3 Grafici di funzione

1 Cenni di topologia di ℝ
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ , cioè E  ℝ
qualunque numero M tale che x  E risulti x  M .
allora diremo maggiorante di E un
Definizione: Se esiste almeno un maggiorante di E diremo che E è limitato superiormente
M
xE
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ , cioè E  ℝ allora diremo minorante di E un qualunque
numero m tale che x  ℝ risulti x  m .
Definizione: Se esiste almeno un minorante di E diremo che E è limitato inferiormente
xE
m
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ , cioè E  ℝ allora diremo che E è limitato se è sia
limitato superiormente che limitato inferiormente.
E
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ . Il più piccolo dei maggioranti di E lo chiameremo
massimo di E se appartiene ad E altrimenti lo chiameremo estremo superiore di E
E
E
minimo
Estremo inferiore
Massimo
Estremo superiore
E
E
1
Definizione: siano a ℝ e b  ℝ. Diremo intervallo aperto il sottoinsieme ] a, b [ di ℝ tale
che a  x  b
a
b
Definizione: siano a ℝ e b  ℝ. Diremo intervallo chiuso il sottoinsieme [ a, b ] di ℝ tale
che a  x  b
a
b
Definizione: sia x0 ℝ . Diremo intorno di x 0 , I ( x0 ) ogni intervallo aperto contente x 0 . Se  1 ℝ
e  2  ℝ avremo pertanto:
I ( x 0 ) = ] x0   1 , x0   2 [
x0   1
x0
x0   2
Inoltre se 1   2   l’intorno si dirà sferico:
I ( x0 ) = x  R : | x  x0 |  
x0  
x0
x0  
Si definiscono anche l’ intorno destro: I ( x0 ) = ] x0 , x0   [ ; l’ intorno sinistro I ( x0 ) = ] x0   , x0 [ .
Definizione: diciamo intorno di + ¥ un qualunque insieme della forma (a, + ¥ ) , intorno di - ¥
qualunque insieme della forma (- ¥ , b) , intorno di ¥ qualunque insieme tipo (- ¥ , a ) È (b, + ¥ ) .
Definizione: Sia E un sottoinsieme di ℝ . Si dice che x 0 è punto di accumulazione per E se in ogni
intorno di x 0 cade almeno un elemento di E diverso da x 0 .
E
sono punti di accumulazi one
non è punto di accumulazi one
Si noti che i punti di frontiera di un intervallo sono punti di accumulazione per esso, pertanto
diremo anche che un intervallo è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Notare:
1) se cade almeno un punto di E in un intorno di un punto di accumulazione allora ce ne
cadono infiniti
2) non è detto che il punto di accumulazione appartenga ad E. esempi ne sono tutti gli
1
intervalli aperti, l’insieme dei reali pari ai naturali
con n Î ¥ dove zero è un punto di
n
accumulazione ma non lo è nessun numero dell’ insieme.
3) Se esiste almeno un intorno del punto che non contiene altri elementi di E il punto si dice
isolato
(Re Fraschini pp.10-14)
2
2 Le funzioni
2.1 Definizione di funzione
Una coppia ordinata di oggetti è un insieme costituito da due oggetti (a; b) individuato oltre che
dagli oggetti in questione dalla loro disposizione ordinata, vale a dire che (a; b) è differente da (b;
a). Ad esempio sono coppie ordinate (1; 4) , (3.11; a), (Mario; Alberto) e così via.
Con il termine funzione si intende un insieme di coppie ordinate di oggetti e precisamente:
Definizione: Si definisce funzione f un insieme di coppie ordinate di oggetti (x; y) in cui non ve
ne siano mai due con lo stesso primo membro
L’insieme di tutti i valori x che compaiono al primo membro delle coppie ordinate (x; y) di una
funzione f è detto dominio di f, mentre l’insieme di tutti i valori che compaiono a secondo membro
di tali coppie è detto codominio di f.
Per una funzione ad ogni valore di x nel dominio corrisponde quindi un solo valore di y nel
codominio e quindi si scrive solitamente:
f :DC
dove con D si è indicato il dominio di f e con C il suo codominio. Alla grandezza x si dà il nome di
variabile indipendente mentre alla y quello di variabile dipendente. Il motivo di tale scelta è che è
comodo pensare alla funzione come ad una sorta di legge che, noto un valore della x, fornisce un
modo per trovare un valore della y corrispondente ad esso.
