Av - IIS Primo Levi

Laboratorio di Elettronica “Primo LEVI” – 2014-2015
Classe 5BN - G. Carpignano
Esperienza 4 – Risposta in frequenza reale e simulata di un filtro
RC e CR senza amplificatore operazionale (prima parte).
Postazione N°
Cognome
Nome
Oscilloscopio: ……………..
CLASSE
Generatore di funzione: ………………….
1.0 – Concetti generali dei filtri
Il filtro è un quadripolo che seleziona i segnali in base alla loro frequenza; nel senso che trasmette in uscita solo alcune
delle “frequenze contenute” nel segnale di ingresso, bloccando tutte le altre.
Per realizzare un filtro è necessario utilizzare componenti il cui comportamento cambia a secondo della frequenza del
segnale che li attraversa; questi componenti sono i condensatori e le bobine.
I condensatori impiegano un certo tempo per caricarsi e scaricarsi; essi, perciò, sono più sensibili ai segnali di bassa
frequenza perché questi segnali, variando lentamente, danno il tempo al condensatore di caricarsi e scaricarsi; per lo stesso
motivo i condensatori sono poco sensibili ai segnali di alta frequenza; questi ultimi infatti, variando velocemente, non danno il
tempo ai condensatori di adeguarsi.
Le bobine hanno un comportamento opposto rispetto a quello dei condensatori; la tensione che si induce ai capi di una
bobina è direttamente proporzionale alla rapidità con cui varia il flusso all’interno della bobina stessa; quindi la tensione indotta
cresce proporzionalmente con la frequenza del segnale di ingresso e perciò le bobine sono più sensibili ai segnali di alta
frequenza; mentre ignorano praticamente quelli di frequenza molto bassa.
1.1 - Funzionamento in regime sinusoidale
In generale i filtri vengono studiati in regime sinusoidale; si ipotizza cioè che all’ingresso del filtro sia posto un segnale
sinusoidale, o armonico. Questa scelta è dovuta al fatto che quasi tutti gli altri segnali sono composti da un numero più o meno
elevato di segnali sinusoidali (le cosiddette armoniche del segnale).
A: v1
Fig. 1
2.000 V
1.000 V
0.000 V
-1.000 V
-2.000 V
0.000ms
5.000ms
10.00ms
15.00ms
20.00ms
25.00ms
Measurement Cursors
1
v1
X: 0.0000
Y: 497.38m
2
v1
X: 5.0003m
Y: 497.38m
X: 5.0003m
Y: 688.20n
Cursor 2 - Cursor 1
I parametri importanti di un segnale sinusoidale sono:
 il valore di picco Vp (o ampiezza) che è l’escursione massima che il segnale compie attorno allo zero; in fig. 1, Vp = 2V
 il valore picco picco Vpp, che è la differenza tra il valore massimo e quello minimo; in fig. 1, Vpp = 4V
 il valore efficace Veff (o Vrms), utile per il calcolo delle potenze. In tutti i segnali periodici, il valore efficace è
opportunamente legato al valore di picco; per i segnali sinusoidali Veff = Vp / 2. nel nostro caso Veff = 2V / 2 = 1.4V
 il periodo T, misurato in sec; nel caso in esame è T = 5ms
1

