Esame di stato 2006
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006
Indirizzo Scientifico-Tecnologico
“Progetto Brocca”
Tema di: FISICA
trascrizione del testo e redazione soluzione di Quintino d’Annibale
Secondo tema
L'effetto Joule ha tantissime applicazioni pratiche, anche all'interno delle nostre case. Il candidato risponda ai seguenti
quesiti e, dove è necessario effettuare calcoli, descriva i passaggi intermedi e commenti le conclusioni.
1. Descrivere e spiegare l'effetto Joule con una breve relazione scientifica.
2. Spiegare perché la resistenza di un conduttore aumenta con l'aumento della temperatura. Cosa succede, invece, nel
caso di un semiconduttore?
3. Rappresentare graficamente e commentare l'andamento dell'intensità di corrente nel filamento di una lampada, in
funzione del tempo, da quando è freddo a quando è diventato incandescente (si supponga costante la ddp applicata al
filamento).
4.
Spiegare il significato dell'espressione "corto circuito" che si sente qualche volta come causa d'incendio in un
appartamento.
5. Spiegare il concetto di "potenza elettrica" e ricavare le formule che permettono di calcolare sia l'energia e sia la
potenza in corrente continua e alternata. Ricavare anche le rispettive unità di misura come grandezze derivate del
Sistema SI.
6. Uno scaldabagno elettrico, con una potenza di 1,2 kW, contiene 80 litri d'acqua alla temperatura di 18°C. Ammettendo
che vi sia una dispersione d'energia del 5%, calcolare:
a) l'intensità di corrente che attraversa la resistenza, sapendo che la tensione di rete è 220 V;
b) quanto tempo è necessario, approssimando al minuto, perché il termostato interrompa l'alimentazione
elettrica sapendo che esso è predisposto per interromperla quando l'acqua ha raggiunto la temperatura di 40°C;
e) la spesa da sostenere per portare l'acqua da 18°C a 40°C, sapendo che il costo del servizio è di 0,13 Euro/kWh;
d) la spesa sostenuta inutilmente a causa della dispersione di energia nello scaldabagno.
Durata massima della prova: 6 ore.
È consentito l'uso di tavole numeriche e della calcolatrice tascabile non programmabile e grafica.
Non è consentito lasciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.
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SOLUZIONE
1.
Effetto Joule
Il riscaldamento di un conduttore metallico attraversato da corrente elettrica è noto come effetto Joule. Si può
affermare che il fisico inglese Joule per primo osservò come era possibile trasformare energia elettrica in
calore, diversi sono gli esperimenti di laboratorio, che possono dimostrare il fenomeno. Dal punto di vista
microscopico, la spiegazione del fenomeno è nell’analizzare il modello ad elettroni liberi, in cui pensiamo che,
gli elettroni di conduzione nel metallo siano liberi di muoversi, (assimilabile al movimento molecolare dei gas)
inoltre si assume che gli elettroni urtino solo il reticolo cristallino del conduttore. Il movimento di detti
elettroni è casuale e la loro velocità media sarebbe proporzionale alla radice quadrata della temperatura
assoluta T, tuttavia le leggi che governano il loro movimento sono legate alla meccanica quantistica.
Applicando un campo elettrico si costringe l’elettrone ad un moto in senso opposto al verso del campo con una
velocità di deriva costante, dell’ordine di 4*10-7m/s, lo stesso attraverso le collisioni perderà energia cinetica
trasformata in energia termica con un aumento della temperatura. La migrazione dell’elettrone (Vd=costante), è
assimilabile al movimento di una massa che cade in un Fluido (vedi paracadutista), inizialmente la
diminuzione dell’energia potenziale produce un aumento di quella cinetica in quanto aumenta la velocità, dopo
un certo tempo la velocità si stabilizza su quella di regime per cui la variazione di energia potenziale si
trasformerà in energia termica non variando più l’energia cinetica. Nel conduttore pertanto l’energia cinetica
media dell’elettrone rimane costante e la perdita di energia potenziale si trasforma in calore entro il conduttore,
che come detto dal punto di vista microscopico è dovuto alle collisioni tra elettrone e reticolo. Diverse sono le
esperienze che si possono citare per verificare l’effetto Joule, (stesso compito nè suggerisce uno nel punto 6)
né citiamo uno facilmente realizzabile: una resistenza alimentata da un generatore di c.c. a cui applichiamo una
d.d.p. nota (misurabile tramite voltometro), viene immersa in un calorimetro ad acqua contenente una massa
nota di acqua, della quale si misura la temperatura iniziale e quella dopo un certo tempo t di funzionamento, si
rileva inoltre la intensità di corrente erogata (tramite amperometro), dal confronto tra energia elettrica fornita
alla resistenza
E = V ⋅ i ⋅ ∆t
e quella necessaria ad innalzare di temperatura la massa d’acqua 1
Q = C s m ⋅ ∆T
Si può constatare che l’energia elettrica E si è trasformata in calore.
