FIS. GEN vecchio Progr. 10 CFU Compito A
II Appello A.A. 2009-2010
11.07.2010
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1Una pallina di massa m=10g è sospesa al soffitto tramite una molla di massa trascurabile, costante elastica k=1N/m e
lunghezza a riposo L0= 50cm. Si determini la velocità che deve essere impressa alla pallina affinché si muova di moto circolare uniforme
in un piano orizzontale, in modo che la molla formi un angolo = 10° con la verticale.
accelerazione centripeta della pallina in moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio
Le forze che agiscono sulla pallina sono: la forza elastica e la forza peso. Ovvero
assi avremo:
. Scomponendo lungo gli
lungo x:
lungo y:
Quindi
Esercizio n. 2 Si consideri il contenitore riportato in figura. In A è contenuto un gas monoatomica che non può scambiare calore con
l’esterno e si trova in uno stato caratterizzatoda P 0= 105Pa,V0= 10-2m3,T0=290K. In B e contenuto un altro gas biatomico che ha le stesse
P0,V0,T0, ma che può scambiare calore. Il setto adiabatico può scorrere senza attrito. Con una trasformazione reversibile, il gas in B viene
portato alla temperatura T ed al volume V=12x10 -3m3. Calcolare il valore di T ed il calore ceduto al gas in B. Successivamente il gas in B
viene posto in contatto termico con una sorgente a temperature T 0, mantenendo bloccato il setto. Raggiunto l’equilibrio termico, calcolare
la pressione del gas in B e la variazione di entropia dell’universo nelle due trasformazioni.
Durante la prima ttrasformazione, la pressione in A e in B è la stessa, quindi:
Pertanto la temperatura T sarà:
energia interna di B e
.
. Il calore ceduto al gas in B
, dove
è la variazione di
è il lavoro fatto su A.
con
quindi
.
La seconda trasformazione avviene a volume costante
Durante la prima trasformazione
dell’entropia dell’ambiente.
Durante la seconda trasformazione
e l’aumento di entropia in B corrispone ad una uguale diminuzione
in quanto
.
. L’ambiente riocev dal gas una quantità
di calore Q, a temperatura costante, pari alla diminuzione di energia interna del gas stesso, ovvero
Quindi
.
Pertanto
Esercizio n. 3Le armature superiori di due condensatori piani, entrambi di superficie S=0.28 m2, sono collegate da un conduttore e
costituiscono i piatti di una bilancia, inizialmente bloccata. Mediante un generatore, si carica il sistema a V 0= 2x103V.La distanza tra le
armature di entrambi i condensatori risulta pari a h=4mm. Il generatore viene poi staccato ed il sistema è lasciato libero di muoversi. I due
condensatori variano la loro distanza di x1=1.5mm e di x2=-1.5mm rispettivamente. In questa posizione, calcolare la d.d.p. ai capi del
sistema e le cariche q1 e q2 dei due condensatori.
Inizialmente le capicità dei due condensatori sono uguali
e la carica sulle armature risulta quindi
Variate le distanze, i nuovi valori delle capacità sono
La d.d.p. ai capi del sistema risulta perciò data da
e le cariche sui due condensatori sono
Esercizio n. 4 Due fili rettilinei indefiniti e paralleli, posti su di un piano orizzontale e distanti d=1m, sono percorsi nello stesso verso
dalle correnti i1=1A ed i2=2A. Tra i due fili e complanare con essi si trova una spira quadrata di lato a=20mm, percorsa dalla corrente i 3.
Determinare le posizioni di equilibrio y1 e y2 della spira, rispetto al punto P.
Assumiamo che la corrente nella spira circoli in verso antiorario. Poiché
, le forze che agiscono sul tratto PQ della spira
sono:
Le forze che agiscono sul tratto RS sono:
Poiché all’equilibrio
, avremo
Da cui:
A causa di una errata trascrizione di un dato numerico, l’equazione non ammette soluzioni reali. Sarà quindi valutato 8 punti l’esercizio in
cui si sia pervenuti alla precedente equazione di secondo grado in y.
FIS. GEN vecchio Progr. 10 CFU Compito B
II Appello A.A. 2009-2010
19.07.2010
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1Un punto materiale è appoggiato sulla superficie interna scabra di un cono che ruota attorno all’asse verticale con velocità
angolare =5rad/s. Siano R=15cm la distanza dall’asse di rotazione e =30° la semiampiezza dell’angolo al vertice. Si calcoli per quali
valori del coefficiente di attrito statico il punto non si muove sulla superficie del cono.