la frequenza
2
f  1 , misurata in Hz ; nel nostro caso è f  1  200 Hz . la frequenza angolare  
 2f ,
T
T
T
misurata in rad/sec
Osserviamo che, in fig.1, il segnale, all’inizio dell’osservazione (t=0) ha un valore diverso da zero circa 0,5V) e perciò la sua
fase è diversa da zero.
Fig. 2
Filtro
Vin
Vout
Il filtro è un quadripolo, nel senso che è una rete elettrica accessibile da due coppie di morsetti; una coppia di morsetti
funziona come ingresso, l’altra coppia funziona da uscita (fig.2).
In realtà i filtri, come altri quadripoli, sono effettivamente dei tripoli perché la coppia di morsetti di ingresso e quella di
uscita hanno un conduttore in comune e, quindi, i morsetti elettricamente distinguibili sono tre.
Per guadagno di tensione Av di un filtro si intende il rapporto Av 
Voutp
Vinp
, dove Voutp è il picco del segnale
sinusoidale rilevato in uscita e Vinp è il picco del segnale di ingresso.
Il guadagno di tensione si può calcolare anche eseguendo il rapporto tra i valori picco picco o tra i valori efficaci di Vout
e Vin.
Altri guadagni importanti, per tutti i quadripoli, sono quelli di corrente AI 
Ioutp
Iinp
e quelli di potenza Ap 
Pout
Pin
;
anzi, il guadagno di potenza è estremamente importante perché ci fa capire se il quadripolo è attivo o passivo. I guadagni definiti
sono tutti dimensionali.
In tutti i quadripoli passivi il guadagno di potenza non supera mai l’unità, per cui la potenza fornita al carico, al più, è
uguale a quella di ingresso.
Nei quadripoli attivi, gli amplificatori ad esempio, il guadagno di potenza è maggiore di 1 ( spesso Ap>>1) e la potenza di
uscita è sensibilmente maggiore di quella di ingresso.
Nella discussione che segue concentreremo l’attenzione sul guadagno di tensione.
Nei filtri, il guadagno di tensione Av varia con la frequenza; il diagramma di Av in funzione della frequenza si chiama
risposta in ampiezza del filtro e ci descrive il comportamento del filtro stesso nei confronti del segnale di ingresso.
In figg. 3,4,5 e 6 si hanno rispettivamente il diagramma della risposta in ampiezza di alcuni filtri. In questi diagrammi sia
la frequenza e sia Av sono riportati in scala logaritmica.
A: vout
10.00 dB
A: vout
25.00 dB
-10.00 dB
-25.00 dB
-30.00 dB
-50.00 dB
-75.00 dB
-70.00 dB
-90.00 dB
1.000 Hz
Fig. 3 – Filtro passa-basso
-125.0 dB
1.000 Hz
1.000kHz
Fig. 4 – Filtro passa-alto
2
1.000kHz
20.00 dB
A: vout
A: vout
0.000 dB
0.000 dB
-10.00 dB
-20.00 dB
-20.00 dB
-40.00 dB
-30.00 dB
-60.00 dB
-40.00 dB
-80.00 dB
-100.0 dB
1.000 Hz
-50.00 dB
1.000 Hz
1.000kHz
Fig. 5 – Filtro passa-banda
1.000kHz
Fig. 6 – Filtro taglia-banda
1.2 - Classificazione dei filtri
In base alla loro risposta in ampiezza, i filtri sono classificati in:
 filtro passa basso (low pass  LP); questo filtro lascia passare soltanto i segnali sinusoidali la cui frequenza è inferiore
ad una prefissata, detta frequenza di taglio (fig.3); nel filtro passa basso, il guadagno assume il suo valore massimo
Avmax per f→0
 filtro passa alto (high pass  HP); questo filtro lascia passare soltanto i segnali sinusoidali la cui frequenza è superiore
ad una prefissata, detta frequenza di taglio (fig.4); nel filtro passa alto, il guadagno assume il suo valore massimo Avmax
per f→
 filtro passa banda (band pass  BP); questo filtro lascia passare soltanto i segnali sinusoidali la cui frequenza è
compresa tra due frequenze di taglio prefissate, la frequenza di taglio inferiore fL e quella di taglio superiore fH ; la
larghezza di banda del filtro o banda passante BW è BW= fH - fL (fig.5) ; nel filtro passa banda, il guadagno assume il suo
valore massimo Avmax in banda passante il filtro taglia banda, detto anche elimina banda oppure bandastop o anche
filtro notch; questo filtro taglia soltanto i segnali sinusoidali la cui frequenza è compresa tra due frequenze di taglio
prefissate, quella inferiore fL e quella superiore fH ; la larghezza della banda tagliata BW è BW= fH - fL . Il filtro lascia
passare inalterati tutti i segnali sinusoidali la cui frequenza ricade all’esterno della banda tagliata (fig.6)
Nei filtri distinguiamo:
 la banda passante; essa è l’intervallo di frequenze in cui il filtro lascia passare il segnale di ingresso
 la banda attenuata; essa è costituita da tutte quelle frequenze per cui il filtro attenua il segnale di ingresso
Come possiamo notare dalle figg. 3,4,5,6 non appena si entra in banda attenuata, la risposta in ampiezza del filtro comincia a
diminuire; più rapida è questa diminuzione e più selettivo è il filtro.
I parametri importanti dei filtri sono:
 il guadagno in banda passante Avmax
 le frequenze di taglio
Le frequenze di taglio sono quelle frequenze, in corrispondenza delle quali il guadagno del filtro si riduce di un fattore
2 rispetto al valore che esso ha in banda passante. Se indichiamo il guadagno alla frequenza di taglio con Av(ft) otteniamo:
Av( ft ) 
Av max
2
 0.707  Av max
Alle frequenze di taglio, anche la tensione e la corrente sul carico sono ridotte di un fattore 2 rispetto al valore che
esse hanno in banda passante; perciò, la potenza uscente dal filtro, che dipende dal prodotto V  I , è la metà rispetto al valore
in banda passante.
1.3 - Conclusioni
Se il segnale di ingresso è un segnale complesso costituito cioè da segnali sinusoidali di frequenza diversa, esso sarà
quasi sicuramente deformato; infatti il filtro lascerà passare solo alcune delle componenti sinusoidali del segnale, bloccando
tutte le altre; il contenuto in frequenza del segnale originario risulterà così alterato ed anche la forma d’onda del segnale verrà
modificata.
Esempi di segnali complessi sono l’onda quadra, quella triangolare etc..
Invece, se all’ingresso di un filtro poniamo un segnale sinusoidale (o armonico), cioè un segnale contenente una sola
frequenza, esso sarà trasmesso in uscita attenuato oppure inalterato, a secondo se l’unica frequenza che lo compone ricade in
banda passante oppure in banda attenuata; il segnale di uscita potrà anche essere sfasato rispetto a quello di ingresso ma
manterrà sicuramente la forma d’onda sinusoidale
3
2.0 - Filtro passa basso RC
R
Vin
Vout
C
Fig. 7 – Filtro Passa-Basso con RC
1kHz
Il circuito di fig. 7 è un filtro passa basso; in pratica esso è un partitore di tensione costituito dalla resistenza R e
dall’impedenza Zc del condensatore; come sappiamo
Zc  1
j   C
  j  Xc e perciò la reattanza capacitiva
Xc  1
è molto elevata alle basse frequenze mentre si riduce molto quando la frequenza del segnale è molto elevata. Di
 C
conseguenza:
se la frequenza del segnale di ingresso è molto piccola, allora il condensatore si comporta come una resistenza molto
elevata e il segnale di ingresso cade in gran parte su di esso.
se la frequenza di Vin è molto elevata, allora il condensatore si comporta come una resistenza molto piccola e la
tensione ai suoi capi, cioè quella di uscita Vout, è molto piccola (Vin cade quasi tutta sulla resistenza R)


2.1 - Funzione di trasferimento
Tenendo presente che il circuito è un partitore di tensione, otteniamo:
1
Vout  Vin
j C
R 1
j C
e quindi:
Vout
Vin
1

1
jC

1  jRC
R 1
jC
Vout
Il rapporto
Vin
 F ( j ) viene chiamato funzione di trasferimento del filtro proprio perché fornisce molte
informazioni sulle modifiche che il segnale di ingresso ottiene nel trasferimento dall’ingresso verso l’uscita.
Più esattamente, la funzione di trasferimento, che è una funzione complessa della frequenza, indica come variano il
guadagno del filtro e lo sfasamento che esso produce al variare della frequenza.
Il prodotto RC è la costante di tempo τ del condensatore; il suo inverso ha le dimensioni di una pulsazione ed la
pulsazione caratteristica t del circuito; la pulsazione caratteristica a sua volta determina la frequenza di taglio ft caratteristica
del circuito; più precisamente:
  RC (sec) ,   t  1
R C
 1
 1
(Hz)
 1 (rad/sec) , ft  t
2
2RC
2

E’ importante osservare che sia la costante di tempo, sia la pulsazione caratteristica, sia la frequenza caratteristica
dipendono solo dai componenti del circuito e restano costanti sino a quando non cambiamo il valore di R e C. Alla luce delle
posizioni fatte, la funzione di trasferimento diventa:
F ( j ) 
1

1 j
t

1
f
ft
2.2 - Risposta in ampiezza
1 j
Il guadagno di tensione del filtro non è altro che il modulo della funzione di trasferimento; cioè
4
Av 
Voutp Vout

 F ( j ) 
Vinp
Vin
1
 

 t 
2

1 
1
f 

 ft 
2
1  
Notiamo che:
 per f << ft , Av  1 ; ciò significa che, per frequenze molto più piccole di ft, il guadagno del filtro ha il suo massimo
valore Avmax, che è uno; in altri termini, in banda passante, il picco del segnale di uscita è circa uguale al picco del
segnale di ingresso. In definitiva il filtro lascia passare i segnali la cui frequenza è molto più piccola di ft; e infatti il filtro
è di tipo passa basso.
Av 
1