2.
Resistenza in funzione del tempo
La spiegazione al fatto che la resistenza aumenti con la temperatura, dal punto di vista microscopico è già
citato nel punto 1. , tuttavia la spiegazione è nel fatto che gli atomi del reticolo soggetti agli urti degli elettroni,
vibrano con maggior energia cinetica intorno alla loro posizione di equilibrio (vedi E=3/2NKT), se la
temperatura aumenta la vibrazione aumenta, conseguentemente aumenta la probabilità di urtare gli elettroni
rallentando il loro cammino lungo il conduttore, con aumento della resistività e quindi della resistenza elettrica.
La resistenza elettrica di un conduttore di lunghezza l e sezione S, per la 2° legge di Ohm, è proporzionale ad
un valore che tiene conto delle caratteristiche del materiale detta resistività o resistenza specifica, ed è proprio
la resistività che aumenta con la temperatura:
∆ρ = ρ 0α∆T
Con α coefficiente termico di resistività.
1
Tenuto conto degli errori sperimentali, e della massa equivalente del calorimetro
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La relazione che lega la resistività alla temperatura in realtà non è di tipo lineare, come si può vedere dal
grafico, tuttavia la si può considerare tale con buona approssimazione per un ampio valore di temperature e per
i metalli in genere.
Nel caso di un semiconduttore la resistenza diminuisce con l’aumento della temperatura, in quanto diminuisce
la resistività. I n particolare si osserva come un parallelo tra rame e silicio, porti a determinare che mentre la
resistività del rame aumenta con la temperatura, nel silicio diminuisce, infatti il silicio allo stato puro ha
pochissimi portatori di carica pertanto si comporta come un isolante, infatti il suo utilizzo consiste nel poter
diminuire la resistività in modo controllato aggiungendo “impurità” (drogaggio). Il Fenomeno che riduce la
resistività con l’aumento di temperatura è spiegabile con il fatto che esso riesce a liberare più elettroni.
3.
Andamento della intensità di corrente di una lampadina in funzione del tempo.
Essendo la resistenza elettrica variabile con la temperatura
che nella lampadina aumenta dal momento dell’accensione a
quello di regime (infatti diventa incandescente), dobbiamo
presupporre che essa vari da un valore iniziale ad una valore
max finale quando avrà raggiunto la temperatura di
esercizio, per poi rimanere costante, pertanto in accordo con
la legge di Ohm si potrà vedere come l’intensità di corrente
vada da un massimo iniziale (V/Ri ) ad un minimo nel valore
di esercizio (V/Rr), costante poi nel tempo, pertanto la
variazione in detto intervallo, si potrà con buona
approssimazione rappresentare con un ramo di iperbole, per t
che va da 0 a tr.
4.
i
V
Ri
i=f(t) intensità in una lampadina
dall'accensione alla fase di regime
Fase iniziale (accensione)
V
Rr
fase di regime
tr
tempo
Corto Circuito: l’espressione utilizzata può essere spiegata facendo riferimento alla prima legge di Ohm:
V = R ⋅i ⇒ i =
V
R
Cortocircuitare un generatore significa fare in modo che tra gli estremi non ci sia resistenza esterna per cui le
cariche statiche accumulate sui poli non troverebbero resistenza alcuna e si riverserebbero sul polo a potenziale
più basso con una intensità prossima all’infinito, pertanto il filo conduttore che dovrebbe assicurare questo
passaggio aumenterebbe la sua temperatura (per i motivi già esposti sull’effetto Joule) fino al punto di fusione.
Questo potrebbe incendiare la custodia in gomma del conduttore con la possibilità di incendio del circuito.
5.
Potenza Elettrica:
Corrente continua
La potenza istantanea, è definita in meccanica come il lavoro eseguito nell’unità di tempo o derivata temporale
del lavoro:
P=
dL
dt
Nel caso elettrico il lavoro e quello necessario per portare una quantità di carica q da A a B e, in accordo con la
definizione di d.d.p. in particolare si potrebbe evidenziare il lavoro che il generatore esegue per portare le
cariche dal potenziale minore a quello maggiore e mantenere tra i punti una differenza di potenziale costante.
