Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Sintassi per la logica proposizionale
Per definire un linguaggio L in grado di rappresentare tutte le formule della logica
proposizionale serve una definizione per induzione
Ingredienti:
Un insieme di lettere proposizionali (A,B,C,D,...), ciascuna delle quali rappresenta
un oggetto dotato di valore di verità (1 o 0).
I connettivi logici (∨, ∧, ¬, →, ↔)
Con questi elementi possiamo definire il concetto di formula ben formata FBF di L:
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Sintassi per la logica proposizionale
Per definire un linguaggio L in grado di rappresentare tutte le formule della logica
proposizionale serve una definizione per induzione
Ingredienti:
Un insieme di lettere proposizionali (A,B,C,D,...), ciascuna delle quali rappresenta
un oggetto dotato di valore di verità (1 o 0).
I connettivi logici (∨, ∧, ¬, →, ↔)
Con questi elementi possiamo definire il concetto di formula ben formata FBF di L:
Zamparelli
Logic
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Calcolo dei Predicati
Sintassi per la logica proposizionale
Per definire un linguaggio L in grado di rappresentare tutte le formule della logica
proposizionale serve una definizione per induzione
Ingredienti:
Un insieme di lettere proposizionali (A,B,C,D,...), ciascuna delle quali rappresenta
un oggetto dotato di valore di verità (1 o 0).
I connettivi logici (∨, ∧, ¬, →, ↔)
Con questi elementi possiamo definire il concetto di formula ben formata FBF di L:
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
WFF
i. Una lettera proposizionale nel vocabolario di L è una FBF..
ii. Se A è una FBF, allora ¬A è una FBF.
iii. Se A, B sono FBF, allora (A∧B), (A∨B), (A→B) and (A↔B) sono FBF.
iv. Solo oggetti generabili con i passi (i)-(iii) in un numero finito di passi sono FBF.
Una FBF che non contiene connettivi viene detta atomica.
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Notate la differenza tra una (psudo)definizione ‘circolare’ ed una per induzione.
Esempio legale:
(1)
Cittadino americano è:
a. Una persona sposata ad un cittadino americano.
parte induttiva
b. oppure, una persona nata negli U.S.A.
base della induzione
Esempio linguistico:
(2)
Un sintagma preposizionale è composto da:
a. Preposizione + Sintagma Nominale
(3)
Un sintagma nominale è composto da:
a. Articolo + nome + Sintagma preposizionale La ragazza con il binocolo
b. Articolo + nome
Un ragazzo
Zamparelli
Logic
Con un binocolo
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Notate la differenza tra una (psudo)definizione ‘circolare’ ed una per induzione.
Esempio legale:
(1)
Cittadino americano è:
a. Una persona sposata ad un cittadino americano.
parte induttiva
b. oppure, una persona nata negli U.S.A.
base della induzione
Esempio linguistico:
(2)
Un sintagma preposizionale è composto da:
a. Preposizione + Sintagma Nominale
(3)
Un sintagma nominale è composto da:
a. Articolo + nome + Sintagma preposizionale La ragazza con il binocolo
b. Articolo + nome
Un ragazzo
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Logic
Con un binocolo
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Calcolo dei Predicati
Notate la differenza tra una (psudo)definizione ‘circolare’ ed una per induzione.
Esempio legale:
(1)
Cittadino americano è:
a. Una persona sposata ad un cittadino americano.
parte induttiva
b. oppure, una persona nata negli U.S.A.
base della induzione
Esempio linguistico:
(2)
Un sintagma preposizionale è composto da:
a. Preposizione + Sintagma Nominale
(3)
Un sintagma nominale è composto da:
a. Articolo + nome + Sintagma preposizionale La ragazza con il binocolo
b. Articolo + nome
Un ragazzo
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Logic
Con un binocolo
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Calcolo dei Predicati
Esercizi:
Dire quali sono le FBF, e tra queste, quali sono quelle vere per quasiasi valore delle
sue lettere proposizionali.
(4)
a.
b.
c.
d.
e.
f.
¬(¬A ∨B)
A ∨(¬A)
A →(A →(A →A))
A →((A →A))
A ∧B ∧C
(A ∧¬A) →C
(per convenzione, le parentesi più esterne vengono tralasciate).
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Nozione di albero di costituenza.
Esercizio: Disegnare un albero di costituenza per:
(5)
(¬(P ∨Q) →¬¬¬Q) ↔R
Esistono formule di L strutturalmente ambigue?
Cf. nel linguaggio naturale
(6)
Marco ha visto la ragazza con il binocolo.
(7)
a.
b.
Marco ha visto [la ragazza con il binocolo].
Marco ha [visto [la ragazza] con il binocolo].
Zamparelli
Logic
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Calcolo dei Predicati
Nozione di albero di costituenza.
Esercizio: Disegnare un albero di costituenza per:
(5)
(¬(P ∨Q) →¬¬¬Q) ↔R
Esistono formule di L strutturalmente ambigue?
Cf. nel linguaggio naturale
(6)
Marco ha visto la ragazza con il binocolo.
(7)
a.
b.
Marco ha visto [la ragazza con il binocolo].
Marco ha [visto [la ragazza] con il binocolo].
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Calcolo dei Predicati
Nozione di albero di costituenza.