Av max
 0.707  Av max ; questo significa che, quando la frequenza del segnale di

per f = ft ,

ingresso è uguale alla frequenza caratteristica del filtro, il guadagno del filtro, è il 70% del picco del valore che ha in
banda passante; la frequenza ft è perciò la frequenza di taglio del filtro.
per f >> ft , Av → 0; ciò significa che, quando la frequenza del segnale di ingresso è molto più elevata della frequenza di
taglio del filtro, il guadagno del filtro e il picco del segnale di uscita diventano molto piccoli; il filtro, cioè, blocca i segnali
la cui frequenza è molto più elevata della frequenza di taglio.
2
2
Osservando più attentamente il guadagno per f >> ft, notiamo che:
1
Av 
 f 
 
 ft 
2

1
ft

f
f
ft
 f 
dato che 1 è trascurabile rispetto a  
 ft 
2
In definitiva, a frequenze elevate, il guadagno del filtro diminuisce in modo inversamente proporzionale alla frequenza;
ciò significa che, quando la frequenza aumenta di un fattore 10, il guadagno di tensione diminuisce dello stesso fattore.
Se teniamo presente che, nel nostro filtro, Avmax = 1, la funzione di trasferimento può essere riscritta nel modo
seguente:
F ( j ) 
Av max
1 j
f
ft
3.3k
Vin
-1/1V
Vout
A
A: vout
R
C
100nF
1.000 V
0.800 V
0.600 V
0.400 V
1kHz
0.200 V
0.000 V
1.000 Hz
100.0 Hz
10.00kHz
Measurement Cursors
1
Fig. 8 – Filtro Passa-Basso
vout
X: 482.22
Y: 707.13m
Fig. 9 – Risposta in frequenza del filtro passa-basso
In fig. 8 abbiamo lo schema di un filtro passa basso pilotato da un generatore di segnali sinusoidali il cui picco viene
mantenuto costantemente a 1V; per questo filtro:
  RC  3.3  10 3  100  10  9 sec  3.3  10  4  0.33m sec  330  sec
t  1 

1
0.33  10 3

10 3
0.33
rad / sec  3.03 krad / sec
5
ft  1
2

1
2  0.33  10 3

10 3
2  0.33
 482.3Hz
In fig. 10 è riportato l’andamento del picco di Vout al variare della frequenza (in scala logaritmica); come possiamo
notare, il picco di Vout si mantiene a 1V ( uguale a quello di Vin) sino a 100Hz; per frequenze superiori, il picco di Vout comincia a
diminuire e diventa 707 mV alla frequenza di 482.2 Hz, cioè alla frequenza di taglio. Per frequenze maggiori di 482.2Hz il picco di
Vout si riduce ulteriormente sino a diventare inapprezzabile.
2.3 - Decibel
Spesso il guadagno del filtro viene espresso in decibel (dB); più precisamente
AvdB  20 Log Av 
Immediatamente sotto abbiamo una tabella che riporta l’andamento del guadagno in dB in funzione di Av; osserviamo
che, quando il guadagno Av varia di un fattore 10, il guadagno in dB varia di 20 dB.
Av
Av(dB)
0.001
-60dB
0.01
-40dB
0.1
-20dB
1
0dB
10
+20dB
100
+40dB
1000
+60dB
Notiamo che nel filtro passa basso RC :
 per f << ft , AVdB  20 LogAv  20 Log1  0dB  AvdB max . Dire che il guadagno del filtro è 0dB equivale a dire
che il segnale, nell’attraversare il filtro, non viene attenuato. Il massimo valore del guadagno del filtro, espresso in dB, è
0dB.
 Per f = ft otteniamo
AvdB  20 LogAv  20 Log
1
2
 20 Log1  20 Log 2  0  10 Log 2  AvdB max  3dB
In sostanza, alla frequenza di taglio, il guadagno del filtro diminuisce di 3dB rispetto al valore che esso ha in banda passante
(0dB nel nostro caso).
Per f >> ft sappiamo che il guadagno diminuisce in modo inversamente proporzionale alla frequenza; cioè, quando la
frequenza aumenta di un fattore 10 (di una decade), il guadagno Av diminuisce di un fattore 10 (di 20 dB); di conseguenza, a
frequenze elevate, il guadagno del filtro diminuisce di 20dB/decade.
A: vout
0.000 dB
A: vout
-10.00 dB
-10.00 dB
-20.00 dB
-20.00 dB
-30.00 dB
-30.00 dB
-40.00 dB
-40.00 dB
-50.00 dB
1.000 Hz
-50.00 dB
1.000 Hz
1.000kHz
vout
X: 482.22
100.0 Hz
10.00kHz
Measurement Cursors
Measurement Cursors
1
0.000 dB
Y: -3.0103
1
vout
X: 1.0020k
Y: -7.2560
2
vout
X: 10.026k
Y: -26.367
X: 9.0241k
Y: -19.111
Cursor 2 - Cursor 1
Fig. 10 – risposta in frequenza con valori in dB
Fig. 11 - risposta in frequenza con valori in dB
In fig. 10 è riportato il guadagno del filtro, espresso in dB, in funzione della frequenza (in scala logaritmica); come ci
aspettavamo, dal diagramma si rileva che:
 a frequenze basse il guadagno del filtro è 0dB; i segnali di bassa frequenza non vengono attenuati
 alla frequenza di taglio (482.2Hz), il guadagno del filtro è -3dB, cioè 3dB in meno rispetto al valore che ha in banda
passante.
La fig. 11 invece mostra che, in banda attenuata, quando la frequenza del segnale aumenta di una decade (fattore
moltiplicativo x10 volte), da 1kHz a 10kHz nel nostro caso, il guadagno diminuisce di quasi 20dB.
Il diagramma del guadagno, espresso in dB, in funzione della frequenza riportata in scala logaritmica, si chiama
diagramma di Bode del guadagno.
6
2.4 - Risposta in fase
Lo sfasamento φ prodotto dal filtro varia, ovviamente, con la frequenza e coincide con l’argomento della funzione di
trasferimento F ( j ) 
Av max
f
1 j
ft
L’argomento di una frazione complessa, come è la F ( j ) , è la differenza tra l’argomento del numeratore   N e
l’argomento del denominatore   D ; nel nostro caso Avmax=1, cioè è un numero reale e positivo per cui il suo argomento è
nullo, mentre tan   D 
f
ft
; allora:
 f 

 ft 
 ( f )    D   arctan
Il diagramma dello sfasamento φ in funzione della frequenza f è la risposta in fase del filtro.
Notiamo che:
 per f << ft ,   0 ; ciò significa che, per frequenze molto più piccole di ft, lo sfasamento prodotto dal filtro è molto
piccolo
per f = ft ,

 f 
   arctan1  45 ; questo significa che, quando la frequenza del segnale di
 ft 
   arctan 
ingresso è uguale alla frequenza di taglio del filtro, la tensione di uscita è in ritardo di 45º rispetto a quella di ingresso.
per f >> ft ,   90 ; ciò significa che, quando la frequenza del segnale di ingresso è molto più elevata della
frequenza di taglio del filtro, il ritardo tra la tensione di uscita e quella di ingresso tende a 90º .
Dovevamo aspettarci che la tensione di uscita fosse in ritardo rispetto a quella di ingresso: infatti Vout non è altro che la
tensione ai capi del condensatore che, come sappiamo, si adegua con ritardo alle variazioni della tensione di ingresso.

