−∞
8
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4
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Rappresentazione in frequenza
Tuttavia, le condizioni di esistenza della
trasformata di Fourier prevedono che il segnale
sia assolutamente sommabile:
T /2
limT →∞
∫
| x (τ ) | dτ < ∞
−T / 2
9
La rappresentazione in frequenza
Questo in pratica significa che la trasformata di
Fourier di segnali a potenza media finita
generalmente non converge
Quindi, in generale, non possiamo usare la
trasformata di Fourier come strumento per
l’analisi in frequenza di questi segnali
È necessario trovare altri strumenti che ci
permettano di individuare le caratteristiche
salienti del segnale nel dominio della frequenza
10
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5
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
La rappresentazione in frequenza
Precisazione: la condizione enunciata è
sufficiente ma non necessaria. Vedremo in seguito
che, nel caso di segnali periodici, che non la
soddisfano, la trasformata di Fourier esiste,
seppure come distribuzione
11
Obiettivi
Ricordiamo che i principali obiettivi dell’analisi in
frequenza sono
ridefinire il concetto di larghezza di banda per
segnali a potenza media finita, associandolo a un
ben preciso significato fisico (la velocità di
variazione nel tempo)
prevedere e misurare la distorsione di un segnale a
potenza media finita qualora esso venga elaborato
da un sistema lineare e stazionario (per esempio, il
canale di comunicazione)
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6
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Invertibilità
Nel caso di segnali a energia finita, la
rappresentazione in frequenza tramite
trasformata di Fourier gode della proprietà di
essere invertibile
Nell’identificazione di una nuova
rappresentazione in frequenza per i segnali a
potenza media finita, dovremo rinunciare al fatto
che questa funzione sia invertibile, ovvero che
dalla rappresentazione in frequenza sia possibile
ricostruire esattamente x(t)
13
Procedimento
Dobbiamo definire una funzione che esista per i
segnali a potenza media finita, e che “svolga il
ruolo” della trasformata di Fourier, la quale
invece non converge
Per fare ciò, possiamo ricordare che i segnali a
supporto temporale limitato ammettono sempre
trasformata di Fourier
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7
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Procedimento
Inizieremo quindi limitando l’osservazione del
segnale a potenza media finita ad un supporto
temporale limitato
Su questo segnale ausiliario (segnale troncato)
definiremo le ben note rappresentazioni in
frequenza
Infine, proveremo a estendere le definizioni
facendo tendere a infinito il supporto temporale
con opportune normalizzazioni
15
Rappresentazione in frequenza
spettro di potenza e autocorrelazione
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8
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Segnale troncato
Considerazione 1: il segnale a potenza media
finita ha supporto illimitato
Considerazione 2: i segnali a supporto
temporale limitato sono a energia finita
Idea: definiamo un segnale troncato
xT (t ) =
x(t) | t |≤ T / 2
0| t |> T / 2
17
Segnale troncato
xT (t )
x (t )
T
−
2
0
t
T
+
2
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9
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Segnale troncato
Questo segnale:
è identico a x(t) entro l’intervallo | t |≤ T
ha energia finita
E xT =
T/2
∫
/2
| x(τ ) |2 dτ < ∞
−T / 2
19
Energia del segnale troncato
Notiamo come, se eseguiamo una operazione di
limite per T →∞ l’energia del segnale troncato,
normalizzata mediante 1/T, tende a coincidere
con la potenza media del segnale x(t):
1
1 T /2
2
limT →∞ Ex T = limT →∞
|
x
(
τ
)
|
dτ = Px
∫
T
T −T / 2
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10
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Energia del segnale troncato
Di conseguenza, introducendo la normalizzazione
1/T e facendo tendere T a infinito, le
considerazioni sull’energia del segnale troncato si
possono trasferire sulla potenza media di x(t)
21
Periodogramma
Valutiamo quindi la densità spettrale normalizzata