Dalle considerazioni fatte si potrà scrivere:
dL = V ⋅ dq
Ma
i=
dL = V ⋅ i ⋅ dt
dq
⇒ dq = i ⋅ dt
dt
derivando rispetto a t :
P = V ⋅i
Questa è la potenza fornita dal generatore.
Se l’utilizzatore è un resistore di valore R (stufa, lampadina ecc..) questa sarà dissipata per effetto joule e varrà
ricordando (V=R i):
P = R ⋅i2 =
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V2
R
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In corrente alternata:
La potenza dissipata per effetto joule e pur sempre uguale a:
P = R ⋅i2
ma la intensità non è costante ma sinusoidale
secondo la equazione:
[
]
2
i = I sin(ω g t − φ ) per cui P = I sin( ω g t − φ ) R = I 2 sin 2 (ω g t − φ ) R
Considerato che la equazione evidenzia un andamento sinusoidale del seno, tuttavia sempre positivo come da
grafico, il valore che interesserà sarà quello medio, e in accordo con la trigonometria è rappresentato da un
mezzo di quello max per cui la potenza media sarà:
P=
1 2
RI
2
ed introducendo i valori efficaci ( I eff =
2
P = I eff R
analogamente per
ε eff =
I ) si ha:
2
εm
2
Che in un circuito puramente resistivo anche in c.a. si avrebbe come potenza fornita:
P = I eff ε eff
Nel caso più generale si parlerà di circuito RLC e di impedenza per cui
I eff =
ε eff
Z
=
ε eff
R2 + (X L − X C )2
Per cui tenendo conto dell’ultima la potenza media potra essere scritta nella forma:
2
P = I eff R =
ε eff
R
I eff R = ε eff I eff ( ) e ricordando che (R/Z= cos(Φ) fattore di potenza) si ha:
Z
Z
P = I eff ε eff Cos (φ )
Che coincide con il circuito puramente resistivo ( a potenza max se coseno di fi uguale a 1 fi=0) circuito
risonante.
Unità di misura:
La potenza era uguale a P = V ⋅ i pertanto abbiamo:
V ⋅A=
J C J
Nm kg ⋅ m
dimensionalmente
⋅ =
= 2 = MLT _ 3
C s
s
s s
s
Energia : E = P ⋅ t
J
s=J
s
6.
Scaldabagno elettrico:
a) L’intensità di corrente che attraversa la resistenza è data da:
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P = R ⋅ i 2 da cui si ricava la i
i=
P 1,2 ⋅ 10 3 w
=
≅ 5,45 A
V
220 v
b) Punto b tempo necessario per portare l’acqua da 18 °C a 40 °C
Essendo il tempo legato alla relazione tra potenza ed energia fornita, dobbiamo innanzi tutto calcolarci
la quantità di energia che il generatore deve fornire , tenuto conto anche delle perdite (5%)
Calcolo della quantità di calore necessario per il delta T:
Q = c s ⋅ m ⋅ ∆T = 1
kcal
J
80 kg ( 40 − 18)°C = 1760 kcal = 1760 kcal ⋅ 4186
≅ 7,367 ⋅ 10 6 J
kg °C
kcal
tenuto conto della energia persa (5%) il rendimento è del 95% :
E eff =
Essendo P =
c)
Q
7,367 ⋅ 10 6
=
= 7,76 ⋅ 10 6 J
0,95
0,95
E eff
E
7,76 ⋅ 10 6 J
⇒t =
=
= 6467 s ≅ 108 min
t
P
3 J
1,2 ⋅ 10
s
Spesa sostenuta:
Avendo il costo in €/Kwh, trasformiamo il consumo E in KWh:
E=
7,76 ⋅ 10 6 J
≅ 2,15 KWh
j
6
3,6 ⋅ 10
KWh
Spesa = E eff Costo = 2,15 KWh * 0,13
€
= 0,279€
KWh
d) Spesa per energia persa:
essendo l’energia persa il 5% di quella fornita all’acqua essa è:
E p = 0,05 E eff = 0,05 ⋅ 7,76 ⋅ 10 6 J ≅ 0,388 ⋅ 10 6 J =
Spersa = E p Costo = 0,108KWh * 0,13
0,368 ⋅ 10 6 J
≅ 0,108 Kwh
J
6
3,6 ⋅ 10
Kwh
€
≅ 0,014€ 2
KWh
Q. d’Annibale
2
O anche in modo più rapido : Spersa=spesa*5%=0,28*0,05=0,014€
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