A: vout
10.00 Deg
-10.00 Deg
-30.00 Deg
-50.00 Deg
-70.00 Deg
-90.00 Deg
1.000 Hz
10.00 Hz
100.0 Hz
1.000kHz
10.00kHz
100.0kHz
Measurement Cursors
1
vout
X: 482.30
Y: -45.000
Fig. 12 – Sfasamento dell’uscita al variare della frequenza
La fig. 12 mostra la risposta in fase del nostro filtro: in banda passante lo sfasamento tra uscita ed ingresso è
trascurabile, mentre è di 45º in ritardo alla frequenza di taglio. A frequenze elevate, il ritardo tra uscita ed ingresso tende verso i
90º.
Sappiamo che la reattanza capacitiva varia con la frequenza; in particolare alla frequenza di taglio la reattanza del
condensatore è uguale al valore della resistenza R; infatti:
Xc( ft ) 
1

2  ft  C 2 
1
R
1
C
2  RC
In definitiva, alla frequenza di taglio del filtro:
 il guadagno di tensione diventa il 70,7% del suo massimo valore (quello in banda passante)
 lo sfasamento tra uscita e ingresso diventa 45º (in ritardo) alla ft
 la reattanza capacitiva diventa uguale alla resistenza vista ai suoi capi la potenza sul carico si dimezza rispetto al valore
in banda passante
7
2.5 - Filtro RC con resistenza di carico
La tensione uscente dal filtro molto spesso deve pilotare un carico resistivo denominato RL, dove L deve essere
interpretato come l’iniziale di Load; lo schema del filtro diventa allora quello di fig.13
Vout
Vin
R
C
Fig. 13 – Filtro RC con carico RL
RL
1kHz
La funzione di trasferimento del filtro ha sempre la forma:
Av max
F ( j ) 
1 j
in cui
f
ft
1
; nel calcolo della costante di tempo bisogna tener conto che adesso la resistenza vista dal condensatore è
2
ft 
Re q  R RL
Avmax è il guadagno del filtro in banda passante, cioè per f → 0; alle basse frequenze, il condensatore è un circuito
aperto e il filtro diventa un partitore resistivo, perciò si avrà:
Av max 
Voutp
Vinp

RL
R  RL
2.6 - Circuito da esaminare e verificare
Prima di procedere all’assemblaggio dei componenti R e C sulla basetta sperimentale in modo da realizzare il filtro
passa-basso occorre dimensionare i componenti del circuito.
Fig. 13/a – Filtro passa-basso
2.6.1 - Dimensionamento del circuito
Al fine di ben visualizzare le forme d’onda sull’oscilloscopio per tutte le frequenze esplicative del funzionamento del
filtro, si sceglie una frequenza di taglio ft abbastanza elevata (>1kHz), nel caso presente il filtro deve avere una frequenza di
taglio di 5KHz.
Dalla frequenza di taglio si esplicita e si calcola il valore del prodotto RC.
ft 
1
1
da cui R  C 

2   R  C
2    ft
 [da calcolare e da convertire in μs]
Si fissa C = 4,7 nF e si calcola R:
Sigla Componente
R
C
Valore nominale
………. - ¼ w – 5%
4,7 nF - poliestere – 10%
Valore effettivo
Da misurare con il ohmmetro: ……………
Da misurare con il capacimetro: ……………
Scarto %
Come segnale d’ingresso si utilizza un segnale sinusoidale a valore medio nullo e ampiezza 5Vpp [(5senωt)V] e
frequenza variabile da 100Hz a 100kHz.
8
2.6.2 - Procedimento della verifica
1. Si monta il filtro passa basso senza resistenze di sorgente e di carico.
2. Si collega in ingresso il generatore di funzione predisposto su segnale sinusoidale, di ampiezza 5Vpp, con il canale CH1
dell’oscilloscopio collegato direttamente al generatore di funzione e il canale CH2 in parallelo al condensatore (attenzione alle
sonde attenuate se utilizzate!).
3. Si regola la frequenza del generatore di funzione a 100Hz con una tensione sinusoidale di 5Vpp senza sovrapporre in uscita
nessuna tensione continua (Vdc = 0V).
4. Si controlla che la tensione di ingresso sia sempre di 5Vpp e si misura l’ampiezza della tensione d’uscita Vo e il tempo di
ritardo Δt tra i segnali d’ingresso e d’uscita. Attenzione! Per misurare lo sfasamento tra la sinusoide di ingresso e quello
dell’uscita occorre ottenere la stessa ampiezza sullo schermo dell’oscilloscopio per entrambe le forme d’onda, pertanto bisogna
PORTARE FUORI CALIBRAZIONE uno dei due canali verticali (V/div) dell’oscilloscopio. E’ importante ricordare di ripristinare la
calibrazione ad ogni successiva misura di tensione dell’uscita.
Fig. 13/b – Misura di sfasamento con l’oscilloscopio. Si noti che
l’ampiezza delle due tracce è stata resa identica per ottenere
un errore inferiore nella misura dello sfasamento.
Fig. 13/c – Misura di sfasamento con l’oscilloscopio. Una
maggiore espansione (occorre diminuire il Time/div  Asse dei
tempi) del tratto P1 e P2 permette di ottenere una lettura con
un errore inferiore.
5. Si regola, in successione, la frequenza partendo dal valore di 100Hz fino a raggiungere 100KHz e si ripetono i punti 3 e 4.
6. Si tabulano i dati.
7. Per ottenere valori calcolati si utilizzi un foglio Excel
Per i valori calcolati utilizzare le seguenti formule:
Sigla
formula
[F1]
Formula
A
1

1  jRC
e lo sfasamento
Quindi si avrà:
[F2]
A
1
1 j
f
ft
  arctg
Note
A
da cui si ottiene
f
.
ft
Vout  A  Vin 
 f 
1   
 ft 
2
I valori numerici di Vout sono
ovviamente espressi in Volt e risultano
inferiori alla Vin.
Vin
 f 
1   
 ft 
1
2
1
 f 
1   
 ft 
Sono valori numerici inferiori o
massimo uguali a 1
2
9
[F3]
AdB  20 log A
I valori sono espressi in decibel
[F4]





[in radianti] t 
[in secondi]




