L1 Lavoro elementare

Lavoro e potenza
Definizione di lavoro
Quando il punto di applicazione di una forza si muove, si dice che la forza compie un lavoro. Il lavoro è una nuova
grandezza fisica, per la quale è necessario introdurre una definizione operativa.
Tale definizione è articolata in questo modo: in primo luogo, si definisce il lavoro elementare, cioè il lavoro compiuto
dalla forza nel caso in cui il punto di applicazione compia un piccolo spostamento; poi si definisce il lavoro totale, o
integrale, per uno spostamento arbitrario su una traiettoria assegnata.
Definizione di lavoro elementare
r
r
Sia F una forza applicata al punto P . Se P si sposta di un tratto rettilineo ∆s , F compie il lavoro elementare ∆L, dato
per definizione da1:
r
∆L = F ⋅ ∆s
Come risultato di un prodotto scalare, il lavoro elementare è una grandezza scalare.
Il vettore ∆s è a volte detto spostamento elementare, intendendo che si tratta di un piccolo spostamento. Si vuole
significare, con questa dizione, che ∆s è abbastanza breve, da poter ritenere che la forza resti costante durante lo
spostamento.
In base alla definizione, l’unità di misura del lavoro è determinata come segue:
[∆L] =
[Fr ⋅ ∆s] = [F][∆s][cos θ] = N m = kgs m m = kgs m
2
2
2
Questa unità è indicata dal simbolo compatto J (Joule2):
[∆L] = J = kg 2m
2
s
1
Un errore comune è enunciare la definizione affermando che “il lavoro elementare è il prodotto della forza per lo
spostamento”. Si deve invece leggere: “il lavoro elementare è il prodotto scalare della forza per lo spostamento
elementare”.
2
Che si legge
ʤul
Nella definizione di lavoro elementare compare un prodotto scalare. Pur essendo il lavoro uno scalare, è dunque
fondamentale considerare la natura vettoriale di forza e spostamento elementare.
r
In base alla definizione di prodotto scalare, la definizione di lavoro elementare ∆L = F ⋅ ∆s può essere riscritta in vari
modi:
∆L = F// ∆s
Il lavoro elementare è il prodotto del modulo dello
spostamento per la componente della forza nella
direzione dello spostamento
b) ∆L = F ∆s//
Il lavoro elementare è il prodotto del modulo della
forza per la componente dello spostamento nella
direzione della forza
a)
c)
∆L = F ∆s cosθ
Il lavoro elementare è il prodotto del modulo della
forza per il modulo dello spostamento per il coseno
dell’angolo compreso
Ragionando in termini dell’espressione riportata in c), è facile studiare il segno del lavoro elementare:
θ=0
r
F // ∆s
cosθ = 1
∆L = F ∆s > 0
cosθ > 0
∆L = F ∆s cosθ > 0
0 < θ < 90°
θ = 90°
r
F ⊥ ∆s
cosθ = 0
∆L = 0
cosθ < 0
∆L = F ∆s cosθ < 0
90° < θ < 180°
θ = 180°
r
F // − ∆s
(
)
cosθ = −1
∆L = -F ∆s < 0
r
In modo alternativo, infine, il prodotto scalare può essere calcolato in base alla componenti dei vettori F , ∆s . Per
ottenere questa rappresentazione, si parte dalla scrittura dei vettori in termini delle componenti e dei versori degli assi
coordinati:
r
F = Fx î + Fy ĵ
;
∆s = ∆x î + ∆y ˆj
Si sostituiscono poi queste espressioni nella definizione di lavoro elementare:
r
∆L = F ⋅ ∆s =
r
F ⋅ ∆s = Fx î + Fy ĵ ⋅ ∆x î + ∆y ĵ = Fx ∆x î ⋅ î + Fx ∆y î ⋅ ĵ + Fy ∆x
(
)(
)
Ricordando che î ⋅ î = 1 ; ĵ ⋅ ĵ = 1
( )
( )
( ĵ ⋅ î ) + F
y
∆y
( ĵ ⋅ ĵ )
; î ⋅ ĵ = 0 ; ĵ ⋅ î = 0 , si ha in definitiva:
∆L = Fx ∆x + Fy ∆ y
Calcolo del lavoro elementare compiuto dalla forza peso
Il caso del lavoro elementare compiuto dalla forza peso è un buon esempio di applicazione della definizione.
r
In tabella sono mostrati vari possibili casi di allineamento dei vettori P , ∆s e le valutazioni di ∆L, ponendo l’accento
sul suo segno.
∆L = P ∆s//
θ=0
0 < θ < 90°
∆s// = ∆s
∆s// = ∆s cosθ > 0
∆L = mg ∆s
∆L = mg ∆s cosθ
∆L > 0
∆L > 0
θ = 90°
∆s// = 0
∆L = 0
90° < θ < 180°
θ = 180°
∆s// = ∆s cosθ < 0
∆s// = -∆s
∆L = mg ∆s cosθ
∆L = -mg ∆s
∆L < 0
∆L < 0
In sintesi: il lavoro elementare della forza peso è positivo se il punto di applicazione si sposta verso il basso, negativo
se si sposta verso l’alto; la forza peso non compie lavoro per uno spostamento orizzontale.
Il lavoro elementare della forza peso può essere utilmente valutato anche in termini delle coordinate dei punti A, B che
rappresentano la posizione prima dello spostamento e quella dopo lo spostamento. Si ha:
∆L = P x ∆x + P y ∆y
Nel sistema di riferimento indicato nelle figure, Px = 0 ; Py = -mg ; quindi:
∆L = - mg ∆y
∆L = - mg (yB - yA)
e infine:
∆L = mg (yA – yB)
Considerazioni sul lavoro elementare compiuta dalle reazioni vincolari
Le reazioni vincolari sono forze associate a un vincolo cinematico, quindi a una riduzione dei possibili gradi di libertà
del moto.