Esercizio: Disegnare un albero di costituenza per:
(5)
(¬(P ∨Q) →¬¬¬Q) ↔R
Esistono formule di L strutturalmente ambigue?
Cf. nel linguaggio naturale
(6)
Marco ha visto la ragazza con il binocolo.
(7)
a.
b.
Marco ha visto [la ragazza con il binocolo].
Marco ha [visto [la ragazza] con il binocolo].
Zamparelli
Logic
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Calcolo dei Predicati
Logica e significato
Cos’è il significato di una espressione?
Per enunciati che possono essere veri o falsi, il significato è l’ insieme di tutte le
situazioni in cui l’enunciato è vero.
Variante psicologica:
“So il significato di X se per qualsiasi situazione (che possa verificare) so dire se X
è vero o meno”
Caveat
Verificabilità? (questo computer contiene un numero pari di atomi – in pratica? In teoria?
C.f. le posizioni del Positivismo Logico (Carnap))
Vaghezza? (Il Cervino è largo 27 Km”; paradosso del mucchio)
Zamparelli
Logic
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Calcolo dei Predicati
Logica e significato
Cos’è il significato di una espressione?
Per enunciati che possono essere veri o falsi, il significato è l’ insieme di tutte le
situazioni in cui l’enunciato è vero.
Variante psicologica:
“So il significato di X se per qualsiasi situazione (che possa verificare) so dire se X
è vero o meno”
Caveat
Verificabilità? (questo computer contiene un numero pari di atomi – in pratica? In teoria?
C.f. le posizioni del Positivismo Logico (Carnap))
Vaghezza? (Il Cervino è largo 27 Km”; paradosso del mucchio)
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Calcolo dei Predicati
Logica e significato
Cos’è il significato di una espressione?
Per enunciati che possono essere veri o falsi, il significato è l’ insieme di tutte le
situazioni in cui l’enunciato è vero.
Variante psicologica:
“So il significato di X se per qualsiasi situazione (che possa verificare) so dire se X
è vero o meno”
Caveat
Verificabilità? (questo computer contiene un numero pari di atomi – in pratica? In teoria?
C.f. le posizioni del Positivismo Logico (Carnap))
Vaghezza? (Il Cervino è largo 27 Km”; paradosso del mucchio)
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Calcolo dei Predicati
Logica e significato
Cos’è il significato di una espressione?
Per enunciati che possono essere veri o falsi, il significato è l’ insieme di tutte le
situazioni in cui l’enunciato è vero.
Variante psicologica:
“So il significato di X se per qualsiasi situazione (che possa verificare) so dire se X
è vero o meno”
Caveat
Verificabilità? (questo computer contiene un numero pari di atomi – in pratica? In teoria?
C.f. le posizioni del Positivismo Logico (Carnap))
Vaghezza? (Il Cervino è largo 27 Km”; paradosso del mucchio)
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Calcolo dei Predicati
Models
La definizione di L data prima è esclusivamente formale: non ci dice nulla sul
significato delle formule o dei connettivi.
Per poter individuare un significato, abbiamo bisogno di capire come le varie
formule di L assumono un valore di verità a seconda dello stato delle cose.
Per ottenere questo, non possiamo semplicemente associare ciascuna delle
infinite formule di L ad uno stato del mondo in cui essa è vera:
(8)
a.
b.
c.
d.
P è vera se oggi piove
Q è vera se il cielo è azzurro
R è vera se un cane abbaia.
...
(9)
(P ∧((R ∨¬Q) →P)) è vera se . . .
E’ necessario piuttosto dare una definizione per induzione: a partire dal significato
delle formule otterremo quello delle formule complesse.
Formalmente, questo si ottiene con una funzione di valutazione.
Zamparelli
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Calcolo dei Predicati
Models
La definizione di L data prima è esclusivamente formale: non ci dice nulla sul
significato delle formule o dei connettivi.
Per poter individuare un significato, abbiamo bisogno di capire come le varie
formule di L assumono un valore di verità a seconda dello stato delle cose.
Per ottenere questo, non possiamo semplicemente associare ciascuna delle
infinite formule di L ad uno stato del mondo in cui essa è vera:
(8)
a.
b.
c.
d.
P è vera se oggi piove
Q è vera se il cielo è azzurro
R è vera se un cane abbaia.
...
(9)
(P ∧((R ∨¬Q) →P)) è vera se . . .
E’ necessario piuttosto dare una definizione per induzione: a partire dal significato
delle formule otterremo quello delle formule complesse.
Formalmente, questo si ottiene con una funzione di valutazione.
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Models
La definizione di L data prima è esclusivamente formale: non ci dice nulla sul
significato delle formule o dei connettivi.
Per poter individuare un significato, abbiamo bisogno di capire come le varie
formule di L assumono un valore di verità a seconda dello stato delle cose.
Per ottenere questo, non possiamo semplicemente associare ciascuna delle
infinite formule di L ad uno stato del mondo in cui essa è vera:
(8)
a.
b.
c.
d.
P è vera se oggi piove
Q è vera se il cielo è azzurro
R è vera se un cane abbaia.
...
(9)
(P ∧((R ∨¬Q) →P)) è vera se . . .
E’ necessario piuttosto dare una definizione per induzione: a partire dal significato
delle formule otterremo quello delle formule complesse.
Formalmente, questo si ottiene con una funzione di valutazione.