 2f 180 360  f
f
  arctg
ft
E’ opportuno esprimere i valori in
-6
microsecondi (dove 1μs = 10 s)
[F5]
t 
Freq.
Vin
impo
sta
Vin
Misura
-ta
[Hz]
100
500
1K
2K
3K
4K
4,1 K
4,2 K
4,3 K
4,4 K
4,5 K
4,6 K
4,7 K
4,8 K
4,9 K
5K
5,1 K
5,2 K
5,3 K
5,4 K
5,5 K
5,6 K
5,7 K
5,8 K
5,9 K
6K
7K
8K
9K
10 K
15 K
20 K
30 K
40 K
50 K
70 K
80 K
100 K
[Vpp]
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
[Vpp]
Vout
Calcolata
[F1]
[Vpp]
L'arctg corrisponde sulla calcolatrice a
-1
tan cioè alla tangente elevato alla
meno 1
TABELLA 1 - Filtro passa-basso RC
Vout
Misura
-ta
[Vpp]
A
Calcolata
[F2]
AdB
Calcolata
[F3]
[db]
2.6.3 - Procedimento della simulazione
Tempo
di
sfasamento
Δt calcolato
[F4]
[μsec]
Tempo
di
sfasamento
Δt misurato
[μsec]
Angolo
di
sfasamento
ϕ Calcolato
[F5]
[gradi]
Angolo
di
sfasamento
ϕ
misurato
[gradi]
Per ottenere un corretto risultato di simulazione del circuito RC (fig. 13/d) è necessario partire dal software PSpice
(disponibile al seguente link: http://www.istitutoprimolevi.gov.it/node/206 come applicativo interno al pacchetto Orcad v.9.2
utilizzabile anche per il sistema operativo Windows 7 e Windows 8) in modo che sia correttamente installato sul Personal
Computer.
Nell’impostazioni dei valori dei componenti si utilizzi:
10
a) i valori reali del resistore e del condensatore
b) nella fig. 13/e si nota come si deve settare l’“Analysis Type” con “AC Sweep/noise” e modalità “Logarithmic” e le
opzioni “Start Frequency” pari a 100Hz da insrire solo il valore “100”, “End Frequency” pari a 1MHz che dovrà essere inserito
come “1Meg” e “Point/decade” pari a 1000.
Fig. 13/d - Esempio per la simulazione con il programma
PSpice di un Filtro Passa-Basso
Fig. 13/e - Esempio di configurazione per la simulazione con il
programma PSpice di un Filtro Passa-Basso
Le tracce da visualizzare ed esportare nel grafico della pagina successiva sono la tensione di uscita del generatore e la
tensione ai capi del condensatore.
Si ricorda che la fase di esportazione si ottiene dal software, dopo aver visualizzato il grafico, dal menù in alto
selezionando “File”  “Print Preview”  “Stampa”. Inoltre, si ricorda che la stampa del grafico avviene su una pagina A4 mentre
lo spazio disponibile per inserire il grafico è decisamente inferiore. Per ridurre le dimensioni una soluzione è quella di fotocopiare
la stampa riducendone le dimensioni, oppure di salvare lo schermo intero con il tasto “Stamp” (quello accanto a “F12”). Aprire il
programma “Paint” e incollare la schermata con CTRL+V, dopo aver selezionato, ritagliato e salvato solo la porzione di immagine
contenente il grafico è possibile effettuare una stampa riducendo le dimensioni dell’immagine alla grandezza richiesta.
Incollare la stampa del grafico con la risposta in frequenza del filtro passa-basso RC
11
3.0 - Filtro passa basso RL
L
Vout
Vin
Fig. 14 – Filtro passa-basso con LR
R
1kHz
Il filtro passa basso RL (fig. 14) ha una struttura duale rispetto a quella del filtro passa basso RC; nel senso che, nel filtro
passa basso RL, la resistenza e la reattanza hanno posizioni scambiate rispetto a quelle che occupano nel passa basso RC. Ciò è
dovuto al fatto che la bobina ha un comportamento duale rispetto a quello del condensatore perché, quando l’una si comporta
da resistenza elevata, l’altro si comporta da resistenza di piccolo valore e viceversa.
Anche questo filtro è un partitore costituito dall’impedenza induttiva ZL  jL e dalla resistenza R; perciò:
alle basse frequenze la reattanza induttiva XL  L  2  fL è trascurabile, la tensione che cade su di essa è piccola
e quindi i segnali sinusoidali di bassa frequenza si trasferiscono quasi inalterati sulla resistenza R, cioè in uscita.
Viceversa alle alte frequenze la reattanza induttiva è molto elevata e perciò i segnali di alta frequenza sono bloccati dalla
bobina; la tensione di uscita è, quindi, molto piccola e il circuito si comporta da filtro passa basso.

3.1 - Funzione di trasferimento
Come nel filtro passa basso RC, la funzione di trasferimento è:
F ( j ) 
Vout
Vin

1

1 j
t
1

1 j
f
ft
L
1
anche in questo caso e  
è la costante di tempo della bobina; il suo inverso è, ovviamente, la pulsazione
2
R
caratteristica t  2  ft .
dove ft 
Anche stavolta occorre rilevare che sia la costante di tempo, sia la pulsazione caratteristica, sia la frequenza
caratteristica dipendono solo dai componenti del circuito e restano costanti sino a quando non cambiamo il valore di R e L.
3.2 - Risposta in ampiezza
Al solito, il guadagno di tensione Av è il modulo di F(j) ; perciò:
Av  F ( j ) 
1
 

 t 
2

1
f 
1   
 ft 
1 
2
Ribadiamo che Av è adimensionale in quanto è il rapporto tra due tensioni, quella di uscita e quella di ingresso. Anche
stavolta:
 per f << ft , Av  1  Av max (0dB ) ; quindi, per frequenze molto più piccole di ft, il picco del segnale di uscita è
circa uguale al picco del segnale di ingresso; cioè il filtro lascia passare i segnali la cui frequenza è molto più piccola di ft;
e infatti il filtro è di tipo passa basso.

per f = ft ,
Av 
1
2
 0.707 ( 3dB ) ; questo significa che, quando la frequenza del segnale di ingresso è uguale
alla frequenza caratteristica del filtro, il picco del segnale di uscita è il 70% del picco del segnale di ingresso; la frequenza
ft è la frequenza di taglio del filtro.

per f >> ft , Av  0 , più precisamente
Av 
ft
; perciò, quando la frequenza del segnale di ingresso è molto più
f
elevata della frequenza di taglio del filtro, il guadagno del filtro diminuisce con una pendenza di 20dB/dec e il picco del
segnale di uscita diventa molto piccolo; il filtro, cioè, blocca i segnali la cui frequenza è molto più elevata della frequenza
di taglio.
12
L
Vin
Vout
A: vout
4.7mH
R
270
2.500 dB
-2.500 dB
1kHz
-7.500 dB
-1/1V
-12.50 dB
-17.50 dB
-22.50 dB
1.000 Hz
100.0 Hz
10.00kHz
Measurement Cursors
1
Fig. 15 – filtro passa-basso con LR
vout
X: 9.1405k
Y: -3.0094
Fig. 16 – Risposta in frequenza del filtro passa-basso
In fig. 15 abbiamo lo schema di un filtro passa basso pilotato da un generatore di segnali sinusoidali il cui picco viene
mantenuto costantemente a 1V; per questo filtro:
 