di energia del segnale troncato:
1
S XT ( f ) = | X T ( f ) | 2
T
dove
XT ( f ) =
T /2
∫
x( u )e − j 2 π fu du
−T / 2
è la trasformata di Fourier del segnale troncato
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11
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Periodogramma
La funzione SxT(f) viene anche detta
periodogramma
Infatti, questa funzione può essere valutata per
via numerica usando campioni misurati del
segnale, e visualizzata
L’eventuale presenza di componenti quasi
sinusoidali (quindi, quasi periodiche) nei dati
misurati è evidenziata sotto forma di picchi in
questo diagramma, da cui il nome
23
Spettro di potenza
Definiamo densità spettrale di potenza (o,
per brevità, spettro di potenza) del segnale
x(t)
Gx ( f ) = limT →∞ S xT ( f ) = limT →∞
1
| XT ( f ) |2
T
Questa funzione è una buona candidata per la
rappresentazione in frequenza di x(t)
24
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12
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Spettro di potenza
Abbiamo definito uno spettro di potenza;
tuttavia, è necessario che operiamo alcune
verifiche per essere certi che questa funzione sia
utile come rappresentazione in frequenza del
segnale
Infatti, essa deve soddisfare alcuni requisiti, che
verificheremo, per potersi fregiare del nome di
densità spettrale di potenza
25
Funzione di autocorrelazione
Per poter eseguire le verifiche necessarie,
dobbiamo prima introdurre la funzione di
autocorrelazione, quale controparte temporale
dello spettro di potenza
Essa infatti è utile per dimostrare le proprietà
dello spettro di potenza
26
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13
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Funzione di autocorrelazione
Ricordiamo che, nel caso di segnali a energia
finita, la densità spettrale di energia è la
trasformata di Fourier della funzione di
autocorrelazione
Per analogia, definiamo quindi funzione di
autocorrelazione del segnale a potenza media
finita l’antitrasformata di Fourier della densità
spettrale di potenza
27
Funzione di autocorrelazione
Definizione di funzione di autocorrelazione per
segnali a potenza media finita con spettro di
potenza Gx(f):
Φ x (τ ) =
∞
j 2π f τ
G
(
f
)
e
df =
x
∫
−∞
=
∞
∫ limT →∞
−∞
1
| X T ( f ) |2 e j 2π f τ df
T
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14
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Funzione di autocorrelazione
Supponiamo di poter commutare gli operatori di
integrale e di limite:
∞
1
Φ x (τ ) = lim T→∞ ∫ X T ( f ) X T* ( f )e j 2π f τ df
T −∞
Applicando il teorema di Parseval e notando che
F −1[ X T* ( f )e j 2π f τ df ] = xT* (t − τ )
Otteniamo dopo alcuni passaggi
1
Φ x (τ ) = limT →∞
T
T/2
∫
x(t + τ ) x * (t )dt
−T / 2
29
Funzione di autocorrelazione
Possiamo notare le analogie formali tra questa
funzione e l’analoga definita per i segnali a
energia finita, di cui richiamiamo qui la
definizione:
Rx (τ ) =
∞
∫
x(t + τ ) x * (t ) dt
−∞
30
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Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Proprietà
1. Φ x (τ ) ha un massimo assoluto in τ = 0
2. Φ x (0) coincide con la potenza media di x(t):
T /2
1
*
Φ x (0) = limT →∞
x
(
t
)
x
(t )dt =Px
∫
T −T / 2
31
Proprietà
3. Se x(t) è reale, Φ x (τ ) è reale e pari
4. Se x(t) è un segnale a valori complessi, allora
Φ x (−τ ) = Φ x* (τ )
32
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16
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Funzione di autocorrelazione
Le dimostrazioni di queste proprietà sono molto
semplici
Esse comportano semplici cambi di variabile e
considerazioni sul limite per T tendente a infinito
Qui le omettiamo per brevità
33
Rappresentazione in frequenza
proprietà dello spettro di potenza
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17
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Proprietà dello spettro di potenza
Vediamo finalmente se la funzione da noi definita
come densità spettrale di potenza gode delle
proprietà adeguate per potersi fregiare di questo
nome
Useremo anche la funzione di autocorrelazione
per le nostre dimostrazioni
35
Proprietà dello spettro di potenza
Proprietà 1