In questo senso una seconda possibile definizione di funzione è
Definizione: Dati due insiemi A e B si dice funzione di A in B una legge che associ ad ogni
elemento di A uno ed un solo elemento di B f : A  B
Questa seconda definizione, che è quella più largamente adottata nei testi scolastici, ci soddisfa un
po’ meno poiché il termine legge di cui essa fa uso è in qualche modo sinonimo di funzione, e
quindi in realtà non definisce molto, si limita a fare appello all’intuizione, assumendo il concetto di
funzione come primitivo.
Il codominio C della funzione è in questo caso l’insieme degli elementi di B che sono immagine di
almeno un elemento di A, cioè C  B .
Come si è detto le coppie (x; y) possono essere qualsiasi cosa, ma noi ci limiteremo allo studio delle
funzioni in cui x ed y sono dei numeri reali. Chiameremo l’oggetto del nostro studio funzioni reali
di variabile reale: dire funzione reale significa dire che y  ℝ, mentre dire variabile reale significa
che x ℝ. L’insieme delle coppie ordinate che costituiscono una funzione reale di variabile reale
può essere rappresentato sul piano cartesiano dando luogo a quello che viene detto il grafico della
funzione.
Assegnare una funzione dando l’insieme di tutte le coppie che la costituiscono non è fattibile poiché
trattandosi di numeri reali in generale avremo a che fare con una infinità di coppie. Molte delle
funzioni reali di variabile reale possono però essere espresse in modo sintetico attraverso una
relazione fra il numero reale x ed il numero reale y, relazione di natura geometrica, od anche
algebrica. Si pensi alle funzioni che già conosciamo: la funzione seno, ad esempio, associa
attraverso un procedimento geometrico ad un numero reale x, che rappresenta in questo caso la
misura della lunghezza di un arco, un numero reale y pari alla misura dell’ordinata del punto
3
individuato da quell’arco sul cerchio goniometrico. Noto il procedimento non è necessario
specificare le infinite coppie di valori ma più sinteticamente scriviamo y  sin x .
Ogni volta che associamo ad una funzione una scrittura sintetica sotto forma di equazione, del tipo:
y  f (x)
stiamo in realtà intendendo sinteticamente una serie di istruzioni che a partire da un valore della x ci
consentano di ricavare un valore della y. Si tratta soprattutto di procedimenti di natura geometrica: x
ed y sono misure di lunghezze legate da qualche specifico procedimento. In questo modo risulta
costituito una sorta di alfabeto delle funzioni, dette funzioni elementari:
1. le potenze intere: y  x ; y  x 2 ; y  x 3 etc
2. la funzione valore assoluto: y | x |
3.
4.
5.
6.
le radici ennesime: y  x ; y  3 x etc
le funzioni goniometriche: y  sin x ; y  cos x ; y  tgx ; y  cotgx
le funzioni goniometriche inverse: y  arcsin x ; y  arccos x ; y  arctan x
le funzioni esponenziali e logaritmiche: y  log a x ; y  a x
Attraverso di esse possiamo ottenere una grande varietà di funzioni reali di variabile reale: si tratta
semplicemente di combinarle tramite le operazioni algebriche o facendo agire le funzioni elementari
successivamente. Chiaramente questo procedimento non esaurisce tutte le funzioni reali di variabile
reale, anzi vi sono alcune funzioni delle quali è espressamente noto che non possono essere
espresse tramite una equazione che coinvolga combinazioni di funzioni elementari; però costituisce
una piattaforma dalla quale partire.
2.2 Funzioni iniettive, suriettive e biiettive
Evidentemente dalla definizione di funzione si ricava che, nota una funzione f, comunque preso un
valore di x appartenete al dominio di f esiste un solo, corrispondente valore di y nel codominio che
gli corrisponde. Non è tuttavia vero, in generale, il viceversa, non è cioè detto che comunque si
scelga un valore di y nel codominio della funzione ad esso corrisponda un solo valore della x nella
colonna dei primi membri: vi sono certamente dei casi di funzione per cui ciò accade, ma non è
tuttavia richiesto dalla definizione di funzione.