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Calcolo dei Predicati
Models
La definizione di L data prima è esclusivamente formale: non ci dice nulla sul
significato delle formule o dei connettivi.
Per poter individuare un significato, abbiamo bisogno di capire come le varie
formule di L assumono un valore di verità a seconda dello stato delle cose.
Per ottenere questo, non possiamo semplicemente associare ciascuna delle
infinite formule di L ad uno stato del mondo in cui essa è vera:
(8)
a.
b.
c.
d.
P è vera se oggi piove
Q è vera se il cielo è azzurro
R è vera se un cane abbaia.
...
(9)
(P ∧((R ∨¬Q) →P)) è vera se . . .
E’ necessario piuttosto dare una definizione per induzione: a partire dal significato
delle formule otterremo quello delle formule complesse.
Formalmente, questo si ottiene con una funzione di valutazione.
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Calcolo dei Predicati
Models
La definizione di L data prima è esclusivamente formale: non ci dice nulla sul
significato delle formule o dei connettivi.
Per poter individuare un significato, abbiamo bisogno di capire come le varie
formule di L assumono un valore di verità a seconda dello stato delle cose.
Per ottenere questo, non possiamo semplicemente associare ciascuna delle
infinite formule di L ad uno stato del mondo in cui essa è vera:
(8)
a.
b.
c.
d.
P è vera se oggi piove
Q è vera se il cielo è azzurro
R è vera se un cane abbaia.
...
(9)
(P ∧((R ∨¬Q) →P)) è vera se . . .
E’ necessario piuttosto dare una definizione per induzione: a partire dal significato
delle formule otterremo quello delle formule complesse.
Formalmente, questo si ottiene con una funzione di valutazione.
Zamparelli
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Calcolo dei Predicati
Nozione di funzione
Una funzione è una espressione astratta che prende uno più argomenti e
restituisce un singolo valore. Esempi di funzioni matematiche sono la somma, la
moltiplicazione, l’elevamento al quadrato, ecc. Per convenzine, scriviamo la
formula in forma prefissa (p.es. +(2,3) invece che 2+3)
Una funzione f con n argomenti presi dall’insieme D e che da un valore
nell’insieme R si scrive quindi:
(10)
f(a1 ,...,an )D→R
Dove D è il dominio ed R è il codominio (inglese range) della funzione.
La funzione è totale se da un risultato per qualsiasi <x1 ,...,xn >∈D. Altrimenti la
funzione è detta parziale: per alcuni valori <x1 ,...,xn >∈D il suo risultato non è
definito.
Se f(x,y) = f(y,x), la funzione è commutativa.
Se f(x,f(y,z)) = f(f(x,y),z), la funzione è associativa (e possiamo omettere le parentesi,
scrivendo f(x,y,z))
Zamparelli
Logic
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Calcolo dei Predicati
Nozione di funzione
Una funzione è una espressione astratta che prende uno più argomenti e
restituisce un singolo valore. Esempi di funzioni matematiche sono la somma, la
moltiplicazione, l’elevamento al quadrato, ecc. Per convenzine, scriviamo la
formula in forma prefissa (p.es. +(2,3) invece che 2+3)
Una funzione f con n argomenti presi dall’insieme D e che da un valore
nell’insieme R si scrive quindi:
(10)
f(a1 ,...,an )D→R
Dove D è il dominio ed R è il codominio (inglese range) della funzione.
La funzione è totale se da un risultato per qualsiasi <x1 ,...,xn >∈D. Altrimenti la
funzione è detta parziale: per alcuni valori <x1 ,...,xn >∈D il suo risultato non è
definito.
Se f(x,y) = f(y,x), la funzione è commutativa.
Se f(x,f(y,z)) = f(f(x,y),z), la funzione è associativa (e possiamo omettere le parentesi,
scrivendo f(x,y,z))
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
In matematica, quali sono esempi di funzioni ad un argomento? Quali richiedono
più argomenti?
Quali sono esempi di funzioni commutative
Quali sono esempi di funzioni associative
Quali delle seguenti espressioni linguistiche si comportano come funzioni?
(11)
“date of birth of x”, “mother of x”, “son of x”, “date of marriage of x and y”,
“birthday of y”, “end of x”, “negation of x”, “frame number of x”, “city of y”,
“capital of y”
Qual è il dominio e quale il codominio di questi casi?
Zamparelli
Logic
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Calcolo dei Predicati
In matematica, quali sono esempi di funzioni ad un argomento? Quali richiedono
più argomenti?
Quali sono esempi di funzioni commutative
Quali sono esempi di funzioni associative
Quali delle seguenti espressioni linguistiche si comportano come funzioni?
(11)
“date of birth of x”, “mother of x”, “son of x”, “date of marriage of x and y”,
“birthday of y”, “end of x”, “negation of x”, “frame number of x”, “city of y”,
“capital of y”
Qual è il dominio e quale il codominio di questi casi?
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Calcolo dei Predicati
In matematica, quali sono esempi di funzioni ad un argomento? Quali richiedono
più argomenti?
Quali sono esempi di funzioni commutative
Quali sono esempi di funzioni associative
Quali delle seguenti espressioni linguistiche si comportano come funzioni?