Le forze che agiscono sul punto sono: la forza peso, la reazione del vincolo e la forza di attrito:
Proiettiamo lungo due assi, uno ortogonale alla superficie del cono e orientato verso l’asse di rotazione, l’altro parallelo alla superficie e
rivolto verso il vertice del cono.
Lungo questi assi avremo:
Affinché non vi sia scorrimento deve essere soddisfatta la disuguaglianza:
Quindi
In conclusione avremo:
Esercizio n. 2 0.16 moli di un gas ideale monoatomico a T0=300K sono contenute nella parte inferiore A di un cilindro. Un pistone, di
massa m1=31kg e spessore trascurabile, divide la parte inferiore A da quella superiore B del cilindro. In B c’è il vuoto. Una massa m 2 è
attaccata al pistone mediante un filo che esce dalla base del cilindro. Il sistema è in equilibrio termodinamico con il pistone a distanza
h=0.5m dalla base. Calcolare m2. Si taglia il filo che collega il pistone a m2. Questo causa un’espansione del gas che si porta ad un
volume doppio di quello iniziale. Calcolare il lavoro compiuto dal gas. Durante il processo il sistema può scambiare calore con
l’ambiente.
Scriviamo l’quazione di stato dei gas ideali e la relazione di equilibrio tra le forze:
Da queste equazioni ricaviamo:
Nell’ipotesi che il sistema si porti ad un nuovo stato di equilibrio, il lavoro compiuto dal gas deve uguagliare la variazione di energia
potenziale della massa m1, ovvero
Esercizio n. 3Un condensatore sferico è costituito da due armature A e B. L’armatura A, di raggi R 3=60cm e R2=40cm, si trova ad un
potenziale V0=900V, mentre la sfera B, di raggio R 1=20cm, è a potenziale zero.. Determinare in modulo e segno le cariche q 1,q2,q3
presenti sulle tre superficie. A un certo istante le due armature vengono collegate fra loro da un filo conduttore di capacità trascurabile.
Calcolare la variazione di energia elettrostatica.
Sulla superficie di raggio R3 avremo
La superficie interna di raggio R2 sarà allo stesso potenziale V0, quindi la carica sulle armature interne sarà pari a
L’energia elettrostatica è la somma di due termini, uno relativo al condensatore, cioè allé cariche q 1 e q2, Wint, l’altro relativo
alla carica q3, West
dove
Quando connettiamo le due sfere le cariche interne si neutralizzano esi perde Wint. Quindi
Esercizio n. 4 Un magnetino di massa m=10g e momento magnetico si trova inizialmente nel punto O, al centro di una spiradi raggio
R=10cm, giacente su di un piano orizzontale. Nella spira circola una corrente i=20A e il momento magnetico del magnetino è parallelo e
concorde al campo magnetico
. Se il magnetino è lasciato cadere, dopo un tratto d=R raggiunge una velocità pari a v=3m/s.
Determinare il valore di .
Preso l’asse x positivo concorde alla normale alla spira in cui scorre corrente in verso antiorario, si ha
L’energia potenziale del magnetino è:
Nella posizione iniziale il magnetino ha un’energia pari a:
In quella finale l’energia è pari a:
Uguagliando i due termini si ottiene
A causa di una errata trascrizione di un dato numerico il valore del momento magnetico risulta negativo. Sarà quindi valutato 8
puntil’esercizio in cui si sia ottenuta per l’espressione precedente.
FISICA GENERALE I (10 CFU)
A.A. 2009-2010
19 luglio 2010
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è inizialmente in quiete in cima ad un piano
inclinato di un angolo α, avente altezza h. Il punto esplode in due frammenti di massa m 1 e m2=
0.5 m1 rispettivamente. Subito dopo l’esplosione il frammento m 1 si muove in discesa lungo il
piano inclinato con velocità v1. Sapendo che il coefficiente di attrito tra il piano e m 1 è μ, e che m 1
si ferma esattamente alla base del piano inclinato, determinare la quota massima raggiunta dal
frammento m 2.
