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4.4 Altri teoremi sui triangoli
Mappa dell'Unità
In questo paragrafo si mostrano alcune proprietà relative ai triangoli che sono state scoperte successivamente a
Euclide.
Teorema di Menelao
Menelao è stato un matematico e astronomo greco vissuto ad Alessandria d'Egitto tra il 70 e il 140 d.c. Di lui resta un
importante trattato di geometria sferica, che segue l'impostazione degli Elementi di Euclide. In tale trattato, di cui resta
solamente una copia tradotta in arabo, è contenuta la dimostrazione del teorema di Menelao che riguarda i triangoli.
4.4.1 Teorema di Menelao
Dato il triangolo ABC si considerino un punto D`in`AB, un punto E`in`BC e un punto F sul prolungamento di AC.
I tre punti D, E ed F sono allineati se e solo se `(AF)/(FC)·(CE)/(EB)·(BD)/(DA)=-1`.
In tale equazione ogni rapporto tra segmenti va considerato positivo se i due segmenti hanno lo stesso verso nella
retta a cui appartengono, negativo altrimenti. Ad esempio `AB=-BA`.
Il teorema di Menelao vale anche se i punti D ed E non appartengono ai segmenti AB e BC ma ai loro prolungamenti.
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Il teorema di Menelao è un teorema molto importante per le sue implicazioni, in particolare ne citiamo due:
• Il teorema di Menelao è alle origini del concetto di birapporto in geometria proiettiva, la branca della matematica
che si occupa di proiezioni sviluppatasi intorno al diciassettesimo secolo. Grazie a tale branca della matematica è stato
possibile risolvere i problemi di prospettiva che si erano posti numerosi artisti intorno al quattordicesimo secolo e che
erano rimasti senza soluzione per tre secoli.
• Il teorema di Menelao è necessario per dimostrare il teorema di Pappo di Alessandria (290 d.c.-?), che è
considerato uno dei più importanti teoremi a dimostrazione dell'ingegno dell'essere umano. Il teorema di Pappo, ripreso
da Desargues dopo un millennio, è uno dei teoremi principali della geometria proiettiva, e oggi se ne fornisce una
dimostrazione moderna che utilizza, per l'appunto, la geometria proiettiva.
Teorema di Ceva
Giovanni Ceva (1647-1734) è stato un matematico italiano conosciuto per i suoi approfonditi studi nell'ambito della
geometria. Si consideri che dai tempi di Euclide e dei suoi discepoli la geometria non era stata più oggetto di particolari
approfondimenti, anche perché gli Elementi di Euclide contenevano così tanti risultati che forse non ci si aspettava si
potessero trovare ancora altri risultati interessanti. Ceva anticipò di circa un secolo la riscoperta della geometria
Euclidea, ed è conosciuto in particolare per il teorema che prende il suo nome. Per correttezza è giusto aggiungere che
in realtà tale teorema era stato dimostrato nell'undicesimo secolo da un matematico arabo di Saragozza (Yusuf
al-Mu'tamin ibn Hud).
Ceva considera il teorema delle bisettrici (4.3.12), noto fin dai tempi di Euclide, che afferma che la bisettrice divide il
alto opposto in segmenti proporzionali agli altri due lati, per fare le seguenti osservazioni.
Sia il triangolo ABC avente BC=a, AB=c, AC=b, il segmento BC è diviso dalla bisettrice dell'angolo in A in due parti a' e
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a'', il segmento AC è diviso dalla bisettrice dell'angolo in B in due parti b' e b'', il segmento AB è diviso dalla bisettrice
dell'angolo in C in due parti c' e c''. Per il teorema della bisettrice applicato ai tre lati valgono:
a':a''=c:b
b':b''=a:c
c':c''=b:a
Moltiplicando le tre relazioni membro a membro si ha:
(a'b'c'):(a''b''c'')=(cab):(bca)=1.
E' possibile dimostrare che lo stesso discorso vale anche per il baricentro, ossia le tre mediane dividono i lati in due
parti a' e a'', b' e b'', c' e c'', tali che (a'b'c'):(a''b''c'')=1, ed è ovvio visto che per le mediane vale a'=a'', b'=b'' e c'=c''.
Ceva generalizza questo concetto dicendo che se tre rette uscenti dai vertici si incontrano in un punto allora il rapporto
tra le parti in cui esse dividono i lati opposti è 1.
4.4.2 Teorema di Ceva
Dato un triangolo ABC si traccino tre rette che si congiungono in un punto interno del triangolo. Esse incontrano il lato
AB in F, il lato BC in D e il lato AC in E. Vale allora la seguente relazione:
`(AF)/(FB)·(BD)/(DC)·(CE)/(EA)=1`.
Ceva ha dimostrato anche il teorema inverso, ossia che se vale la relazione precedente allora le tre rette si intersecano
in un punto.
Teorema di Napoleone
Sì, proprio il Napoleone quello famoso, non un altro. E' proprio lui che ha enunciato il seguente teorema, anche se
poi per la dimostrazione (non banale) ha chiesto aiuto a un famoso matematico italiano, Joseph Louis Lagrange
(1736-1813).
4.4.3 Teorema di Napoleone
Dato un triangolo ABC si costruiscano, esternamente ad esso, tre triangoli equilateri aventi come basi i tre lati del
triangolo ABC. Il triangolo avente come vertici i centri dei triangoli equilateri è equilatero.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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