L 4.7  10  3
4.7  10  3

sec 
 17.4  10  6  17.4  sec
R
270
0.27  10 3
t  1 
ft  t
2

1
10 6

rad / sec  57.5 krad / sec
17.4  10 6 17.4
57.5  10 3
 9.15kHz
2
In fig. 16 è riportato il guadagno del filtro, espresso in dB, al variare della frequenza (in scala logaritmica); il diagramma
di Bode cioè. Come possiamo constatare, il guadagno del filtro si mantiene a 0dB sino a circa 3kHz; esso quindi lascia passare
inalterati i segnali di bassa frequenza.
Per frequenze superiori a 3 kHz, il guadagno comincia a diminuire e diventa -3dB alla frequenza di circa 9.15kHz, cioè
alla frequenza di taglio. Per frequenze maggiori guadagno si riduce ulteriormente e la sua attenuazione diventa, perciò, molto
elevata.
3.3 - Risposta in fase
Anche per la risposta in fase φ() vale quanto già detto per il filtro passa basso RC; essa è data dall’argomento della
1
risposta in frequenza F ( j ) 
1 j

t

1
f
1 j
ft
;
perciò :
 f 
 
 ( f )   arctan    arctan 
 t 
 ft 
Notiamo ancora una volta che:
 per f << ft ,  ( f )  0 ; ciò significa che i segnali di bassa frequenza, oltre a non essere attenuati, non vengono
neanche sfasati apprezzabilmente.

per f = ft ,
f
 ( f )   arctan    arctan1  45 ; cioè, alla frequenza di taglio, la tensione di uscita è in
 ft 
ritardo di 45º rispetto a quella di ingresso.

 per f >> ft ,  ( f )  90 ; ciò significa che, alle alte frequenze, il ritardo prodotto dal filtro tende verso i 90º.
In fig. 17 è riportata la risposta in fase del filtro; essa conferma pienamente quanto abbiamo appena detto: lo sfasamento
tra uscita e ingresso
 è praticamente nullo alle basse frequenze (in banda passante
 è di 45º in ritardo alla frequenza di 9.15kHz (alla frequenza di taglio)
13

tende a -90º alle alte frequenze (in banda attenuata)
10.00 Deg
A: vout
-10.00 Deg
-30.00 Deg
-50.00 Deg
-70.00 Deg
-90.00 Deg
1.000 Hz
10.00 Hz
100.0 Hz
1.000kHz
10.00kHz
100.0kHz
Measurement Cursors
1
vout
X: 9.1500k
Y: -45.022
Fig. 17 – Sfasamento del filtro passa-basso LR alle frequenze
La reattanza capacitiva varia con la frequenza; in particolare alla frequenza di taglio la reattanza della bobina è uguale al
valore della resistenza R; infatti:
XL ( ft )  2  ft  L  2 
R
L  R
2  L
Se teniamo conto della resistenza della bobina, spesso non trascurabile, il circuito del nostro filtro diventa quello di
fig.18, in cui Rs è la resistenza della bobina e RL è il carico:
Rs
L
Vout
Vin
RL
Fig. 18 – Filtro passa-basso con resistore di carico RL
1kHz
La funzione di trasferimento del filtro ha sempre la forma:
Av max
F ( j ) 
1 j
1
; nel calcolo della costante di tempo bisogna tener conto che adesso la resistenza vista dalla bobina è
2
 Rs  RL
in cui
Re q
f
ft
ft 
Avmax è il guadagno del filtro in banda passante, cioè per f → 0; alle basse frequenze, l’induttanza L si comporta da cortocircuito
e il filtro diventa un partitore resistivo; perciò:
Av max 
Voutp
Vinp

RL
R  RL
14
4.0 - Filtro passa alto RC
C
Vout
Vin
Fig. 18 – Filtro passa-alto di tipo CR
R
1kHz
Nel circuito di fig. 18 la tensione di uscita Vout è prelevata ai capi della resistenza R. Esso è un filtro passa alto; infatti esso è
un partitore di tensione costituito dalla resistenza R e dall’impedenza Zc del condensatore che, come sappiamo, è molto elevata
alle basse frequenze mentre si riduce molto quando la frequenza del segnale è molto elevata. Di conseguenza:
 se la frequenza del segnale di ingresso è molto piccola, allora il condensatore si comporta come una resistenza molto
elevata; il segnale di ingresso cade in gran parte su di esso e la tensione di uscita, quella ai capi di R, è, perciò, molto
piccola.
 se la frequenza di Vin è molto elevata, allora il condensatore si comporta come una resistenza molto piccola e anche la
tensione ai suoi capi è molto piccola. La tensione di ingresso si trasferisce quasi tutta in uscita e il circuito si comporta da
filtro passa alto.
4.1 - Funzione di trasferimento
Il circuito è sempre un partitore di tensione; perciò:
Vout  Vin
R
R 1
j C
e quindi:
F ( j ) 
Vout
Vin

R
R 1
1

1
j C
1
jRC
1

1
j
RC
Anche per il passa alto vengono definite la costante di tempo, la pulsazione critica e la frequenza critica; allo stesso
modo che per il passa basso :
  RC (sec) , t  1
RC
 1 (rad/sec) , ft  t
1
1
(Hz)

2
2RC
2
Osserviamo che la costante di tempo, la pulsazione caratteristica e la frequenza caratteristica sono le stesse che per il
passa basso perché i due filtri RC hanno lo stesso circuito; l’unica cosa che li differenzia è il componente su cui si preleva la
tensione di uscita.
La funzione di trasferimento diventa perciò:
F ( j ) 
1
t
1 j

1

1 j
ft
f
4.2 - Risposta in ampiezza
Al solito, il guadagno Av è il modulo della risposta in frequenza F(j); perciò:
Av  F ( j ) 
1
 t 

 
2

1
 ft 
1   
f 
1 
2
Osserviamo che:
 per f << ft , la quantità sotto radice diventa molto elevata e perciò Av  0 ; ciò significa che, per frequenze molto più
piccole di ft, il picco del segnale di uscita diventa molto piccolo; il filtro, cioè, blocca i segnali la cui frequenza è molto più
piccola della frequenza di taglio.

per f = ft ,
Av 
1
2

Av max
2
 0.707 (-3dB); questo significa che , quando la frequenza del segnale di ingresso è
uguale alla frequenza caratteristica del filtro, il guadagno di tensione del filtro è il 70% di quello massimo; la frequenza ft
è quindi la frequenza di taglio del filtro.
15