(11)
“date of birth of x”, “mother of x”, “son of x”, “date of marriage of x and y”,
“birthday of y”, “end of x”, “negation of x”, “frame number of x”, “city of y”,
“capital of y”
Qual è il dominio e quale il codominio di questi casi?
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Calcolo dei Predicati
In matematica, quali sono esempi di funzioni ad un argomento? Quali richiedono
più argomenti?
Quali sono esempi di funzioni commutative
Quali sono esempi di funzioni associative
Quali delle seguenti espressioni linguistiche si comportano come funzioni?
(11)
“date of birth of x”, “mother of x”, “son of x”, “date of marriage of x and y”,
“birthday of y”, “end of x”, “negation of x”, “frame number of x”, “city of y”,
“capital of y”
Qual è il dominio e quale il codominio di questi casi?
Zamparelli
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Calcolo dei Predicati
In matematica, quali sono esempi di funzioni ad un argomento? Quali richiedono
più argomenti?
Quali sono esempi di funzioni commutative
Quali sono esempi di funzioni associative
Quali delle seguenti espressioni linguistiche si comportano come funzioni?
(11)
“date of birth of x”, “mother of x”, “son of x”, “date of marriage of x and y”,
“birthday of y”, “end of x”, “negation of x”, “frame number of x”, “city of y”,
“capital of y”
Qual è il dominio e quale il codominio di questi casi?
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Calcolo dei Predicati
Funzioni di valutazione
Per assegnare un significato alle espressioni di L, abbiamo bisogno di una
particolare classe di funzioni dette funzioni di valutazione, il cui dominio è
costituito dalle formule di L ed il cui codominio sarà l’insieme {1,0} (i valori di
verità).
Le funzioni di valutazione, indicate per il momento con V, potranno dare 1 o 0 alle
formule atomiche, ma per le formule complesse saranno vincolate dalle seguenti
condizioni:
Per qualsiasi formula P, Q di L:
(12)
a.
b.
c.
d.
e.
V(¬P) = 1 sse V(P) = 0
V(P ∧Q) = 1 sse V(P) = 1 e V(Q) = 1
V(P ∨Q) = 0 sse V(P) = 0 e V(Q) = 0
V(P →Q) = 0 sse V(P) = 1 e V(Q) = 0
V(P ↔Q) = 0 sse V(P) 6= V(Q)
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Funzioni di valutazione
Per assegnare un significato alle espressioni di L, abbiamo bisogno di una
particolare classe di funzioni dette funzioni di valutazione, il cui dominio è
costituito dalle formule di L ed il cui codominio sarà l’insieme {1,0} (i valori di
verità).
Le funzioni di valutazione, indicate per il momento con V, potranno dare 1 o 0 alle
formule atomiche, ma per le formule complesse saranno vincolate dalle seguenti
condizioni:
Per qualsiasi formula P, Q di L:
(12)
a.
b.
c.
d.
e.
V(¬P) = 1 sse V(P) = 0
V(P ∧Q) = 1 sse V(P) = 1 e V(Q) = 1
V(P ∨Q) = 0 sse V(P) = 0 e V(Q) = 0
V(P →Q) = 0 sse V(P) = 1 e V(Q) = 0
V(P ↔Q) = 0 sse V(P) 6= V(Q)
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Possiamo vedere le funzioni di valutazione come il collegamento tra le nostre
formule ed il mondo (o il nostro modello del mondo), ma in due modi diversi.
Due funzioni di valutazione V1 e V2 possono assegnare ad una formula P valori
diversi (p.es. V1 (P) = 1, V2 (P) = 0).
Questo può esser letto in due modi diversi: V1 e V2 esprimono il variare della
verità di P rispetto a stati diversi del mondo. Oppure V1 e V2 sono modi diversi di
interpretare P rispetto ad uno stesso stato del mondo.
Il fatto che V1 (“Piove”) = 1 significa che piove, e il fatto che V2 (“Piove”) = 0 significa che
non piove.
V1 (“I vitelli dei romani sono belli”) = 1 ma V2 (“I vitelli dei romani sono belli”) = 0. V1
interpreta la stringa come italiano, V2 come latino.
Possiamo per il momento mettere da parte il problema e considerare solo il fatto
che diverse V possono dare valori di verità diversi alla stessa formula.
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Tautologie, Contraddizioni e Formule Contingenti
Una formula P a cui qualsiasi funzione di valutazione 1 assegna valore 1 si dice
una tautologia (necessariamente vera) e si scrive con un |=davanti.
Una formula P a cui qualsiasi funzione di valutazione 1 assegna valore 0 si dice
una contraddizione (necessariamente falsa), e si scrive con un 6|=davanti.
Qualsiasi formula che non è né una tautologia né una contraddizione si dice
contingente (la sua verità dipende dalla funzione di valutazione/dallo stato del
mondo)
V
V1
V2
V3
V4
P
0
1
0
1
Q
0
0
0
1
P→Q
1
0
1
1
(¬Q→¬P)
1
0
1
1
¬(P ∨Q)
1
0
0
0
(¬P ∧¬Q)
1
0
0
0
¬(P ∧Q)
1
1
1
0
(¬P ∨¬Q)
1
1
1
0
La equivalenza tra ¬(P ∨Q) e (¬P ∧¬Q) e quella tra ¬(P ∧Q) e (¬P ∨¬Q) sono dette
leggi di De Morgan.