Le funzioni che godono di una tale particolare proprietà vengono dette funzioni iniettive.
Definizione: una funzione f : A  B si dice iniettiva se ad elementi diversi di A corrispondono
elementi diversi di B
Se cioè a  A; a' A a  a'  f (a)  f (a' )
f (a)  f (a' )
f (a ' )
f (a )
a
a'
a
a'
4
Esempi di funzioni iniettive: la retta, la cubica; non iniettive la parabola.
Non è poi detto che se f : A  B , qualora B non sia esattamente uguale al codominio della
funzione, che tutti gli elementi di B siano l’immagine di un elemento di A: possono esservi degli
elementi che non è possibile ottenere attraverso f partendo da un qualunque elemento di A. Ad
esempio consideriamo la funzione f : A  B | x  x 2 . Se ora sia A che B sono l’insieme dei
numeri reali ℝ, allora tramite f ad esempio non mai è possibile ottenere il numero reale –2.
Definizione: una funzione f : A  B si dice suriettiva su B quando ogni elemento di B è immagine
di almeno un elemento di A.
Nell’esempio precedente f f : R  R  | x  x 2 è suriettiva.
Se poi la funzione gode di entrambe le proprietà allora si dirà biunivoca o biiettiva.
Definizione: una funzione f : A  B si dice biiettiva se ogni elemento di B è immagine di uno ed
un solo elemento di A (è quindi una corrispondenza biunivoca fra A e B)
Notare però che una funzione può anche non essere né iniettiva né suriettiva, il caso precedente
f : R  R | x  x 2 ne è un esempio
Ogni funzione biunivoca f ammette la funzione inversa indicata con f
1
cioè tale che:
Definizione: si dice funzione inversa della funzione f : A  B la funzione
f 1 : B  A
che fa corrispondere ad ogni elemento b  B l’elemento a  A tale che f (a)  b
abbiamo già visto esempi di funzioni inverse, esponenziale e logaritmo; seno ed arcoseno. In questo
ultimo caso ricordiamo che l’inversione è possibile solo restringendosi ad un intervallo dove la
funzione seno è biunivoca
Esempio 1
Siano dati gli insiemi A2; 4; 6;  2 e B1; 3;  3; 9; 7 e sia inoltre definita la relazione f per cui:
f (2)  1
f (4)  3
f (6)  3
f (2)  1
stabilire se f è una funzione, se f è iniettiva, se f è suriettiva su B e se f è biiettiva. Scrivere quindi il
dominio di f ed il suo codominio.
Esempio 2
Dire se la funzione y  3 x è iniettiva e dire se è suriettiva su tutti i numeri reali
Esempio 3
Dire se è iniettiva y | x |
5
2.3 Funzioni composte
Definizione: Date le due funzioni :
f :AB
g:DC
dove f A  D , si dice funzione composta di f e g la funzione
h: AC
che ad ogni elemento a  A fa corrispondere l’elemento g ( f (a))  C e si scrive g  f cioè
( g  f )( a)  g ( f (a))
Notare che fare g  f non è lo stesso che fare f  g
Esempio 1
Siano date le due funzioni f e g di cui si sa che:
f (2)  1
f (4)  3
f (6)  3
f (2)  7
g (1)  5 g (3)  4 g (7)  3 g (3)  2
Calcolare: ( g  f )( 2) ; ( g  f )( 4) ; ( f  g )(3) ; ( g 1  f )( 4) ; ( g 1  f 1 )(2)
Esempio 2
Siano
f : R  R  | f ( x)  x 2  1
g : R   R | g ( x)  x
Calcoliamo g  f . Si può fare dato che il codominio di f è compreso (in questo caso coincide) col
dominio di g, quindi: ( g  f )( x)  f ( x)  x 2  1 (da R in R)
Calcoliamo f  g . Si può fare dato che il codominio di g è compreso (in questo caso coincide) nel
dominio di f, quindi: ( f  g )( x)  x  1 (notare che il dominio è da R+ in R+)
Esempio 3
Siano
f : R  R | f ( x)  x 3  1
g : R   R | g ( x)  x
In questo caso dato che il codominio di f non è contenuto nel dominio di g non esiste g  f .