Ciò determina una conseguenza importante per il calcolo del lavoro, perché limita le possibili scelte del vettore
spostamento elementare ∆s .
Reazione di un vincolo piano (reazione normale).
r
Per un vincolo piano, si ha sempre R ⊥ ∆s e quindi
r
R ⋅ ∆s = 0
Ne segue che il lavoro elementare della reazione normale
è sempre nullo.
Reazione di un vincolo puntuale.
Per un vincolo puntuale, la direzione della reazione, in prima istanza, non è nota.
Tuttavia, si ha sempre ∆s = 0 e quindi ∆L = 0 , come nel caso della reazione
normale.
Tensione della fune
In questo caso, è utile portare due esempi, ben distinti, di calcolo del lavoro.
a)
la fune fornisce la forza centripeta in un moto circolare uniforme.
r
r
In questo caso, T ⊥ ∆s e quindi T ⋅ ∆s = 0
Ne segue che il lavoro elementare della tensione è nullo.
b) la fune sostiene un carico che viene sollevato o abbassato.
1
2
r
Nel caso della fig.1, T ⊥ − ∆s
( )
r
e quindi T ⋅ ∆s = − T ∆s
r
r
Nel caso della fig.2, T ⊥ ∆s e quindi T ⋅ ∆s = T ∆s
Lavoro elementare della forza di attrito statico
Un punto materiale soggetto a una forza di attrito statico è necessariamente fermo. Ne segue che ovviamente la forza di
attrito statico non sposta il suo punto di applicazione e pertanto non compie lavoro.
Questa considerazione si applica anche al caso del moto di puro rotolamento: nel moto di puro rotolamento l’attrito
non compie lavoro.
Nel caso in cui, invece, una ruota slitta, si determina un attrito radente cinematico, il cui lavoro è diverso da zero.
Lavoro elementare della risultante
In alcuni casi, più forze agiscono contemporaneamente sullo stesso punto materiale. In base alla definizione, è possibile
calcolare indipendentemente il lavoro di ciascuna di tali forze.
Nel caso in figura, ad esempio:
r
∆L1 = F1 ⋅ ∆s
r
∆L2 = F2 ⋅ ∆s
r r r
E’ poi possibile calcolare il lavoro elementare ∆L della risultante F = F1 + F2 :
r
∆L = F ⋅ ∆s
r
Sostituendo l’espressione di F , si ha:
r r
r
∆L = F ⋅ ∆s = F1 + F2 ⋅ ∆s
(
)
r
r
= F1 ⋅ ∆s + F2 ⋅ ∆s
= ∆L1 + ∆L2
In conclusione: il lavoro elementare della risultante è uguale alla somma dei lavori delle forze componenti.
Definizione di potenza
r
Si consideri la situazione rappresentata in figura. La forza F sposta il suo punto di applicazione del tratto ∆s .
Si supponga che lo spostamento ha luogo nel tempo ∆t. Si può definire allora una nuova grandezza fisica, la
potenza meccanica (o semplicemente potenza), attraverso la relazione:
P=
∆L
∆t
In base alla definizione, si può affermare che il significato fisico di potenza è come segue: la potenza è il lavoro
r
elementare compiuto dalla forza F nel tempo unitario.
L’unità di misura della potenza nel S.I. si determina dalla definizione:
[P] = [∆L]
[∆t ]
=
kg m 2
J
=
s
s3
L’unità prende il nome di Watt:
[P] = W
Espressione della potenza in termini della velocità
Partendo dalla definizione, è facile ottenere un’espressione alternativa della potenza.
r
r r
F ⋅ ∆s r ∆s
∆L
=
= F⋅
= F⋅v
P=
∆t
∆t
∆t
Unità pratiche di lavoro e potenza
C’è una grande varietà di unità pratiche di lavoro (che come si vedrà in seguito, coincidono con quelle dell’energia).
Le principali sono riportate in tabella. Si noti che:
−
−
−
−
l’elettronvolt è un’unità aggiunta al S.I., che può essere considerata come unità base per i problemi su scala
atomica.
Caloria e chilocaloria, BTU sono unità di uso corrente in termodinamica.
Il litro-atmosfera è di uso tecnico frequente nei problemi di fluidodinamica.
Il kilowattora è l’unità tecnica standard di misura di lavoro elettrico (o, come si dice per l’uso domestico, di
consumo elettrico). Rappresenta il lavoro compiuto da una forza che eroga una potenza pari a 1 kW per un tempo
pari a 1 h.
Tra le varie unità di misura di potenza è riportato il “cavallo” (hp)3, ancora in uso nel settore automobilistico.
Unità di misura di Lavoro
Simbolo
Definizione
Joule
J=
elettronvolt
eV
caloria
cal
1 cal = 4,1819 J
chilocaloria
kcal; Cal
1 kcal = 4,1868 kJ
litro-atmosfera
l atm; sl
1 l atm = 101,325 J
British thermal unit (ISO)
BTU
1 BTU = 1,054 kJ
kilowattora
kWh
kg m 2
s2
1 eV =
Unità di misura di Potenza Simbolo
watt (unità SI)
W =
horsepower
hp
3
Fattore di conversione
J
e
(e = carica dell’elettrone)
1 eV = 1,602 176 × 10-19 J
1 kW × 1 h
1 kWh = 3,6 MJ
Definizione
Fattore di conversione
75 kgp m s-1
1 hp = 736 W
kg m 2
s3
Esistono in effetti varie codifiche di questa unità di misura, lievemente diverse l’una dall’altra. Quella riportata è detta
metrica.