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Equivalenza logica
Due formule P e Q sono logicamente equivalenti sse per ogni funzione di
valutazione V, V(P) = V(Q), or equivalentemente V(P ↔Q) = 1.
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Esercizio:
Scrivete due tautologie e due contraddizioni contenenti almeno due gruppi di
parentesi ((P ∧¬P) non è abbastanza profondo).
Provare che le seguenti formule sono tautologie.
(13)
a.
b.
c.
P →P
(P ∧Q) →P
P →(P ∨Q)
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Interludio: Quine’s Dagger
Il filosofo Willard Orman Quine ha proposto un operatore logico, chiamato “dagger” e
scritto abitualmente ↓con la seguente tabella di verità:
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
P↓Q
0
0
0
1
A quale espressione del linguaggio corrisponde ↓?
Sorprendentemente, ↓può da solo esprimere tutti gli altri connettivi logici. Sapete
mostrarlo?
(vedi una soluzione alla pagina web
http://everything2.com/index.pl?node_id=1499762)
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Il sistema logico sviluppato finora è ancora inadeguato per il trattamento del linguaggio
per una serie di motivi
I connettivi logici sono trattati in modo del tutto diverso rispetto alle altre
espressioni. Questo è come dire che le parole e, o, se (e presumbilmente perché,
quando, etc., in quanto logicamente equivalenti ad e) non sono “normali” parole
del linguaggio.
La logica proposizionale non è in grado di costruire il significato delle frasi
dichiarative (= formule atomiche) a partire dai loro costituenti, le parole.
In ogni caso, un sistema vero-funzionale è (apparentemente) limitato a frasi
dichiarative (non interrogative, esclamative, ecc.)
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Trattamenti categorematici dei connettivi
Finora, i connettivi ∨, ∧, →, ↔, ¬sono stati trattati in modo del tutto diverso dalle
formule atomiche. In particolare, non sono stati interpretati da V.
Questo metodo di trattamento che rende i connettivi diversi da ogni altra categoria
è detto sincategorematico.
Un alternativa linguisticamente utile è vederli come funzioni su valori di verità.
Le funzioni sono binarie per ∧, ∨, unarie per ¬.
(14)
a.
b.
c.
f∧ (1,1) = 1, f∧ (1,0) = f∧ (0,1) = f∧ (0,0) = 0.
f∨ (0,0) = 0; f∨ (1,1) = f∨ (1,0) = f∨ (0,1) = 1
f→ (1,0) = 0; f→ (0,0) = f→ (0,1) = f∨ (1,1) = 1
(15)
f¬ (1) = 0; f¬ (0) = 1;
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Prima di dare una interpretazione al nuovo sistema, osserviamo che se la logica
che stiamo sviluppando serve alla analisi del linguaggio, essa dovrebbe rispettare
il Principio di Composizionalità
(16)
Principio di Composizionalità
Il significato di una espressione è una funzione del significato dei suoi
immediati costituenti.
Nel trattamento dato finora ai connettivi, c’è una somiglianza indebita tra
connettivi che corrispondono nel linguaggio alla coordinazione (come e e o) e
connettivi che corrispondono ad espressioni subordinative, come se.
Coordinazione e subordinazione presentano ben note differenze linguistiche,
comuni a molte (tutte le?) lingue:
(17)
Marco compra i tarallucci {e / *se} Maria il vino.
(18)
a.
gapping
(19)b.
[ Fprincipale [ Fprincipale Maria ha comprato il vino] e [ Fprincipale Marco ha comprato
i tarallucci]]
(20)
[ Fprincipale Maria comprerà i tarallucci [ Fsubordinata se Marco compra il vino]]
Se Maria ha comprato il vino, Marco comprerà i tarallucci.
*E Maria ha comprato il vino, Marco comprerà i tarallucci.
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Implicazione subordinativa
Un modo per differenziare ∧, ∨ dal ‘subordinante’ “se” è tradurre “se” con un predicato
unario che si applica ad una formula e dà come risultato non un valore di verità ma un
altro predicato unario.
Serve una nuova serie di regole sintattiche.
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
i. Una espressione atomica (= che non contiene connettivi) è una espressione.
ii. Se A è una formula e | un operatore subordinante, |(A) è un connettivo unario.
iii. Se A è una formula e ? un connettivo unario, ?(A) è una formula.
iv. Se A e B sono formule e ◦ è un connettivo binario, (A)◦(B) è una formula.
v. Sono formule solo quelle introdotte dai passi (i)-(iii) in un numero finito di passi.
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Introduciamo un connettivo unario di implicazione:
(21)
|→(A,B)
“se A, allora B”
il cui scopo è appunto quello di denotare una funzione g che si combina con il suo
primo argomento (A) e dà in output una funzione f che si combinerà con il
secondo argomento (B) per dare infine il valore di verità richiesto.
In pratica stiamo passando da una parentisizzazione (SE A B) ad una ((SE A) B)
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Semantica
Utilizziamo una funzione di interpretazione I.
(22)
a.
b.
c.
d.