Dovremmo restringerci alla regione x 3  1  0 cioè
x  -1 per calcolarla.
Viceversa ( f  g )( x)  ( x )  1 da R in R .
3
+
+
6
Domini di funzione Re Fraschini 17-2. Elenco dei casi:
1. y = x 5 - 6x 4 + 5x - 3
2. y =
4 - x2
x- 3
x 2 + 2x
4. y = log(2x 2 - 1)
3x - 1
5. y =
x+ 2
3. y =
Fare esercizi pg. 308 n.44, 49; pg. 309 n. 58, Pg.305 n. 1,6,8,9.
2.4 Le funzioni monotòne
Definizione: una funzione f : A  B , comunque presi x 1 ed x 1 Î A tali che x1 < x 2
f (x 2 )
f (x 1 ) = f (x 2 )
f (x 1 )
x1
x2
si dice m onot ona cr escent e
se f (x 1 ) < f (x 2 )
x1
x2
si dice m onot ona non decr escent e
se f (x 1 ) £ f (x 2 )
f (x 1 ) = f (x 2 )
f (x 1 )
f (x 2 )
x1
x2
si dice m onot ona decr escent e
se f (x 1 ) > f (x 2 )
x1
x2
si dice m onot ona non cr escent e
se f (x 1 ) ³ f (x 2 )
7
2.5 Funzioni pari e dispari
Definizione: una funzione f : A  B
f ( x ) = f (- x )
f (x )
-x
x
x
-x
f (- x )
si dice dispari
si dice pari
se f (-x ) = - f (x )
se f (- x ) = f (x )
Monotone, iniettive, suriettive, pari e dispari: Tomo A1 pp.23-32.
Dominio e segno di:
log3 (1 - x )
æ x ÷
ö
f (x ) = log 1 çç
, f (x ) = log 1 (tan x - 1) , f (x ) = log 1 (e 2x - 2e x - 3) , f (x ) =
÷
è
ø
2x - 1
2 x - 1
10
3
2.6 Condominio limitato ed illimitato
Definizione: una funzione f : A  B si dice limitata superiormente od inferiormente se il suo
condominio è un insieme limitato superiormente od inferiormente. Gli estremi superiore ed
inferiore del condominio si dicono estremo superiore ed inferiore di f (x ) . Esempio: seno, coseno,
arcotangente, y =
1- x2
Definizione: una funzione f : A  B si dice che ammette un massimo od un minimo assoluto se
esistono un massimo ed un minimo del condominio. Il punto x 0 dove f (x ) assume tali valori si dice
punto di massimo o di minimo.
Deve quindi essere nel punto di massimo assoluto:
1. f (x ) è definita in x 0
2. " x Î D | x ¹ x 0 Þ f (x ) £ f (x 0 )
Es.: varie parabole, seno e coseno. Non hanno massimo assoluto le funzioni omografiche,
l’arcotangente.
Tomo A1 23-28.
Es Tomo A1 p.417 n.67 (invertibili), 75,76,77 (iniettive e suriettive),
p.418 n. 81 , p.419 n. 83(composte)
8
3 Grafici di funzione
Conosciamo dallo studio degli anni passati l’andamento
di numerosi grafici: alcuni di essi rappresentano delle
funzioni reali di variabile reale, altri no.
y  mx  q
y  costante
3.1 Funzioni lineari
L’equazione di una retta in forma esplicita: y  mx  q
costituisce una funzione reale di variabile reale ed il suo
grafico può essere rappresentato con le tecniche note.
L’insieme delle coppie ordinate di numeri reali si ottiene
partendo da qualunque numero x ed associando ad esso
l’unico numero y fornito dalla relazione su scritta. Il
dominio di questa funzione è costituito dall’intero
x  costante
insieme dei numeri reali, cioè D = ℝ dato che
qualunque valore i x può essere inserito nell’equazione e restituire un valore di y. Analogamente,
purché m non sia nullo, qualunque valore di y può essere ottenuto: basterà scegliere il valore di x
y q
opportuno, x   , e quindi anche C= ℝ . Nel caso in cui sia m=0 avremo una funzione con le
m m
coppie a secondo membro tutte uguali allo stesso valore, q. Si tratta di una retta parallela all’asse
delle ascisse ed essa soddisfa pienamente la definizione di funzione dato che non vi sono due valori
di y che corrispondono allo stesso valore di x. In questo caso il dominio della funzione è tutto ℝ
mentre il codominio è costituito da un solo numero reale, la costante q.