Gx(f) è una funzione reale maggiore o uguale a
zero per qualunque valore di f
Questo deriva direttamente dalla definizione: la
densità spettrale di potenza è il limite del
periodogramma, che è definito per mezzo di
un’operatore di modulo quadro
36
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18
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Proprietà dello spettro di potenza
Proprietà 2
Se il segnale x(t) è reale, la densità spettrale di
potenza è una funzione reale e pari
Dim. Se x(t) è reale, la sua funzione di
autocorrelazione è reale e pari; quindi la
trasformata di Fourier di un segnale reale e pari è
ancora una funzione reale e pari
37
Proprietà dello spettro di potenza
Proprietà 3
Per il significato stesso di densità spettrale di
potenza, dev’essere
∞
∫ G ( f )df = P
x
x
−∞
Infatti, la densità di una certa grandezza fisica in
un certo dominio dà la distribuzione di questa
grandezza in funzione della variabile indipendente
Integrando una densità su tutto il dominio, si
ottiene la quantità totale (qui, la potenza media
totale)
38
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19
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Proprietà dello spettro di potenza
Dimostrazione della proprietà 3:
−1
Φ x (τ ) = F [Gx( f )] =
∞
j 2π f τ
G
(
f
)
e
df
x
∫
−∞
Φ x (0) =
∞
∫ G ( f ) df = P
x
x
−∞
39
Proprietà dello spettro di potenza
Proprietà 4
Supponiamo che il segnale x(t) venga posto
all’ingresso di un filtro ideale a banda stretta, con
funzione di trasferimento H(f) come riportato in
figura:
H(f
)
1
0
f0 −
∆
2
f0
f0 +
∆
2
f
40
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20
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Proprietà dello spettro di potenza
Coerentemente con il concetto intuitivo di
densità, la potenza del segnale y(t) in uscita da
tale filtro dovrebbe potersi calcolare come
fo +∆ / 2
Py =
∫
Gx ( f )df
fo −∆ / 2
il che significa che, delle componenti in frequenza
presenti in x(t), solamente quelle comprese nella
banda passante di H(f) contribuiscono alla
potenza del segnale di uscita y(t)
41
Spettro dei segnali filtrati
Per dimostrare la proprietà 4, è necessario
trovare un’espressione della densità spettrale di
potenza del segnale y(t) all’uscita di un sistema
LTI con funzione di trasferimento H(f) e risposta
all’impulso h(t), al cui ingresso è posto il segnale
a potenza media finita x(t)
Sia quindi
y(t ) =
∞
∫ x(t − θ )h(θ )dθ
−∞
42
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21
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Spettro dei segnali filtrati
Vediamo la funzione di autocorrelazione del
segnale filtrato y(t):
1
Φ y (τ ) = limT →∞
T
= lim T →∞
1
T
1
= lim T →∞
T
T/2
∫
y ( t) y *(t − τ )dt =
−T /2
T /2 ∞ ∞
∫ ∫ ∫ x(t − θ )x (t −τ − θ
*
1
2
) h(θ1 )h* (θ2 )dθ1 dθ2 dt =
−T / 2 −∞−∞
∞ ∞
T/2
∫ ∫ h(θ )h (θ ) ∫
*
1
2
−∞−∞
x(t − θ1 ) x * (t −τ − θ2 )dtdθ1dθ 2
−T /2
43
Spettro dei segnali filtrati
Scambiando gli integrali con il limite, e con
opportuni cambiamenti di variabile, otteniamo
Φ y (τ ) =
∞ ∞
∫ ∫ h(θ )h (θ
*
1
2
)Φ x (τ − θ1 + θ2 ) dθ1 dθ2
−∞−∞
= h(τ ) ∗ h* ( −τ ) ∗ Φ x (τ )
44
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22
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Spettro dei segnali filtrati
A questo punto la densità spettrale di potenza del
segnale filtrato y(t) si ottiene operando una
semplice trasformazione di Fourier:
Gy ( f ) = F [Φ y (τ )] = F [h(τ ) ∗ h* ( −τ ) ∗Φ x (τ )] =
= H ( f ) H * ( f )Gx ( f ) = Gx ( f ) | H ( f ) |2
45
Spettro dei segnali filtrati
La funzione | H ( f ) |2 opera come funzione peso
sulla distribuzione di potenza dell’ingresso per
dare la distribuzione di potenza dell’uscita
Gx(f)
f
|H(f)|2
Gy(f)
f
f
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46
23
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Verifica della proprietà 4
Possiamo ora applicare questo importante
risultato generale al caso in cui H(f) sia un filtro a
banda stretta
La potenza di y(t) si calcola integrando la
corrispondente densità spettrale di potenza:
Py =
∞
∞
∫ G ( f )df = ∫ G ( f ) | H ( f ) |
2
y
−∞
x
−∞
df =
f0 +∆ / 2
∫
Gx ( f )df
f0 −∆ / 2
che è il risultato che si voleva dimostrare
47
Di conseguenza….