Av 
per f >> ft , Av  1  Av max (0dB); ciò significa che, quando la frequenza del segnale di ingresso è molto più elevata
della frequenza di taglio del filtro, il picco del segnale di uscita è circa uguale al picco del segnale di ingresso; cioè il
filtro lascia passare i segnali la cui frequenza è molto più elevata di ft; e infatti il nostro filtro è di tipo passa alto.
Osservando attentamente il guadagno per f << ft, notiamo che:
1
 ft 
 
 f 
2

f
1

ft
ft
f
 ft 
dato che 1 è trascurabile rispetto a  
 f 
2
In definitiva, a frequenze molto basse, il guadagno del filtro cresce in modo direttamente proporzionale alla frequenza;
ciò significa che, quando la frequenza aumenta di un fattore 10, il guadagno di tensione di sminuisce dello stesso fattore; quindi,
per f << ft, il guadagno cresce di 20dB quando la frequenza aumenta di una decade; ovviamente, quando f diventa molto
maggiore di ft, il guadagno del filtro si stabilizza al valore di Avmax.
C
Vin
Vout
A
A: vout
1.000 V
22nF
0.800 V
8.2k
R
1kHz
0.600 V
0.400 V
0.200 V
0.000 V
1.000 Hz
100.0 Hz
10.00kHz
Measurement Cursors
1
Fig. 19 – Filtro passa-alto
vout
X: 882.20
Y: 707.05m
Fig. 20 – Risposta in frequenza del filtro passa-alto
In fig. 19 abbiamo lo schema di un filtro passa alto pilotato da un generatore di segnali sinusoidali il cui picco viene
mantenuto costantemente a 1V; per questo filtro:
  RC  8.2  103  22  10  9 sec  180.4  10  6 sec  180.4  sec  0.18m sec
t  1 
ft  t
1
103

rad / sec  5.54 krad / sec
0.18 10 3 0.18
5.54 103

 882.2 Hz
2
2
In fig. 20 è riportato l’andamento del picco di Vout al variare della frequenza (in scala logaritmica); come possiamo
notare, il picco di Vout si mantiene a 1V (uguale a quello di Vin) per frequenze elevate (da qualche kHz in poi); per valori più
piccoli di frequenza, il picco di Vout comincia a diminuire e diventa 707 mV alla frequenza di 882.2 Hz, cioè alla frequenza di
taglio. Per frequenze più piccole di 882.2Hz il picco di Vout si riduce ulteriormente sino a diventare inapprezzabile.
16
0.000 dB
A: vout
A: vout
-20.00 dB
-20.00 dB
-40.00 dB
-40.00 dB
-60.00 dB
1.000 Hz
-60.00 dB
1.000 Hz
1.000kHz
Measurement Cursors
1
vout
0.000 dB
X: 882.01
1.000kHz
Measurement Cursors
Y: -3.0123
1
vout
X: 10.000
Y: -38.912
2
vout
X: 100.00
Y: -18.967
X: 90.000
Y: 19.945
Cursor 2 - Cursor 1
Fig. 21 – Diagramma di Bode del guadagno
Fig. 22 – Variazione guadagno in una decade
La fig. 21 riporta il diagramma di Bode del guadagno del filtro; come ci aspettavamo, dal diagramma si rileva che:
 a frequenze elevate il guadagno è 0dB e quindi il filtro non attenua; esso lascia passare i segnali di frequenza più
elevata della frequenza di taglio.
 alla frequenza di taglio (882.2Hz), il guadagno del filtro è -3dB, cioè 3dB in meno rispetto al valore che ha in banda
passante.
 a frequenze più piccole della frequenza di taglio, il filtro attenua notevolmente.
La fig. 22 invece mostra che, in banda attenuata, quando la frequenza del segnale varia di una decade, da 10Hz a 100Hz nel
nostro caso, il guadagno varia di quasi 20dB.
4.3 - Risposta in fase
La risposta in fase φ() è data dall’argomento della risposta in frequenza F ( j ) 
1
t
1 j


1
ft
1 j
f
;
perciò :
 ft 
 t 
 ( f )  arctan   arctan 
 
 f 
Notiamo che:

per f << ft ,  ( f )  90 ; ciò significa che, quando la frequenza del segnale di ingresso è molto più piccola della
frequenza di taglio del filtro, la tensione di uscita tende ad anticipare di 90º rispetto a quella di ingresso .

per f = ft ,

ingresso è uguale alla frequenza di taglio del filtro, la tensione di uscita è in anticipo di 45º rispetto a quella di ingresso.
per f >> ft ,  ( f )  0 ; ciò significa che, quando la frequenza del segnale di ingresso è molto più elevata della
frequenza di taglio del filtro, cioè in banda passante, la tensione di uscita è praticamente in fase con quella di ingresso.
0
 ft 
 ( f )  arctan   arctan1  45 ; questo significa che, quando la frequenza del segnale di
f
17
A: vout
90.00 Deg
70.00 Deg
50.00 Deg
30.00 Deg
10.00 Deg
-10.00 Deg
1.000 Hz
10.00 Hz
100.0 Hz
1.000kHz
10.00kHz
100.0kHz
Measurement Cursors
1
vout
X: 882.01
Y: 45.007
Fig. 23 – Sfasamento in funzione della frequenza del filtro passa-alto
La fig. 23 mostra la risposta in fase del filtro passa alto: in banda passante, cioè alle alte frequenze, lo sfasamento tra
uscita ed ingresso è trascurabile, mentre è di 45º in anticipo alla frequenza di taglio (882Hz). In banda attenuata, cioè alle basse
frequenze, lo sfasamento tra uscita e ingresso tende verso i 90º in anticipo.
5.0 - Filtro passa alto RL
R
Vout
Vin
Fig. 24 – filtro passa-alto con RL
L
1kHz
Anche il filtro passa alto RL (fig. 24) ha una struttura duale rispetto a quella del corrispondente filtro passa alto RC;
infatti, anche stavolta la resistenza e la reattanza hanno posizioni scambiate rispetto a quelle che occupano nel passa alto RC. Ciò
è dovuto sempre al fatto che la bobina e il condensatore hanno un comportamento duale.
Anche questo filtro è un partitore costituito dall’impedenza induttiva ZL  jL e dalla resistenza R; perciò:


poiché alle basse frequenze la reattanza induttiva XL  L  2  fL è trascurabile, la tensione che cade su di essa,
cioè la tensione di uscita, è piccola e quindi i segnali sinusoidali di bassa frequenza vengono attenuati dal filtro
viceversa alle alte frequenze la reattanza induttiva è molto elevata e perciò i segnali di alta frequenza si trasferiscono
quasi per intero sulla bobina, cioè in uscita; la tensione di uscita è, quindi, pressoché uguale a quella di ingresso e il
circuito si comporta da filtro passa alto.
5.1 - Funzione di trasferimento
Come nel filtro passa alto RC, la funzione di trasferimento è:
F ( j ) 
1
t
1 j

1

1 j
1
2
caratteristica t  2  ft .
Al solito, ft 
ft
ft
e  
L
R
è la costante di tempo della bobina; il suo inverso è, ovviamente, la pulsazione
La costante di tempo, la pulsazione caratteristica e la frequenza caratteristica, come sempre, dipendono solo dai
componenti del circuito e restano costanti sino a quando non cambiamo il valore di R e L .
18
5.2 - Risposta in ampiezza
Ricavando il guadagno di tensione, otteniamo
1
Av  F ( j ) 
 t 

 
2
1

 ft 

f 
1 
2
1  
Come nel passa alto RC, osserviamo che:
 per f << ft , la quantità sotto radice diventa molto elevata e perciò Av  0 ; ciò significa che il filtro blocca i segnali la
cui frequenza è molto più piccola della frequenza di taglio.