Viceversa l’equazione della retta in forma implicita: ax  by  c  0 non sempre è quella di una
funzione. Nel particolare caso b=0 essa si riduce infatti alla: x = costante che come sappiamo
rappresenta una retta parallela all’asse delle ordinate. In questo caso vi sono infiniti valori di y che
corrispondono all’unico valore di x e la definizione di funzione non è soddisfatta.
3.2 Potenze intere
Le potenze di ordine pari, ovvero le funzioni della forma y  x 2 n con n intero sono simili ad una
parabola con una concavità più marcata fra –1 ed 1 a mano a mano che cresce n, ed un andamento
che per |x| > 1 cresce più velocemente di quello di una parabola. Tutte queste funzioni passano per i
punti (-1;1) e (1;1).
9
Un andamento qualitativamente simile si ha per le potenze di ordine dispari, vale a dire le funzioni
della forma y  x 2 n1 . Passano tutte per i punti (-1;-1) e (1;1).
x7
x
9
x5
x
3
x
6
x4 x
2
x8
1
1
1
1
1
1
x
4
3.3 Radici ennesime
x
6
Per ottenere i grafici delle funzioni
y  2n x e
y  2 n 1 x è sufficiente invertire i ruoli della x e della
y nei grafici precedenti. Chiaramente per le radici di
indice pari dovremo considerare solo i valori della x
positivi o nulli.
1
8
x
1
3.4 Esponenziali e logaritmiche
A seconda della base maggiore o minore di 1 ( ma sempre positiva!) per le funzioni y  a x si hanno
i seguenti andamenti:
y  ax
a 1
y  ax
0  a 1
10
x
Come si vede la funzione esponenziale accetta tutti i valori di x e quindi il suo dominio sono
l’intero insieme dei numeri reali
Analogamente per le funzioni logaritmiche, il cui grafico può essere ottenuto invertendo i ruoli di x
ed y nei precedenti grafici di esponenziali:
y  log a x
y  log a x
a 1
0  a 1
1
1
Il dominio della funzione logaritmo sono invece solamente i reali positivi, con esclusione dello
zero, dove ha un asintoto verticale.
3.5 Funzioni trigonometriche
Ecco i grafici di seno e coseno: sono funzioni che accettano tutti i valori di x nei numeri reali come
argomento: dominio ℝ ma codominio [-1;1].
11
y  sin x
1
π
2
π
2π
3
π
2
-1
y  cos x
1
π
2
π
2π
3
π
2
-1
Ed il grafico della tangente, che ha dominio x 
π
 kπ ( k ℤ) e della cotangente con dominio
2
x  kπ ( k ℤ). Codominio ℝ.
y  tgx
π
2
π
y  cotgx
3
π
2
π
2
π
3
π
2
3.6 Funzioni trigonometriche inverse
Basta invertire il ruolo degli assi x ed y nei grafici precedenti, cioè fare la simmetria rispetto alla
bisettrice del primo e terzo quadrante. Per invertire dobbiamo scegliere un intervallo in cui le
funzioni sono biunivoche, il che pone dei limiti sia al dominio che al codominio di tali funzioni
π
2
y  arcsin x
y  arccos x
12
π
Ed il grafico dell’arcotangente che ha per dominio tutto ℝ mentre il codominio è fra 
π π
e .
2 2
y  arctg x
π
2

π
2
Studiare vol 3 p1; p7,8,9;p12,13,14,15,16; p25,26,27,28
Vol 1 p1-10; alternativamente p13,14,15
3.7 Funzioni con grafico ottenibile da quello di una parabola
Le parabole con asse parallelo all’asse delle ordinate la cui equazione ha la forma ….
Me so stufato de scrive: studiatelo sul libro.
13