I(∧) = f∧
I(∨) = f∨
I(¬) = f¬
I(|→) = g|→
a.
b.
g|→ (0) = f1
g|→ (1) = fid
dove:
(23)
e dove infine:
(24)
a.
b.
f1 dà sempre 1 (vero)
fid (0) = 0; fid (1) = 1. (è la funzione identità)
Se A è una formula e ? è un connettivo unario, I(?(A)) = I(?)(I(A))
Se A e B sono formule e ◦ è un connettivo binario, I((A◦B)) = I(◦)(I(A), I(B))
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Calcolo dei Predicati
Semantica
Utilizziamo una funzione di interpretazione I.
(22)
a.
b.
c.
d.
I(∧) = f∧
I(∨) = f∨
I(¬) = f¬
I(|→) = g|→
a.
b.
g|→ (0) = f1
g|→ (1) = fid
dove:
(23)
e dove infine:
(24)
a.
b.
f1 dà sempre 1 (vero)
fid (0) = 0; fid (1) = 1. (è la funzione identità)
Se A è una formula e ? è un connettivo unario, I(?(A)) = I(?)(I(A))
Se A e B sono formule e ◦ è un connettivo binario, I((A◦B)) = I(◦)(I(A), I(B))
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Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Semantica
Utilizziamo una funzione di interpretazione I.
(22)
a.
b.
c.
d.
I(∧) = f∧
I(∨) = f∨
I(¬) = f¬
I(|→) = g|→
a.
b.
g|→ (0) = f1
g|→ (1) = fid
dove:
(23)
e dove infine:
(24)
a.
b.
f1 dà sempre 1 (vero)
fid (0) = 0; fid (1) = 1. (è la funzione identità)
Se A è una formula e ? è un connettivo unario, I(?(A)) = I(?)(I(A))
Se A e B sono formule e ◦ è un connettivo binario, I((A◦B)) = I(◦)(I(A), I(B))
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Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Sommario: Semantica di PL con subordinazione
i. (a) I(p) = 0 o 1 per tutte le letter eproposizionali del vocabolario.
(b)
(c)
(d)
(e)
I(¬) = f¬
I(∧) = f∧
I(∨) = f∨
I(|→) = g|→
ii. Se A è una formula e | è un connettivo subordinante, allora I(|(A)) = I(|)(I(A))
iii. Se A è una formula e ◦ è un connettivo unario, allora I(◦(A)) = I(◦)(I(A))
iv. Se A e B sono formule e ◦ è un connettivo binario, allora I((A◦B)) = I(◦)(I(A),I(B))
Notate la somiglianza tra le clausole (ii) e (iii). Im motivo è che stiamo “smontando” un
connettivo binario in due parti unarie (che nelle applicazioni linguistiche su lingue
potrebbero trovare argomenti in direzioni diverse)
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Sommario: Semantica di PL con subordinazione
i. (a) I(p) = 0 o 1 per tutte le letter eproposizionali del vocabolario.
(b)
(c)
(d)
(e)
I(¬) = f¬
I(∧) = f∧
I(∨) = f∨
I(|→) = g|→
ii. Se A è una formula e | è un connettivo subordinante, allora I(|(A)) = I(|)(I(A))
iii. Se A è una formula e ◦ è un connettivo unario, allora I(◦(A)) = I(◦)(I(A))
iv. Se A e B sono formule e ◦ è un connettivo binario, allora I((A◦B)) = I(◦)(I(A),I(B))
Notate la somiglianza tra le clausole (ii) e (iii). Im motivo è che stiamo “smontando” un
connettivo binario in due parti unarie (che nelle applicazioni linguistiche su lingue
potrebbero trovare argomenti in direzioni diverse)
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Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Primo interludio linguistico: Altri motivi per smontare predicati binari
(25)
a.
b.
dorme(Carlo)
ama(Carlo,Maria)
Carlo dorme
Carlo ama Maria
Ma nei verbi transitivi soggetto e oggetto non sono simmetrici rispetto al verbo (come
mostrano numerosi test)
(26)
a.
Carlo ama Maria, e Gianni no.
(i) *Carlo ama Maria, e no Carla.
no = non ama Maria
no = Carlo non ama
(27)
a. Carlo? Amare te? Ma sei matta.
b. *Carlo? Tu amare? Ma sei matta.
(28)
Prestare attenzione, fare piano, fare caso, rispondere picche, ...
idiomatiche si formano su con VO, mai con SV.
Locuzioni
Conclusioni:
La struttura di Carlo ama Maria è Carlo [ama Maria] ([S[VO]). Se vogliamo trattare il
verbo come una funzione, avremo bisogno di tecniche simili a quelle viste per |→.
Zamparelli
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Calcolo dei Predicati
Primo interludio linguistico: Altri motivi per smontare predicati binari
(25)
a.
b.
dorme(Carlo)
ama(Carlo,Maria)
Carlo dorme
Carlo ama Maria
Ma nei verbi transitivi soggetto e oggetto non sono simmetrici rispetto al verbo (come
mostrano numerosi test)
(26)
a.
Carlo ama Maria, e Gianni no.
(i) *Carlo ama Maria, e no Carla.
no = non ama Maria
no = Carlo non ama
(27)
a. Carlo? Amare te? Ma sei matta.
b. *Carlo? Tu amare? Ma sei matta.
(28)
Prestare attenzione, fare piano, fare caso, rispondere picche, ...
idiomatiche si formano su con VO, mai con SV.