Eseguire i calcoli per α= 20°, h= 1 m, = 0.5.
m
h
Per il frammento m1 si ha
m1g cos
h
1
m1gh m1v12
sen
2
v1 2 gh
1
tg
e per la conservazione della quantità di moto nell’esplosione :
m2v2 m1v1
v2 y
m1
m2
2 gh
1 sen
tg
e la quota massima raggiunta vale :
yM
m
h
h 1
2g
m2
v 22 y
2
h
1 sen 2 1.17 m
tg
Esercizio n. 2 Un veicolo di massa m si muove su una strada rettilinea accelerando da fermo
sottoposto ad una forza F(t)= kt1/2 fino all’istante t*, per poi proseguire di moto uniforme. Il veicolo
porta con sé una sorgente di onde sonore (di velocità V) alla frequenza ν e si allontana, partendo
da una distanza iniziale B da un muro perpendicolare alla strada (vedi figura) che riflette le onde
emesse dalla sorgente. Determinare la massima e minima frequenza delle onde ricevute dagli
occupanti il veicolo e la sua posizione nel momento in cui viene percepita la minima frequenza.
Eseguire i calcoli per m= 900 kg, k= 5000 Ns-0.5, t*= 3 s, V= 343 m/s, B= 10 m, = 1200 Hz.
Detta v la velocità del veicolo in allontanamento dal muro, quest’ultimo riflette onde sonore di frequenza
' V /( V v )
che vengono ricevute dal veicolo alla frequenza
" ( V v ) /( V v )
per cui la frequenza massima percepita (alla partenza) è v, la minima è quella corrispondente alla velocità massima v(t*). Ma
t
v( t )
0
F( t )
dt
m
v( t*)
2k 3 / 2
t * 19.2 m / s
3m
e la frequenza minima vale :
m
V v( t*)
1072 Hz
V v( t*)
osservata per t> t*, ossia per
t*
x B v( t )dt B
0
4k
t * 5 / 2 33.1 m
15m
B
Esercizio n. 3 In un cilindro di area di base A sono contenute n moli di acqua alla temperatura di
ebollizione (100 °C). Il cilindro è posto nel vuoto, chiuso superiormente da un pistone mobile senza
attrito di massa M. Al cilindro viene fornita una quantità di calore Q sufficiente a far completamente
evaporare l’acqua (il cui calore latente di evaporazione è λ) e poi portare reversibilmente il vapore (da
trattare come un gas ideale biatomico) ad uno stato finale di equilibrio in cui il pistone si trova ad una
quota h rispetto alla base del cilindro. Calcolare Q e la variazione di entropia dell’ambiente esterno.
Eseguire i calcoli per n= 0.05, M= 20 kg, h= 1.2 m, λ= 9.2 Cal/mole.
La pressione è costante e pari a p=Mg/A
I calori assorbiti dal sistema rispettivamente nelle fasi di evaporazione e riscaldamento del vapore sono
Qev= nλ= 1923 J
Qrisc= ncpΔT= ncppΔV/nR= (cp/R)pΔV= (cp/R)(Mg/A)AΔh= (cp/R)MgΔh
Dove Δh è la variazione di quota del pistone. La quota iniziale, detta T0= 373 K la temperatura di ebollizione, è
h0= V0/A= nRT0/pA= nRT0/Mg=0.79 m
e quindi
Q= Qev+Qrisc= 2204 J
Il processo è reversibile e quindi
ΔSamb= -(ΔSev+ΔSrisc)= -nλ/T0-ncpln(TF/T0)= -nλ/T0-ncpln(VF/V0)= -nλ/T0-ncpln(h/h0)= -6.04 J/K
Esercizio n. 4 Un disco di massa M e raggio R, inizialmente fermo, può rotolare senza
strisciare su un piano orizzontale. Sul bordo del disco è fissata una massa puntiforme m come
mostrato in figura. Se il disco viene leggermente spostato dalla posizione di equilibrio instabile
rappresentata in figura, determinare la massima velocità angolare del disco durante il suo moto e
la sua accelerazione angolare quando ha percorso un quarto di giro.
Eseguire i calcoli per M= 400 g, m= 50 g, R= 10 cm.
La massima velocità angolare si ha dopo mezzo giro, quando la massa m è ferma, nel moto di puro rotolamento, e quindi la
conservazione dell’energia dà
mg 2 R
1 2 3
IM MR2M2
2
4
M
8mg
5.7 s 1
3MR
Dopo un quarto di giro invece m si trova a distanza a= 2 R dall’asse istantaneo di rotazione e
d dbm
M I
dt
dt
da cui
mgR
3
d
dv
3
d
d
MR2
m a MR2
ma 2
2
dt
dt
2
dt
dt
e infine
d
2mg
7 s 2
dt 3MR 4mR
FISICA 1 (5 CFU)
A.A. 2009-2010
19 luglio 2010
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è inizialmente in quiete in cima ad un piano
inclinato di un angolo α, avente altezza h. Il punto esplode in due frammenti di massa m 1 e m2=
0.5 m1 rispettivamente. Subito dopo l’esplosione il frammento m 1 si muove in discesa lungo il
piano inclinato con velocità v1. Sapendo che il coefficiente di attrito tra il piano e m 1 è μ, e che m 1
si ferma esattamente alla base del piano inclinato, determinare la quota massima raggiunta dal
frammento m 2.