Viste tutte le considerazioni fatte finora, siamo
convinti che la densità spettrale di potenza sia la
funzione giusta per dare informazioni sul segnale,
nel dominio della frequenza
Infatti, essa:
è una funzione reale e positiva
integrata su tutto il dominio f, dà la potenza media
del segnale
integrata su un intervallo dell’asse f, dà la potenza
media associata alle componenti spettrali del
segnale che cadono in tale intervallo
48
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24
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Di conseguenza….
Rispetto alla trasformata di Fourier, questo
strumento ha un difetto: non è invertibile
Infatti, effettuando la trasformata di Fourier
inversa su Gx(f), troviamo la funzione di
autocorrelazione di x(t) e non x(t) stesso
Questo tuttavia non limita l’utilità di Gx(f) come
strumento di analisi del segnale
49
Rappresentazione in frequenza
larghezza di banda
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25
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Considerazioni fisiche
Cerchiamo un’interpretazione fisica della funzione
di autocorrelazione
Nota importante: per quanto il nome sia lo
stesso, questa funzione è matematicamente
diversa dalla sua omologa definita per i segnali a
energia finita
Tuttavia questa funzione gode di proprietà
strettamente simili a quelle dell’analoga funzione
definita per segnali a energia finita
51
Considerazioni fisiche
Consideriamo un segnale a potenza media finita
x(t), per semplicità a valori reali, e la sua
versione traslata x(t − τ ), come in figura
Esprimiamo la differenza tra questi due segnali:
∆(t ,τ ) = x (t ) − x(t − τ )
52
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26
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Considerazioni fisiche
x( t − τ )
x (t )
t
0 τ
53
Considerazioni fisiche
Calcoliamo la potenza media del segnale
differenza:
T /2
P∆ (τ ) = lim
1
T →∞ T
∫
| x(t ) − x(t − τ ) |2 dt =
−T / 2
T /2
= lim
1
T →∞ T
∫
T /2
| x(t) | dt + lim
2
− T /2
1
T →∞ T
∫
| x(t −τ ) |2 dt +
−T / 2
T /2
−2lim
1
T →∞ T
∫
x( t )x (t − τ )dt = 2[Px − Φ x (τ )]
−T / 2
54
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27
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Considerazioni fisiche
Supponiamo ora di avere due segnali; x1(t) ha
variazioni lente, mentre x2(t) ha variazioni
relativamente più veloci
I due segnali hanno la stessa potenza media
Chiaramente, a parità di ritardo t , il segnale
differenza ∆1 (t, τ ) = x1 (t) − x1 (t − τ ) avrà potenza
inferiore rispetto al corrispondente segnale
differenza ∆ 2 (t ,τ ) = x2 (t ) − x2( t − τ )
55
Considerazioni fisiche
Questo è dovuto al fatto che, se il primo segnale
ha variazioni più lente rispetto al secondo, a
parità di traslazione le sue versioni diretta e
traslata saranno maggiormente simili tra loro,
dando luogo a un segnale differenza di minore
ampiezza
Di conseguenza, a parità di τ , avremo che
Φ x1 (τ ) > Φ x2 (τ )
56
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28
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Considerazioni fisiche
Un segnale a variazione rapida ha una funzione di
autocorrelazione molto concentrata intorno
all’origine, mentre un segnale a variazione lenta
ha una funzione di autocorrelazione più larga
Di conseguenza un segnale a variazione rapida
ha una densità spettrale di potenza più larga
rispetto a un segnale a variazione lenta, ovvero è
a banda più larga
57
Considerazioni fisiche
Autocorrelazione di due segnali con stessa
potenza media e relativi spettri di potenza
Gx1(f)
Px1 φx1(τ )
φx1(τ 0 )
−τ0
Px2 = Px1
−τ0
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τ0
τ
φx2 (τ )