Locuzioni
Conclusioni:
La struttura di Carlo ama Maria è Carlo [ama Maria] ([S[VO]). Se vogliamo trattare il
verbo come una funzione, avremo bisogno di tecniche simili a quelle viste per |→.
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Calcolo dei Predicati
Primo interludio linguistico: Altri motivi per smontare predicati binari
(25)
a.
b.
dorme(Carlo)
ama(Carlo,Maria)
Carlo dorme
Carlo ama Maria
Ma nei verbi transitivi soggetto e oggetto non sono simmetrici rispetto al verbo (come
mostrano numerosi test)
(26)
a.
Carlo ama Maria, e Gianni no.
(i) *Carlo ama Maria, e no Carla.
no = non ama Maria
no = Carlo non ama
(27)
a. Carlo? Amare te? Ma sei matta.
b. *Carlo? Tu amare? Ma sei matta.
(28)
Prestare attenzione, fare piano, fare caso, rispondere picche, ...
idiomatiche si formano su con VO, mai con SV.
Locuzioni
Conclusioni:
La struttura di Carlo ama Maria è Carlo [ama Maria] ([S[VO]). Se vogliamo trattare il
verbo come una funzione, avremo bisogno di tecniche simili a quelle viste per |→.
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Calcolo dei Predicati
Interludio filosofico: subordinazione frasale
Problem:
L’introduzione di connettivi unari non risolve tutti i problemi della subordinazione. Uno
dei maggiori problemi della logica applicata alla semantica e della filosofia del
linguaggio è quello del fallimento della sostituzione di elementi che sembrerebbero
avere la stessa denotazione.
In qualche caso la sostituzione funziona:
(29)
a.
b.
Einstein = Lo scopritore della Relatività Generale
Einstein è qui = Lo scopritore della Relatività Generale è qui.
Ma
(30)
Carlo crede che [Maria sia arrivata]
(31)
I(“Maria sia arrivata”) = 0 se Maria non è arrivata, 1 se lo è.
(32)
a.
b.
Carlo crede 1 (= Carlo crede qualcosa di vero)
Carlo crede 0 (= Carlo crede qualcosa di falso – perchè mal informato,
ecc.)
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Il problema è che così si perde la specificità di ciò che Carlo effettivamente crede.
(33)
Maria è arrivata = Il sole è sorto dopo le 6 stamattina = 1
(34)
Carlo crede che [il sole sia sorto dopo le 6 stamattina] = Carlo crede 1.
Ma allora:
(35)
a.
Carlo crede il sole sia sorto dopo le 6 stamattina = Carlo crede che Maria
sia arrivata.
Ma questo è assurdo.
Ipotesi
La soluzione deve essere nel fatto che in certi casi le frasi incassate non contribuiscono
(solo) un valore di verità, ma qualcosa di più specifico (ad esempio una proposizione).
Zamparelli
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Calcolo dei Predicati
Il problema è che così si perde la specificità di ciò che Carlo effettivamente crede.
(33)
Maria è arrivata = Il sole è sorto dopo le 6 stamattina = 1
(34)
Carlo crede che [il sole sia sorto dopo le 6 stamattina] = Carlo crede 1.
Ma allora:
(35)
a.
Carlo crede il sole sia sorto dopo le 6 stamattina = Carlo crede che Maria
sia arrivata.
Ma questo è assurdo.
Ipotesi
La soluzione deve essere nel fatto che in certi casi le frasi incassate non contribuiscono
(solo) un valore di verità, ma qualcosa di più specifico (ad esempio una proposizione).
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Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Calcolo dei Predicati
Rispetto al calcolo proposizionale, il calcolo dei predicati contiene:
I connettivi già visti.
Costanti individuali (che si riferiscono ad oggetti nel dominio D; sono scritte come
lettere minuscole a,...,v.
Variabili individuali (p.es. k,x,y,z,x1 ,...)
Variabili su predicati (scritte come lettere in maiuscole) P,Q.
I quantificatori ∀ (universale, “per ogni”) e ∃ (esistenziale “esiste”)
La scelta di “per ogni” ed “esiste” può sembrare arbitraria. In realtà, questi
quantificatori sono i moduli per quastruire qualsiasi altro, e la loro presenza è costante
nel linguaggio ad una varietà di livelli.
In particolare, “per ogni” ed “esiste” possono quantificare su oggetti di molti tipi diversi.
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
La famiglia universale/esistenziale
(36)
a.
b.
Ogni uomo è mortale.
Qualche uomo è mortale.
(37)
a.
b.
Un norvegese è sempre biondo.
Un norvegese è talvolta biondo.
quantificazione su situazioni/nominali
(38)
a.
b.
La nostra stufa è sempre accesa.
La nostra stufa è talvolta accesa.
quantificazione su momenti di tempo
(39)
a.
(Dagli indizi che vedo intorno), l’assassino deve essere ancora in casa.
modalità epistemica
(Dagli indizi che vedo intorno), l’assassino può essere ancora in casa.
(40)
a.
b.
b.
quantificazione su nominali
(secondo il Codice della Strada), Carlo deve pagare una multa. modalità
deontica
(secondo il Codice della Strada), Carlo può continuare a guidare.
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Calcolo dei Predicati
La famiglia universale/esistenziale
(36)
a.
b.
Ogni uomo è mortale.
Qualche uomo è mortale.
(37)
a.
b.
Un norvegese è sempre biondo.