Av 
per f = ft ,
1
2

Av max
2
 0.707 (-3dB); cioè quando la frequenza del segnale di ingresso è uguale alla
frequenza caratteristica del filtro, il guadagno del filtro è il 70% di quello di massimo; la frequenza ft è quindi la
frequenza di taglio del filtro.
per f >> ft , Av  1 (0dB); ciò significa che il filtro lascia passare i segnali la cui frequenza è molto più elevata di ft; e
infatti il nostro filtro è di tipo passa alto.
R
Vin
Vout
A: vout
150
10mH
1.000 V
0.800 V
L
1kHz
0.600 V
0.400 V
0.200 V
0.000 V
1.000 Hz
100.0 Hz
10.00kHz
Measurement Cursors
1
Fig. 25 – Filtro passa-alto
vout
X: 2.3869k
Y: 707.02m
Fig. 26 – risposta in frequenza del filtro passa-alto
In fig. 25 abbiamo lo schema di un filtro passa alto RL pilotato da un generatore di segnali sinusoidali il cui picco viene
mantenuto costantemente a 1V; per questo filtro:
 
L 10  10  3
10  10  3

sec 
 66.7  10  6 sec  66.7  sec
3
R
150
0.15  10
 t  1 
ft   t
2 

1
106

rad / sec  15 krad / sec
66.7 10 6 66.7
15 103
 2.39kHz
2
In fig. 26 troviamo l’andamento del picco di Vout al variare della frequenza anche stavolta, il picco di Vout si mantiene a 1V
(uguale a quello di Vin) per frequenze elevate (da 10 kHz in poi, grossomodo); per valori più piccoli di frequenza, il picco di Vout
comincia a diminuire e diventa 707 mV alla frequenza di 2.386 Hz, cioè alla frequenza di taglio. Per frequenze più piccole di
2.386Hz il picco di Vout si riduce ulteriormente sino a diventare inapprezzabile. Se osserviamo il diagramma di Bode del
guadagno notiamo che:
 in banda passante (alte frequenze) il guadagno del filtro è 0dB (fig. 27)
 alla frequenza di taglio il guadagno del filtro è -3dB (fig. 28)
 in banda attenuata, il guadagno del filtro varia di circa 20dB quando f varia di una decade (fig. 28)
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A: vout
0.000 dB
A: vout
-20.00 dB
-20.00 dB
-40.00 dB
-40.00 dB
-60.00 dB
-60.00 dB
-80.00 dB
1.000 Hz
-80.00 dB
1.000 Hz
1.000kHz
Measurement Cursors
1
vout
0.000 dB
X: 2.3869k
1.000kHz
Measurement Cursors
Y: -3.0115
1
vout
X: 10.000
Y: -47.558
2
vout
X: 100.04
Y: -27.562
X: 90.040
Y: 19.996
Cursor 2 - Cursor 1
Fig. 27 – Diagramma di Bode
Fig. 28 – Variazione di una decade
5.3 - Risposta in fase
Come sempre φ(f) è data dall’argomento della risposta in frequenza F ( j ) 
1
t
1 j


1
ft
1 j
f
;
perciò :
 ft 
 t 
 ( f )  arctan   arctan 
 
 f 
Come nel passa alto RC:

per f << ft ,  ( f )  90 ; ciò significa che, in banda attenuata, la tensione di uscita tende ad anticipare di 90º rispetto
a quella di ingresso.

per f = ft ,
0
 t 
 ( f )  arctan   arctan1  45 ; ancora una volta, alla frequenza di taglio la tensione di uscita
 
è in anticipo di 45º rispetto a quella di ingresso.
per f >> ft ,  ( f )  0 ; ciò significa che, in banda passante, la tensione di uscita è praticamente in fase con quella di
ingresso.
La curva di fase del filtro, riportata in fig. 29 conferma quanto abbiamo appena osservato.

A: vout
90.00 Deg
70.00 Deg
50.00 Deg
30.00 Deg
10.00 Deg
-10.00 Deg
1.000 Hz
10.00 Hz
100.0 Hz
1.000kHz
10.00kHz
100.0kHz
Measurement Cursors
1
vout
X: 2.3866k
Y: 45.009
Fig. 29 – Sfasamento alle frequenze del filtro passa-alto
Anche nel filtro passa alto RL, alla frequenza di taglio, la reattanza induttiva è uguale al valore della resistenza R, come si
può facilmente verificare.
20
6.0 - Filtri passa banda
Fig. 30 – filtro passa-banda
Per realizzare un filtro passa banda, si può pensare di mettere in cascata un filtro passa alto di frequenza di taglio
inferiore fL, che blocca le frequenze minori di fL, ed un passa basso di frequenza di taglio superiore fH, che taglia le frequenze
maggiori di fH, come in fig. 31; l’ordine con cui sono inseriti i due filtri non è importante.
C2
R1
Vout
Vin
C1
R2
Fig. 31 – schema circuitale del filtro passa-banda
1kHz
Questa maniera di realizzare il passa banda è, però, effettivamente praticabile quando la banda passante del filtro è
molto larga, come in fig. 30; in questo caso, infatti, i due filtri tagliano in zone molto diverse di frequenza per cui essi non
interferiscono.
Ovviamente, al posto di due filtri RC, potremmo usare due filtri RL.
Quando, invece, la banda passante del filtro è molto stretta, come in fig. 32, i due filtri vengono a tagliare in zone molto
vicine se non nella stessa zona; i loro effetti si sovrappongono e, come risultato, l’attenuazione del filtro può essere rilevante,
anche in banda passante. Per questo motivo, per realizzare i filtri passa banda, a banda stretta, si preferisce ricorrere ai circuiti
risonanti.
Fig. 32 – filtro passa-banda con banda passante molto
piccola e ristretta
21
7.0 - Filtri taglia banda (Notch)
Fig. 33 – filtro taglia-banda
Il filtro taglia banda lascia passare tutte le frequenze, bloccando solo quelle comprese in un certo intervallo; esso è
usato per bloccare un rumore fastidioso ad una determinata frequenza, ad esempio quella di rete coincidente con 50Hz o con i
suoi multipli 100Hz.
La figura 33 riporta la risposta in ampiezza di un filtro notch che blocca solo le frequenze centrate attorno a 50Hz; tutte
le altre frequenze sono lasciate passare.
La risposta in ampiezza suggerisce che il filtro potrebbe essere realizzato mettendo in parallelo due filtri, uno passa
basso con frequenza di taglio fL, l’altro passa alto con frequenza di taglio fH, come in fig. 34.
In questo modo:
 i segnali di frequenza minore di fL passano attraverso il passa basso, mentre sono bloccati dal passa alto
 i segnali di frequenza maggiore di fH passano attraverso il passa alto e sono bloccati dal passa basso
 i segnali di frequenza compresa tra fL e fH vengono bloccati da entrambi i filtri
Passa basso
fL
fL
Vin
Vout
Fig. 34 – Filtro notch realizzato con due filtri collegati in
parallelo
fH
fH
Passa alto
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