φx2 (τ 0 ) < φx1 (τ 0 )
τ0
τ
f
Gx2(f)
f
58
29
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Larghezza di banda
Da questa discussione emerge che la larghezza
della densità spettrale di potenza è legata alla
rapidità di variazione del segnale
Questo è analogo a quanto si può constatare
lavorando con lo spettro di ampiezza, qualora il
segnale ammetta trasformata di Fourier
59
Larghezza di banda
Di conseguenza, possiamo usare la funzione
densità spettrale di potenza per misurare la
larghezza di banda di un segnale a potenza
media finita
Si applicano le stesse definizioni già viste
discutendo lo spettro di ampiezza:
banda assoluta
banda a 3dB
banda al Q%
…
60
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30
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Larghezza di banda
Nell’esempio, la banda a 3dB di x1(t) è minore di
quella di x2(t)
G (f)
G x1 (0) x1
1
Gx1 (0 )
2
f
Bx1
Gx2(f)
1
Gx (0)
2 2
Gx2 (0)
f
B x2 > Bx1
61
Rappresentazione in frequenza
spettri mutui
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31
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Spettro di potenza mutuo
Si abbiano due segnali a potenza media finita x(t)
e y(t)
Definiamo spettro di potenza mutuo di questi
due segnali
Gxy ( f ) = limT →∞
X T ( f )YT * ( f )
T
63
Spettro di potenza mutuo
dove
e
xT (t) =
X T ( f ) = F [ xT (t )]
YT ( f ) = F[ yT (t )]
x(t) | t |≤ T / 2
0 | t |> T / 2
yT (t ) =
y(t) | t |≤ T / 2
0 | t |> T / 2
sono le versioni troncate dei segnali x(t) e y(t)
rispettivamente
Nota: non è detto che lo spettro mutuo sia una
funzione reale e positiva
64
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32
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Funzione di mutua correlazione
Si può dimostrare che l’antitrasformata di Fourier
dello spettro mutuo, che chiameremo funzione
di mutua correlazione, si può esprimere come
Φ xy ( f ) = lim
1
T →∞ T
T/2
∫
x ( t) y *(t − τ )dt
−T / 2
65
Periodogramma mutuo
X T ( f )YT * ( f )
T
è chiamata periodogramma mutuo
Scambiando i due segnali possiamo
analogamente definire
YT ( f ) X T * ( f )
G yx ( f ) = limT →∞
T
La quantità
T/2
1
Φ yx (τ ) = limT →∞
y ( t ) x *(t − τ )dt
T −T∫/ 2
G yx ( f ) = F[ Φ yx (τ )]
66
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33
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Un caso particolare
y(t) sia l’uscita di un sistema LTI con risposta
all’impulso h(t), al cui ingresso è posto x(t)
In questo caso, la funzione di mutua correlazione
tra y(t) e x(t) vale:
T /2 ∞
1
Φ yx (τ ) = limT →∞
x(t − ϑ )h (ϑ ) x* (t − τ )dϑ dτ =
∫
∫
T −T / 2 −∞
=
∞
∫Φ
x
(τ − ϑ)h (ϑ ) dϑ = Φ x (τ ) ∗ h(τ )
−∞
67
Un caso particolare
Lo spettro mutuo di potenza tra y(t) e x(t) vale:
G yx ( f ) = Gx ( f ) H( f )
Esso contiene un contributo dovuto all’ingresso, e
uno dovuto al sistema, che determina lo scambio
di potenza tra ingresso e uscita
68
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Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Rappresentazione in frequenza
medie temporali
Medie temporali
Le medie temporali sono una classe di operatori
applicabili ai segnali a potenza media finita
Dato un segnale a potenza media finita x(t) e una
generica funzione g[·], la media temporale di g
applicata a x(t) è definita come
1
< g [x( t )] >= limT →∞
T
−T / 2
∫
g[ x(τ )]dτ
−T / 2
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35
Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Alcune medie temporali
La potenza media è una media temporale con
g[x (t )] =| x(t) | 2
La funzione di autocorrelazione è una media
temporale con
g[ x (t )] = x(t + τ ) x* (t )
71
Proprietà delle medie temporali