Un norvegese è talvolta biondo.
quantificazione su situazioni/nominali
(38)
a.
b.
La nostra stufa è sempre accesa.
La nostra stufa è talvolta accesa.
quantificazione su momenti di tempo
(39)
a.
(Dagli indizi che vedo intorno), l’assassino deve essere ancora in casa.
modalità epistemica
(Dagli indizi che vedo intorno), l’assassino può essere ancora in casa.
(40)
a.
b.
b.
quantificazione su nominali
(secondo il Codice della Strada), Carlo deve pagare una multa. modalità
deontica
(secondo il Codice della Strada), Carlo può continuare a guidare.
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Calcolo dei Predicati
La famiglia universale/esistenziale
(36)
a.
b.
Ogni uomo è mortale.
Qualche uomo è mortale.
(37)
a.
b.
Un norvegese è sempre biondo.
Un norvegese è talvolta biondo.
quantificazione su situazioni/nominali
(38)
a.
b.
La nostra stufa è sempre accesa.
La nostra stufa è talvolta accesa.
quantificazione su momenti di tempo
(39)
a.
(Dagli indizi che vedo intorno), l’assassino deve essere ancora in casa.
modalità epistemica
(Dagli indizi che vedo intorno), l’assassino può essere ancora in casa.
(40)
a.
b.
b.
quantificazione su nominali
(secondo il Codice della Strada), Carlo deve pagare una multa. modalità
deontica
(secondo il Codice della Strada), Carlo può continuare a guidare.
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Calcolo dei Predicati
La famiglia universale/esistenziale
(36)
a.
b.
Ogni uomo è mortale.
Qualche uomo è mortale.
(37)
a.
b.
Un norvegese è sempre biondo.
Un norvegese è talvolta biondo.
quantificazione su situazioni/nominali
(38)
a.
b.
La nostra stufa è sempre accesa.
La nostra stufa è talvolta accesa.
quantificazione su momenti di tempo
(39)
a.
(Dagli indizi che vedo intorno), l’assassino deve essere ancora in casa.
modalità epistemica
(Dagli indizi che vedo intorno), l’assassino può essere ancora in casa.
(40)
a.
b.
b.
quantificazione su nominali
(secondo il Codice della Strada), Carlo deve pagare una multa. modalità
deontica
(secondo il Codice della Strada), Carlo può continuare a guidare.
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La famiglia universale/esistenziale
(36)
a.
b.
Ogni uomo è mortale.
Qualche uomo è mortale.
(37)
a.
b.
Un norvegese è sempre biondo.
Un norvegese è talvolta biondo.
quantificazione su situazioni/nominali
(38)
a.
b.
La nostra stufa è sempre accesa.
La nostra stufa è talvolta accesa.
quantificazione su momenti di tempo
(39)
a.
(Dagli indizi che vedo intorno), l’assassino deve essere ancora in casa.
modalità epistemica
(Dagli indizi che vedo intorno), l’assassino può essere ancora in casa.
(40)
a.
b.
b.
quantificazione su nominali
(secondo il Codice della Strada), Carlo deve pagare una multa. modalità
deontica
(secondo il Codice della Strada), Carlo può continuare a guidare.
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Calcolo dei Predicati
In pratica, per affrontare tutte queste estensioni sono state create non un singolo
sistema logico, un insieme di ‘logiche’, ciascuno con una sia specializzazione
(p.es. logiche epistemiche, deontiche).
Parte della differenza tra queste logiche stà nella possibilità di quantificare non
solo su elementi di D ma anche su mondi o situazioni possibili.
Example
Esempio: modalità epistemica
(41)
(Da quanto so,) Marco potrebbe/dovrebbe essere già qui.
(42)
a.
b.
Esiste almeno un w tale che w è un modo in cui il mondo potrebbe essere
date le mie conoscenze, e Marco è già qui in w.
Per ogni w tale che w è un modo in cui il mondo potrebbe essere date le
mie conoscenze, Marco è già qui in w.
Per la modalità denotica, sostituire a date le mie conoscenze con qualcosa come
date le regole vigenti.
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Calcolo dei Predicati
Calcolo dei predicati: cenni storici
Sillogismo aristotelico:
Tutti i bambini sono egoisti.
Alcune persone non sono egoiste
--------------------------ALcune persone non sono bambini
Modus ponens
Se Ugo è ubriaco, Ugo è pericoloso.
Ugo è ubriaco
---------------------------------Ugo è pericoloso
Nel primo caso, è cruciale il significato logico di termini come tutti i e alcune (i
quantificatori)
Zamparelli
Logic
Syntassi per la logica propositionale
Calcolo dei Predicati
Notare che in questi casi abbiamo per ciascuna espressione un singolo quantificatore.
Se cominciamo ad averne due o più, la situazione si complica.
Già nel medioevo, Guglielmo di Shyreswood aveva notato la validità della inferenza:
C’è qualcuno che è stato visto da ognuno
---------------------------------------Ognuno ha visto qualcuno
ma anche il fallimento dell’inverso:
Ognuno ha visto qualcuno
---------------------------------------C’è qualcuno che è stato visto da ognuno
che veniva tranquillamente accettato da Aristotele.
Example
Esercizio:
Presentate un esempio in cui l’ ultima inferenza non vale.
Zamparelli
Logic