Eseguire i calcoli per α= 20°, h= 1 m, = 0.5.
m
h
Per il frammento m1 si ha
m1 g cos
h
1
m1 gh m1v12
sen
2
v1 2 gh
1
tg
e per la conservazione della quantità di moto nell’esplosione :
m2 v2 m1v1
v2 y
m1
m2
2 gh
1 sen
tg
e la quota massima raggiunta vale :
yM
m
h
h 1
2g
m2
v 22 y
2
h
1 sen 2 1.41 m
tg
Esercizio n. 2 Un veicolo di massa m si muove su una strada rettilinea diretta secondo
l’asse x accelerando da fermo sottoposto ad una forza F(t)= h-kt1/2.partendo da un muro
perpendicolare alla strada (vedi figura. Determinare la massima distanza del veicolo dal muro
e la sua energia cinetica nel momento dell’impatto contro il muro.
Eseguire i calcoli per m= 900 kg, h= 5000 N, k= 3000 Ns -0.5.
La velocità del veicolo è
t
(t )
0
F( t )
1
2k 3 / 2
dt ht
t
m
m
3
e la massima distanza D dal muro si ha al tempo t* in cui v(t*)= 0, ossia t*= (3h/2k) 2. Allora
t
x( t ) v( t )dt
0
h 2
4k 5 / 2
t
t
2m
15m
D x( t*) 21.7 m
La velocità di impatto contro il muro si ha invece al tempo T individuato dalla :
h 22
4k 5 / 2
x( T )
T
T
0 m
2m
15m
Quando l’energias cinetica vale
K( T )
1 2
mv ( T ) 82.7 kJ
2
15h
T
8k
2
x
Esercizio n. 3 In un cilindro di area di base A sono contenute n moli di acqua alla temperatura di
ebollizione (100 °C). Il cilindro è posto nel vuoto, chiuso superiormente da un pistone mobile senza
attrito di massa M. Al cilindro viene fornita una quantità di calore Q sufficiente a far completamente
evaporare l’acqua (il cui calore latente di evaporazione è λ) e poi portare reversibilmente il vapore (da
trattare come un gas ideale biatomico) ad uno stato finale di equilibrio in cui il pistone si trova ad una
quota h rispetto alla base del cilindro. Calcolare Q e la variazione di entropia dell’ambiente esterno.
Eseguire i calcoli per n= 0.05, M= 20 kg, h= 1.2 m, λ= 9.2 Cal/mole.
La pressione è costante e pari a p=Mg/A
I calori assorbiti dal sistema rispettivamente nelle fasi di evaporazione e riscaldamento del vapore sono
Qev= nλ= 1923 J
Qrisc= ncpΔT= ncppΔV/nR= (cp/R)pΔV= (cp/R)(Mg/A)AΔh= (cp/R)MgΔh
Dove Δh è la variazione di quota del pistone. La quota iniziale, detta T0= 373 K la temperatura di ebollizione, è
h0= V0/A= nRT0/pA= nRT0/Mg=0.79 m
e quindi
Q= Qev+Qrisc= 2204 J
Il processo è reversibile e quindi
ΔSamb= -(ΔSev+ΔSrisc)= -nλ/T0-ncpln(TF/T0)= -nλ/T0-ncpln(VF/V0)= -nλ/T0-ncpln(h/h0)= -6.04 J/K
Esercizio n. 4 Un nuotatore deve attraversare un fiume largo D=250 m, la cui corrente ha una velocità vC= 1.8 km/h.
Trovare : A) in quale direzione rispetto all’acqua deve nuotare con velocità u = 2 km/h per raggiungere il punto sulla sponda
opposta esattamente di fronte a quello di partenza; B) quanto tempo impiega in tali condizioni per raggiungere il punto di
arrivo.
V = u + vC ; arcosin (vC/u) = 64.2 °
V = (u2 - vC2)1/2 = 0.871 km/h
t = D/V = 0.281 h.
vC
V
D
u