In generale, una media temporale non dipende
più dal tempo t, in quanto è frutto di
un’integrazione rispetto alla variabile t
Una media temporale può dipendere da una
variabile che dimensionalmente rappresenta un
tempo
Questo è il caso della variabile t
dell’autocorrelazione, che fisicamente
rappresenta un ritardo
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Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Altre medie temporali
Il “valor medio” del segnale è una media
temporale con g[x(t)] = x(t):
−T / 2
1
µ x =< x(t ) >= limT →∞
x(τ )dτ
T − T∫/ 2
Esso rappresenta la componente continua
eventualmente presente nel segnale. Per
esempio, il valor medio di
x(t ) = K + cos(2π f 0t )
vale µx=K
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Altre medie temporali
Lo “scarto quadratico medio” del segnale è una
media temporale con
g[x(t)] = |x(t)-µx|2:
−T / 2
1
S x =<| x(t ) − µ x | >= lim T →∞
| x(τ ) − µ x |2 dτ
∫
T −T / 2
2
Esso rappresenta la potenza della parte variabile
di x(t), ovvero di x(t) depurato dal proprio valor
medio. Vale la seguente relazione:
Px = S x+ | µ x |2
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Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Altre medie temporali
La potenza media del segnale è quindi la somma
della potenza della parte variabile (scarto
quadratico medio) e della potenza della
componente continua (modulo quadro del valor
medio)
Px = S x + | µ x |2
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Relazioni utili
Un segnale a potenza media finita x(t) si può
sempre scomporre nella somma del proprio
valore medio e di un segnale a valor medio nullo:
x(t) = µx + x0 (t )
con µx = <x(t)>
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Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Relazioni utili
Riassumiamo alcune relazioni notevoli:
< x0 (t ) >= 0
Px0 = S x
Px = Px0 + | µ x |2
Φ x (τ ) = Φ x0 (τ ) + | µ x |2
Gx ( f ) = Gx0 ( f )+ | µ x | 2 δ ( f )
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Relazioni utili
Notiamo come, se il segnale x(t) ha valor medio
non nullo, la sua densità spettrale di potenza ha
una delta in f=0
Infatti la componente continua si può
interpretare come una componente periodica di
periodo infinito, quindi frequenza nulla
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Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Riepilogo (1/3)
I segnali a potenza media finita non ammettono
trasformata di Fourier
Per la loro rappresentazione in frequenza usiamo
la funzione densità spettrale di potenza Gx(f)
Questa funzione è la trasformata di Fourier della
funzione di autocorrelazione
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Riepilogo (2/3)
La larghezza di Gx(f) porta informazione sulla
velocità di variazione nel tempo del segnale x(t),
pertanto è utile per effettuare misurazioni di
larghezza di banda
Nel caso il segnale x(t) venga elaborato da un
sistema LTI con funzione di trasferimento H(f), la
semplice relazione Gy(f) = Gx(f) |H(f)|2 ci
permette di fare analisi in frequenza del segnale
di uscita
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Teoria dei segnali
Rappresentazione in frequenza
Riepilogo (3/3)
La rappresentazione in frequenza mediante Gx(f)
non è invertibile, ma questo non diminuisce il
valore dello strumento di analisi
Abbiamo visto come sia la potenza media sia
l’autocorrelazione si possano interpretare come
medie temporali
La componente continua del segnale è a sua
volta una media temporale; essa comporta la
presenza di una distribuzione delta di Dirac nello
spettro di potenza, centrata in f=0
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